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空间解析几何和向量代数总结

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高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何

高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何

离.因为
PA 32 ( y 1)2 (z 2)2 ， PB 42 ( y 2)2 (z 2)2 ，
PC 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
所以 32 ( y 1)2 (z 2)2 42 ( y 2)2 (z 2)2 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
零向量: 模为 0 的向量,
向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量线性运算的几何表达 ➢加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
三角形法则: a ab
a (b c) ab b
b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
解 4u 3v 4 2a b 2c 3 a 4b c 5a 16b 11c.
例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明
这是平行四边形
证 ABOBOA , DC OCOD 而 OC OA OD OB
所以
DC OA OB OB OA AB
这说明四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB // CD 从而四边形
第八章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
DMU
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面方程 第六节 空间曲线方程

向量代数与空间解析几何知识点总结

向量代数与空间解析几何知识点总结

向量代数与空间解析几何知识点总
结
向量代数：
1、定义：向量代数是一种数学技术，用于处理和描述空间中的向量。

2、性质：向量的加法满足交换律、结合律，乘法满足分配律。

3、应用：向量代数可以用来求解空间几何问题，例如夹角的大小、两点之间的距离、点的位置等。

空间解析几何：
1、定义：空间解析几何是一种数学技术，用于研究平面图形和立体图形之间的关系。

2、性质：空间解析几何以点、线、面为基本单位，引入向量代数，通过空间关系、变换、测量等方法来求解几何问题。

3、应用：空间解析几何可以用来解决工程设计、地理学、天文学等领域的实际问题。

[专升本概念]向量代数与空间解析几何

[专升本概念]向量代数与空间解析几何

a b ax ay az bx
// b a
i
j
k
by
bz
a x a y az bx by bz
7、混合积
ax bx [ a b c ] ( a b ) c cx ay by cy az bz cz
( 2 ) [ a b c ] ( a b ) c 的 绝 对 值 表 示 以 向 量 a 、 b 、 c 为 棱 的 平 行 六 面 体 的 体 积 . [ a b c ] 0 . （3）三向量 a 、 b 、 c 共面
[2] 平面的一般方程
x
o
y
M ( x ,y ,z ) 0 0 0 0 n { A , B , C }
z c
b
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x y z 1 a b c
o
y
x a
[4] 平面的夹角
: A x B y C z D 0 1 1 1 1 1
o
y
x
双叶双曲面
4、空间曲线
空间曲线在坐标面上的投影:
F(x, y, z) 0 设空间曲线的一般方程： G(x, y, z) 0 ( x ,y ) 0 消去变量z后得：H H( x, y) 0 曲线在 xoy 面上的投影曲线为 z 0 yoz xoz 面上的投影曲线 面上的投影曲线 R( y, z) 0 T ( x, z) 0 x 0 y 0
x x y y z 1 1 z 1 m n p 1 1 1
x y y z 2 2 z 直线 L2 : x 2 m 2 n 2 p 2

[全]高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结[下载全]

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高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结
向量代数与空间解析几何知识点：
（1）向量代数知识点
（2）两平面夹角与两直线夹角公式
两平面夹角和两直线夹角公式（3）点到直线的距离公式
点到直线的距离
（4）常见二次曲线
常见二次曲线
题型一：求曲线上一点到某一固定平面的最近距离和最远距离例1：
【分析】:曲线上一点(x,y,z)到XOY面的距离为|z|，但把目标函数设为
f(x,y,z)=|z|，不便于计算，因而常把目标函数设为f(x,y,z)=z^2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。

解：
题型二：求直线方程
建立直线方程有两个基本方法：
（1）已知直线L上的一个点P（x0,y0,z0）和直线L的方向向量s={l,m,n}就可以确定直线L；
（2）两个不平行的平面相交于一直线；
例2：求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线方程。

分析：只要求出所求直线方向向量即可，可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。

解：。

《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数

《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数

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结束
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p


4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )


(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,

空间解析几何和线性代数资料

空间解析几何和线性代数资料

（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a

b



(a ybz
azby )i

(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k

a

b

i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2

a
2 y

az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a

b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b

有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点

第1章 向量代数与空间解析几何内容小结


m
n
p
（3）参数方程：若设 x x0 y y0 z z0 t,
m
n
p
则直线的参数方程为

x y

x0 y0
mt nt
．
z z0 pt
2.直线与直线、直线与平面的夹角
两直线的方向向量所成的不超过 的夹角称为两直线的夹角．直线和它在平面上的投 2
运算律：
○① 交换律 a b b a ；
○② 与数乘结合律 (a) b a (b) (a b) ；
○3 分配律 (a b) c a c bc ．
两向量夹角公式：设 a ax , ay , az ， b bx ,by ,bz ， ( a 0, b 0) ，则
曲线

f

x,
y

0
绕 y 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f

x2 z2 , y
0；
z0
曲线

f

x,
z

0
绕 x 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x,
y2 z2
0；
y0
曲线

f

x,
z

0
绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
若点 A 的坐标为 (x1, y1, z1) ，点 B 的坐标为 (x2, y2, z2 ) ，则 AB 的分解表示为 AB axi ay j azk ，
AB 的坐标表示为 AB ax , ay , az ，
其中 ax x2 x1, ay y2 y1, az z2 z1分别为 AB 在 x, y, z 轴上的投影． i, j, k 分别为 沿 x, y, z 轴正向的单位向量，它们称为空间直角坐标系的基本单位向量．

高等数学向量代数与空间解析几何总结


{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结

空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。

以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。

2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。

二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。

2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。

三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。

2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。

四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。

2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。

高等数学向量代数与空间解析几何总结

高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研究向量的各种运算进行分析与求解问题。

空间解析几何则是研究点、线、面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。

首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。

在向量代数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。

向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四边形法则确定的。

向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。

数量乘法是指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向与原向量相同或相反。

点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。

向量代数的运算法则包括交换律、结合律和分配律。

接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。

空间解析几何主要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。

其中，点是空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。

直线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方向向量确定一条直线。

平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。

空间解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与直线之间的关系、点与平面之间的关系、直线与平面之间的关系等内容。

对于这些关系，我们可以通过向量的性质和运算进行解决。

在向量代数与空间解析几何中，还有一些重要的概念与定理需要了解。

例如，向量的模长是指向量的长度，可以通过向量的坐标和勾股定理求得。

向量的单位向量是指长度为1的向量，可以通过将向量的坐标除以其模长得到。

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第八章空间解析几何和
向量代数总结
向量的概念
向量的线性运算
空间直角坐标系（右手系）向量的坐标
坐标形式的向量的线性运算（8—1，19）
方向角与方向余弦（8—1，15）
向量的数量积、向量积、混合积
（8—2，1、3、6、10；
总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、
平行（共线）、
计算平行四边形面
积、
一向量在另一向量的投影。

曲面
曲面的概念
(),,0F x y z =，
()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程
（P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程
(),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面
为(,0f x =； (),00f x y z ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()0
f y =；
(),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面
为(,0f y =； (),00f y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()0f z =； (),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =；
(),00f x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面
为()
0f z =。

空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4）
平面及其方程
建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5）
点的平面的距离（8—5，9）
（两个平行平面的距离）直线及其方程
建立直线方程：点向式、一般式、参数式 （8—6，1，3，4，
7） 直线与直线的夹角（锐角）（8—6，5）
直线与平面的夹角（锐角）（8—6，9）
8—1，19
解：()3,5,8m =r ，()412,20,32m =r ，
()2,4,7n =--r ，()36,12,28n =--r ，
()
5,1,4p =-r ，()5,1,4p -=--r ， ()
4313,7,8a m n p =+-=r r r r ¶()Pr cos ,13i j a a a i
x a x a ====r r r r r r r
()·()
Pr cos ,7j j a j a a j j y a j yj j a ⋅=⋅⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭
r r r r r r r r r r r r 8—1，15
解：
()121,M M =-u u u u u u r ，
122
M M =u u u u u u r ，
1
cos 2α=-
，cos 2β=-，1
cos 2γ=，
2
3απ=，3
4βπ=，3
π
γ=。

总习题八
1（3）解：
()
2,1,2a =r ， ()
42,1,102c b a λλλλ
=-=----r r r (
)()()()
242121022790
a c a
b a λλλλλ⋅=⋅-=-+--+-=-=r r r r r 3λ=。

1（4）解：由已知条件
0a b c ++=r r r ，3,4,5a b c ===r r r ，
知这三个向量构成一直角三角形。

12a b ⨯=r r ，a b ⨯r r 方向与这三角形所
在的平面垂直，右手定则，指向上方；
12c a ⨯=r r ，c a
⨯r r 方向与这三角形所
在的平面垂直，右手定则，指向上方；
12b c ⨯=r r ，b c ⨯r r 方向与这三角形所在的平面垂直，右手定则，指向上方；
所以
a b b c c a
⨯=⨯=⨯r r r r r r ， 336a b b c c a
a b
⨯+⨯+⨯=⨯=r r r r r r r r
注：如果已知0a b c ++=r r r ，a b c
==r r r ，
这是一个等边三角形。