2017-2018年上海市七宝中学高一下开学考数学试卷及答案

上海中学2017-2018学年高一期中数学卷一. 填空题最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1. 已知角的终边在射线上，则________【答案】【解析】在射线上任取一点，∴，∴，，∴，故答案为.2. 若，则________【答案】【解析】若，则，故答案为.3. 函数的最小正周期为________【答案】【解析】函数的最小正周期为，故答案为.4. 在△中，若，则△为________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）【答案】直角【解析】中，∵，即，∴，∴，故为直角三角形，故答案为直角.5. 若，，则________【答案】【解析】∵，，∴，，∴联立，解得：，，∴，故答案为.点睛：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题；由已知利用两角和与差的余弦函数公式可联立解得，，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.6. 已知，则________（用反正弦表示）【答案】【解析】由于表示上正弦值等于的一个锐角，由，则，故答案为.点睛：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容；本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案.7. 函数，的值域为_______【答案】【解析】令，则，∵，∴，∴当时，取得最小值，当或时，取得最大值，故答案为.点睛：与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；③型，可化为求最值；④形如可设换元后利用配方法求最值. 8. 将函数的图像向左平移个单位后，所得图像关于原点对称，则实数的最小值为________【答案】【解析】把函数象向左平移个单位，可得的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得，，即，则的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题；三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．9. 若函数的图像关于对称，则________【答案】【解析】，其中，，，∵函数图象关于对称，∴，即，．∵，∴，∴，∴，解得，故答案为.10. 若函数和定义域均是，则它们的图像上存在________个点关于轴对称【答案】2【解析】在同一坐标系中画出函数和的图象，其中，如图所示；则的图象上存在2个点关于轴对称，分别是和与；的图象上存在2个点关于轴对称，分别是和与，故答案为2.11. 已知是正整数，且，则满足方程的有________个【答案】11【解析】由三角函数的单调性及值域，可知，∴除外只有当等式的左右两边均为时等式成立，则、、、、、、、、、、时等式成立，满足条件的正整数有11个，故答案为11.12. 已知函数，其中、、、均为实数，且，，，写出满足，，，的一个函数________（写出一个即可）【答案】.........二. 选择题13. 已知，则点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∵，∴，，，∴，∴点在第二象限，故选 B.点睛：本题主要考查了由三角函数值的符号判断角的终边位置，属于基础题；三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.14. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】满足既是偶函数又在上单调递增，故选C．15. 将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点，若点。

2016学年第一学期七宝中学 高一新生入学摸底考试数学试卷一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题3分）1. 已知0a b >>，则下列不等式不一定成立的是（ ）A. 2ab b >B. a c b c +>+C.11a b<D. ac bc >2. 若不等式组2113x x a-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则a 的取值范围是（ ）A. 2a >B. 2a ≥C. 2a <D. 2a ≤3. 若123111(,),(,),(,)242M y N y P y --三点都在函数(0)ky k x=<的图像上，则123,,y y y 的大小关系为（ ）A. 213y y y >>B. 231y y y >>C. 312y y y >>D. 321y y y >>4. 已知22y x =的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ） A ． 22(2)2y x =-+B ． 22(2)2y x =+-C ． 22(2)2y x =--D ． 22(2)2y x =++5．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）A.14B.16C.15D.3206. 将水匀速注入一个容器，时间（t ）与容器水位（h ）的关系如图所示，则容器的形状是（ ）A. B.C.D.二、填空题（每题3分）7.2(3)0n -=，则2009(3)m n +-=_________．8. 已知::4:5:7a b c =，240a b c ++=，则2b a c -+=_________． 9． 将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与（﹣2，0）重合，则点1(,0)2-与点_________重10．对于整数,,,a b c d ，符号a b dc表示运算ac bd -，已知1134bd <<，则b d +的值为 _________．11．定义“*”：*()(1)(1)X YA B A B A B =++++．已知1*23,2*34==，则3*4的值为_________． 12．分式方程133x m x x +=--有增根，则m =_________． 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数：_________．14．已知2223,15a b b c a b c -=-=++=，则ab bc ca ++的值等于_________． 15．若2610x x -+=，则2211x x+-=_________．16．如图，//,60,45,30AB CD BAP APC PCD ααα∠=︒-∠=︒+∠=︒-，则α=_________．17．关于x 的一元二次方程210mx x -+=有实根，则m 的取值范围是_________．18．如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程长度是_________．19．二次函数223y x x =--与x 轴两交点之间的距离为_________．20 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-的值为_________．21．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,3C A AC ∠=︒∠=︒=，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与,AB AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长22．已知,,x y z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么222x y z ++的最小值是_________三、解答题（共34分）23 .（5分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．24.（14分)如图，线段5AB =，点E 在线段AB 上，且3AE =，B 与以AE 为半径的A 相交于点C ，CE 的延长线交B 于点F ，(1) 当直线AC 是B 的切线时，求证：BF AB ⊥； (2) 求EFCE的值； (3) 设,EF y BF x ==，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域24．(15分)如图所示，在平面直 角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1,AB OB ==，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c=++过点,,A E D ． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线2y ax bx c =++的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P 、Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形OBPQ 的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上？若存在，请求出点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一.选择题（仅一个正确答案，每题3分，共18分） 1．D 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C二.填空题（每题3分，共48分）7．﹣1 8．195 9. 1(0,)2 10. 3± 11. 10635- 12. 3 13. 21n n -+ 14. 225-15. 33 16. 15° 17. 14m ≤且0m ≠ 18. 4 19. 4 20. 0 21. 1 22. 14三.解答题（共34分）23. 这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．24. （1）证明略；（2）53；（3）8)y x =<<25. （1）点E 是否在y 轴上；（2）2829y x x =-+；（3）当点1P 的坐标为(0,2)时，点Q 的坐标分别为12(Q Q ；当点2P 的坐标为(2)-时，点Q 的坐标分别为34(Q Q。

2018-2019学年上海市七宝中学高一下学期开学考试数学试题一、单选题 1．“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】先考查充分性，再考虑必要性得解. 【详解】当tan a θ=时，21cos22sin sin sin 22sin cos cos a θθθθθθθ-===，但是当=0θ时，1cos2sin 2θθ-分母为零，没有意义. 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的非充分条件；当1cos2sin 2a θθ-=时，2(),2k k k Z x πθπ≠∈∴≠. 所以21cos22sin sin =tan sin 22sin cos cos a θθθθθθθθ-===， 所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要条件.所以“tan a θ=”是“1cos2sin 2a θθ-=”的必要非充分条件.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知f （x ）=2x 4x 3,x 02x 2x 3,x 0-+≤⎧⎪--+>⎨⎪⎩，不等式f （x+a ）＞f （2a-x ）在[a ，a+1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2∞--B.(),0∞-C.()0,2D.()2,0-【答案】A【解析】试题分析：二次函数243y x x =-+的对称轴为2x =，则该函数在(,0)-∞上单调递减，则2433x x -+≥，同样函数223y x x =--+在(0,)+∞上单调递减，2-233x x ∴-+<()f x ∴在R 上单调递减；由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a <；则2x a <在[,1]a a +上恒成立；则2(1),2a a a +<∴<-，实数a 的取值范围是(,2)-∞-，故选A ；【考点】1.分段函数的单调性；2.恒成立问题；3．有下列命题：（1）终边相同的角的同名三角比的值相等；（2）终边不同的角的同名三角比的值不同；（3）若sin 0α>，则α是第一或第二象限角；（4）△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >；其中正确命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】（1），根据终边相同的角的同名三角函数值相等，判断命题正确；（2），根据终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，判断命题错误；（3），当sin 0α>时，α是第一或第二象限角，或为终边在y 轴的正半轴上，判断命题错误；（4），根据大角对大边，利用正弦定理即可判断结论正确． 【详解】对于（1），终边相同的角的同名三角函数值相等，所以比值相等，（1）正确； 对于（2），终边不同的角的同名三角函数值也可能相等，如5sin sin66ππ=， 所以比值也可能相同，（2）错误；对于（3），若sin 0α>，则α是第一或第二象限角，或终边在y 轴的正半轴上，（3）错误；对于（4），ABC ∆中，若A B >，则a b >， 由正弦定理得2sin sin a bR A B==， 2sin 2sin R A R B ∴>，sin sin A B ∴>，（4）正确； 综上，其中正确命题的序号为（1）和（4），共2个．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，涉及三角函数的定义，角的取值和三角函数的符号，是基础题．4．设()f x 是定义域为R 的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(6,6)-内解的个数的最小值为（ ） A.15 B.13C.11D.9【答案】A【解析】根据题意，由奇函数的性质可得(0)0f =，结合函数的周期性可得f （3）0=，(3)0f -=，结合f （2）0=分析可得f （2）f =（5）(1)0f =-=，进而可得(2)(5)f f f -=-=（1）0=和f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=；结合奇偶性与周期性可得33()()022f f -==，进而可得99()()022f f -==，综合可得答案．【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 又由()f x 是周期为3的周期函数，则f （3）0=，(3)0f -=， 又由f （2）0=，则f （2）f =（5）(1)0f =-=， 又由函数为奇函数，则(2)(5)f f f -=-=（1）0=， 则有f （1）f =（4）0=，(4)(1)0f f -=-=，又由函数()f x 是以3为周期的奇函数，故有33()()22f f -=-且33()()22f f -=，则有33()()022f f -==，则有99()()022f f -==，综合可得：方程()0f x =在区间(6,6)-内解至少有：5-，4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，92-，32-，32，92，共15个；故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析33()()022f f -==，属于基础题．二、填空题5．已知函数()f x 是幂函数，且2(4)(16)f f =，则()f x 的解析式为________ 【答案】12x【解析】设()f x x α=，根据条件建立方程求出α的值即可．【详解】设()f x x α=，2f （4）(16)f =， 2416αα∴⨯=，即1624αα=，则42α=，12α=， 即12()f x x =， 故答案为：12()f x x = 【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．6．已知cos()6πα-=，则5cos()6πα+=_________ 【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=， 所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

上海市闵行区七宝中学2017届高三下学期开学数学试题1、不等式11>x的解集是_______ 2、已知直线023:1=+-y x l ，0533:2=-+y x l ，则直线1l 与2l 的夹角是______3、函数1cos 22sin 3)(x x x f -=的最大值是_____ 4、i 为虚数单位，θθ2sin 2cos 1i z -=对应的点在第二象限，则θ是第_____象限的角 5、已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是______6、从二项式11)1(x +的展开式中取一项，系数为奇数的概率是______7、命题“对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，m x <tan 恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是_______ 8、函数)1,0)(34(log )(2≠>+-=a a x x x f a 在),[+∞∈m x 上存在反函数，则m 的取值范围是_______9、若平面向量b a ,满足12)2(,2||=⋅+=b b a a ，则||b 的取值范围为________10、已知数列}{n a ，11=a ，n n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=++311，*∈N n ，则)(lim 12321-∞→++++n n a a a a =______ 11、已知函数)0()(>+=a x a x x f ，若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,31p n m 、、，长为)()()(p f n f m f 、、的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是______12、已知数列}{n a 满足：对任意的*∈N n 均有221-+=+k ka a n n ，其中k 为不等于0与1的常数，若}888,88,8,2,32,272{---∈i a ，5432、、、=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为_______ 13、已知实数n m 、，则“0>mn ”是“方程122=+ny mx 代表的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件14、将半径为R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（ ）A 、3243R πB 、383R πC 、3245R πD 、385R π 15、已知数列}{n a 通项公式为)1(1+=n n a n ，其前m 项和为109，则双曲线1122=-+m y m x 的渐近线方程是（ ）A 、x y 109±=B 、x y 910±=C 、x y 10103±=D 、x y 310±= 16、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ）A 、若03>a ，则02016>aB 、若04>a ，则02017>aC 、若03>a ，则02017>SD 、若04>a ，则02016>S17、如图，用一平面去截球O ，所得截面面积为π16，球心O 到截面的距离为3，1O 为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径（1）计算球O 的表面积和体积（2）若C 是截面小圆上一点，︒=∠30ABC ，N M 、分别是线段1AO 和1OO 的中点，求异面直线AC 与MN 所成的角（结果用反三角表示）18、ABC ∆中，角C B A 、、所对边分别为c b a 、、，135cos =A ，3102cot 2tan =+B B ，21=c （1）求C sin 的值（2）求ABC ∆的面积19、已知函数R a a x x x f ∈++-=,34)(2（1）若函数)(x f y =在[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围（2）设函数R b b bx x g ∈-+=,25)(，当3=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使得)()(21x f x g =，求b 的取值范围20、已知抛物线px y 2:2=Γ上一点),3(m M 到焦点的距离为4，动直线)0(≠=k kx y 交抛物线Γ于坐标原点O 和点A ，交抛物线Γ的准线于点B ，若动点P 满足→--→--=BA OP ，动点P 的轨迹C 的方程为0),(=y x F（1）求出抛物线Γ的标准方程（2）求动点P 的轨迹方程0),(=y x F （不用指明范围）（3）以下给出曲线C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④0>y 时，写出由0),(=y x F 确定的函数)(x f y =的单调区间，不需证明21、已知无穷数列}{n a ，满足*++∈-=N n a a a n n n |,|12（1）若2,121==a a ，求数列前10项和（2）若Z x x a a ∈==,,121，且数列}{n a 前2017项中有100项是0，求x 的可能值（3）求证：在数列}{n a 中，存在*∈N k ，使得10<≤k a。

上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计） 【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间 是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可） 【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060， 设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3． 【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。

上海七宝实验中学2018年高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的定义域为( )A. B.C. D.参考答案：C略2. 函数的定义域为 ( )A. B.C. D.参考答案：D略3. 在△ABC中，sinA=2cosBsinC，那么△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形参考答案：C略4. 化简结果为（）A. B. C. D.参考答案：【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.5. 定义集合运算A◇B=，设，，则集合A◇B的子集个数为（）A.32B.31C.30D.14参考答案：A略6. 已知,则函数与的图象可能是（）A B C D 参考答案：7. 设函数，则的表达式是（）A． B． C． D．参考答案：B略8. 过点（5，2）且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．2x+y﹣12=0 B．2x+y﹣12=0或2x﹣5y=0C．x﹣2y﹣1=0 D．x﹣2y﹣1=0或2x﹣5y=0参考答案：B【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题．【分析】当直线过原点时，由斜截式求出直线的方程，当当直线不过原点时，设直线的方程为，把点（5，2）代入解得k 值，即可得到直线的方程，由此得出结论．【解答】解：当直线过原点时，再由直线过点（5，2），可得直线的斜率为，故直线的方程为y=x，即2x﹣5y=0．当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为，把点（5，2）代入可得，解得k=6．故直线的方程为，即2x+y﹣12=0．故选B．【点评】本题主要考查用截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9. sin（）的值等于( )A．B．C．D．参考答案：D考点：运用诱导公式化简求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：sin（）=sin（）=sin（）=﹣sin=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．10. 现有数列{a n}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：，则（）A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）?g（x）= ．参考答案：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）?g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）?g（x）=?=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．12. 函数的定义域是_________参考答案：3略13. 已知函数在区间上为减函数，则a的取值范围为．参考答案：[1，2]【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：设t=g（t）=x2﹣2ax+3，则函数y=log2t为增函数，若函数f（x）=log2（x2﹣2ax+3）在区间上内单调递减，则等价为g（t）=x2﹣2ax+3在区间上内单调递减且g（1）≥0，即，解得1≤a≤2，故a的取值范围是[1，2]．故答案为[1，2]．【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．14. 已知集合与集合，若是从到的映射则的值为_________________．参考答案：4略15. 函数的最小值是_________________。

上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的最小正周期为( )A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， ∴最小正周期T =2π2=π．故选：C ．由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x +π3)，利用三角函数的周期公式即可求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．2. 二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件是( )A. 系数行列式D ≠0B. 比例式a 1a 2≠b1b 2 C. 向量(a 2a 1),(b 2b1)不平行 D. 直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解当两直线异面，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1无解，故直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行是二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件．故选：D ．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A ，B ，C 为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( )A. 110B. 120C. 140D. 1120【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A 1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A 33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A 66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙(包括两端的位置)中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A 72种方法．根据分步计数原理(乘法原理)，共有A 33⋅A 66⋅A 72种方法． ∴一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P =A 33⋅A 66⋅A 72A 1010=120．故选：B ．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A 1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果． 本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．4. 对于函数f(x)，若存在区间A =[m,n]，使得{y|y =f(x),x ∈A}=A ，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①f(x)=sin(π2x)；②f(x)=2x 2−1； ③f(x)=|1−2x |； ④f(x)=log 2(2x −2)．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ②③④【答案】B【解析】解：①函数f(x)=sin(π2x)的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A =[0,1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A =[−1,0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[−1,1]时，f(x)∈[−1,1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[−1,1]一个．③A=[0,1]为函数f(x)=|2x−1|的“可等域区间”，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，函数单调递增，f(0)=1−1=0，f(1)=2−1=1满足条件，∴m，n取值唯一.故满足条件．④∵f(x)=log2(2x−2)单调递增，且函数的定义域为(1,+∞)，若存在“可等域区间”，则满足{log2(2n−2)=nlog2(2m−2)=m，即{2n−2=2n2m−2=2m，∴m，n是方程2x−2x+2=0的两个根，设f(x)=2x−2x+2，f′(x)=2x ln2−2，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，∴f(x)=2x−2x+2=0不可能存在两个解，故f(x)=log2(2x−2)不存在“可等域区间”．故选：B．根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：∵z(1+i)=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．6.已知集合A={x||x−1|<2,x∈R}，B={x|2x≥1,x∈R}，则A∩B=______．【答案】[0,3)【解析】解：A={x||x−1|<2,x∈R}={x|−1<x<3}，B={x|2x≥1,x∈R}={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)故答案为：[0,3)求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．7.已知f(x)=x+12x，其反函数为f−1(x)，则f−1(0)=______．【答案】−1【解析】解：f(x)=x+12x，∴f−1(x)=12x−1，∴f−1(0)=−1故答案为：−1先求出反函数，再代值计算即可．本题考查了反函数的求法及函数值的计算，属于简单题．8. 已知a ，b >0，2a =3b =m ，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =______ 【答案】√6【解析】解：∵a ，b >0，2a =3b =m ≠1， ∴a =lgmlg2，b =lgm lg3．∵a 、ab 、b 成等差数列，∴2ab =a +b ，∴2×lgm lg2×lgm lg3=lgm lg2+lgmlg3.∴lgm =12(lg2+lg3)=12lg6=lg √6． 则m =√6．故答案为：√6．a ，b >0，2a =3b =m ≠1，利用对数换底公式化为a =lgmlg2，b =lgm lg3.根据a 、ab 、b 成等差数列，可得2ab =a +b ，代入利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数换底公式、等差数列、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若二项式(x +ax )6展开式的常项数为20，则a =______． 【答案】1【解析】解：二项式(x +ax )6展开式的通项公式：T r+1=∁6r x 6−r(ax)r =a r ∁6r x 6−2r ， 令6−2r =0，解得r =3．∴常项数为20=a 3∁63，则a =1． 故答案为：1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 实数x ，y 满足不等式组{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3，那么目标函数z =2x +4y 的最小值是______．【答案】−6【解析】解：约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3对应的平面区域如下图示：当直线z =2x +4y 过(3,−3)时，Z 取得最小值−6． 故答案为：−6．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.长方体ABCD−A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2√2，则A、B两点之间的球面距离为______．【答案】2π3【解析】解：由AB=BC=2，AA1=2√2，得AC1=BD1=4，∴△ABO为正三角形，∠AOB=π3，∴A，B两点间的球面距离为2×π3=2π3，故答案为：2π3．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB所对球心角，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．12.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则|PF1−PF2|PF1的取值范围是______．【答案】[0,2]【解析】解：|PF1−PF2|PF1=|PF1−(8−PF1)|PF1=|PF1−(8−PF1)PF1|=|2−8PF1|，因为2≤PF1≤6且函数y=2−8x在x∈[2,6]上单调递增，所以−2≤2−8PF1≤23，故|2−8PF1|∈[0,2]．故答案为：[0,2]．利用椭圆的定义，化简|PF 1−PF 2|PF 1，再利用函数的单调性，即可求出|PF 1−PF 2|PF 1的取值范围．本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，若a 1=0，a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)，则满足a i +a 2i ≥100的i 的最小值为 ______． 【答案】128【解析】解：∵a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)， ∴a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100， 故k ≥7；故i 的最小值为27=128， 故答案为：128．由题意可得a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100，从而解得． 本题考查了数列，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可．14. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【答案】18+12√3【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2√3，以外接圆圆心O 为原点建立平面直角坐标系，设A(2√3,0)，B(−√3,3)． 设M(2√3cosθ,2√3sinθ)， 则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3cosθ−2√3,2√3sinθ)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−18cosθ+6√3sinθ+18=12√3sin(θ−π3)+18．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是18+12√3． 故答案为18+12√3．求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成θ的三角函数，求出最.大值 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．15. 已知函数f(x)={x 2−3tx +18,x ≤3(t −13)√x −3,x >3，记a n =f(n)(n ∈N ∗)，若{a n }是递减数列，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(53,4)【解析】解：要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t >53；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t <13． 又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)=27−9t >f(4)=(t −13)⋅√4−3，解得t <4．故t 的取值范围是(53,4)． 故答案为：(53,4)．要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t ，解得t ；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t ；又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)>f(4)，解得t.联立解得即可．本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．16. 设整数n ≥3，集合P ={1,2，…，n}，A ，B 是P 的两个非空子集.则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为：______． 【答案】(n −2)⋅2n−1+1【解析】解：设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3， 则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，故A 的个数为：C k−10+C k−11+⋯+C k−1k−1=2k−1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n−k 1+C n−k 2+⋯+C n−k n−k =2n−k −1，从而集合对(A,B)的个数为2k−1⋅(2n−k −1)=2n−1−2k−1，∴a n =∑k =1n −1(2n−1−2k−1)=(n −1)⋅2n−1−1−2n−11−2=(n −2)⋅2n−1+1．故答案为：(n −2)⋅2n−1+1．设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，B 中必不含元素1，2，…，k ；元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中.由此能求出a n ．本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．(1)求异面直线AE 与BC 1所成角的大小； (2)求三棱锥B 1−ADE 的体积．【答案】解：(1)取BC 的中点，连接EF 、AF ， 因为EF//BC 1，所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE 与BC 1所成角， 又AE =√AC 2+CE 2=3，EF =√2，AF =√5， 所以cos∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22×AE×EF=√22， 又0<∠AEF <π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为π4， 故答案为π4(2)取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH//AD ，则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=13×12×1×2×2=23，故答案为：23．【解析】(1)由异面直线所成角的求法得：∠AEF(或其补角)为所求，又AE=√AC2+CE2=3，EF=√2，AF=√5，即cos∠AEF=AE2+EF2−AF22×AE×EF =√22，即异面直线AE与BC1所成角的大小为π4，(2)利用等体积法求三棱锥的体积得：则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=1 3×12×1×2×2=23，得解．本题考查了异面直线所成角的求法及利用等体积法求三棱锥的体积，属中档题．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,−1)，n⃗=(√3cosx,−12)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2．(Ⅰ)求f(x)的最大值，并求取最大值时x的取值集合；(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)=1，求1tanA +1tanC的值．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ −2=(sinx+√3cosx,−32)⋅(sinx,−1)−2=sin2x+√3sinxcosx−12=1−cos2x2+√32sin2x−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．故f(x)max=1，此时2x−π6=2kπ+π2,k∈Z，得x=kπ+π3,k∈Z．所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}.(Ⅱ)由f(B)=sin(2B−π6)=1，又∵0<B<π2，∴−π6<2B−π6<56π．∴2B−π6=π2，∴B=π3．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)sin2B =1sinB=√32=2√33．【解析】(Ⅰ)把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到f(x)=sin(2x−π6)，直接由2x−π6=2kπ+π2,k∈Z即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；(Ⅱ)由B为锐角，利用f(B)=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”.是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．19. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，其中所有奇数项之和为S n ′，所有偶数项之和为S n ″.(1)若{a n }是等差数列，项数n 为偶数，首项a 1=1，公差d =32，且S n ″−S n ′=15，求S n ；(2)若数列{a n }的首项a 1=1，满足2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)，其中实常数t ∈(35,3)，且S n ′−S n ″=52，请写出满足上述条件常数t 的两个不同的值和它们所对应的数列．【答案】解：(1)若数列{a n }项数n 为偶数，由已知，得，解得n =20，Sn =1×20+20×192×32=305．(2)在2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)中，令n =1，得a2=3(t−1)2t，∵2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)①可得2tS n −3(t −1)S n−1=2t(n ∈N ∗,n >1)② ①减去②得：a n+1a n=3(t−1)2t，且a 2a 1=3(t−1)2t，∵t ∈(35,3)， ∴0<|3(t−1)2t |<1，.(当t =1时，数列为1，0，0…，显然不合题意)所以，{a n }是首项a 1=1，公比q =3(t−1)2t的等比数列，且公比0<|q|<1，设项数n =3，，∴1−q +q2=52∴q2−q −32=0，解得q =1−√72或q =1+√72(舍)，由1−√72=3(t−1)2t解得，t =√7−2∈(35,3)，所以，当t =√7−2时，对应的数列为1，1−√72，(1−√72)2． 设数列{a n }为无穷数列， 由题意，得，S″=q1−q 2，，∴11+q =52， ∴q =−35，由3(t−1)2t=−35解得t =57∈(35,3)，∴当t =57时，对应的数列为：1，−35，(−35)2，…(−35)n−1….【解析】(1){a n }是等差数列，则S″−S′=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)…(a 2n −a 2n−1)=d +d +⋯d =d ×n2求出n ，再利用等差数列前n 项和公式计算． (2)根据S n 与a n 的固有关系a n ={sn −sn −1 n ≥2s1 n=1，得出a n+1a n=3(t−1)2t，借助于等比数列性质解决．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．20. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 为圆C ：x 2+y 2−4x +3=0的圆心．(1)求抛物线的方程与其准线方程；(2)直线l 与圆C 相切，交抛物线于A ，B 两点；①若线段AB 中点的纵坐标为4√3，求直线l 的方程；②求FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2−4x +3=0配方可得：(x −2)2+y 2=1，可得圆心C(2,0)．∴抛物线的焦点F(2,0)． ∴p2=2，解得p =4．∴抛物线的准线方程为：x =−2．(2)设直线l 的方程为：my +t =x ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). ∵直线l 与圆C 相切， ∴√1+m 2=1，化为：(t −2)2=m 2+1≥1．∴t ≥3，或t ≤1．联立{y 2=8x my+t=x，化为：y 2−8my −8t =0，△=64m 2+32t >0.∴t >−2m 2． ∴t ≥3，或−2m 2<t ≤1． ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8t ． ①∵线段AB 中点的纵坐标为4√3， ∴4m =4√3， ∴m =√3，∴(t −2)2=m 2+1=4， 解得t =0或t =4，故直线l 的方程为x −√3y =0或x −√3y −4=0②FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m(t −2)(y 1+y 2)+(t −2)2=−8t(m 2+1)+8m 2(t −2)+(t −2)2=−8t(t −2)2+8[(t −2)2−1](t −2)+(t −2)2=−15t 2+52t −44，=−15(t −2615)2+1615∈(−∞,−7]． ∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−∞,−7]．【解析】(1)由圆C：x2+y2−4x+3=0配方可得：(x−2)2+y2=1，可得圆心C(2,0).可得抛物线的焦点F(2,0).因此p2=2，解得p，即可得出．(2)设直线l的方程为：my+t=x，A(x1,y1)，B(x2,y2).由直线l与圆C相切，可得：(t−2)2=m2+1≥1.t≥3，或t≤1.联立，化为：y2−8my−8t=0，△>0.进而得到t≥3，或−2m2<t≤，根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=−8t，①根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，②利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域 D上是“k−利普希兹条件函数”．(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2−利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤1．【答案】解：(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<√x+√x<12，∴k的最小值为12．(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)=log212−log214=−1−(−2)=1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0,2]内f(a)=M，f(b)=m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．【解析】(1)根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；(2)令x1=12，x2=14即可举出反例，得出结论；(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f(a)=M，f(b)=m，根据|a−b|与1的大小关系和“1−利普希兹条件函数”的性质得出结论．本题考查了抽象函数的性质与应用，属于中档题．。