详解及答案-2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷

2019上海市闵行区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则?U A＝．2．（3分）＝．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝．4．（3分）方程＝0的解为．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是（用数字表示）7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b?β，且b∥αB．b?aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则?的取值范围（）A．[﹣2，2] B．[﹣] C．[﹣] D．[﹣] 三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．2019年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则?U A＝（0，3）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x≤0，或x≥3}；∴?U A＝（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】考查描述法的定义，以及补集的运算．2．（3分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由，，可得＝＝．【解答】解：＝．＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝2﹣i．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），∴（1﹣2i）（1+2i）z＝（1﹣2i）（4+3i），∴5z＝10﹣5i，可得z＝2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）方程＝0的解为log25 ．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用行列式展开法则列出方程，从而能求出结果．【解答】解：∵方程＝0，∴2x﹣2﹣3＝0，解得x＝log25．故答案为：log25．【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝256 ．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得q4的值，又由a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2），计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝1，则a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得：q4＝16，则a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2）＝256，故答案为：256．【点评】本题考查等比数列的性质，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是﹣80 （用数字表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（﹣2x）r，令r＝3，得x3的项的系数是C53（﹣2）3＝﹣80故答案为：﹣80【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d＝，求出他们之间的距离．【解答】解：两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，即两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：4x+2y+2＝0，它们之间的距离为d＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d＝应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是[2，4] ．【考点】34：函数的值域．【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案．【解答】解：数f（x）＝|x﹣1|（x+1）＝．作出函数的图象如图：由图可知，b＝3，a∈[﹣1，1]，则a+b∈[2，4]．故答案为：[2，4]．【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为12 ．【考点】LN：异面直线的判定．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线有：A1D1，DD1，CD，A1B1，BC，BB1，B1D1，B1C，D1C，BD，A1D，A1B，共12条．故答案为：12．【点评】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝0 ．【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由余弦定理和三角形面积公式得sin C﹣cos C＝1，结合平方关系得答案．【解答】解：∵4S＝（a+b）2﹣c2，∴4×ab sin C＝a2+b2﹣c2+2ab，由余弦定理得：2ab sin C＝2ab cos C+2ab，∴sin C﹣cos C＝1，又∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C cos C＝0，又∵在△ABC中，sin C≠0，∴cos C＝0．故答案为：0．【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系，考查计算能力．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】首先解决，结合两角差的余弦可以得到的模，即对应点的轨迹，进而得到对应点的轨迹，问题得解．【解答】解：∵，∴＝2+2cos（α﹣β）＝3，令，则||＝，∴D点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则||＝||＝1，∴C点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，∴最大值为，即||最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了向量的模与点的轨迹，三角公式等，难度不大．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是①②③④（写出所有正确结论的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由常数列，结合新定义可得a n＝0，可判断①；由等差数列的定义和单调性，可判断②；由等比数列的定义和单调性可判断③；假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，根据第二数学归纳法可判断④．【解答】解：①，若数列{a n}是常数列，由|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，可得max{a1，a2，…，a n﹣1}＝0，则a n＝0（n∈N*），故①正确；②，若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝|d|，若d＞0，即有数列递增，可得d＝a n，即数列为常数列，不成立；若d＜0，可得数列递减，可得﹣d＝a1成立，则d＜0，故②正确；③，若数列{a n}是公比为q的等比数列，若q＝1可得数列为非零常数列，不成立；由|a2﹣a1|＝a1，可得a2＝0（舍去）或a2＝2a1，即有q＝2＞1，a1＞0，则数列递增，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1，可得a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，可得a n＝2a n﹣1，则q＞1，故③正确；④，假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，则|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…a i}＝a i，因此a i+1是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1…，a i+k﹣1}，故a i+k是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a1，a i+1，…，a i+k﹣1}，因此，a i+k也是a i的倍数，由第二数学归纳法可知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数，又存在正整数T，对任意正整数n，都有a T+n＝a n，故存在正整数m≥i，a m＝a1，故a i是a1的倍数，但a i＞a1，故a1不是a i的倍数，矛盾，故a i是数列{a n}的最大值．故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查数列新定义问题，考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查举例法和数学归纳法的运用，属于综合题．二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】首先找出＞﹣1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：＞﹣1?a＜﹣1或a＞0，∵a＜﹣1?a＜﹣1或a＞0，a＜﹣1或a＞0推不出a＜﹣1，∴“a＜﹣1”是“＞﹣1”的充分非必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b?β，且b∥αB．b?aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，能求出结果．【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，知：在A中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1?平面ABCD，且C1D1∥AB，∴b?β，且b∥α有可能成立，故A错误；在B中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b?a有可能成立，故B错误；在C中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b∥α，且b∥β有可能成立，故C错误；在D中，b与α，β都相交不可能成立，故D成立．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】问题转化为函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点．【解答】解：依题意得：函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点，即＝x2，x2＝＝≥a2，∴b2＞a2，∴b＞a，故选：B．【点评】本题考查了反函数．属基础题．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则?的取值范围（）A．[﹣2，2] B．[﹣] C．[﹣] D．[﹣] 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】首先去绝对值，得到曲线，并发现垂直关系，从而找到向量的射影，得解．【解答】解：去绝对值整理后知，曲线为菱形BCDE，易知CD⊥AN，BE⊥AN，故当点M在曲线上运动时，在上的射影必在FN上，且当M在CD上时得到最大值，在BE上时得到最小值，最大值为＝＝2，最小值为﹣2，故选：A．【点评】此题考查了曲线方程，数量积，射影等，难度适中．三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）该三棱柱的表面积S＝2S△ABC+3，由此能求出结果．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，则DE∥AB，从而∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小．【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∴该三棱柱的表面积：S＝2S△ABC+3＝2×+3×2×2＝12+2．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，∵D为棱BC的中点，∴DE∥AB，DE＝＝1，∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），DC1＝EC1＝＝，cos∠C1DE＝＝＝，∴∠C1DE＝arccos，∴异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos．【点评】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设出直线l：y＝2x+b，并代入抛物线，根据韦达定理以及x1x2+y1y2＝0解得b，然后求得M（4，0）．【解答】解：（1）由抛物线的定义得：1﹣（﹣＝3，解得：p＝4，所以抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）p＝2时，抛物线C：y2＝4x，设直线l：y＝2x+b，并代入抛物线C：y2＝4x得：4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，解得设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1﹣b，x1x2＝，∵?＝x1x2+y1y2＝x1x2+（2x1+b）（2x2+b）＝5x1x2+2b（x1+x2）+b2＝+2b（1﹣b）+b2＝0，解得b＝0或b＝﹣8当b＝0时，M（0，0）不在x轴正半轴上，舍去；当b＝﹣8时，M（4，0）故点M的坐标为（4，0）【点评】本题考查了直线与抛物线的综合．属中档题．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）对照图象可求出a，ω，φ以及ABC的解析式；（2）先根据对称性求出DEF段的解析式，再令函数值等于24，解出x＝60，可得．【解答】解：（1）a＝12﹣4＝8，＝24﹣12＝12，∴T＝48，ω＝＝，由×24+φ＝可得φ＝，∴f（x）＝8sin（x+）+20＝8cos x+20，x∈[0，24]．（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；52：函数零点的判定定理．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由新定义直接化简即可得到F（x）的解析式，判断单调性可得f（x）的性质；（2）命题为假命题，可举指数函数；（3）由新定义结合单调性和导数，解不等式可得k的范围，运用正弦函数的图象和性质，讨论k的范围，即可得到所求零点个数．【解答】解：（1）f（x）＝x2+2，F（x）＝（x+1）2+2﹣x2﹣2＝2x+1，F（x）在R上递增，可知f（x）具有性质A；（2）命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：f（x）＝0.5x，F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣0.5x+1在R上递增，f（x）具有性质A；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，可得F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝k（x+1）2+（x+1）3﹣kx2﹣x3＝3x2+（3+2k）x+1+k在x≥0递增，可得﹣≤0，解得k≥﹣；由t＝sin x（0≤t≤1），可得g（x）＝0，即f（t）＝t，可得kt2+t3＝t，t＝0时显然成立；0＜t≤1时，k＝，由在（0，1]递减，且值域为[，+∞），k＝0时，t＝0或1，sin x有三解，3个零点；当k＝时，t＝1，即sin x＝1，可得x＝，1个零点；当k＞时，f（t）＝t，t有一解，x两解，即两个零点；当﹣≤k＜，且k≠0时，f（t）＝t无解，即x无解，无零点．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用新定义，考查函数的单调性，以及分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据基本不等式的性质以及“拟等比数列”的定义进行求解证明即可（2）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，推导首项和公差d的范围，结合{c n}是“拟等比数列，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）①∵a＞0，b＞0，且a＞b，a1＝，b1＝＜1，∴b1∈（0，1）．②由题意得a1＝＞＝b1，∴当n∈N*且n≥2时，a n﹣b n＝＞0，∴对任意n∈N*，都有a n+1﹣b n+1＝＜﹣＝（a n﹣b n），即存在p＝，使得有a n+1﹣b n+1＜p（a n﹣b n），∴数列数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）∵c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，∴，?，??，由c1＞0得d＜0，从而解得﹣2018＜＜﹣2017，又{c n}是“拟等比数列”，故存在p＞0，使得c n+1≤p c n成立，1°当n≤2018时，c n＞0，p≥＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≤2018时递减，故p≥＝1+∈（，），2°当n≥2019时，c n＜0，p≤＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≥2019时递减，故p≤1，由1°2°得p的取值范围是[1+，1]．【点评】本题考查递推数列的应用，利用“拟等比数列”的定义结合等差数列的前n项和公式进行递推是解决本题的关键．查了推理能力与计算能力，运算量较大，有一定的难度．。

上海闵行区2019高考一模--数学（文科）数 学 试 卷〔文科〕〔一模〕 考生注意：1、答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号、选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写、2、本试卷共有23道题，共4页、总分值150分，考试时间120分钟、3、考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留、一. 填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分、1、复数z 满足(1)4i z i +=(为虚数单位)，那么z =_________________.2、函数22log (1)y x =-的定义域为 .3、集合{,,,,},{,,,}A a b c d e B c d e f ==，全集U A B =，那么集合()U A B ð中元素的个数为__________________.4、抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，那么m 的值是 .5、函数()y g x =的图像与函数31x y =+的图像关于直线y x =对称，那么(10)g 的值为 .6、〔文〕假设二项式()21n x+二项式系数中最大的是 . (7、〔文〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设(3)n n S =-是等比数列的充要条件是 .8、某算法的程序框图如右图，假设输出的S 为 . 9、〔文〕某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是1118，那么p = .10、定义在(0 )2π，上的函数2(sin 1)y x =+与83y =的图像的交点为P ，过P 作1PP x ⊥轴于1P ，直线1PP 与tan y x =的图像交于点2P ，那么线段12PP 的长为 .31225332974251233973311294325272779111313511、〔文〕不等式1x a x ->-对任意[0,2]x ∈恒成立，那么实数a 的取值范围是 、12、〔文〕函数2cos ,11()21,||1xx f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，那么关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _、 幂进行如下方式的“分裂”14、〔文〕如下图，对大于或等于2的正整数m 的n 次(其中* m n N ∈、)：例如27的“分裂”中最小是13；假设3m 的“分裂”的数是，最大的数那么中最小的数是211，m = .二.选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分、不相交，那么甲是乙成立的[答]()〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 16、(文)假设向量,m n满足1m n ==，m 与n 的夹角为060，那么m m m n ⋅+⋅=[答]〔〕〔A 〕12〔B 〕32〔C 〕2〔D 〕1+17、(文)函数()|arctan |f x x =，假设存在12,[,]x x a b ∈，且12x x <，使12()()f x f x ≥成立，那么以下对实数a 、b 的描述正确的选项是[答]〔〕〔A 〕0a <〔B 〕0a ≥ 〔C 〕0b ≤ 〔D 〕0b ≥18、〔文〕数列{}n a 满足121a a ==，122cos ()3n n n n a a a n N π*++++=∈，假设数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2013S 的值为[答]()〔A 〕2013〔B 〕671〔C 〕671-〔D 〕6712-三. 解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤、19.〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，.第(1)小题总分值6分，第(2)小题总分值6分、函数2sin cos )()sin cos cos xx x f x x x x-=+；(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()2y f x π=-，[0 ]2x π∈，的值域.解：20.〔文〕〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，.第(1)小题总分值7分，第(2)小题总分值7分、椭圆E 的方程为22143x y +=，右焦点为F ，直线的倾斜角为4π，直线与圆223x y +=相切于点Q ，且Q 在y 轴的右侧，设直线交椭圆E 于两个不同点,A B .〔1〕求直线的方程；〔2〕求ABF ∆的面积. 解：21.〔文〕〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，.第(1)小题总分值7分，第(2)小题总分值7分、、科学研究说明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化。

2019学年第一学期高三数学摸底考试卷一、填空题1. {}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U C A B ⋂=____________2. 已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则z z ⋅=____________ 3. 关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解，则m =____________4. 直线1l 的一个方向向量()1,2d =，直线2l 的一个法向量()1,1n =，则直线1l 与直线2l 的夹角是____________5. 已知ABC 为钝角三角形，边长1,2a b ==，则边长c ∈____________6.设常数90a x ⎛>+ ⎝展开式中6x 的系数为()24lim n n a a a →∞+++=____________7. 已知()()111042xx f x x =-++>，则此函数的值域是____________ 8. 若函数()[]()sin 0,0,6f x x x πωωπ⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的最小值为____________ 9. 已知P A ,PB ,PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角都是60°，那么直线PC 与平面P AB 所成的角的余弦值为____________10. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为()40x y a a +=>，若C 上的点到l，则a =____________11. 已知,,a b c ∈R ，函数()2,1,x x a f x b a x c x⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域为R ，则实数c 的所有取值的集合是____________12. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若112,0F A AB F B F B =⋅=，则双曲线C 的渐近线方程为____________二、选择题13. 设点A ,B ,C 三点不共线，则“AB 与AC 的夹角是锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件14. 若1a b >>，01c <<，则（ ） A . c c a b <B . log log c c a b <C . b a c c <D . log log a b c c <15. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意122,,,,kk m a a a ≤中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有（ ） A . 18个B . 16个C . 14个D . 12个16. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -，例如，当()()312,sin x x x x ϕϕ==时，()()12,x A x B ϕϕ∈∈，则下命题为假命题的是（ ）A . 函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈的充要条件是“对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，满足()f a b =”B . 若函数()(),f x g x 的定义域相同，且()(),f x A g x B ∈∈，则()()f x g x B +∉C . 若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈ D . 函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值三、解答题17. 关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -.（1）求实数,a b 的值；（2）若12,cos sin z a bi z i αα=+=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值.18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD //BC ，P A =AD =CD =2，BC =3，E 为PD的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =. （1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）若平面AEF与直线PB交于点G在，求PGPB的值.19. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中AB//MN，且AB<MN，大棚Ⅱ内的地块形状为ABP，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为θ.（1）用θ表示多边形MAPBN的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当θ为何值时，能使种植蔬菜的收益最大.20. 已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的右焦点为（1,0），短轴长为4，设12,F F 的左右有两个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；（3）是否存在过点A (5,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C ,D ，使得22F C F D =? 若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点.21. 若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数,x y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数. （1）已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值； （2）在（1）的条件下，定义数列()()()211,2,3,n a f n f n n =+-=，求20172018122222log log log log 3333a aa a ++++的值； （3）若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数；设有理数12,x x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并加以证明.参考答案一、填空题1.{}1-2.53. 04.5.(()5,3 6.12 7.51,4⎛⎤⎥⎝⎦8.23 10. 1211.{}0 12.y =二、选择题13. C 14. B 15. C 16. D三、解答题17.（1）1,2a b =-=（2）12-18.（1）证明略 （2）2319.（1）12000cos ,14MAPBN S θθ⎡⎫=++⎪⎢⎣⎭（2）arctan23π- 20.（1）22154x y += （2）[]3,4（3）不存在，说明略21.（1）()()1701,28f f == （2）2035353（3）证明略；()()12f x f x <，证明略。

2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）设A＝{x||x|≤2018，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B ＝．2．（3分）已知定义域在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）的值域为[﹣2，0]，则函数y＝f（cos）的值域是．3．（3分）若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于．4．（3分）在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是．5．（3分）在等差数列{a n}中，S7＝8，则a4＝．6．（3分）已知f（x+1）＝2x﹣2，那么f﹣1（2）的值是．7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．8．（3分）若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x﹣y|最小值是．9．（3分）设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为．10．（3分）已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）＝||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为．11．（3分）已知函数f（a，x）＝sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为12．（3分）已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围为．二、选择题13．（3分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集B．对任意a，P1不是P2的子集C．存在a，使得P1不是P2的子集D．存在a，使得P2是P1的子集14．（3分）△ABC中，a2：b2＝tan A：tan B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形15．（3分）抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A．B．C．D．116．（3分）已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．（0，3]D．（0，4）三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．18．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y＝f（x）满足：①T＝{f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y＝f（x）为集合S到集合T 的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）＝，f（x）＝tan（πx﹣）是否是集合A＝{x|0＜x ＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）＝是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．19．如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2＝b2的切线，切点为P，求|AF1|﹣|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设＝，＝，求λ+μ的值．21．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m＝q m•S n﹣m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设A＝{x||x|≤2018，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝∅．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2018≤x≤2018}，B＝{2019}；∴A∩B＝∅．故答案为：∅．【点评】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．2．（3分）已知定义域在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）的值域为[﹣2，0]，则函数y＝f（cos）的值域是[﹣2，0]．【考点】34：函数的值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】可以看出﹣1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【解答】解：∵cos∈[﹣1，1]；∴；即y∈[﹣2，0]；∴该函数的值域为[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos＝t，﹣1≤t≤1，从而得出f（t）∈[﹣2，0]．3．（3分）若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），则实数a等于4．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5R：矩阵和变换．【分析】推导出|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），从而﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），由此能求出a的值．【解答】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（﹣1，2），∴|ax﹣2|＜6的解集为（﹣1，2），∴﹣6＜ax﹣2＜6，即﹣4＜ax＜8解集为（﹣1，2），解得a＝4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（3分）在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】解不等式sin3x＞cos3x，求出x∈（0，2π）不等式的解集即可．【解答】解：sin3x＞cos3x，∴sin3x﹣cos3x＞0，即（sin x﹣cos x）（sin2x+sin x cos x+cos2x）＞0，∴（sin x﹣cos x）（1+sin2x）；又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x﹣cos x＞0，即sin（x﹣）＞0，∴x﹣∈（2kπ，2kπ+π），解得x∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z；又（0，2π），∴使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．5．（3分）在等差数列{a n}中，S7＝8，则a4＝．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】33：函数思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由S7＝，得．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．6．（3分）已知f（x+1）＝2x﹣2，那么f﹣1（2）的值是3．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】令t＝x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）＝2x﹣1﹣2＝2，求出相应的x，即为f﹣1（2）的值．【解答】解：令t＝x+1则x＝t﹣1所以f（t）＝2t﹣1﹣2所以f（x）＝2x﹣1﹣2令f（x）＝2x﹣1﹣2＝2，解得x＝3∴f﹣1（2）＝3故答案为：3．【点评】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【解答】解：甲、乙相邻的方法有＝12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有＝4种情况，所以所求的概率为P＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．（3分）若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x﹣y|最小值是2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x﹣y|的最小值．【解答】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x＝，y＝2tanθ，所以|x﹣y|＝|﹣2tanθ|＝＝，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）距离的2倍，可得：∈[2，2+2]，故答案为：22．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（3分）设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【解答】解：如图，过P作PO⊥α，则PO＝，当∠PQO＝60°时，OQ＝1，当∠PQO＝30°时，OQ＝3．∴PQ所构成的区域体积为V＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10．（3分）已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）＝||的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】设λ＝，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【解答】解：设λ＝，则f（λ）＝||＝|﹣|＝||，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|＝，∴|BC|＝，则|OC|＝＝＝，则|CP|＝|OP|+|OC|＝1+＝，即m的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．11．（3分）已知函数f（a，x）＝sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图象与性质；59：不等式的解法及应用．【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【解答】解：函数f（a，x）＝sin x+cos x＝sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）＝1取得等号），由柯西不等式可得（+）2≤（1+1）（a+1﹣a）＝2，当且仅当a＝时，取得等号，即有+≤，即f（a，x）的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．12．（3分）已知定义在R+上的函数f（x）＝，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足，f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围为（81，144）．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】31：数形结合；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【解答】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）＝4﹣＝0，得x＝16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）＝f（b）＝f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）＝f（b），得1﹣log3a＝log3b﹣1，即log3a+log3b＝2，即log3（ab）＝2，则ab＝9，所以abc＝9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．二、选择题13．（3分）设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集B．对任意a，P1不是P2的子集C．存在a，使得P1不是P2的子集D．存在a，使得P2是P1的子集【考点】16：子集与真子集．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2＝x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1⊊P2，得解．【解答】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2＝x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1＝x2+ax+2﹣1＞﹣1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1⊊P2，故选：A．【点评】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．14．（3分）△ABC中，a2：b2＝tan A：tan B，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由已知a2：b2＝tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断【解答】解：∵a2：b2＝tan A：tan B，由正弦定理可得，＝＝∵sin A sin B≠0∴∴sin A cos A＝sin B cos B即sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A+2B＝π∴A＝B或A+B＝，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．15．（3分）抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线AB的方程为y＝kx+b，与抛物线方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得出．【解答】解：设直线AB的方程为y＝kx+b，联立，化为2x2﹣kx﹣b＝0，由题意可得△＝k2+8b＞0．∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．∵|AB|＝×＝3，AB中点M的纵坐标＝x＝+b＝＝．故选：A．【点评】熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为与抛物线方程联立得到△＞0，即根与系数的关系、中点坐标公式和基本不等式等是解题的关键．16．（3分）已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．（0，3]D．（0，4）【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n＝1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【解答】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n＝1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n﹣1，累乘可得b n≥b1•2n﹣1，可得1+a n≥（1+a1）•2n﹣1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n﹣1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n﹣1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点评】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．三、解答题17．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】31：数形结合；49：综合法；5G：空间角．【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【解答】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，AF＝，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE＝EC＝，又CD＝2，∴DE2+CE2＝DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18．设S，T是R的两个非空子集，如果函数y＝f（x）满足：①T＝{f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y＝f（x）为集合S到集合T 的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）＝，f（x）＝tan（πx﹣）是否是集合A＝{x|0＜x ＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）＝是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据集合A＝{x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）＝在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【解答】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）＝，当0＜x＜1时，﹣1＜﹣x＜0，函数y＝为增函数，同时y＝﹣为增函数，即f（x）＝为增函数，满足条件．若f（x）＝tan（πx﹣），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，﹣＜πx﹣＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A＝{x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）＝＝，当x＞0时，由f′（x）＞0得1﹣x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1﹣x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）＝．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19．如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5B：直线与圆．【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【解答】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC＝8，AB＝10，BC＝＝2，∴tan∠ABC＝＝，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE＝2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE＝＝12，∴tan∠CBE＝＝，∴tan∠ABE＝tan（∠ABC+∠CBE）＝＝＝1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD＝60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD＝60°﹣∠ABC，∴tan∠CBD＝tan（60°﹣∠ABC）＝＝．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD＝＝＝．解得r＝5﹣4．∴圆盘的最大半径为5﹣4．【点评】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2＝b2的切线，切点为P，求|AF1|﹣|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设＝，＝，求λ+μ的值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据题意4a＝8，再根据勾股定理求出c＝1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|＝2+x0，|P A|＝x0，即可求出|AF1|﹣|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ＝2+m（+），再题意直线l的方程为x＝y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【解答】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a＝8，即a＝2，∵tan∠AF1F2＝，设|AF2|＝3m，则|F1F2|＝2c＝4m，∴|AF1|＝5m，∵|AF1|+|AF2|＝2a＝4，∴3m+5m＝4，∴m＝，∴2c＝2，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的方程+＝1，（2）设A（x0，y0），则+＝1，（|x0|＜2）∴|AF1|2＝（x0+1）2+y02＝（x0+4）2，∴|AF1|＝2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|P A|2＝|OP|2﹣|OP|2＝x02+y02﹣3＝x02+3﹣x02﹣3＝x02，∴|P A|＝x0，∴|AF1|﹣|AP|＝2+x0﹣x0＝2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝k（y﹣m），令y＝0，可得x＝﹣km，则Q（﹣km，0），由＝，得（x1+km，y1）＝λ（x1，y1﹣m），则y1＝λ（y1﹣m），即λ＝＝1+，＝，可得（x2+km，y2）＝μ（x2，y2﹣m），即μ＝1+将x＝k（y﹣m），代入椭圆+＝1中（4+3k2）y2﹣6mk2y+3k2m2﹣12＝0，由韦达定理得y1+y2＝，y1y2＝，∴λ+μ＝2+m（+）＝2+m•＝2+m•＝2+＝＝．【点评】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m＝q m•S n﹣m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列{}是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知条件，可令m＝n﹣1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【解答】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m＝q m•S n﹣m总成立，所以n≥2时，令m＝n﹣1，得到S n﹣S n﹣1＝q n﹣1•S1，即a n＝a1q n﹣1＝q n﹣1，当n＝1时，也成立，所以a n＝q n﹣1，（2）证明：当q＝1时，S n＝n，＝＝1﹣随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n＝，＝，由﹣＝﹣＝＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c﹣S n）}为等差数列．当q＝1时，S n＝n，q≠1时，S n＝，{lg（c﹣S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c﹣+）＝lg＝nlgq﹣lg（1﹣q）为等差数列，即有c＝（0＜q＜1），【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。

上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）集合P={x |0≤x ＜3，x ∈Z }，M={x |x 2≤9}，则P ∩M= ． 2．（4分）计算= ．3．（4分）方程的根是 ．4．（4分）已知是纯虚数（i 是虚数单位），则= ．5．（4分）已知直线l 的一个法向量是，则l 的倾斜角的大小是 ．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）7．（5分）在（1+2x ）5的展开式中，x 2项系数为 （用数字作答） 8．（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB 1，则异面直线A 1B 与B 1C 1所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）9．（5分）已知数列{a n }、{b n }满足b n =lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且，则b 1+b 2+…+b 1009= ．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P 是以O 为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是 ．祝您高考马到成功！11．（5分）已知F 1、F 2分别是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若PF 2⊥F 1F 2，则该双曲线的渐近线方程是 ．12．（5分）如图，在折线ABCD 中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若折线上满足条件的点P 至少有4个，则实数k的取值范围是 ．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l 1、l 2、l 3，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 3B ．l 1∥l 3C ．l 1、l 3既不平行也不垂直D ．l 1、l 3相交且垂直 14．（5分）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ） A ．ad ＞bc B ．ad ＜bc C ．ac ＞bd D ．ac ＜bd15．（5分）无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n （n ∈N *），则“a 1+d ＞0”是“{S n }为递增数列”的（ ）条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要16．（5分）已知函数（n ＜m ）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：祝您高考马到成功！①当n=0时，m ∈（0，2]； ②当时，；③当时，m ∈[1，2]； ④当时，m ∈（n ，2]；其中结论正确的所有的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．②④三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f （x ）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．（14分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，，AB=4，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，∠AOC=60°． （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC 与底面所成的角的大小．19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．祝您高考马到成功！（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y 2=2px 的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）． （1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点P （2，0），求△OAB 的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点C （1，2），直线l 经过点Q （5，﹣2），D 为线段AB 的中点，求证：|AB |=2|CD |．21．（18分）对于函数y=f （x ）（x ∈D ），如果存在实数a 、b （a ≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f （x ）=f （ax +b ）对x ∈D 恒成立，则称函数f （x ）为“（a ，b ）映像函数”．（1）判断函数f （x ）=x 2﹣2是否是“（a ，b ）映像函数”，如果是，请求出相应的a 、b 的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x ∈[0，1）时，f （x ）=2x ，求函数y=f （x ）（x ∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n }，使得当x ∈[a n ，a n +1）（n ∈N *）时，2x +1∈[a n +1，a n +2），并求x ∈[a n ，a n +1）（n ∈N *）时，函数y=f （x ）的解析式，及y=f （x ）（x ∈[0，+∞））的值域．祝您高考马到成功！上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合P={x |0≤x ＜3，x ∈Z }，M={x |x 2≤9}，则P ∩M= {0，1，2} ．【解答】解：∵集合P={x |0≤x ＜3，x ∈Z }={0，1，2}， M={x |x 2≤9}={x |﹣3≤x ≤3}， ∴P ∩M={0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}．2．（4分）计算=．【解答】解：===，故答案为：．3．（4分）方程的根是 10 ． 【解答】解：∵，即1+lgx ﹣3+lgx=0，∴lgx=1， ∴x=10．故答案为：10．4．（4分）已知是纯虚数（i 是虚数单位），则=． 【解答】解：∵是纯虚数，祝您高考马到成功！∴，得sin 且cos ，∴α为第二象限角，则cos ．∴=sinαcos +cosαsin=．故答案为：﹣．5．（4分）已知直线l 的一个法向量是，则l 的倾斜角的大小是．【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0，π）． 设直线的方向向量为=（x ，y ），则=x ﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 96 （用数字作答）【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C 103=120种，其中只有男生的选法有C 43=4种，只有女生的选法有C 63=20种 则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种； 故答案为：96．7．（5分）在（1+2x ）5的展开式中，x 2项系数为 40 （用数字作答） 【解答】解：设求的项为T r +1=C 5r （2x ）r ， 今r=2，∴T 3=22C 52x 2=40x 2． ∴x 2的系数是40祝您高考马到成功！8．（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB 1，则异面直线A 1B 与B 1C 1所成角的大小是 arccos（结果用反三角函数表示）【解答】解：∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB 1， BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 是异面直线A 1B 与B 1C 1所成角， ∵A 1B===5，A 1C===，∴cos ∠A 1BC===． ∴∠A 1BC=arccos． ∴异面直线A 1B 与B 1C 1所成角的大小是arccos ．故答案为：arccos．9．（5分）已知数列{a n }、{b n }满足b n =lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且，则b 1+b 2+…+b 1009= 2018 ．【解答】解：数列{a n }、{b n }满足b n =lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列， ∴b n +1﹣b n =lna n +1﹣lna n =ln=常数t ．祝您高考马到成功！∴=常数e t =q ＞0，因此数列{a n }为等比数列． 且，∴a 1a 1009=a 2a 1008==…．则b 1+b 2+…+b 1009=ln （a 1a 2…a 1009）==lne 2018=2018．故答案为：2018．10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P 是以O 为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P （cosθ，sinθ），，，． ∵，∴，sinθ=．∴，∴λμ=﹣+=+，故答案为：祝您高考马到成功！11．（5分）已知F 1、F 2分别是双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若PF 2⊥F 1F 2，则该双曲线的渐近线方程是 y=±x ．【解答】解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ，在直角△PF 1F 2中，∠PF 1F 2=30°， 可得m=2n ，则m ﹣n=2a=n ，即a=n ， 2c=n ，即c=n ， b==n ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x ， 即为y=±x ，故答案为：y=±x ．12．（5分）如图，在折线ABCD 中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若折线上满足条件的点P 至少有4个，则实数k的取值范围是 （﹣，﹣2） ．【解答】解：以BC 的垂直平分线为y 轴，以BC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°， ∴B （﹣2.0），C （2，0），A （﹣4，2），D （4，2），∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴E （﹣3，），F （3，），祝您高考马到成功！设P （x ，y ），﹣4≤x ≤4，0≤y ≤2，∵，∴（﹣3﹣x ，﹣y ）（3﹣x ，﹣y ）=x 2+（y ﹣）+9=k ，即x 2+（y ﹣）﹣9=k +9，当k +9＞0时，点P 的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，当圆与直线DC 相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，当圆经过点C 时，此时圆的半径为r==，此时点P 有4个，∵满足条件的点P 至少有4个，结合图象可得，∴＜k +9＜7，解得﹣＜k ＜﹣2，故实数k 的取值范围为（﹣，﹣2）， 故答案为：（﹣，﹣2）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若空间中三条不同的直线l 1、l 2、l 3，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 3B ．l 1∥l 3C ．l 1、l 3既不平行也不垂直D ．l 1、l 3相交且垂直【解答】解：∵空间中三条不同的直线l 1、l 2、l 3，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3， ∴l 1⊥l 3， 故选：A ．祝您高考马到成功！14．（5分）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ） A ．ad ＞bc B ．ad ＜bc C ．ac ＞bd D ．ac ＜bd 【解答】解：∵c ＜d ＜0，∴﹣c ＞﹣d ＞0． 又a ＞b ＞0，则一定有﹣ac ＞﹣bd ，可得ac ＜bd ． 故选：D ．15．（5分）无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n （n ∈N *），则“a 1+d ＞0”是“{S n }为递增数列”的（ ）条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要D ．既非充分也非必要【解答】解：等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n =na 1+d ，则S n +1=（n +1）a 1+，则S n +1﹣S n =（n +1）a 1+﹣na 1﹣d=a 1+nd ，若{S n }为递增数列，a 1+nd ＞0， ∵S 2﹣S 1=a 1+d ＞0，∴a 1+nd ＞0不能推出a 1+d ＞0但a 1+d 能推出a 1+nd ，故a 1+d ＞0”是“{S n }为递增数列必要非充分， 故选：B16．（5分）已知函数（n ＜m ）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：①当n=0时，m ∈（0，2]； ②当时，；祝您高考马到成功！③当时，m ∈[1，2]； ④当时，m ∈（n ，2]；其中结论正确的所有的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④【解答】解：当x ＞1时，x ﹣1＞0，f （x ）=22﹣x +1﹣3=23﹣x ﹣3，单调递减，当﹣1＜x ＜1时，f （x ）=22+x ﹣1﹣3=21+x ﹣3，单调递增，∴f （x ）=22﹣|x ﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， ∴当x=1时，取最大值为1， ∴绘出f （x ）的图象，如图： ①当n=0时，f （x ）=，由函数图象可知：要使f （x ）的值域是[﹣1，1]， 则m ∈（1，2]；故①错误； ②当时，f （x ）=，f （x ）在[﹣1，]单调递增，f （x ）的最大值为1，最小值为﹣1，∴；故②正确；③当时，m ∈[1，2]；故③正确，④错误，故选C ．祝您高考马到成功！三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．（1）若函数f （x ）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．【解答】解：（1）函数=sin （ωx），∵函数f （x ）的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω= 那么：，由，k ∈Z ，得：∴函数f （x ）的单调递增区间为，k ∈Z ；（2）函数=sin （ωx），∵ω=2 ∴f （x ）=sin （2x ），祝您高考马到成功！，可得sin （2α）=∵0＜α＜π， ∴≤（2α）≤2α=或解得：α=或α=．18．（14分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，，AB=4，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，∠AOC=60°． （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC 与底面所成的角的大小．【解答】解：（1）∵AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，，AB=4，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，∠AOC=60°．∴r==2，l===4，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．（2）过点P 作PE ⊥圆O ，交AO 于E ，连结CE ，则E 是AO 中点， ∴PE=PO=，CE==，∴∠PCE 是直线PC 与底面所成角， ∵PE=CE ，PE ⊥CE ，∴， ∴直线PC 与底面所成的角为．祝您高考马到成功！19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 【解答】解：（1）设第x 天的捐步人数为x ，则f （x ）=．∴第5天的捐步人数为f （5）=10000•（1+15%）4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；（2）设活动第x 天后公司捐步总收益可以回收并有盈余， ①若1≤x ≤30，则×0.05＞300000，解得x ＞log 1.1591≈32.3（舍）． ②若x ＞30，则[+10000•1.1529•（x ﹣30）]•0.05＞300000，解得x ＞32.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y 2=2px 的焦点，直线l 与祝您高考马到成功！Γ相交于不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）． （1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点P （2，0），求△OAB 的面积的最小值（O 为坐标原点）； （3）已知点C （1，2），直线l 经过点Q （5，﹣2），D 为线段AB 的中点，求证：|AB |=2|CD |．【解答】（1）解：由椭圆，得a 2=10，b 2=9，则c=1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y 2=2px 的焦点为（1，0），则，p=2，∴Γ的方程为y 2=4x ；（2）解：设直线l ：x=my +2， 联立，得y 2﹣4my ﹣8=0．则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣8．∴==，即△OAB 的面积的最小值为；（3）证明：当AB 所在直线斜率存在时，设直线方程为y +2=k （x ﹣5），即y=kx﹣5k ﹣2．联立，可得ky 2﹣4y ﹣20k ﹣8=0．，． =．===．祝您高考马到成功！∵C （1，2）， ∴，，则=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+（y 1﹣2）（y 2﹣2）=x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1+y 1y 2﹣2（y 1+y 2）+4 =，当AB 所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5， 联立，可得A （5，﹣），B （5，2）， ，，有，∴CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，∴|AB |=2|CD |．21．（18分）对于函数y=f （x ）（x ∈D ），如果存在实数a 、b （a ≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f （x ）=f （ax +b ）对x ∈D 恒成立，则称函数f （x ）为“（a ，b ）映像函数”．（1）判断函数f （x ）=x 2﹣2是否是“（a ，b ）映像函数”，如果是，请求出相应的a 、b 的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x ∈[0，1）时，f （x ）=2x ，求函数y=f （x ）（x ∈[3，7））的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n }，使得当x ∈[a n ，a n +1）（n ∈N *）时，2x +1∈[a n +1，a n +2），并求x ∈[a n ，a n +1）（n ∈N *）时，函数y=f （x ）的解析式，及y=f （x ）（x ∈[0，+∞））的值域．祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由f （x ）=x 2﹣2，可得f （ax +b ）=（ax +b ）2﹣2=a 2x 2+2abx +b 2﹣2，由f （x ）=f （ax +b ），得x 2﹣2=a 2x 2+2abx +b 2﹣2， 则，∵a ≠0，且a=1，b=0不同时成立，∴a=﹣1，b=0．∴函数f （x ）=x 2﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；（2）∵函数y=f （x ）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，∴f （x ）=f （2x +1），则f （0）=f （1）=f （3），f （1）=f （3）=f （7），∴f （0）=f （3），f （1）=f （7），而当x ∈[0，1）时，f （x ）=2x ， ∴x ∈[3，7）时，设f （x ）=2sx +t ， 由，解得s=，t=﹣．∴x ∈[3，7）时，f （x ）=．令y=（3≤x ＜7），得，∴x=（1≤y ＜2），∴函数y=f （x ）（x ∈[3，7））的反函数为y=（1≤x ＜2）；（3）由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n +1=2a n +1，则a n +1+1=2（a n +1）， ∴数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则，即．当x ∈[a n ，a n +1）=[2n ﹣1﹣1，2n ﹣1）．令，解得s=21﹣n ，t=21﹣n ﹣1．∴x ∈[a n ，a n +1）（n ∈N *）时，函数y=f （x ）的解析式为f （x ）=．当x ∈[0，+∞）时，函数f （x ）的值域为[1，2）．祝您高考马到成功！！功成到马考高您祝。

上海市闵行区2019学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是A. ，且B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是A. B.C. D. a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型.9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果. 【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型. 15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型. 16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角，解三角形即可. 【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M 的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段描述如图，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。

闵行区2018学年第一学期高三年级质量调研考试1.已知全集U R ,集合A {xx 23x 0},则e u A =3.若复数z 满足（1 2i ）z 4 3i （i 是虚数单位），则 z5 .等比数列｛a n ｝中，a 〔 a 2 1, a 5 a6 16,贝U a 9 a 〔o一536 . 1 2x 的展开式中x 3项的系数为.（用数字作答）7 .已知两条直线1I ：4X 2y 3 0和62x y+1 0,则l 1与l 2的距离为 a, b 的值域为 0, 8 ,则a b 的取值范围是9 .如图，在过正方体 ABCD ABQ I D I 的任意两个顶点的所有直线中，与直线 AC I 异面的直线的条数为 .10 .在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c,面积为S,22且 4s (a b) c ,贝U cosCrcos ,sin ,b cos ,sin ,且（其中 max a 1,a 2,L ,a n 1表示s 1 ,a 2,L ,a n1中的最大项），有以下结论:*①若数列a n 是常数列，则a n 0 n N ； ②若数列a n 是公差d 0的等差数列，则d 0；2. lim2n 2 1 3n 2 3n 14. 方程3 2x20的解为r11.已知向量ar一,若向量c 满足3r r r cabr 1,则c 的最大值为12.若无穷数列 a n 满足：C 1 2时，a n a n 1 max a 〔，a 2,L 8.已知函数 f(x) |x 1|(x 1),x③若数列a n 是公比为q 的等比数列，则q 1; ④若存在正整数T ,对任意n N ,都有a n Ta n,则a 1是数列a n 的最大项.二、选择题(本大题共有 4题，？t 分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答则下列结论不可能成立的是♦ ♦ ♦r uuuu上的动点，则a OM 的取值范围为如图，正三棱柱 ABC A 1B 1c l 的各棱长均为 2, D 为棱BC 的中点.(1)求该三棱柱的表面积；(2)求异面直线AB 与C 1D 所成角的大小.则其中的正确结论是 (写出所有正确结论的序号)题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13 .若a,b 为实数，则“ a 11 ”的(A)充要条件 (C)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (D)既非充分也非必要条件14 .已知a 、b 为两条不同的直线,为两个不同的平面,(A) b u ，且 b // (B) b u ,且 b // (C) b// ，且b//(D) b 与、都相交15.已知函数y J b 2x 2b 2, xa, a 0, b 0与其反函数有交点,则下列结论正确的是(A) a b (B) (C) a b (D) a 与b 的大小关系不确定16.在平面直角坐标系中,已知向量(1,2) O 是坐标原点, M 是曲线|x 2 y 2(A)2,2(B) ,5, 5 (C)(D)I-5., 5 5三、解答题(本大题满分 76分)本大题共有 号的规定区域内写出必要的步骤. 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知抛物线：y2 2 Px(p 0).(1)若上一点M (1,t)到其焦点的距离为3,求的方程;(2)若p 2,斜率为2的直线l交于两点A、B,交x轴的正半轴于点M , O为uuu uuu坐标原点，OA OB 0 ,求点M的坐标.19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作.股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y(元)与时间x(天)的关系在ABC段可近似地用函数y asin x 20 a 0, 0,0 的图像从最高点A到最低点C的一段来描述(如右图)，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l : x 34对称，点B、D的坐标分别是12,20、44,12 .(1)请你帮老张确定a,,的值，并写出ABC段的函数解析式；(2)如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题?茜分6分，第3 小题满分6分.对于函数y f(x),若函数F(x) f(x 1) f(x)是增函数，则称函数y f(x)具有性质A.⑴若f(x) x2 2x,求F(x)的解析式，并判断f(x)是否具有性质A；(2)判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；2 3(3)若函数f(x) kx x (x 0)具有f质A,求实数k的取值范围，并讨论此时函数g(x) f (sin x) sin x在区间0, 上零点的个数21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1①小题满分4分，第1②小题满分6分，第2小题满分8分.对于数列｛a n｝,若存在正数p,使得a n 1 pa n对任意n N都成立，则称数列｛a n｝为“拟等比数列”.(1)已知a 0, b 0,且a b ,若数列｛a n｝和｛b n｝满足：a1 --b,b〔JOb 且2a n 1 " 2b n , b n 1 向^⑴ N*).①若a1 1 ,求bi的取值范围；_ . . . _ _ * ........................... ..②求证：数列｛a n b n｝(n N )是“拟等比数列”.(2)已知等差数列C n的首项为C1 ,公差为d ,前n项和为S n,若G 0 ,S4035 0, S4036 0 ,且C n是“拟等比数列”，求p的取值范围(请用C1,d表示).闵行区2018学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准2一.填仝题1. 0,3； 2. —；3. 2i； 4. x log25； 5. 256 ；6. 80;37, 盘；8. 2, 4 ; 9. 12; 10. 0; 11. 1 33; 12.①②③④.2二 .选择题13. B; 14. D; 15. B; 16. A.三 .解答题17.［解］(1) S=3 22+2 T 22 = 12+2 3(2)取AC的中点E ,联结DE、C1E ,则ED//AB ,所以C i DE (或其补角)是异面直线AB与C i D所成的角.…8分在ACQE 中，C1D C1E 75, DE 1,C1D2DE2C1E2 5 1 5 、,5 八所以cos CiDE ------------------ ----- ——— . ... 12 分2 C i D DE 2 5 10所以AB与C〔D所成的角的大小为arccos-^-y . ..... 14分- ....... p _ 八18.［解］(1)由条件知1上3 p 4, ........ 4分2所以的方程为y2 8x. ................ 6分(2)设点M、A、B 的坐标分别为m,0 (m 0)、A X j,y1 , B x2,y2则直线l的方程为y 2( x m) ；................. 8分y 2(x m) 2,2 : y 2y 4m 0 , .............. 10分y 4x2 2, y1 y2 2 …y1y24m,x1x2' ' m .............. 12 分16uur uur 2OA OB x1 x2 y1 y2 4mm 0 m 4,所以M点的坐标为4,0 . ............... 14分19.［解］(1)因为C、D两点关于直线l对称，所以点C的坐标为24,12 , (2)分T 2 又点B恰在平衡位置，C为最低点，得T 12 T 48 —一…4分4 48 24将B 12,20代入解析式可得：sin - 12 0 cos 0 , ~ , ................ 6 分24 2再结合C点是最低点，可得a 8.，ABC 段的解析式为y 8sin - x — +20, x 0,2424 2(2)由对称性得，DEF段的解析式为:y 8sin — 68 x — +20 8cos — 68 x +20, x 44,68 ，…10 分24 2 24若股价至少是买入价的两倍，则8cos — 68 x +20 24 .................... 12 分241 -cos 一x 68 一解得60 x 6824 2所以买入16天后，股价至少是买入价的两倍. .................. 14分20.［解］(1)F(x) f(x 1) f (x) (x 1)2 2x 1 x2 2x 2x 2x 1 ……2 分而F(x) 2x 2x 1在，上是增函数，所以f(x)是否具有性质A.(2)假命题.如函数f (x) 7x(x 0)是减函数,F (x) x 1 、，又函数F(x)在［0, )上单调递增, f(x) 6(x 0)具有性质P.，命题是假命题因为函数f (x) kx2 x3(x 0)具有性质A ,2k 3 八， 3所以- 0 k -.6 22 .3g(x) f (sin x) sin x ksin x sin x sin x ,由g(x) 0得10分(3) F(x) k(x 1)2(x 1)3 kx2 x33x2 (2k 3)x k 1(x 0),12分2 ,3 ksin x sin x sinx0 sin x 0 或ksin x . 2sin x 11 sin x -sin x,14分设sinx t,则k ,t 0,1 yi ti由函数t,t 0,1的图像可知|,0时, t1 sin x t1 无解;0时, t1 1 sinx0 , 时, t t1 0,1,sin x t1在综上所述：当2,0时,当k 0时, g (x)在区间0 ,,时，g(x)在区间21.［解］(1)①a 0, b••b1 (0,1),②依题意得:所以，当n所以对任意a n 1b n 1 即存在pa nb n21」，使得2，数列｛a n b n}(n0, 上有两个解;g(x)在区间0,上零点的个数为上零点的个数为3;,ab2时，a n都有a nb n2；上零点的个数为4.b na na nb n2a n 1b n 1 p(a na1x1 x2x16分1 b n 12\ b n b nb n)，N )是“拟等比数列”.J a n 1b n 1 0,1 (a n b n ) ,210(2) S 4035 S 4036 4035 c 2018 0G c 4036 4036 2 12分c 2018 0c 2018 C 2019 c 2018 Q019 c n 是“拟等比数歹 当 n 2018 时，c n c n+1 c n C 1 c 1n 故存在 由 2018 由图像可知 2017d 0 c 1 2018d2018 C 1201714分0,使得c n 1PC n2017 C 1 c 1 d C 12018 20192018时递减,故P c 2c 1C 12016 2017 2017,2018 16分n 2019时,c n 0,c n+1 c nc 1c 12018 由图像可知 2017 c 1n 1 — dc 11c 12018 c 1 d20192019时递减，故1;由12可得，此时p的取值范围是1 d,1 ............. 18分G。

2019-2020学年上海市闵行区高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{3,1,0,1,2}A =--，{|||1}B x x =>，则A B =I 【答案】{3,2}-【解析】{|||1}={|11}B x x x x x =>>或＜-{3,2}A B ∴=-I 2. 复数5i 2-的共轭复数是 【答案】2i -+ 【解析】()()()()5i 25i 2i 2i 2i 25Z ++===---+-所以共轭复数是2i -+3. 计算：23lim13(21)n n n →∞=++⋅⋅⋅+- 【答案】3【解析】[]2222333limlim lim lim331(21)13(21)2n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞====+-++⋅⋅⋅+- 4. 已知01x <<x = 【答案】12【解析】已知01x <<，()1122x x +-=，当且仅当112x x =-=时取等号，12 5. 在△ABC 中，已知AB a =uu u r r ，BC b =uu u r r ，G 为△ABC 的重心，用向量a r 、b r表示向量 AG =uuu r【答案】2133a b +【解析】因为G 为△ABC 的重心，设BC 边中线为AD ，交BC 于D 点，则()222121333233AG AD AB BD AB BC a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu u r uu u r uu ur uu u r r r6. 设函数22log (1)1()log 1x f x x --=，则方程()1f x =的解为【答案】2x =【解析】22222log (1)1()=log (1)log log (1)1log 1x f x x x x x x --=-+=-=Q()()12100x x x x -=⎧⎪∴-⎨⎪⎩＞＞2x ∴= 7. 已知2824160128(1)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = （结果用数字表示） 【答案】-56【解析】()5338156a C =⋅-=-8. 若首项为正数的等比数列{}n a ，公比lg q x =，且10099101a a a <<，则实数x 的取值范围是【答案】10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】10099,1a a q <∴<，又2991011a a q <∴>1q ∴<-，即1lg 10,10q x x ⎛⎫=<-⇒∈ ⎪⎝⎭9. 如图，在三棱锥D AEF -中，1A 、1B 、1C 分别是DA 、DE 、DF 的中点，B 、C 分别是AE 、AF的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱 锥D AEF -的体积为2V ，则12:V V = 【答案】38【解析】12121113,,:4238V S h V S h V V =⋅=⋅∴=底底 10. 若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，{|1,2,3,4,5,6}i Q OA i ==u u u r ，,,a b c Q ∈r r r，且a r 、b r 、c r 互不相同，要使得()0a b c +⋅=r r r ，则有序向量组(,,)a b c r r r的个数为【答案】48【解析】()0a b c a c b c +⋅=⇒⋅=-⋅r r r r r r r ，即a r ，b r 在c r 上的投影互为相反数，先确定c r ，有16C 种可能，以1c OA =r uuu r为例，则{}{}2635,,,a OA OA b OA OA ∈∈或{}{}3526,,,a OA OA b OA OA ∈∈所以有序向量组(,,)a b c r r r 的个数为111622248C C C ⨯⨯⨯=个11. 若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是 【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有14104a a ≤⇒<≤当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，不符合12. 设函数()sin()6f x A x πω=-（0ω>，0A >），[0,2]x π∈，若()f x 恰有4个零点， 则下述结论中：① 若0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个； ② ()f x 在8[0,]19π上单调递增；③ 存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意 [0,2]x π∈恒成立；④“1A ≥”是“方程1()2f x =-在[0,2]π内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是 【答案】①③④【解析】()61()sin()0,,666k f x A x x k k Z x k Zπππωωπω+=-=⇒-=∈⇒=∈，由()f x 恰有4个零点，知()64126x ππω⨯+=>且()63126x ππω⨯+=≤⇒1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()0062sin 1,63k x x k Z ππωω+⎛⎫-=⇒=∈ ⎪⎝⎭由[]01119250,2,,,,,01331212x k k Z k πωω⎡⎤⎡⎫∈⇒∈--∈∈∴=⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭或∴①正确；()f x 在8[0,]19π上单调递增，则819,,0,,661962212x πππωπππωω⎡⎤⎡⎤⎛⎤-∈--⊆-⇒∈ ⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎦矛盾，所以②错误；11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意[0,2]x π∈恒成立，则112,sin 21,2266T x x k k Z πππωπ⎛⎫=⇒=-=-⇒=-∈ ⎪⎝⎭，当1k =时，156x π=符合题意，所以③正确；11()sin 262f x x A πω⎛⎫=-⇒-=- ⎪⎝⎭，如图，充要条件为11sin 2226A ππω⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭，即2T π≤且1A ≥，也就是252,12ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭且1A ≥，所以④正确二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知直线l 的斜率为2，则直线l 的法向量为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,2)-D. (2,1)- 【答案】D【解析】根据法向量与直线斜率的关系。

2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。

2019年上海市闵行区高考数学一模试卷一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则∁U A＝．2．（3分）＝．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝．4．（3分）方程＝0的解为．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是（用数字表示）7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是（写出所有正确结论的序号）二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b⊄β，且b∥αB．b⊄aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则•的取值范围（）A．[﹣2，2]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x （天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC 段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．2019年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x≥0}，则∁U A＝（0，3）．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x≤0，或x≥3}；∴∁U A＝（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】考查描述法的定义，以及补集的运算．2．（3分）＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由，，可得＝＝．【解答】解：＝．＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了极限及其运算，属简单题．3．（3分）若复数z满足（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），则z＝2﹣i．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：（1+2i）z＝4+3i（i是虚数单位），∴（1﹣2i）（1+2i）z＝（1﹣2i）（4+3i），∴5z＝10﹣5i，可得z＝2﹣i．故答案为：2﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）方程＝0的解为log25．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用行列式展开法则列出方程，从而能求出结果．【解答】解：∵方程＝0，∴2x﹣2﹣3＝0，解得x＝log25．故答案为：log25．【点评】本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（3分）等比数列{a n}中，a1+a2＝1，a5+a6＝16，则a9+a10＝256．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得q4的值，又由a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2），计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1+a2＝1，则a5+a6＝q4×a1+q4×a2＝q4（a1+a2）＝16，解可得：q4＝16，则a9+a10＝q8×a1+q8×a2＝q8（a1+a2）＝256，故答案为：256．【点评】本题考查等比数列的性质，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．6．（3分）（1﹣2x）5的展开式中x3的项的系数是﹣80（用数字表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】在（1﹣2x）5的展开式中，令通项x的指数等于3，求出r，再求系数【解答】（1﹣2x）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（﹣2x）r，令r＝3，得x3的项的系数是C53（﹣2）3＝﹣80故答案为：﹣80【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用，属于基础题．7．（3分）已知两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l l与l2的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【专题】35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】先把直线方程中x、y的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式d ＝，求出他们之间的距离．【解答】解：两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，即两条直线l1：4x+2y﹣3＝0，l2：4x+2y+2＝0，它们之间的距离为d＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式d＝应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．8．（3分）已知函数f（x）＝|x﹣1|（x+1），x∈[a，b]的值域为[0，8]，则a+b的取值范围是[2，4]．【考点】34：函数的值域．【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案．【解答】解：数f（x）＝|x﹣1|（x+1）＝．作出函数的图象如图：由图可知，b＝3，a∈[﹣1，1]，则a+b∈[2，4]．故答案为：[2，4]．【点评】本题考查函数的值域，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（3分）如图，在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为12．【考点】LN：异面直线的判定．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线有：A1D1，DD1，CD，A1B1，BC，BB1，B1D1，B1C，D1C，BD，A1D，A1B，共12条．故答案为：12．【点评】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．10．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝（a+b）2﹣c2，则cos C＝0．【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由余弦定理和三角形面积公式得sin C﹣cos C＝1，结合平方关系得答案．【解答】解：∵4S＝（a+b）2﹣c2，∴4×ab sin C＝a2+b2﹣c2+2ab，由余弦定理得：2ab sin C＝2ab cos C+2ab，∴sin C﹣cos C＝1，又∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C cos C＝0，又∵在△ABC中，sin C≠0，∴cos C＝0．故答案为：0．【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式、平方关系，考查计算能力．11．（3分）已知向量＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），且α﹣β＝，若向量满足||＝1，则||的最大值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】首先解决，结合两角差的余弦可以得到的模，即对应点的轨迹，进而得到对应点的轨迹，问题得解．【解答】解：∵，∴＝2+2cos（α﹣β）＝3，令，则||＝，∴D点轨迹为以原点为原心，半径为的圆，令，则||＝||＝1，∴C点轨迹是以原点为原心，半径为的两个圆及其之间的部分，∴最大值为，即||最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了向量的模与点的轨迹，三角公式等，难度不大．12．（3分）若无穷数列{a n}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时．|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}（其中max{a1，a2，…，a，n﹣1}表示a1，a2，…，a，n﹣1中的最大项），有以下结论：①若数列{a n}是常数列，则a n＝0（n∈N*）②若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{a n}是公比为q的等比数列，则q＞1④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a n+T＝a n，则a1是数列{a n}的最大项．则其中正确的结论是①②③④（写出所有正确结论的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由常数列，结合新定义可得a n＝0，可判断①；由等差数列的定义和单调性，可判断②；由等比数列的定义和单调性可判断③；假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，根据第二数学归纳法可判断④．【解答】解：①，若数列{a n}是常数列，由|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，可得max{a1，a2，…，a n﹣1}＝0，则a n＝0（n∈N*），故①正确；②，若数列{a n}是公差d≠0的等差数列，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝|d|，若d＞0，即有数列递增，可得d＝a n，即数列为常数列，不成立；若d＜0，可得数列递减，可得﹣d＝a1成立，则d＜0，故②正确；③，若数列{a n}是公比为q的等比数列，若q＝1可得数列为非零常数列，不成立；由|a2﹣a1|＝a1，可得a2＝0（舍去）或a2＝2a1，即有q＝2＞1，a1＞0，则数列递增，由max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1，可得a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，可得a n＝2a n﹣1，则q＞1，故③正确；④，假设a1不是数列{a n}的最大项，设i是使得a i＞a1的最小正整数，则|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…a i}＝a i，因此a i+1是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1…，a i+k﹣1}，故a i+k是a i的倍数，假设a i+1，a i+2，…，a i+k﹣1都是a i的倍数，则|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a1，a i+1，…，a i+k﹣1}，因此，a i+k也是a i的倍数，由第二数学归纳法可知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数，又存在正整数T，对任意正整数n，都有a T+n＝a n，故存在正整数m≥i，a m＝a1，故a i 是a1的倍数，但a i＞a1，故a1不是a i的倍数，矛盾，故a i是数列{a n}的最大值．故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查数列新定义问题，考查等差数列和等比数列的定义的运用，考查举例法和数学归纳法的运用，属于综合题．二、选择题13．（3分）若a，b为实数，则“a＜﹣1”是“＞﹣1”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】首先找出＞﹣1的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：＞﹣1⇔a＜﹣1或a＞0，∵a＜﹣1⇒a＜﹣1或a＞0，a＜﹣1或a＞0推不出a＜﹣1，∴“a＜﹣1”是“＞﹣1”的充分非必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14．（3分）已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，则下面结论不可能成立的是（）A．b⊄β，且b∥αB．b⊄aC．b∥α，且b∥βD．b与α，β都相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】以正方体ABCD﹣A1B1C1D1为载体，能求出结果．【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，α∩β＝a，a∥b，知：在A中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1⊄平面ABCD，且C1D1∥AB，∴b⊄β，且b∥α有可能成立，故A错误；在B中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b⊄a有可能成立，故B错误；在C中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，C1D1∥平面ABCD，且C1D1∥平面ABB1A1，∴b∥α，且b∥β有可能成立，故C错误；在D中，b与α，β都相交不可能成立，故D成立．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．15．（3分）已知函数y＝，（x≥a，a＞0，b＞0）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（）A．a＝b B．a＜bC．a＞b D．a与b的大小关系不确定【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】问题转化为函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点．【解答】解：依题意得：函数y＝（x≥a，a＞0，b＞0）与函数y＝x有交点，即＝x2，x2＝＝≥a2，∴b2＞a2，∴b＞a，故选：B．【点评】本题考查了反函数．属基础题．16．（3分）在平面直角坐标系中，已知向量＝（1，2），O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则•的取值范围（）A．[﹣2，2]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】首先去绝对值，得到曲线，并发现垂直关系，从而找到向量的射影，得解．【解答】解：去绝对值整理后知，曲线为菱形BCDE，易知CD⊥AN，BE⊥AN，故当点M在曲线上运动时，在上的射影必在FN上，且当M在CD上时得到最大值，在BE上时得到最小值，最大值为＝＝2，最小值为﹣2，故选：A．【点评】此题考查了曲线方程，数量积，射影等，难度适中．三、解答题17．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，D为棱BC的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C1D所成角的大小．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）该三棱柱的表面积S＝2S△ABC+3，由此能求出结果．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，则DE∥AB，从而∠C1DE是异面直线AB与C1D 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C1D所成角的大小．【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∴该三棱柱的表面积：S＝2S△ABC+3＝2×+3×2×2＝12+2．（2）取AC中点E，连结DE，C1E，∵D为棱BC的中点，∴DE∥AB，DE＝＝1，∴∠C1DE是异面直线AB与C1D所成角（或所成角的补角），DC1＝EC1＝＝，cos∠C1DE＝＝＝，∴∠C1DE＝arccos，∴异面直线AB与C1D所成角的大小为arccos．【点评】本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18．已知抛物线C：y2＝2px（p≠0）．（1）若C上一点M（1，t）到其焦点的距离为3，求C的方程；（2）若P＝2，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点＝0，求点M的坐标．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的定义可得；（2）设出直线l：y＝2x+b，并代入抛物线，根据韦达定理以及x1x2+y1y2＝0解得b，然后求得M（4，0）．【解答】解：（1）由抛物线的定义得：1﹣（﹣＝3，解得：p＝4，所以抛物线C的方程为：y2＝8x；（2）p＝2时，抛物线C：y2＝4x，设直线l：y＝2x+b，并代入抛物线C：y2＝4x得：4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，解得设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝1﹣b，x1x2＝，∵•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（2x1+b）（2x2+b）＝5x1x2+2b（x1+x2）+b2＝+2b（1﹣b）+b2＝0，解得b＝0或b＝﹣8当b＝0时，M（0，0）不在x轴正半轴上，舍去；当b＝﹣8时，M（4，0）故点M的坐标为（4，0）【点评】本题考查了直线与抛物线的综合．属中档题．19．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x （天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝a sin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC 段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】（1）对照图象可求出a，ω，φ以及ABC的解析式；（2）先根据对称性求出DEF段的解析式，再令函数值等于24，解出x＝60，可得．【解答】解：（1）a＝12﹣4＝8，＝24﹣12＝12，∴T＝48，ω＝＝，由×24+φ＝可得φ＝，∴f（x）＝8sin（x+）+20＝8cos x+20，x∈[0，24]．（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．20．对于函数y＝f（x），若函数F（x）＝f（x+1）﹣f（x）是增函数，则称函数y＝f（x）具有性质A．（1）若f（x）＝x2+2，求F（x）的解析式，并判断f（x）是否具有性质A；（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数g（x）＝f（sin x）﹣sin x在区间[0，π]上零点的个数．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；52：函数零点的判定定理．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由新定义直接化简即可得到F（x）的解析式，判断单调性可得f（x）的性质；（2）命题为假命题，可举指数函数；（3）由新定义结合单调性和导数，解不等式可得k的范围，运用正弦函数的图象和性质，讨论k的范围，即可得到所求零点个数．【解答】解：（1）f（x）＝x2+2，F（x）＝（x+1）2+2﹣x2﹣2＝2x+1，F（x）在R上递增，可知f（x）具有性质A；（2）命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：f（x）＝0.5x，F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝﹣0.5x+1在R上递增，f（x）具有性质A；（3）若函数f（x）＝kx2+x3（x≥0）具有性质A，可得F（x）＝f（x+1）﹣f（x）＝k（x+1）2+（x+1）3﹣kx2﹣x3＝3x2+（3+2k）x+1+k 在x≥0递增，可得﹣≤0，解得k≥﹣；由t＝sin x（0≤t≤1），可得g（x）＝0，即f（t）＝t，可得kt2+t3＝t，t＝0时显然成立；0＜t≤1时，k＝，由在（0，1]递减，且值域为[，+∞），k＝0时，t＝0或1，sin x有三解，3个零点；当k＝时，t＝1，即sin x＝1，可得x＝，1个零点；当k＞时，f（t）＝t，t有一解，x两解，即两个零点；当﹣≤k＜，且k≠0时，f（t）＝t无解，即x无解，无零点．【点评】本题考查函数的解析式的求法，注意运用新定义，考查函数的单调性，以及分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．21．对于数列{a n}，若存在正数p，使得a n+1≤pa n对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为“拟等比数列”．（1）已知a＞0，b＞0且a＞b，若数列{a n}和{b n}满足：a1＝，b1＝且a n+1＝，b n+1＝（n∈N*）．①若a1＝1，求b1的取值范围；②求证：数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{c n}的首项为c1，公差为d，前n项和为S n，若c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，且{c n}是“拟等比数列”，求p的取值范围（请用c1，d表示）．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据基本不等式的性质以及“拟等比数列”的定义进行求解证明即可（2）根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，推导首项和公差d的范围，结合{c n}是“拟等比数列，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）①∵a＞0，b＞0，且a＞b，a1＝，b1＝＜1，∴b1∈（0，1）．②由题意得a1＝＞＝b1，∴当n∈N*且n≥2时，a n﹣b n＝＞0，∴对任意n∈N*，都有a n+1﹣b n+1＝＜﹣＝（a n﹣b n），即存在p＝，使得有a n+1﹣b n+1＜p（a n﹣b n），∴数列数列{a n﹣b n）（n∈N*）是“拟等比数列”；（2）∵c1＞0，S4035＞0，S4036＜0，∴，⇒，⇒⇒，由c1＞0得d＜0，从而解得﹣2018＜＜﹣2017，又{c n}是“拟等比数列”，故存在p＞0，使得c n+1≤p c n成立，1°当n≤2018时，c n＞0，p≥＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≤2018时递减，故p≥＝1+∈（，），2°当n≥2019时，c n＜0，p≤＝＝1+＝1+，由﹣2018＜＜﹣2017得2018＜1﹣＜2019，由图象可知1+在n≥2019时递减，故p≤1，由1°2°得p的取值范围是[1+，1]．【点评】本题考查递推数列的应用，利用“拟等比数列”的定义结合等差数列的前n项和公式进行递推是解决本题的关键．查了推理能力与计算能力，运算量较大，有一定的难度．。

2019届上海市闵行区高三第一学期（一模）期末质量监控数学试题一、单选题1．若a，b为实数，则“”是“”的A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是A．，且B．C．，且D．b与，都相交【答案】D【解析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3．已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是A．B．C．D．a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果. 【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4．在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围A．B．C．D．【答案】A【解析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题5．已知全集，集合，则______．【答案】【解析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6．______．【答案】【解析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型. 7．若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果. 【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8．方程的解为______．【答案】【解析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9．等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】 设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型. 10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示） 【答案】80-【解析】试题分析：由15(2)r r r T C x +=-得：3x 项的系数为335(2)80.C -=-．【考点】二项展开式定理求特定项 11．已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】 因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型. 12．已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13．如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15．已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型. 16．若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题17．如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角(或补角)，解三角形即可.【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中通过平移直线作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18．已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19．在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,，；（2）16.【解析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C 的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型. 20．对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k 的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21．对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题； 若“b ＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[6,)+∞ C ．5(,2][,)2-∞-+∞D ．15(,][6,)2-∞-+∞ 【答案】C【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围.【详解】函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ- ①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2- ∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥②当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（ ） A ．{(,)|2}λμλμ-= B ．{(,)|2}λμλμ+= C ．22{(,)|2}λμλμ-= D ．22{(,)|2}λμλμ+=【答案】C【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222,,,λμλμλμλμ+--+的范围,从而得出答案.【详解】{(,)|||||1}M x y x y =+≤对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈ 可得:||||1x y λμ+≤11x y x y λμ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤对于A,11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,根据1111λμ-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩ 可得:22λμ-≤-≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=对于B,1111λμ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得22λμ-≤+≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=对于C,||1λ≤,||1μ≤可得:220110λμ⎧≤≤⎨-≤-≤⎩ 故2211λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=对于D,||1λ≤,||1μ≤可得220101λμ⎧≤≤⎨≤≤⎩,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.4．已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩,则下列命题中正确命题的个数是（ ）①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数②函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增③函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值④若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32a ∈ A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112x x y -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像.【详解】()f x 的图像如图所示:对于①,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故①不正确; 对于②,当(),1m m +,()m N+∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增,故②正确;对于③,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故③不正确; 对于④,如图所示,图中两条曲线对应的a 分别为13和12,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故④正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ⋃=,则所有满足条件的m 构成的集合为________ 【答案】1{0,,1}4-【解析】先化简集合A .由A B A ⋃=,可得B A ⊆,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】集合2{|340}A x x x =--=∴ {1,4}A =-A B A ⋃=,可得B A ⊆①当0m =时,满足B A ⊆,符合题意 ②当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆∴ 11m-=-或14m -=解得:1m =或14m =-.∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1{0,,1}4-.故答案为:1{0,,1}4-. 【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件 【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】,a b ∈R ,只有当22ππα-<<时,由tan b α=才有arctan b α=∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=故tan b α=不是arctan b α=的充分条件 又由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=∴ 可得tan b α=故tan b α=是arctan b α=的必要条件;∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.故答案为:必要不充分.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得,a b 的值,根据z a bi =+的模为z =即可求得z .【详解】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-∴ 34z i =-根据z a bi =+的模为z =∴ 5z ==故答案为:5. 【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.8． 若△ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是________． 【答案】1 【解析】【详解】在△ABC 中，∵C ＝30°，a ＋b ＝4，∴△ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12ab ·sin30°＝14ab ≤241()2a b +＝14×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此△ABC 面积的最大值是1. 故答案为1.9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为，则直线l 的方程是________【答案】4x =-或43160x y -+=【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可得=,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程. 【详解】直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)依题意有:|cos ,|cos arccos 1010αβ⎛〈〉== ⎝⎭∴||||αβαβ⋅=,10= 解得243a ab =,即0a =或34a b =- ①当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-②当34a b =-时,则,a b 均不为0可得:3,4b b β⎛⎫=⎪⎝⎭,故直线的斜率为:4334b b = ∴ 直线的方程为:4(4)3y x =+ ,即43160x y -+=综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=. 故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.10．设常数0a >，9x ⎛+ ⎝展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=_______【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式3992199rrr r r r r T C x a C x --+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】9x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为3992199rr r r r r r T C x a C x --+==，令3962r -=，解得2r ，则2294a C =，解得13a =， 所以，()2lim lim l 11(1)111331223213im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-⎛⎫=-= ⎪⨯⎝-+⎭++=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142x xf x =-++，则此函数的值域为________. 【答案】{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】当0x >时，21111()1=()14222x x x x f x =-++-++, 令1,(01)2x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<， 所以5()(1,]4g t ∈.由于函数是奇函数，所以当0x <时，5()[,1)4f x ∈--. 当0x =时，(0)0f =.综上所述，此函数的值域为{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝.故答案为：{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数8a y x x =+-也是增函数,且满足80ax x+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】8()log (8)af x x x=+-设8log ,8a y t t x x==+-8log y t =在(0,)+∞上为增函数要保证8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数8at x x∴=+-在[2,)+∞上是增函数 ∴ 210at x'=+≥在[2,)+∞上恒成立 2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立22,4x x ≥≥ 可得24x -≤-4a ∴≥-8()log (8)a f x x x=+-2802a∴+-> 20a ∴<∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.故答案为:[4,20)-.【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域.13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________【答案】9【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由 (2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.【详解】(2)(2)0f x f x ++-=(2)(2)f x f x ∴+=-- ┄①()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ┄②由①②可得:(2)(2)f x f x +=- 即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-=∴ (2)0f =(2016)(50440)(0)f f f ∴=⨯+= (2017)(20161)(1)9f f f =+== (2018)(20162)(2)0f f f =+==∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=故答案为:9. 【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14．在直角坐标系中，已知1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．【答案】(),-∞⋃+∞【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB ==化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆， 由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤m ≥因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:①关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件; ④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的充要条件;其中,真命题序号是________ 【答案】②【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】对于①, 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有唯一解,∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件又系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解系数行列式0D =, 0x y D D == 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有无穷组解∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非充分条件; 故①不正确;对于②,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又直线EF 和GH 不相交,当EFGH ,即E 、F 、G 、H 四点共面,∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|y x x =++- 当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =; 当1x <-时,22y x =->.故|1||1|2x x ++-≥2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥又对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件 故③不成立;对于④,由关于x 的实系数方程px p x=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由240p p ∆=+=得:0p =或4p =-当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程px p x=+的实根,故此时方程无解 当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程px p x=+的实根.故此时关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实数根∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”又关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-”∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件. 故④错误. 故答案为:②. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈,{(,)|(,)}T x y x y QS =∈,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是________【答案】43π 【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积.【详解】两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A = 在12Rt AF F △中214F F =,∴ 121cos 2AF F ∠=可得2160AF F ︒∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 4362360ππ︒⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为:433π. 【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.三、解答题17．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -． ()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12-【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -．1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =.（1）求证:PA BD ⊥;（2）若45PCD ∠=︒,求点D 到平面PBC 的距离h . 【答案】（1）答案见解析（2221. 【解析】（1） 因为60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证PA BD ⊥.（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】 （1）1,2,60AD AB DAB ︒==∠=根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅∴BD222AD BD AB ∴+= AD BD ∴⊥PD ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCDPD BD ∴⊥,又AD PD D =BD ∴⊥平面PADPA ⊂平面PAD∴ PA BD ⊥综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥12BCDSBC BD ∴=⨯⨯=45PCD ︒∠= 可得:2PD CD ==123P BCD V -∴==21PC PB BC ==== 222BC PB PC ∴+=PB BC ∴⊥12BCPSBC PB ∴=⋅=1326D BCP V h -∴=⨯=又P BCD D BCP V V --==解得:7h = . 【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++（其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为该条信息的信息熵．已知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．【答案】（1）5（2）422n - 【解析】试题分析：利用11()22f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为132，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++（其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++（其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得111log 222a -=，解之得2a =. 由32种情形等可能，故()11,2,,3232k P k ==，所以21132log 53232H ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，答：“谁被选中”的信息熵为5．（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222n n n ---⎛⎫⎛⎫-++=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当1,2,k =,1n -时，()22log 22k k k k k f p --=-=，又()112nn n f p --=， 故111231124822n n n n H ----=+++++， 1112211+248222n n n n n n H ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422n H =-， 答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -．20．双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点. （1）若l 的倾斜角为π2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设AB的中点为(),x y M M M ，由()110F F A +B ⋅AB =即10F M⋅AB =，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c ，c ，()22241y b c b A =-=，因为1F AB 是等边三角形，所以2c y A =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由11()0F A F B AB +⋅=即10F M⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-． 而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-， 所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积 【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值； ()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).⋯求201720181222223333a a a alog log log log ++⋯++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）()01f =，()1728f =（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点. 【详解】解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =． 令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()1728f =． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，所以()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，则213na log n =-． 所以原式0120172035153=++⋯+=．(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =,2b x N=,a b 、都是自然数,并且a b <．令数列{}n c 满足n n c f N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0n =，1，.⋯下证：数列{}n c 单调递增．()1.01i f f N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以01c c <；.ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令n x N =，1y N =，则11122n n n n f f f f f N N N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n c c c +-+>．所以()1112n n n n n n n c c c c c c c +-->-=+->．综上,数列{}n c 单调递增,所以()()12f x f x <，又因为()f x 是偶函数，所以()()12.f x f x <【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。