下载文档原格式
一类具有扩散的捕食-食饵模型正解的存在性李海侠【摘要】The uniqueness and existence of positive steady‐state solutions for a diffusive two‐preys and one‐predator predator‐prey model are discussed under homogeneous Dirichlet boundary conditions .The bifurcation from a double eigenvalue for the system is investigated by virtue of the implicit function theorem and the sufficient conditions for the uniqueness and existence of coexistence states are obtained .Finally ,some numerical simulations are presen‐ted to verify and complem ent the theoretical results .The results show that the three species will coexist under certain conditions .%在齐次Dirichlet边界条件下讨论了一类扩散的两食饵和一个捕食者的捕食‐食饵模型正平衡态解的惟一存在性。
运用隐函数定理研究了系统的二重分歧，给出了系统共存解惟一存在的充分条件。
最后通过数值模拟对所得理论结果进行了验证和补充。
结果表明，在一定条件下三物种能共存。
【期刊名称】《陕西科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】5页(P182-186)【关键词】捕食-食饵模型;分歧;隐函数定理;数值模拟【作者】李海侠【作者单位】宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O175.26文献［1］提出了如下具有两个食饵和一个捕食者的捕食－食饵模型：其中u，v和w分别是第一个食饵、第二个食饵和捕食者的浓度.我们假设第二个食饵v是指数增长的，于是在没有捕食者的情况下第二个食饵有很大的供应量.因此，捕食者没有时间寻找第二个食饵.r代表第一个食饵u的增长率和容纳量.c和a代表了第一个食饵的最大捕食率和捕食者的半饱和常数.α＝h2/h1和η＝e2/e1，其中h1和h2分别表示捕食者对第一个食饵的每单位捕食量的消化时间和捕食者对第二个食饵的每单位捕食量的消化时间，e1和e2分别表示捕食者对第一个食饵的捕获率和捕食者对第二个食饵的捕获率.b代表了第一个食饵u被捕食者w消耗的转化率.β和δ分别代表第二个食饵v的增长率和捕食率.γ是第二个食饵v被捕食者w消耗的转化率.m是捕食者w的死亡率.（1）中的所有参数都是正常数.在文献［1］中，作者讨论了系统平衡点的存在性以及在这些平衡点处解的稳定性.考虑到捕食者和食饵在不同空间的不均匀分布以及物种有向低浓度物种扩散的自然倾向，则系统（1）成为如下带有扩散的捕食－食饵模型：这里Ω是RN中带有光滑边界Ω的有界区域.初值u0（x），v0（x）和w0（x）都是连续函数.系统（2）是一个三物种的捕食－食饵模型.第一个食饵和捕食者之间以Holling－II反应函数相互作用，并且包含了捕食者对第二个食饵的消化时间.第二个食饵和捕食者之间以Lotka－Volterra反应函数相互作用.假设第一个食饵和第二个食饵之间没有相互作用.目前，两物种捕食－食饵模型的研究比较多，比如文献［2－4］.但三物种的捕食－食饵模型研究并不多见，尤其是具有扩散的齐次Dirichlet边界条件下的捕食－食饵模型研究甚少，如文献［5－7］，其中文献［5，6］研究了三物种的捕食－食饵模型的正解的若干性质.本文主要研究系统（2）的平衡态系统共存解的存在条件.讨论具有扩散的捕食－食饵模型共存解的存在性常见的方法有不动点指标理论和单重分歧理论.然而，寻找系统（3）共存解的先验估计具有很大的难度，因此本文采用不常见的方法空间分解法和隐函数定理来研究系统（3）共存解的存在性.当系统（3）没有食饵时，（3）成为典型的带有Holling－II反应函数的具有扩散的两物种捕食－食饵模型.文献［8］利用不动点指数和分歧理论得到了共存解存在的充分和必要条件.文献［9，10］在齐次Neumann边界条件下也研究了此类模型.为给出重要的结果，首先给出一些预备知识.引理1［11］令p（x）∈C（珚Ω），λ1（p）是如下特征值问题－Δψ＋p（x）ψ＝λψ，x∈Ω，ψ＝0，x∈Ω的主特征值，则λ1（p）连续依赖p，λ1（p）是简单的.而且，如果p1≤p2，p1p2，则λ1（p1）＜λ1（p2）.为了简单起见，我们定义λ1（0）为λ1，相应于λ1的主特征函数记为ψ1且‖ψ1‖2＝1.考虑如下的非线性问题如果r＞λ1，则（4）有惟一正解.记惟一正解为Θr，则Θr 关于r严格递增且连续可微.而且Θr≤r.因此，系统（3）当r＞λ1时有弱半平凡解（Θr，0，0）.1.1 正解的存在性在本小节，利用隐函数定理和空间分解讨论系统（3）的正解的存在性.我们同时以β和m为分歧参数，研究系统（3）从半平凡解（Θr，0，0）分歧出来的二重分歧.选择p＞N，令E＝｛W2，p（Ω）∩W1，p0（Ω）｝3，F＝｛Lp（Ω）｝3，其中W1，p0（Ω）＝｛u∈W1，p（Ω）：u＝0，x∈Ω｝.令珘u＝u－Θr.定义映射G：E×R×R→F为其中则对所有的β和m，G（0；β，m）＝0.令L（β，m）是（3）在（Θr，0，0）的线性化算子，则L（β，m）＝由Θ的单调性可知λ关于r是连续的r严格递减函数.当r＝λ时，当1r→∞时，趋于λ－b.因此，如果b＞1λ1，则存在r＊＞λ1，使得.这说明，如果－m＞λ1－b，则对任意的r＞r＊，都存在m＊使得注：本节假设b＞λ1恒成立.简单起见，记L（λ1，m＊）为L.而且，直接计算可知G珦U（0；λ1，m＊）＝L.不难算出L的核空间ker（L）＝span｛Y1，Y2｝，其中Y1＝（0，ψ1，0）T，Y2＝（φ1，0，φ1）T，这里φ1是如下问题的惟一正解：，x∈Ω，φ＝0，x∈Ω 且，则dim（ker（L））＝2.再令L＊是L的伴随算子，则，｝，这里），则由Fredholm选择公理L值域为R（L）＝｛（ω1，ω2，ω3）∈F：（ω2，ψ1）2＝（ω3，φ1）2＝0｝，则codim（R （L））＝2.于是Crandall－Rabinowitz分歧定理［12］失效，因此我们用隐函数定理和空间分解的方法来研究系统（3）的正解的存在性.对于珦U∈F，定义投影P为分解空间E＝E1＋E2，这里E1＝PE，且分解空间F＝F1＋F2，其中F1＝ker（L＊），F2＝（I－P）F.则由投影的定义知E1＝ker （L），F2＝R（L）.下面，我们寻找G（珦U；β，m）＝0形如的解，其中s，σ是参数.设β.为了寻求系统（3）的正解，我们将参数σ限制在内.将σ固定，定义新的映射则这里并且由ψ1，φ1和φ1表达式及（5）式有Α（0，0，0；0）＝0.直接计算可知方便起见，记L1＝D（χ，τ1，τ2）Α（0，0，0；0）.最后，我们证明连续线性映射L1：E2×R×R→F是同构映射.设L1（χ珘，τ珓1，τ珓2）＝0，因为F＝F1＋F2，所以和Lχ珘＝0.而和是线性无关的且σ∈（0 ，π2），所以τ珓1＝τ珓2＝0.又从Lχ珘∈R（L）可知χ珘＝0.因此，L1是单射.又因为F＝F1＋F2＝ker（L＊）＋R（L），并且L1：E2×R×R→F，所以由（6）式和可知L1是满射，这说明连续线性映射L1是双射，即同构.因此可用隐函数定理解方程Α（χ，τ1，τ2；s）＝0.也就是说，由隐函数定理可知存在一个连续可微函数（珔χ（s），珋τ1（s），珋τ2（s）），定义在s的一个小邻域内使得珔χ（0）＝0，珋τ1（0）＝0，珋τ2（0）＝0，并且Α（珔χ（s），珋τ1（s），珋τ2（s）；s）＝0.设则满足珡U（s）＝（珔u（s），珔v（s），珡w（s））的（珡U（s），珋β （s），珡m（s））是G（珦U；β，m）＝0的解.因为φ1＜0，所以由正解u的先验估计可知满足＾U（s）＝（珔u（s）＋Θr，珔v（s），珡w（s））（ε＞s＞0）的（＾U（s），珋β（s），珡m（s））是系统（3）的正分歧解.上面的讨论表明了系统（3）的正分歧解的存在性.下面给出系统（3）的正分歧解惟一存在的充分条件.定理1 若r＞r＊＞λ1，－m＞λ1－b，则（λ1，m＊，Θr，0，0）是系统（3）的分歧点，而且在点（λ1，m＊，Θr，0，0）的邻域内系统（3）有惟一正解.1.2 正解的不存在性本小节给出系统（3）正解不存在的充分条件.定理2 如果r≤λ1或β≤λ1，那么系统（3）没有正解.证明：假设系统（3）有正解（u，v，w），则由系统（3）的第一个方程和引理1可得这说明r＞λ1，与已知r≤λ1矛盾.同理，由系统（3）的第二个方程和引理1得0＝λ1（δv－β）＞λ1（－β），这说明β＞λ1，与已知β≤λ1矛盾.因此，如果r ≤λ1或β≤λ1，那么系统（3）没有正解.这一节做一些数值模拟来验证和补充第一节的理论分析.在一维空间Ω＝（0，l）上利用Matlab和有限差分格式来模拟系统（2），选择用二阶有限差分格式刻画空间变量，用Crank－Nicholson方法近似时间变量.取l＝10，此时λ1≈0.098 7.（1）参数c的影响.取a＝5，α＝0.1，η＝0.5，b ＝2，γ＝0.5，β＝0.1，r＝2，m＝0.3，δ＝0.5.从大量的数值模拟可以观察出当c增大时，u和w的浓度减少，而v的浓度增加，如图1所示.（2）参数δ的影响.取c＝2，除δ外其余参数值与（1）相同.从大量的数值模拟可以观察出δ当增大时，u和v的浓度减少，而w的浓度增加，如图2所示.参考文献［1］Sharma S，Samanta G P.Dynamical behaviour of a two preys and one predator system［J］.Differ Equ Dyn Syst，2014，22（2）：125－145. ［2］Ko W，Ryu K.Non－constant positive steady－states of a predator－prey system in homogeneous environment［J］.J Math Anal Appl，2007，327：539－549.［3］Li Yanling，Li Haixia，Wu Jianhua.Coexistence states of the unstirred chemostat model［J］.Acta Mathematica Sinica，2009，52（1）：141－152.［4］Guo Gaihui，Wu Jianhua.Multiplicity and uniqueness of positive solutions for a predator－prey model with B－D functional response ［J］.Nonlinear Anal，2010，72：1 632－1 646.［5］Zhou Jun，Mu Chunlai.Positive solutions for a three－trophic food chain model with diffusion and Beddington－Deangelis functional response［J］.Nonlinear Anal：Real World Appl，2011，12：902－917. ［6］Zhang Guohong，Wang Wendi，Wang Xiaoli.Coexistence states for a diffusive one－orey and two－predators model with B－D functional response［J］.J Math Anal Appl， 2012，387：931－948.［7］李海侠，李艳玲.一类带有C－M反应函数的捕食－食饵模型正解的存在性和惟一性［J］.陕西师范大学学报（自然科学版），2014，42（2）：7－12. ［8］Ko W，Ryu K.Qualitative analysis of a predator－prey model with Holling type－II functional response incorporating a prey refuge［J］.J Differential Equations，2006，231：534－550.［9］Yi Fengqi，Wei Junjie，Shi Jun－ping.Bifurcation and spatiotemporal patterns in a homogeneous diffusive predatorprey system［J］.J Differential Equations，2009，246：1 944－1 977.［10］Peng Rui，Shi Jun－ping.Non－existence of non－constant positive steady－state of two Holling type－II predatorprey systems：strong interaction case［J］.J Differential Equations，2009，247（3）：866－886. ［11］Figueiredo D G，Gossez J P.Strict monotonicity of eigenvalues and unique continuation［J］.Commun Part Diff Eq，1992，17：339－346. ［12］Crandall M G，Rabinowitz P H.Bifurcation from simple eigenvalue ［J］.J Funct Anal，1971，8：321－340.。
一类具有交叉扩散的捕食-食饵模型正解的存在性吕杨; 郭改慧; 袁海龙; 李书选【期刊名称】《《工程数学学报》》【年(卷),期】2019(036)006【总页数】9页(P658-666)【关键词】捕食-食饵模型; 交叉扩散; 正解; 存在性【作者】吕杨; 郭改慧; 袁海龙; 李书选【作者单位】陕西科技大学文理学院西安 710021; 西安交通大学数学与统计学院西安 710049【正文语种】中文【中图分类】O175.261 引言本文考虑如下具有交叉扩散的捕食-食饵模型其中Ω是RN 上的有界区域，∂Ω 是光滑边界；u, v 分别代表食饵与捕食者的密度.a, c, d,µ是正常数；α, β 和m 是非负常数；b 可能变号.当α = β = 0 且m > 0 时，系统(1)已被许多学者研究[1-10].特别地，文[2]利用分歧理论证明了正解的存在性.文[7]讨论了当某些参数充分大时，建立了系统正解的存在性、多解性、唯一性和稳定性.进一步，Du 和Lou[8]说明了当m 充分大时，奇异扰动系统存在Hopf 分歧，进而说明原系统存在Hopf 分歧.当α,β > 0 且m = 0 时，则系统(1)变成具有Lotka-Volterra 捕食-食饵模型，已经被许多生物数学家所探究[11-15].特别地，文[11]用分歧理论研究了正解的存在性，并证明共存区域随着β 增大而增大，随着α 增大而减小.进一步，文[14]讨论了当空间维数小于5 时，他们寻找到了一个与α, β 无关的先验估计.在文[16]，Wang 和Li 利用分歧理论说明当b ∈(b∗,b∗)，系统(1)至少有一个正解.特别地，当α 充分大时，他们以b 为分歧参数证明了全局分歧解在b = b∗从半平解(θa,0)出发连接到在b = (µ+1)λ1 的半平凡解(0,sϕ1)，从而形成一个有界解，其中s>0. 本文主要讨论当交叉扩散系数α 充分大时正解的极限行为.特别地，我们以a 为分歧参数，利用全局分歧理论说明极限系统的正解将随着分歧参数a 在正锥内到达无穷.令λ1(p)<λ2(p)≤λ3(p)≤···是下列问题的特征值其中我们知道λ1(p)是简单的、实的，λ1(p)关于p 是严格单调递增的.当p ≡ 0 时，我们记λ1(0)为λ1.进一步，我们记ϕ1 是λ1 对应的特征函数且满足ϕ1 >0,||ϕ1||2 =1.我们知道当a>λ1 时，下列问题存在唯一的正解θa，且a →θa 在a ∈(λ1,+∞)是连续的，θa 关于a 是单调递增的.进一步，θa 非退化，线性稳定.2 预备知识则我们有系统(1)可以写成引理1 令(u,v)是系统(1)的任意正解，则存在一个与α 无关的常数C1，使得证明令(u,v)是系统(1)的任意正解，则根据比较原理，我们知道其中U∗是方程在Ω 上且满足U∗|∂Ω =0 的解.从而说明 u, U 存在与α 无关的先验估计.对于V 的方程，我们有同理，我们说明v, V 存在与α 无关的先验估计.定义下面的引理说明a∗(b)的一些性质.由于证明过程比较简单，我们在此略去其证明而仅陈述其结果.引理2[11] 集合S 形成一个有界的曲线其中a=a∗(b)是b ∈(0,(µ+1)λ1]的正的连续函数，且满足下面的性质：(i) a=a∗(b)关于b ∈ (0,(µ +1)λ1)是严格单调递减的；(ii) a∗((µ +1)λ1)= λ1.在此，我们定义ϕ∗>0 满足下面的方程对p>N，我们定义Banach 空间X 和Y 如下通过Sobolev 嵌入定理，我们知道3 主要结论在本节中，我们主要考虑当α 充分大时，极限系统正解的存在性.通过引理1 我们知道，系统(1)或(2)存在与α 无关的先验估计.下面的引理表明当α 充分大时，系统(1)的任意正解收敛到下述系统(4)的正解. 引理3[16] 存在充分大的Λ，使得当α ≥Λ，且α=αi 时，(ui,vi)是系统(1)的任意正解，则上成立，其中是下面系统的正解我们通过分歧理论建立系统(4)正解的存在性，而这只需建立下面系统(5)正解的存在性.我们通过分歧理论说明当a ∈(a∗,∞)时，系统(5)至少存在一个正解.令则系统(4)可以写成当a>λ1 时，系统(5)存在半平凡解我们以a 为分歧参数，利用局部和全局分歧理论来建立系统(5)正解的存在性.令其中是的函数.通过在处Taylor 展开，令则显然f(θa,0)=−∆θa, g(θa,0)=0.令则其中令K 是−∆在齐次Dirichlet 边界条件下的逆算子，则定义T :R×X →X则是X 空间上的紧算子.令显然H(a;0,0)=0，且记的Frchet 导数为下面，我们利用局部分歧理论说明系统(5)在(a∗;θa∗,0)附近存在局部分歧解.定理1 设a > λ1，则(a∗;θa∗,0) ∈ R × X 是系统 (5)的分歧点，且存在δ > 0，在分歧点(θa,0)的邻域内存在如下形式的正解其中是光滑函数且满足证明令则令则如果矛盾.因此a=a∗, ker L1(a∗;0,0)=span{ψ∗,ϕ∗}，其中我们定义算子L1(a∗;0,0)的伴随算子为令则根据Fredholm 选择公理，我们知算子L1(a∗;0,0)的值域为因此R(L1(a∗;0,0))的余维数是1.为了在处应用局部分歧理论[17]，我们断言显然我们采用反证法.假设存在满足也就是在上面的等式两边同乘以ϕ∗，再积分，我们有矛盾.根据全局分歧理论，我们断言局部分歧解可以延拓为全局分歧解，并且该全局分歧解随着分歧参数a 在正锥内延伸到无穷.令假设σ ≥ 1 是算子T′(a)的特征值且其对应的特征函数为(ξ,η)，则则σ ≥ 1 是算子T′(a)的特征值的充要条件是：存在一些i = 1,2,···，使得a = ai(µ).进而，若a<a∗，则i(T(a,·),0)=1，如果a∗ <a<a2(1)，则i(T(a,·),0)= −1.根据全局分歧理论[18]，我们知道在R+×X 内，存在从(a∗;0,0)出发的连通分支C0，满足H(a;ξ,η) = 0，且在(a∗;0,0)附近，H(a;ξ,η)的所有零点都在定理1 中得到的那条分歧曲线令则C 是系统(5)从(a∗;0,0)分歧的解曲线，令在(a∗;θa∗,0)的小邻域内，解曲线C ⊂ P0.定理2 C −{(a∗;θa∗,0)}在正锥内随着分歧参数a 延伸到无穷.证明根据Rabinowitz 全局分歧理论[18]和更加一般的分歧理论[19,20]，我们断言全局分歧解C −{(a∗;θa∗,0)}必满足下列三个选择之一：(i) 全局分歧解C 连接半平凡解{a;θa,0}，其中 aa∗且I − T′(a)是不可逆的；(ii) 全局分歧解C 在R×X 是无界的；(iii) 存在a = 和W ∈\{0}，满足(;W) ∈C，其中是空间{(0,−∆ϕ∗)}的补空间，{(0,−∆ϕ∗)}由定理1 给出.如果则存在使得在Ω 的极限.由于由最大值原理我们知道，在Ω.假设令则根据二阶椭圆型方程的正则化理论，我们假设在C1 上成立且满足和在Lp 弱收敛.在上面系统的两边同时取极限，我们有根据最大值原理我们知道，>0 在Ω 上成立.因此由a∗的定义我们知道，有=a∗，矛盾.假设类似地，我们可以得到矛盾.因此，我们说明C −{(a∗;θa∗,0)} ⊂ P0.进而(i)不可能发生.由于在Ω 上ϕ∗>0，补空间不可能包含不变号的元素，从而(iii)也不可能发生.由Lp 估计和Sobolev 嵌入定理，我们知道存在正常数，使得因此，全局分歧解C 只能随着分歧参数a 在正锥内到达无穷.参考文献：【相关文献】[1]袁海龙，李艳玲.一类捕食-食饵模型共存解的存在性与稳定性[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2014, 42(1):15-18 Yuan H L, Li Y L.Coexistence of existence and stability of a predator-prey model[J].Journal of Shaanxi Normal University (Natural Science Edition), 2014, 42(1): 15-18[2]Blat J, Brown K J.Global bifurcation of positive solutions in some systems of elliptic equations[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1986, 17(6): 1339-1353[3]Brown K J.Nontrivial solutions of predator-prey systems with smalldiffusion[J].Nonlinear Analysis:Theory Methods & Applications, 1987, 11(6): 685-689[4]Casal A, Eilbeck J C, Lpez-Gmez J.Existence and uniqueness of coexistence states for a predator-prey model with diffusion[J].Differential & Integral Equations, 1994, 7(2): 411-439[5]Conway E D, Gardner R, Smoller J.Stability and bifurcation of steady-state solutions for predator-prey equations[J].Advances in Applied Mathematics, 1982, 3(3): 288-334[6]Dancer E N.On positive solutions of some pairs of differential equations[J].Transactions of the American Mathematical Society, 1984, 284(2): 729-743[7]Du Y, Lou Y.Some uniqueness and exact multiplicity results for a predator-preymodel[J].Transactions of the American Mathematical Society, 1997, 346(6): 2443-2475 [8]Du Y,Lou Y.S-shaped global bifurcation curve and Hopf bifurcation of positive solutions to a predator-prey model[J].Journal of Differential Equations, 1998, 144(2): 390-440[9]Du Y, Shi J.A diffusive predator-prey model with a protection zone[J].Journal of Differential Equations,2006, 229(1): 63-91[10]Du Y, Peng R, Wang M.Effect of a protection zone in the diffusive Leslie predator-prey model[J].Journal of Differential Equations, 2009, 246(10): 3932-3956[11]Kadota T,Kuto K.Positive steady states for a prey-predator model with some nonlinear diffusion terms[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications, 2006, 323(2): 1387-1401[12]Kuto K, Yamada Y.Multiple coexistence states for a prey-predator system with cross-diffusion[J].Journal of Differential Equations, 2004, 197(2): 315-348[13]Kuto K.A strongly coupled diffusion effect on the stationary solution set of a prey-predator model[J].Advances in Differential Equations, 2007, 12(2): 145-172[14]Kuto K, Yamada Y.Coexistence problem for a prey-predator model with density-dependent diffusion[J].Nonlinear Analysis, 2009, 71(12): e2223-e2232[15]Nakashima K, Yamada Y.Positive steady states for prey-predator models with cross-diffusion[J].Advances in Differential Equations, 1996, 1(6): 1099-1122[16]Wang Y X, Li W T.Stationary problem of a predator-prey system with nonlinear diffusion effects[J].Computers & Mathematics with Applications, 2015, 70(8): 2102-2124 [17]Crandall M G, Rabinowitz P H.Bifurcation from simple eigenvalues[J].Journal of Functional Analysis,1971, 8(2): 321-340[18]Rabinowitz P H.Some global results for nonlinear eigenvalue problems[J].Journal of Functional Analysis,1971, 7(3): 487-513[19]Lpez-Gmez J.Spectral Theory and Nonlinear Function Analysis[M].Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2001[20]Dancer E N.Bifurcation from simple eigenvalues and eigenvalues of geometric multiplicity one[J].Bulletin of the London Mathematical Society, 2002, 34(5): 533-538。
一类三物种食物链模型解的全局存在性汪玉霞1王辉1，2*1.伊犁师范大学数学与统计学院；2.伊犁师范大学应用数学研究所新疆伊宁 835000摘要：在生态学中，三物种食物链模型是一类极其重要的模型，它能够描述食饵、中间捕食者和高级捕食者之间的相互作用与数量随时间、空间变化规律。
主要考虑了一类具有非线性趋食敏感函数的食物链模型，在齐次Neumann边界条件下，当模型中的初值和参数都满足一定条件时，利用抛物方程正则性理论及必要的先验估计，得到在高维情形下该模型解的全局存在性。
关键词：食物链模型 趋食性 全局存在性 先验估计中图分类号：Q141;O175文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2024)05-0237-04Global Existence of the Solution of a Three-Species Food ChainModelWANG Yuxia1WANG Hui1,2*1.School of Mathematics and Statistics, Yili Normal University;2.Institute of Applied Mathematics, Yili NormalUniversity, Yining, Xinjiang Uygur Autonomous Region, 835000 ChinaAbstract:In ecology, the three-species food chain model is a very important model, and it can describe the inter⁃action among prey, intermediate predators and higher predators and the change law of their number over time and space. This study considers a food chain model with the nonlinear prey-taxis sensitive function. Under homoge⁃neous Neumann boundary conditions, when both the initial value and parameter in the model meet a certain condi⁃tion, the regularity theory of parabolic equations and the necessary prior estimation are used to obtain the global ex⁃istence of the solution of the model in the case of high dimensions.Key Words: Food chain model; Prey-taxis; Global existence; Prior estimation1 引言在生态系统当中，捕食行为是物种之间相互作用的基本特征之一，捕食者将猎物作为其食物来源。
带有乘法Allee效应的捕食-食饵模型的共存解李海侠【摘要】讨论了一类带有乘法Allee效应的捕食-食饵扩散模型正解的存在性和稳定性。
利用局部分歧理论研究了分歧正解的存在性，考察了分歧解的稳定性，运用全局分歧定理将局部分歧进行延拓从而得到了正解存在的充分条件。
结果表明当参数满足一定条件时，两物种能共存而且共存解稳定。
%The existence and stability of a predator-prey diffusive model with multiplicative Allee affect are discussed. The existence of bifurcating positive solutions is investigated by means of the local bifurcation theory. The stability of bifurcation solutions is determined. By using the global bifurcation theory, the local bifurcation is extended and the suffi-ciently conditions of the existence of positive solutions are obtained. The results indicate that the two species will coexist when the parameters satisfy certain conditions, furthermore the coexistence solutions are stable.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)010【总页数】4页(P16-19)【关键词】乘法Allee效应;分歧理论;稳定性【作者】李海侠【作者单位】宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡 721013【正文语种】中文【中图分类】O175.261 引言本文讨论如下带有乘法Allee效应的捕食-食饵模型：其中，u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，r和e分别是u和v的最大增长率，k是承载能力，m表示没有捕食者时食饵物种u的Allee效应阀值或最小族群量。
