北师大版七年级专题训练—定义新运算 (无答案)

综上， x1
x2的值为－20或32.
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阶段拔尖专训
新定义图形
3. [2024廊坊广阳区月考]在数轴上有 A ， B 两点，点 A 表示
的数为－1，点 B 表示的数为 b .对点 A 给出如下定义：当
b ≥0时，将点 A 向右移动2个单位长度，得到点 P ；当 b
＜0时，将点 A 向左移动｜ b ｜个单位长度，得到点 P . 称
思维进行运算或推理，灵活运用所学的知识与数学能力触类
旁通，进行一定的拓展应用与创新.
阶段拔尖专训
新定义数
1. 定义[ x ]为不超过 x 的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，
[－3.6]＝－4.对于任意数 x ，下列式子中错误的是(
A. [ x ]＝ x ( x 为整数)
B. 0≤ x －[ x ]＜1
当 x ＜1时，原方程可化为 x －2( x －1)＝4，
解得 x ＝－2，符合题意.
所以原方程的解为 x ＝2或 x ＝－2.
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阶段拔尖专训
新定义模型
5. [2024大连甘井子区月考]把一根小木棒放在数轴上，木棒
左端点与点 A 重合，右端点与点 B 重合，如图所示.
(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点 B 处
相等，且两点间的距离为8，求 x1
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x2的值.
阶段拔尖专训
【解】由题意得 x1＝－4， x2＝4或 x1＝4， x2＝－4.
①当 x1＝－4， x2＝4时，
x1
x2＝(－4) 4＝－4－42＝－4－16＝－20；

专题2.5 新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，12）＝ ，f （5，3）＝ ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）．【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】解：（1）f （4，12）=12÷12÷12÷12=4，f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为：4；127．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（1a）n ﹣2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）=127×9×（−18）×16 =−23．1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．32D ．−322．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2B ．5C ．﹣6D ．103．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣9C ．−12D ．04．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4B ．3C ．2D ．15．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611） D ．（6，713）6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2k；（其中k 是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68B ．78C ．88D ．987．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|abcd|=ad ﹣bc ．则|−4−231|的值为 ．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形表示﹣x +y ﹣z ，则+的值为 ．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =a+1b ，则（13*12）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−23)△(−3)= ．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y1，x =y−2xy ，x ＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−12)]+[(−2)Θ194]= ．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|2．（1）计算：（﹣6）☆5＝．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[2⨂（−32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b +1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−34=124−34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）；（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣3）＝ ，d （1）＝ ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （mn ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性质，填空：d(a 3)d(a)= ；（a 为正数）（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，a−c 2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，﹣2，3的“分差”为−53．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排 1 2第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。

专题四定义新运算(361)1.现规定一种运算“*”，对于a，b两数有a∗b=a b−2ab，则计算(−3)∗2的值为2.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k (其中k为使n2k为奇数的正整数)．运算重复进行下去，例如，取n=26，运算如图.若n=449，则第449次“F运算”的结果是．3.已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b=a2+ab−5.例如：1#2=12+1×2−5=−2.求：(1)(−3)#6的值；(2)[2#(−32)]−[(−5)#9]的值．4.定义一种新运算：1⊙3=1×4+3=7；3⊙(−1)=3×4−1=11；5⊙4=5×4+4=24；4⊙(−3)=4×4−3=13.(1)请你想一想：a⊙b=；(2)若a≠b，则a⊙b b⊙a(填入“=”或“≠”)；(3)若a⊙(−2b)=4，则2a−b=，并计算(a−b)⊙(2a+b)的值．5.若“∗”是一种新的运算符号，并且规定a∗b=a+bb2．例如：3∗5=3+552=825，求[2∗(−2)]∗(−3)的值．6.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(1111)2转换成十进制形式是（）A.8B.15C.30D.317.小亮在电脑上设计了一个有理数运算的程序：输入a，※键，再输入b，得到运算a※b=a2−b2−2b×(a−b)，则(−2)※3等于．参考答案1.【答案】:21【解析】:(−3)∗2=(−3)2−2×(−3)×2=9+12=21.2.【答案】:8【解析】:本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于n=449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5=1352(偶数)，需再进行F②运算，即1352÷23=169(奇数)，再进行F①运算，得到3×169+5=512(偶数)，再进行F②运算，即512÷29=1(奇数)，再进行F①运算，得到3×1+5=8(偶数)，再进行F②运算，即8÷23=1，再进行F①运算，得到3×1+5=8(偶数)，…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次运算的结果为1，而第449次是奇数次，故这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8.3(1)【答案】解：(−3)#6=(−3)2+(−3)×6−5=9−18−5=−14.(2)【答案】[2#(−3)]−[(−5)#9]2=[22+2×(−3)−5]−[(−5)2+(−5)×9−5]2=(4−3−5)−(25−45−5)=−4+25=21.4(1)【答案】4a+b(2)【答案】≠【解析】:因为a⊙b=4a+b，b⊙a=4b+a，所以(a⊙b)−(b⊙a)=(4a+b)−(4b+a)=4a+b−4b−a=3(a−b)．因为a≠b，所以3(a−b)≠0，所以(a⊙b)≠(b⊙a)．故答案为≠．(3)【答案】因为a⊙(−2b)=4，a⊙(−2b)=4a+(−2b)=4a−2b，所以4=4a−2b，所以2a−b=2.故答案为2.(a−b)⊙(2a+b)=4(a−b)+(2a+b)=6a−3b=3(2a−b)=3×2=6.5.【答案】:解：原式=2+(−2)∗(−3)(−2)2=0∗(−3)=0+(−3)(−3)2．=−136.【答案】:B【解析】:1×23+1×22+1×21+1×20=8+4+2+1=15.7.【答案】:25【解析】:(−2)※3=(−2)2−32−2×3×(−2−3)=4−9+30=25.。

第10讲难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)目录【类型一有理数中新定义型的有关运算】......................................................................................................1【类型二一列数中的规律探究问题】..............................................................................................................5【类型三计算中的规律探究问题】..................................................................................................................8【类型四数轴上的规律探究问题】. (12)【类型一有理数中新定义型的有关运算】1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a ，b 为自然数，定义22a b a b ab ∆=+-，则()()3445∆+-∆的值（）A ．34B ．58C ．74D ．98【答案】C【分析】由22a b a b ab ∆=+-，可知()()()()2222343445453445∆+-=+-⨯+∆+---⨯，计算求解即可．【详解】解：∵22a b a b ab ∆=+-，∴()()()()222243343445474545=+-⨯+-∆+--⨯+=∆-，【类型二一列数中的规律探究问题】【类型三计算中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则202221-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到202221-的个位数字．【详解】解：由1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……可知计算结果中的个位数字以1375、、、为一个循环组依次循环，∵202245052÷=⋯，∴202221-的个位数字是3，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．【变式训练】1．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，…．通过观察，用你发现的规律确定20232的个位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．【详解】解：继续计算：5678232, 264, 2128, 2256====，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而202345053=⨯+，所以20232的个位数字是8；故选：C ．【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A ．3B ．9C ．7D ．1【答案】A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，37=2187，末位数字为7，38=6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，【类型四数轴上的规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k 0处，第一步从k 0向左跳一个单位到k 1，第二步从k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2处向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位k 4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k 0表示的数是（）A ．0B ．100C ．50D ．﹣50【答案】D【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可知：10210320(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)k k k k k k k k =+-=++=+-++=+-=+-+++-……0(1)(2)(3)...(1)n nk k n=+-+++-++-当n =100时，1000000(1)(2)(3) (100)(12)(34)...(9910015050k k k k k =+-+++-+++=+-++-+++-+=+⨯=+=）∴050k =-故选D ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．【变式训练】【答案】1516-【答案】1027。

定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。

2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。

3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。

4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。

5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。

6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。

7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。

附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。

定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。

【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。

运用新定义计算。

【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。

【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。

【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。

【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。

初一数学—‘新定义’题型专题训练-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初一数学—‘新定义’题型专题训练1．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．例如f （x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7．（1）已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，分别求出g（﹣1）和g（﹣2）值．（2）已知h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣14，h（）＝a，求a的值．2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3解得x＝1，符合题意．当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意．所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3．仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．3．试验与探究：我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.为例进行讨论：设0.＝x，由0.＝0.7777…，可知，10x﹣x＝7.77…﹣0.777…＝7，即10x﹣x＝7，解方程得，于是得0.＝．请仿照上述例题完成下列各题：（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝．（2）你能化无限循环小数0.为分数吗？请仿照上述例子求解之．4．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，＝（﹣1）×6﹣3×5＝﹣21．按照这个规定，解答下列问题：（1）计算的值；（2）计算：当5x2+y＝7时，的值；（3）若＝0.5，求x的值．5．如图所示，将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字形框框出5个数．探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p（p＞1）的倍数，这个正整数p是．探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15，27，39…，则这一组数可以用整式表示为12m+3 （m为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为；（用含m的式子表示）运用规律（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗？若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列？6．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数为．（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5？并直接写出在这一运动过程中点M的运动方向和运动速度．7．某县“贡江新区”位于贡江南岸，由长征出发地体验区、文教体育综合区、贡江新城三大板块组成，与贡江北岸老城区相呼应，构建成“一江两岸”的城市新格局．为建设市民河堤漫步休闲通道，贡江新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下：甲：12x+8（20﹣x）＝180；乙：+＝20．根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义．甲：x表示，20﹣x表示；乙：x表示，180﹣x表示．（2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B 两工程队分别整治河堤的长度．写出完整的解答过程．8．我们知道：|a|表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a|＝|a﹣0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a﹣1|小明的想法是否正确呢让我们一起来探究吧!步骤一：实验与操作：（1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格a 3 ﹣5 5 ﹣10 ﹣5.5 …b7 0 ﹣1 2 ﹣1.5 …A、B两点之间的距离4 5 …步骤二：观察与猜想：（2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为（用a、b的代数式表示）步骤三：理解与应用：（3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．①求两个动点运动的速度；②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；③若A、B两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）由题意得：g（﹣1）＝﹣2（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝2；g（﹣2）＝﹣2（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣1．（2）由题意得：a+﹣﹣14＝a，解得：a＝﹣16．2．【解答】解：当x＜1时，方程可化为：3﹣2x＝7解得x＝﹣2，符合题意．当x≥1时，方程可化为：x+3x﹣3＝7，解得x＝，符合题意．所以，原方程的解为：x＝﹣2或x＝．3．【解答】解：（1）设0.＝x，由0.＝0.5555…，可知，10x﹣x＝5.55…﹣0.555…＝5，即10x﹣x＝5，解方程得，于是得：0.＝；（2）设0.＝x，由0.＝0.73737373…，可知，100x﹣x＝73.73…﹣0.7373＝73，即100x﹣x＝73，解方程得，于是得0.＝．4．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣40+42＝2；（2）根据题中的新定义得：原式＝﹣3x2﹣3y﹣2x2+2y+2＝﹣5x2﹣y+2，把5x2+y＝7代入得：原式＝﹣7+2＝﹣5；（3）已知等式整理得：﹣3x﹣6﹣6x+2＝0.5，移项合并得：﹣9x＝4.5，解得：x＝﹣0.5．5．【解答】解：探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数中其它四个数分别为x﹣12、x﹣2、x+2、x+12，∴框中五个奇数的和为x﹣12+x﹣2+x+x+2+x+12＝5x，∴这个正整数p是5．故答案为：5x；5．探究规律二：∵落在十字框中间且位于第二列的数为12m+3，∴落在十字框中间且位于第三列的数为12m+3+12＝12m+15．故答案为：12m+15．（1）假设能，根据题意得：5x＝625，解得：x＝125，∴假设成立，其它四个数为：x﹣12＝113，x﹣2＝123，x+2＝127，x+12＝137．∴这五个数分别为113、123、125、127、137．（2）∵125＝2×63﹣1，∴125为该数表的第63个数．又∵63＝6×10+3，∴（1）中的十字框中间的奇数落在第11行第3列．6．【解答】解：（1）根据题意可知，运动开始前，A、B两点的距离AB＝|﹣40﹣20|＝60；线段AB的中点M所表示的数为：；（2）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，则点A运动x秒后所在位置的点表示的数为﹣40+3x；点B运动x秒后所在位置的点表示的数为20﹣2x；根据题意，得：﹣40+3x＝20﹣2x解得x＝12，∴它们按上述方式运动，A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是：﹣40+3x＝﹣40+3×12＝﹣4；答：A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是﹣4．（3）根据题意，得：，解得t＝10，∵t＝0时，中点M表示的数为﹣10；t＝10时，中点M表示的数为﹣5；∴中点M的运动方向向右，运动速度为．答：经过10秒，线段AB的中点M表示的数是﹣5．M点的运动方向向右，运动速度为每秒个单位长度．故答案为：（1）60，﹣10．7．【解答】解：（1）由题意得，第一个方程为12x+8（20﹣x）＝180，x表示A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；第二个方程为+＝20，x表示A工程队整治河堤的米数，180﹣x表示B 工程队整治河堤的米数；故答案为：A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；A工程队整治河堤的米数，B工程队整治河堤的米数；（2）设A工程队用的时间为x天，根据题意，得12x+8（20﹣x）＝180，解得：x＝5，12x＝12×5＝60，8（20﹣x）＝8×（20﹣5）＝120，答：A工程队整治河堤60数，B工程队整治河堤120米．8．【解答】解：（1）5﹣（﹣1）＝6；2﹣（﹣10）＝12；﹣1.5﹣（﹣5.5）＝4；依次为6，12，4；（2）A、B两点之间的距离可以表示为|a﹣b|（也可以表示为|b﹣a|）；故答案为：|a﹣b|；（3）①设动点A、B的速度是3x，2x，可得：9x+6x＝15，解得：x＝1，答：动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒；②因为动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒，所以点A为﹣9．点B为6，如图：③设经过t秒后，A，B两动点之间相距4个单位长度．显然，动点A、B同时向左运动或者同时仍按原方向运动都不符合题意．所以：（I）当动点A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是﹣9+3t、6+2t，根据题意得：|（﹣9+3t）﹣（6+2t）|＝4，即t＝19或t＝11（II）当动点A向右运动，动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是﹣9+3t、6﹣2t，根据题意得：|（﹣9+3t）﹣（6﹣2t）|＝4，即答：经过11秒或19秒或秒或秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．。

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题01 定义新运算知识精讲定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

典例分析【典例分析01】假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26【典例分析02】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6).3△(4△6).＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65【典例分析03】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。

那么7*4=？，210*2=？7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420【典例分析04】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1⑥ －1⑦ =1⑦ ×A ，那么A 是几？ A =（ 1⑥ －1⑦ ）÷1⑦=（1⑥ －1⑦）×⑦ =⑦⑥－1 =6×7×85×6×7－1 =35【典例分析05】设a ⊙b=4a-2b+12ab,求x ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。

2
当 a b c 0 时， a b c 1 (a b c a b c) b c ，此时最大值为 b c 11 ；
2 3
11 6 ，
所有计算的结果中的最大值是 11，
故答案为：11．
【总结】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例 8】
对于有理数 a ， b ，定义一种新运算“ ”，规定 a b | a | | b | | a b | ． （1）计算 2 3 的值； （2）当 a ， b 在数轴上位置如图所示时，化简 a b
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可．
故答案为：8．
【总结】本题考查的是整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键．
5
【例 7】
观察下列两个等式： 2 1 2 1 1 ， 5 2 5 2 1 ，给出定义如下
33
33
我们称使等式 a b ab 1 成立的一对有理数“ a ， b ”为共生有理数对”，记为 (a,b)
当 PN 2MN 时， NP 18 ，点 P 对应的数为 2 18 16 ，因此 t 9 秒； 第四种情况， M 为【 P ， N 】的美好点，点 P 在 M 左侧，如图 4，
当 MP 2MN 时， NP 27 ，点 P 对应的数为 2 27 25 ，因此 t 13.5 秒；
2
作为 a ， b ， c 的值，进行“ a b c “运算，求在所有计算的结果中的最大值是__________．
【分析】由 a-b-c≥0 和 a-b-c＜0 分别求解可得

定义新运算一、单选题(共8道，每道6分)1.对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x=( )A.-9B.-3C.0D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算2.现定义一种新运算：★，对于任意整数a，b，有a★b=a+b-1，则4★[(6★8)★(3★5)]的值为( )A.21B.22C.23D.26答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算3.对于有理数x，y定义新运算：x*y=ax+by+1，其中a，b为常数．已知3*5=15，4*7=28，则5*9的值为( )A.45B.-37C.25D.41答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算4.我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为( )A.0B.1C.-1D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算5.对于任意的自然数X和Y，定义新运算&：X&Y＝，其中m是一个确定的自然数．若1&2＝1，则2&8＝( )A.1B.2C.3D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算6.在实数的原有运算法则中，我们补充定义“新运算”如下：当时，，当时，则．当时，的最大值为( )A.-1B.0C.1D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算7.对于任意不相等的两个非负实数a和b，定义一种新的运算a*b＝，则下列关于这种运算的几个结论：①3*2＝；②a*b+b*a＝0；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④不存在这样的实数a和b，使得a*b＝0.其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算8.定义新运算△为：a△b=ab+2a+2b+2，若x△2△2△2△2△2=5118，则x=( )A.1B.2C.3D.无法确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：定义新运算二、填空题(共7道，每道7分)9.定义一种新运算：，利用这种算法计算____．答案：8解题思路：根据题意可得试题难度：知识点：定义新运算10.定义新运算：A*B=(A-B)÷3，A□B=(A+B)×3，请计算：(39*12)□3=____．答案：36解题思路：试题难度：知识点：定义新运算11.定义一种新运算“△”，其运算规则是a△b＝．已知-1△x＝，则x的值是____．答案：2解题思路：试题难度：知识点：定义新运算12.规定一种新的运算：，则4*（3*2）的值为____．答案：3解题思路：试题难度：知识点：定义新运算13.定义运算“*”的运算法则是a*b=，则（2*6）*8的值为____．答案：6解题思路：试题难度：知识点：定义新运算14.在有理数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“※”如下：当m≧n时，；当m＜n时，m※n=m，则当x=-2时，(-3x※x)-(1※x)•x的值为____．答案：12解题思路：试题难度：一颗星知识点：定义新运算15.若一个正整数是3的倍数，将它的各个数字分别立方求和，称为第一次运算；得到一个新数，再将新数的各个数字分别立方求和，称为第二次运算；重复上述运算若干次，你会发现最后这个数将一成不变，称这个数为“魔”数．若现有一个3的倍数是9，则它的第三次运算结果是____，这个“魔”数是____．答案：513, 153解题思路：试题难度：知识点：定义新运算。

1．新定义运算“*〞，规定a *b ＝a (a －b )，那么3*4的结果是( )A ．12B ．4C ．3D ．－32．定义一种新运算“⊗〞，规定a ⊗b ＝a ＋b 2，那么－2⊗6的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－12 D ．－43．定义新运算：对任意有理数a ，b ，都有a ⊕b ＝1a ＋1b ，例如，2⊕3＝12＋13＝56，那么3⊕(－4)的值是( )A ．－712B ．－112 C.112 D.7124．现定义一种新运算“*〞，规定a *b ＝ab ＋a －b ，如1*3＝1×3＋1－3＝1，那么(－2*5)*6等于( )A ．120B ．125C ．－120D ．－1255．2021·和县期中定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )，那么(－3)⊗5＝________．6．2021·合肥模拟定义运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b 〔a ≤b 〕，a ＋b 〔a >b 〕，那么(－3)⊗(－2)＝________． 7．C 32＝3×21×2＝3，C 53＝5×4×31×2×3＝10，C 64＝6×5×4×31×2×3×4＝15，…，观察以上计算过程，寻找规律计算C 85＝________．8．[2021·亳州九中月考] 对于有理数a ，b 定义运算“*〞如下：a*b ＝ab a ＋b，那么3*(－4*5)＝________．9．2021·利辛期中规定一种运算“△〞：a △b ＝a 2－b 2，求(－5)△(－2)的值．10．将新运算“*〞定义为a*b ＝b ＋a ，求(4*8)*(3*7)的值．11．假设定义一种新的运算为a*b ＝ab 1－ab ，计算(3*2)*16. 12．假如对于任何有理数a ，b 定义运算“△〞如下：a △b ＝1a ÷(－b 2)，如2△3＝12÷(－32)＝－13.求(－2△7)△4的值．1．D2．B 3．C .4．D 5．12 6．－17．568.6017. 9．解：(－5)△(－2)＝(－5)2－(－2)2＝25－4＝21.10．解：因为4*8＝8＋4＝12，3*7＝7＋3＝10， 所以(4*8)*(3*7)＝12*10＝10＋12＝22.11．解：因为a *b ＝ab 1－ab， 所以(3*2)*16＝3×21－3×2*16＝(－65)*16＝－65×161－〔－65〕×16＝－16. 12．解：由题意，得－2△7＝1－2÷(－72)＝12×27＝17. 17△4＝117÷(－42)＝7÷(－2)＝－72. 故(－2△7)△4＝－72.。

【知识梳理】定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例 1若表示，求的值例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。

6△（3△4）例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b= a+b-1，，那么例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a ☆b=a×b。

那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。

1．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x，y满足x 0+y=100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x0=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y=1时，x+y=100，所以y2+1=2为一元一次方程3x−2x−99=0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②|y|=2，以上哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于y的方程|2y−2|+3=5是关于x的一元一次方程2213x ax a−−=+的“友好方程”，请求出a的值．（3）如关于y的方程(1)2|49|45m ym y m n−−+=+是关于x的一元一次方程4554mx n m+=的“友好方程”，请直接写出m nn+的值．2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：53116⨯+⎯⎯⎯→28÷⎯⎯→24÷⎯⎯→22÷⎯⎯→21÷⎯⎯→．如果自然数m 经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为 ．3．（2021.1月期末理工附25）我们把a cb d称为二阶行列式，且a cad bcb d=−．如：121(4)3210 34=⨯−−⨯=−−．（1）计算：2135=−；4235=−；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列)的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即ka kc a c ka c a kc a ckb d kb kd kb d b kd b d====，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若1k≠，且113232x x x xk k++=，求x的值．4．阅读材料：我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”． 即：如果a −b =a ÷b ，那么a 与b 就叫做“差商等数对”，记为（a ，b ）．例如：4−2=4÷2；993322−=÷； 11()(1)()(1)22−−−=−÷−； 则称数对（4，2），（92，3），（12−，1−）是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题：（1）下列数对中，“差商等数对”是 （填序号）；①（8.1−，9−），②（12，12）③（-3，-6） （2）如果（x ，4）是“差商等数对”，请求出x 的值；（3）如果（m ，n ）是“差商等数对”，那么m =______________(用含n 的代数式表示)．5．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a=9+1+3=13；步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b=6+0+2=8；步骤3：计算3a与b的和c，即c=3⨯13+8=47；步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=50；步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X=50−47=3．请解答下列问题：（1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤3”中的c的值为，校验码Y的值为．（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？从而求出m的值吗？写出你的思考过程．（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．6．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：1+8=32，1+8+16=52，1+8+16+24=72，1+8+16+24+32=k2，⋯，（1）第4个等式中正整数k的值是；（2）第5个等式是：；（3）第n个等式是：．（其中n是正整数）7．我们规定：若关于x 的一元一次方程a +x =b (a ≠0)的解为x b a =，则称该方程为“商解方程”．例如：24x +=的解为2x =且422=，则方程24x +=是“商解方程”．请回答下列问题： （1）判断3 4.5x +=是不是“商解方程”； （2）若关于x 的一元一次方程是42(3)x m +=− “商解方程”，求m 的值．8．我们规定：若有理数a ，b 满足a +b =ab ，则称a ，b 互为“等和积数”，其中a 叫做b 的“等和积数”， b 也叫a 的“等和积数”．例如：因为1(1)122+−=−，11(1)22⨯−=−，所以11(1)(1)22+−=⨯−，则12与1−互为“等和积数”． 请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是 ；（2）有理数1 （填“有”或“没有” ) “等和积数”；（3）若m 的“等和积数”是25，n 的“等和积数”是37，求34m n +的值．9. 将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1 2 3 4 =（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？10．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0)的除法运算叫做除方．例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)，记作(−3)④，读作“−3的圈4次方”；一般地，把(0n aa a a a a ÷÷÷⋯÷≠个，n 为大于等于2的整数）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：7=③ ；1()4−=⑤ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，11=；.89C =⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方21111222222()2222→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)−=⑥ ；1()2=⑨ ； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为 ；（3）将?11()()(m a a⋅为大于等于2的整数）写成幂的形式为 ．11．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]=3，[5]=5，[−2.1]=−3．那么，x=[x]+a，其中0a<1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，−2.1=[−2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]=，[−6.5]=；（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是；（3）如果[5x−2]=3x+1，那么x的值是；（4）如果x=[x]+a，其中0a<1，且4a=[x]+1，求x的值．11。

专题训练(二) 常见新定义运算的三种类型►类型之一 定义两个数的运算1．定义新运算：a ⊕b ＝a×b －a ，例如：3⊕2＝3×2－3＝3，则(－3)⊕4的结果是( ) A ．－9B ．12C ．－15D ．42．现定义一种新运算，对任意有理数x ，y 都有x ⊕y ＝x 2－y ，例如3⊕2＝32－2＝7，则44⊕(－83)＝__________．3．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a ，b ，都有a ☆b ＝a×b ＋a 2－5b ，则(－3)☆[2☆(－1)]＝________．4．对于有理数a ，b ，定义新运算“※”：a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a×b （a≥b ），a －b （a ＜b ）.例如：因为4＞2，所以4※2＝42－4×2＝8.则(－3)※(－2)＝________．5．2018·泰兴月考现定义新运算“⊕”，对任意有理数a ，b ，规定a ⊕b ＝a×b ＋a －b. 例如：1⊕2＝1×2＋1－2＝1. (1)求3⊕(－4)的值； (2)求3⊕[(－2)⊕1]的值．►类型之二 定义多个数的运算6．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac bd ＝ad －bc.依此法则计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－34的结果为( )A ．11B ．－11C ．5D ．－27．若把“！”当作一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1，3！＝3×2×1，4！＝4×3×2×1，…，则100！98！的值为________．8．2017·天津和平区期中在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：a ⊕b ⊕c ＝12(|a －b －c|＋a ＋b ＋c)．如：1⊕(－2)⊕3＝12×[|1－(－2)－3|＋1＋(－2)＋3]＝1.解答下列问题：(1)计算23⊕(－3)⊕(－12)的值；(2)在－45，－35，－25，0，17，27，37，47，57，67这10个数中，任意取三个数作为a ，b ，c的值，进行“a ⊕b ⊕c”运算，求所有计算的结果中的最大值．►类型之三 定义一个数的运算9．对于正数x ，规定f(x)＝11＋x .例如：f(4)＝11＋4＝15，f ⎝⎛⎭⎫14＝11＋14＝45.则f(2019)＋f(2018)＋…＋f(2)＋f(1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12018＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝________． 10．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为n 2k (其中k 是使n2k 为奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如：取n ＝26，则计算过程如图2－ZT －1所示．若n ＝72，则第100次“F 运算”的结果是________．图2－ZT －1教师详解详析1．[解析] A根据题中的新定义，得(－3)⊕4＝－12＋3＝－9.2．[答案] 2019[解析] 根据题中的新定义，得44⊕(－83)＝442－(－83)＝1936＋83＝2019. 3．[答案] －47[解析] (－3)☆[2☆(－1)]＝(－3)☆[2×(－1)＋22－5×(－1)]＝(－3)☆[－2＋4＋5]＝(－3)☆7＝(－3)×7＋(－3)2－5×7＝－21＋9－35＝－47.4．[答案] －1[解析] 因为－3＜－2，所以，(－3)※(－2)＝－3－(－2)＝－1.5．解：(1)因为a⊕b＝a×b＋a－b，所以3⊕(－4)＝3×(－4)＋3－(－4)＝(－12)＋3＋4＝－5.(2)因为a⊕b＝a×b＋a－b，所以3⊕[(－2)⊕1]＝3⊕[(－2)×1＋(－2)－1] ＝3⊕[(－2)＋(－2)－1] ＝3⊕(－5)＝3×(－5)＋3－(－5) ＝(－15)＋3＋5 ＝－7.6．[解析] A ⎪⎪⎪2－3⎪⎪⎪14＝2×4－(－3)×1＝8＋3＝11.故选A. 7．[答案] 9900[解析] 因为100！＝100×99×98×97×…×3×2×1＝100×99×98！，所以100！98！＝100×99×98！98！＝100×99＝9900.8．解：(1)根据题中的新定义，得原式＝12×[|23－(－3)－(－12)|＋23＋(－3)＋(－12)]＝23.(2)当a －b －c≥0时，a ⊕b ⊕c ＝12(a －b －c ＋a ＋b ＋c)＝a ，此时最大值是a ＝67；当a －b －c ＜0时，a ⊕b ⊕c ＝12(－a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c)＝b ＋c ，此时最大值为b ＋c ＝117.因为117＞67，所以计算结果的最大值为117.9．[答案] 2018.5[解析] 原式＝[f(2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019]＋[f(2018)＋f ⎝⎛⎭⎫12018]＋…＋[f(2)＋f ⎝⎛⎭⎫12]＋ f(1)＝1＋1＋…＋1,\s\do4(2018个))＋12＝2018.5.10．[答案] 8[解析] 当n ＝72时，第一次运算的结果是9，第二次运算的结果是32，第三次运算的结果是1，第四次运算的结果是8，以后运算的结果以1，8为循环节进行循环．所以第100次“F运算”的结果是8.。

谜语四则：（猜四种植物）1.前面有一片草地 2.前面又有一片草地 3.那片草地来了一群羊 4.突然又来了一群狼 猜一植物1今天你做主——定义新运算【典型例题】例1 规定b a b a 4354*-=，则10*8的值为多少？例2 已知y x ,为任意有理数,我们规定:.1,1-=⊗-+=⊕xy y x y x y x试计算()()[]53864⊗⊕⊕⊗例3 规定nbma abb a +=2*，且12*1=，33*2=，那么2*（－1）的值为多少？例4 规定22*ba b a +=，已知2*3=x ，那么x 的值为多少？今日分享：谁若游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，便永远是一个奴隶。

——歌德谜语四则：（猜四种植物）1.前面有一片草地 2.前面又有一片草地 3.那片草地来了一群羊 4.突然又来了一群狼 猜一植物2例 5 若规定ba a ab b a ⨯⨯+⨯+⨯-=∆ )2()1(1（b a ,为自然数，且b a <），则(45)(36)∆+∆的值为多少？例6 如果定义新运算“*”使得30552*521=+=，844443*4321=++=，那么2*7的值为多少？例7 规定b a ab b a ++=*，那么（3*2）×（1*100）的值为多少？例8对正整数b a ,定义一种新运算▽,a ▽b 等于由a 开始的连续b 个正整数之和, 如2▽3=2+3+4=9,5▽4=5+6+7+8=26. (1)试计算1▽.15=x 求x ; (2)若x ▽3=12,求x .谜语四则：（猜四种植物）1.前面有一片草地 2.前面又有一片草地 3.那片草地来了一群羊 4.突然又来了一群狼 猜一植物3【经典练习】一．填空1．规定b a a b b a 22*+=，则10*（2*4）= 2．规定b a abb a +=∆，则=∆∆∆)33()33( 3．规定ab ba b a -=*，则5*（4*3）=4．规定ba ba b a -+=*，则（9*10）*（41*22）=5．规定b a b a b a 23*22++-=，若20*=x x ，那么=x6．规定42*b a b a -=，如果41)2*(*)1*(=x x ，那么=x 7．规定（a ·b ）*（c ·d ）=)2,2(db c a +-，如果（x ·y ）*（3·2）=（1·2）， 那么=+y x8．对任意三个不等的数c b a ,,，规定bc ac c b a -+=∆∆，那么=-∆-∆)3()2(1 9．对整数b a ,和c ，规定a c b c b a c b a -+=**，那么2*3*4= 10．规定abbma b a +=*，且6*8=8*6，那么[]=-)10*1(*)2(*5 11．规定)1)(1(11*+-+=b a ab b a ，如果121*2-=，那么2001*2002=12．规定)2)(1(1*++=b a b a ，那么1*2＋3*4＋5*6＋…+2001*2002=13.对有理数b a ,定义运算*：,20082+=*ab b a 则.__________613121=*⎪⎭⎫ ⎝⎛*14.如表所示，a 表示行的序号，b 表示列的序号，规定运算*：b a *，如123=*，,144=*则()()._________3222=***二、选择题123442413331422432114321*谜语四则：（猜四种植物）1.前面有一片草地 2.前面又有一片草地 3.那片草地来了一群羊 4.突然又来了一群狼 猜一植物41.如果.bc ad dc b a +=那么2143-的值是（ ） A. 10 B. 9C. -10D. -92.定义：a ∨b 表示b a ,两个数中取较大的一个，a ∧b 表示两个数中取较小的一个，则（1999∨2000）∧（2001∨2002）=（ ）3.If for any three distinct number b a ,and c we define by =bc ac -+ Then =( ) A. -2 B. 52- C. 52D. 24.设运算*定义为：b a ab b a -+=*.下面的哪些命题是错误的，或许它们都是正确的？ A. 2a b a =*.B. ),()(a b b a -*-=*C. b a a b a *=**2)(D. b c a c b a **=**)()(E 所有四个命题都正确三．解答题1. 若！是一种运算符号，并且1！=1，2！=221=⨯，3！=3⨯2⨯1=6，4！=4⨯3⨯2⨯1，……. 则 !98!100的值多少.2.设A y x ,,都是有理数,定义yx Axyy x 54+=*,并且,121=*试求32*的值.定义新运算作业a, b, ca, b, c 1, -2, -3谜语四则：（猜四种植物）1.前面有一片草地 2.前面又有一片草地 3.那片草地来了一群羊 4.突然又来了一群狼 猜一植物51．已知4*22y a x y x -=，若1253*4=，则a 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92．对于实数y x ,，定义新运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,是常数，若1*2=3，2*3=4，且有一个非零常数d ，使得对于任意的x ，恒有x d x =*，则d 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．规定)1)(1(*b a b a -+=，若)*(*)1()1(*)*(x x x x x x +=+成立，则=x 4．规定1*-+=b a b a ，1*-=ab b a ，那么[]=)5*3(*)8*16(*4 5．若规定))((*b a b a b a -+=，若26*)2(=+x x ，那么=x 6．对于任意有理数a,b,c,d,我们规定dc b a =ad-bc,如果1352-=（ ）9．“三角形” 表示运算：a-b+c ，“方框” 表示运算：x-y+z-w ，则自我评价定级a b c x w yz 19 96 47×556 199= ___________.。

1.七年级数学：有理数计算，新定义运算，基础常考题
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这题，七年级有理数计算，新定义运算。

大家先在草稿本上认真地做一遍，然后再看后面的视频。

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新定义运算题，在七年级数学上册，有理数这一单元，是非常常见的，也是初中数学代数的基础引入，乘法公式的基础引入。

在六年级的时候，基本上都有接触过。

新定义运算，就是题意里给定一个运算公式，然后按照数字的位置，一个个的去套，就行了。

在于阅读理解能力，在于逻辑思维能力。

这就是代数的基础，公式推导的基础。

请看视频。

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