【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 湖北详解答案 阶段一(理) 专题二 第二节

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz +(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D解析：∵2i 2i 1i =1i 1i 1i z (-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i ， ∴复数2i=1iz +的共轭复数z ＝1－i ，其在复平面内对应的点(1，－1)位于第四象限．2．(2013湖北，理2)已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4} 答案：C解析：由题意知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝{x |x ≥0}，集合B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，＝{x |x ＜2或x ＞4}．因此A ∩()＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．3．(2013湖北，理3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A ．(⌝p )∨(⌝q )B ．p ∨(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案：A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为(⌝p )∨(⌝q )．4．(2013湖北，理4)将函数y 3x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ).A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象. 又∵所得到的图象关于y 轴对称，则有π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝ππ6k +，k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6. 5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( )． A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析：对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ，21b ＝sin 2θ，21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ)＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +(k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ， 而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C. 设双曲线C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等．6．(2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB u u u r ＝(2,1)，CD uuu r ＝(5,5)，故AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为2AB CD CD⋅==u u u r u u u ru u u r . 7．(2013湖北，理7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝25731t t-++(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )．A ．1＋25ln 5B ．118+25ln3C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案：C解析：由于v (t )＝7－3t ＋251t+，且汽车停止时速度为0， 因此由v (t )＝0可解得t ＝4， 即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离4025=73d 1s t t t ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭⎰ ＝423725ln 12tt t ⎡⎤-+(+)⎢⎥⎣⎦ ＝4＋25ln 5(m)．8．(2013湖北，理8)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )．A ．V 1＜V 2＜V 4＜V 3B ．V 1＜V 3＜V 2＜V 4C ．V 2＜V 1＜V 3＜V 4D ．V 2＜V 3＜V 1＜V 4 答案：C 解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台，圆柱，四棱柱，四棱台．结合题中所给数据可得：V 1＝13(4π＋π＋2π)＝7π3，V 2＝2π， V 3＝23＝8，V 4＝13(16＋4＋8)＝283.故V 2＜V 1＜V 3＜V 4.9．(2013湖北，理9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )．A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75答案：B解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125， 故E (X )＝275436815060+1+231251251251251255⨯⨯⨯⨯==＋.10．(2013湖北，理10)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞12- B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜12-C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜12-D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞12-答案：D解析：由题意知，函数f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －ax 2有两个极值点， 即f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ＝0在区间(0，＋∞)上有两个根． 令h (x )＝ln x ＋1－2ax ，则h ′(x )＝121=2ax a x x-+-=，当a ≤0时h ′(x )＞0，f ′(x )在区间(0，＋∞)上递增，f ′(x )＝0不可能有两个正根，∴a ＞0.由h ′(x )＝0，可得12x a =，从而可知h (x )在区间10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在区间1,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上递减．因此需111=ln +11=ln >0222h a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1>12a 时满足条件，故当10<<2a 时，h (x )＝0有两个根x 1，x 2，且121<2x x a<.又h (1)＝1－2a ＞0， ∴1211<2x x a<<，从而可知函数f (x )在区间(0，x 1)上递减，在区间(x 1，x 2)上递增，在区间(x 2，＋∞)上递减．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝12a->-.故选D.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．(2013湖北，理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．答案：(1)0.004 4(2)70解析：(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝0.2250＝0.004 4.(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，∴所求户数为0.7×100＝70.12．(2013湖北，理12)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝__________.答案：5解析：第一次执行循环体后：a ＝5，i ＝2；第二次执行循环体后：a ＝16，i ＝3；第三次执行循环体后：a ＝8，i ＝4；第四次执行循环体后：a ＝4，i ＝5，满足条件，循环结束．输出i ＝5.13．(2013湖北，理13)设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z 则x ＋y ＋z ＝__________.答案：7解析：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2当且仅当123x y z==时等号成立，此时y ＝2x ，z ＝3x .∵x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z∴14x =，14y =，14z =.∴x ＋y ＋z =14．(2013湖北，理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为2111222n n n n (+)=+.记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝21122n n +， 正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝23122n n -， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，…… ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________. 答案：1 000解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此 N (n ，k )＝2211112433222222k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦.故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．) 15．(2013湖北，理15)(选修4—1：几何证明选讲)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为______．答案：8解析：设AD ＝2，则AB ＝6， 于是BD ＝4，OD ＝1. 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8， 则CD＝.在Rt △OCD 中，DE＝·OD CD OC ==则83CE ===，EO ＝OC －CE ＝81333-=.因此83=813CE EO =.16．(2013湖北，理16)(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为__________．答案：3解析：将椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数，a ＞b ＞0)化为标准方程为22221x y a b +=(a ＞b ＞0)．又直线l的极坐标方程为πsin 42m ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(m 为非零常数)，即sin cos 222m ρθθ⎛⋅+⋅= ⎝⎭，则该直线的一般式为y ＋x －m ＝0.圆的极坐标方程为ρ＝b ，其标准方程为x 2＋y 2＝b 2.∵直线与圆O相切，∴=b，|m .又∵直线l 经过椭圆C 的焦点，∴|m |＝c .∴c =，c 2＝2b 2.∵a 2＝b 2＋c 2＝3b 2，∴22223c e a ==.∴e =.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖北，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A－3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值． 解：(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A＝1224bc bc ⋅==bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =又由正弦定理得sin B sin C ＝222035sin sin sin 2147b c bc A A A a a a ⋅==⨯=.18．(2013湖北，理18)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎨-=⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =⎧⎨=-⎩故1533n n a -=⋅，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若1533n n a -=⋅，则113153n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为35，公比为13的等比数列，从而1311531 =113mmn na =⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑＝9191<110310m⎡⎤⎛⎫⋅-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则111(1)5n n a -=--，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为－1的等比数列，从而11,21,150,2,mn n m k k a m k k +=+⎧-=-(∈)⎪=⎨⎪=(∈)⎩∑N N 故111m n n a =<∑. 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑. 故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L 成立． 19．(2013湖北，理19)(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是P A ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =u u u r u u u r，记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.(1)解：直线l ∥平面P AC ，证明如下： 连接EF ，因为E ，F 分别是P A ，PC 的中点， 所以EF ∥AC . 又EF平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l .因为l平面P AC ，EF ⊂平面P AC ，所以直线l ∥平面P AC .(2)证明：(综合法)如图1，连接BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，图1所以AC ⊥BC ， 于是l ⊥BC .已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC ⊥l . 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC . 连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ， 所以l ⊥BF .故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角， 即∠CBF ＝β.由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ， 所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ. 又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角， 故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CF BF， 从而sin αsin β＝CF BF CFBF DF DF⋅=＝sin θ， 即sin θ＝sin αsin β.(向量法)如图2，由12DQ CP =u u u r u u u r ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD .以点C 为原点，向量CA u u u r ，CB u u u r ，CP u u u r所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，b,0)，P (0,0,2c )，Q (a ，b ，c )，E 1,0,2a c ⎛⎫⎪⎝⎭，F (0,0，c )．于是1,0,02FE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，QP uuur ＝(－a ，－b ，c )，BF u u u r ＝(0，－b ，c )，所以cos α＝FE QP FE QP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，从而sin α=. 又取平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，可得sin QP QP θ⋅==⋅u u u r u u u r m m ， 设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩取n ＝(0，c ，b )． 于是|cos β|＝||||||⋅=⋅m n m n从而sin β=.故sin αsin β=＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.20．(2013湖北，理20)(本小题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的椭机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝1122P+(700＜X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y. 依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.于是问题等价于求满足约束条件21,7, 3660900, ,0,,, x yy xx yx y x y+≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距2400z最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆、B型车12辆．21．(2013湖北，理21)(本小题满分13分)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m,2n(m＞n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由． 解：依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：2222=1x y a m +，C 2：2222=1x y a n+.其中a ＞m ＞n ＞0，λ＝>1mn.(1)解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |，S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |，图1所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则|BD |＝|OB |＋|OD |＝m ＋n ，|AB |＝|OA |－|OB |＝m －n ；S 1＝12|BD |·|OM |＝12a |BD |， S 2＝12|AB |·|ON |＝12a |AB |.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12=S S λ，则1=1λλλ+-，化简得λ2－2λ－1＝0. 由λ＞1，可解得λ.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ.(2)解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.图2又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||||S BD S AB λ==，即|BD |＝λ|AB |. 由对称性可知|AB |＝|CD |，所以|BC |＝|BD |－|AB |＝(λ－1)|AB |， |AD |＝|BD |＋|AB |＝(λ＋1)|AB |，于是||1||1AD BC λλ+=-.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是2||||2A Bx AD BC x ==② 从而由①和②式可得11λλλ+=(-).③ 令1=1t λλλ+(-)，则由m ＞n ，可得t ≠1，于是由③可解得22222211n t k a t λ(-)=(-). 因为k ≠0，所以k 2＞0.于是③式关于k 有解，当且仅当222221>01n t a t λ(-)(-)， 等价于2221(1)<0t t λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由λ＞1，可解得1λ＜t ＜1， 即11<11λλλλ+<(-)，由λ＞1，解得λ＞，所以当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2； 当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx (k ＞0)，点M (－a,0)，N (a,0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则1d ==，2d ==d 1＝d 2.又S 1＝12|BD |d 1，S 2＝12|AB |d 2，所以12||=||S BD S AB λ=.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-.由点A (x A ，kx A )，B (x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得22222=1A A x k x a m +，22222=1B B x k x a n+，两式相减可得22222222=0A B A B x x k x x a m λ-(-)+， 依题意x A ＞x B ＞0，所以22A B x x >.所以由上式解得22222222A B B A m x x k a x x λ(-)=(-). 因为k 2＞0，所以由2222222>0A B B A m x x a x x λ(-)(-)，可解得<1A B x x λ<. 从而11<<λλλ+-，解得λ＞，所以 当1＜λ≤l ，使得S 1＝λS 2；当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．(2013湖北，理22)(本小题满分14分)设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f (x )＝(1＋x )r ＋1－(r ＋1)x －1(x ＞－1)的最小值；(2)证明：111111<<11r r r r r n n n n n r r ++++-(-)(+)-++；(3)设x ∈R ，记[x ]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，3=12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.令S L [S ]的值．(参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈)(1)解：因为f ′(x )＝(r ＋1)(1＋x )r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x )r －1]，令f ′(x )＝0，解得x ＝0. 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－1,0)内是减函数； 当x ＞0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)证明：由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )≥f (0)＝0，即 (1＋x )r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立， 故当x ＞－1且x ≠0时，有 (1＋x )r ＋1＞1＋(r ＋1)x .①在①中，令1x n =(这时x ＞－1且x ≠0)，得+1111>1+r r n n+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1＞n r ＋1＋n r (r ＋1)，即1111r r rn n n r ++(+)-<+.②当n ＞1时，在①中令1x n=-(这时x ＞－1且x ≠0)，类似可得 1111r r rn n n r ++-(-)>+.③且当n ＝1时，③也成立． 综合②，③得11111111r r r r rn n n n n r r ++++-(-)(+)-<<++.④(3)解：在④中，令13r =，n 分别取值81,82,83，…，125，得4444333333(8180)(8281)44--， 4444333333(8281)(8382)44--＜， 4444333333(8382)(8483)44--＜， ……4444333333(125124)(126125)44--＜．将以上各式相加，并整理得4444333333(12580)(12681)44S --＜＜． 代入数据计算，可得44333(12580)210.24-≈，44333(12681)210.94-≈.由[S ]的定义，得[S ]＝211.。

湖北省武汉市三维设计2013年高考数学二轮复习专题训练：立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α外的直线b 垂直于α内的二条直线，有以下结论：○1b 一定不垂直于α；○2b 可能垂直于平面α；○3b 一定不平行于平面α，其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B2．△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角B-AD-C ，若ba=θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状与a 、b 的值有关的三角形【答案】C3．正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为( )A ．1B ．2C ．12D ．1【答案】A4．已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是( )①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②【答案】A5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】A6．圆锥的侧面展形图是( )A．三角形B．长方形C．圆D．扇形【答案】D7．若＝(2x，1，3)，＝(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则( )A． x＝1，y＝1 B． x＝12，y＝-12C． x＝16，y＝－32D． x＝－16，y＝32【答案】C8．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C9．下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是( )个A．8个B．7个C．6个D．5个【答案】D10．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则−→−AB+1()2BD BC+等于( )A．−→−AG B．−→−CG C．−→−BC D．21−→−BC【答案】A11．已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下面三个命题( )①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m⇒α⊥β. 则真命题的个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【答案】C12．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．下面是关于四棱柱的四个命题（ ）①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱②若四个过相对侧棱的截面则该四棱柱是直四棱柱都垂直于底面， ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱④若四棱柱的两条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱 其中，真命题的编号为 【答案】②④ 14．给出下列命题： ①已知函数f (x)=21()sin 21xx x a ⋅-+-(a 为常数)，且f (lglog 81000)=3，则f (lglg2)=-3； ②若函数f (x)=lg(x 2+ax-a)的值域是R ，则a ∈(-4, 0)；③关于x 的方程1()lg 2xa =有非负实数根，则实数a 的取值范围是(1, 10)；④如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成几何体AEF —AB 1C 1和B 1C 1—EFCB 两部分，其体积分别为V 1，V 2，则V 1:V 2=7:5。

是A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)=A．B．C．D．10.已知为常数,函数有两个极值点.则A. B.C. D.二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。

（1）直方图中x的值为___________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。

12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________。

13．设，且满足：则___________。

14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数……………………………………………………………可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_________________。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆上一点,C在直径上的射影为,点在半径上的射影为.若则的值为.19.（本小题满分12分）如图，是圆的直径,点C是园上异于的点，直线平面分别为的中点（I）记平面与平面的交线为l,试判断l与平面的位置关系,并加以说明；（II）设（I）中的直线l与园的另一个交点为,且点满足,记直线与平面所成的角为 ,异面直线与所成的锐角为，二面角的大小为,求证.20.（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量, 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.P求的值；n（I）（参考数据：若有)（II）某客运公司用两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。

[配套课时作业]1．(2011·广东高考)已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且y ＝x}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2＝1，x ＝y 得2x2＝1，解得x ＝22或x ＝－22， 这时y ＝22或y ＝－22，即A ∩B 中有两个元素． 法二：由集合A 、集合B 表示的几何意义知，集合A 表示圆心为(0,0)的圆，集合B 表示过(0,0)的直线，故有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2.2．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以kl ＝－1kPQ ＝－14－21－3＝1，又直线l 经过PQ 的中点(2,3)， 所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.3．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3C. 3 D ．1解析：选B 圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝222－12＝2 3.4．(2012·安徽高考) 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋ －1 2≤2，化简得|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.5．若直线xc os θ＋ysin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 解析：选A 依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin2θ－1|＝14|cos θ－cos2θ|＝14，cos θ－cos2θ＝14或cos θ－cos2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33. 6．(2012·豫东、豫北名校阶段测试)圆心在曲线y ＝3x(x>0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －32)2＝9 B ．(x －3)2＋(y －1)2＝⎝⎛⎭⎫165 2 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝⎝⎛⎭⎫185 2 D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9解析：选A 设所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫a ，3a (a>0)，则点⎝⎛⎭⎫a ，3a (a>0)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝3a ＋12a ＋35≥2 3a ×12a ＋35＝3，当且仅当3a ＝12a，即a ＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是⎝⎛⎭⎫2，32，半径是3，即所求圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝9.7．经过圆x2＋2x ＋y2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．解析：所求直线过圆：x2＋2x ＋y2＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝08．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为2 3 ，则a ＝________.解析：由题意得公共弦所在直线的方程为y ＝1a x2＋y2＝4的圆心到y ＝1a 的距离为1a，由22＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫1a 2，a>0，得a ＝1. 答案：19．(2012·海淀区期末练习)已知圆C ：(x －1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，圆心C(1,0)到直线l 的距离为|k ＋k|k2＋1，∵直线l 将圆C 分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，∴直线l 被圆所截得的弦所对的圆心角为π2，又圆C 的半径为2， ∴2×cos π4＝|k ＋k|k2＋1，解得，k ＝±33， ∴直线l 的方程为y ＝33(x ＋1)或y ＝－33(x ＋1)． 答案：y ＝33(x ＋1)或y ＝－33(x ＋1) 10．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l1：3x －y －1＝0和l2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1,2)．(1)若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB.而kAB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0；(2)若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1， 即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.11.如图所示，已知圆O ：x2＋y2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A ，B ，求△AOB 面积S 的最大值．解：(1)证明：直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x2＋y2＝4的内部，所以直线m 与圆O 恒有两个相异交点．(2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k2，而圆O 的半径r ＝2，故弦AB 的长为|AB|＝2r2－d2＝24－d2，故△AOB 面积S ＝12|AB|×d ＝12×24－d2×d ＝4d2－d4＝－ d2－2 2＋4. 而d2＝11＋k2，因为1＋k2≥1，所以d2＝11＋k2∈(0,1]． 显然当d2∈(0,1]时，S 单调递增， 所以当d2＝1，即k ＝0时，S取得最大值3，此时直线m 的方程为y －1＝0.12．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆O 内的动点P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求 PA ·PB 的取值范围．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，故圆O 的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1<x2.由x2＝4，即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x ，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得x ＋2 2＋y2· x －2 2＋y2＝x2＋y2， 即x2－y2＝2.PA ·PB ＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y) ＝x2－4＋y2＝2y2－2.由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y2<4，x2－y2＝2，由此得y2<1，所以 PA ·PB 的取值范围为[－2,0)．。

【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习专题二三角函数与平面向量三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函数、平面向量、解三角形，复习这三部分内容应牢牢把握三个点：“角”、“关系”与“运算”，这三个点串成了该部分知识复习的主线．线索一“角”，是三角函数复习线索的中心，该部分知识的复习要围绕“角”这个中心，抓住四个基本点：三角函数的定义、同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角函数的图像与性质、三角恒等变换．(1)任意角的三角函数的定义揭示了三角函数值与坐标之间的关系，要明确三角函数各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．三角函数定义是推导同角三角函数关系的基础；(2)同角三角函数的基本关系和诱导公式是求解三角函数值、对三角函数式进行化简求值的基础，注意角的范围对三角函数值符号的影响，诱导公式要准确记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，化简时要遵循“负变正，钝变锐”的原则，把角化归到锐角范围内进行研究；(3)三角函数的图像与性质是三角函数的重点，准确把握三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等是解决图像问题的关键，如处理三角函数图像平移问题可借助对应两个函数图像的关键点确定平移的单位和方向；根据函数图像写解析式时，要遵循“定最值求A，定周期求ω，定最值点求φ”的基本思路；(4)角的变化是三角恒等变换的关键，熟练记忆和角、差角、倍角的三角函数公式，这是三角函数化简求值的基础，三角函数综合问题的求解都需要先利用这些公式把三角函数解析式化成“一角一函数”的形式，进而研究三角函数的图像与性质，这些公式是联系三角函数各个部分的纽带．线索二三角形中的“边角关系”，这是解三角形问题的核心，主要涉及正弦定理、余弦定理及解三角形的实际应用问题．(1)正弦定理、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，应注意定理的灵活变形，如a ＝2Rsin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角；(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B)＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等；利用“大边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；(3)测量问题是解三角形在实际应用中的主要内容，解决问题的关键是把要测量的问题归入到相应的三角形中，然后利用正、余弦定理求解相应的边角．线索三平面向量的“基本运算”，这是平面向量中的重点，主要包括线性运算、数量积运算以及坐标运算．(1)正确理解平面向量的基本概念和基本定理是实施平面向量基本运算的基础，如利用相反向量可把向量的减法转化为向量的加法；(2)平面向量的线性运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础，如“a ∥b ”的必要不充分条件是“存在实数t ，使得b ＝ta ”，因为若a ＝0，b ≠0，虽然有a ∥b ，但实数t 不存在； (3)数量积是平面向量中的一种重要运算，坐标运算是平面向量的核心知识，涉及夹角、距离等的基本运算，是历年高考命题的重点，要准确记忆相关公式；(4)平面向量多作为解决问题的工具或者通过运算作为条件出现，常与三角函数、解三角形以及平面解析几何等问题相结合，在复习中要重视向量在解决此类问题时的应用．第一节三角函数的图像与性质1．巧记六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．3．识破三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――→横坐标变为原来的1 ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx――――――――→向左 φ>0 或向右 φ<0 平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)．[考情分析] 高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图像及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图像判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图像、诱导公式及同角三角函数关系的应用等．[例1] 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4[思路点拨] 由三角函数定义求出tan θ值，再由θ的范围，即可求得θ的值． [解析] tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.[答案] D[类题通法]1．用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；2．同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件． [冲关集训]1．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a 1log 3a(a>0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为( ) A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010解析：选B 由题意可知tan(3π＋α)＝13，所以tan α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. [考情分析] 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定A 、ω、φ问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，主要考查识图、用图能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．[例2] (2012·陕西高考)函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．[思路点拨] (1)利用最值求出A 的值．再利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离求出周期，从而得出ω＝2，进而得解；(2)结合已知条件得出关于角α的某一个三角函数值，再根据α的范围易求得α的值．[解] (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π.∴ω＝2.∴函数f(x)的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，∴α＝π3.[类题通法]1．确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 解析式的方法(1)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，求解析式，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图像的升降找准第一个零点的位置． (2)给出y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的图像求解析式，参数A ，B ， A ＝最大值－最小值2，B ＝最大值＋最小值2；2．函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像变换的技巧及注意事项(1)函数图像的平移变换规则是“左加右减”．(2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换．(3)变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． [冲关集训]3．(2012·济南一模)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2解析：选D y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3―――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――――→向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.因为当x ＝π2时，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2－π4＝1，所以对称轴可以是x ＝π2. 4．(2012·天津高考)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D 将函数f(x)＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f(x)＝sin ω(x －π4)＝sin(ωx －ωπ4)．又因为函数图像过点(3π4，0)，所以sin(3ωπ4－ωπ4)＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k(k ∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2. 5．(2012·衡水模拟)若函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点与最低点，且OM ·ON＝0，则A ·ω＝( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3解析：选C 由题中图像知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ， 由OM ·ON＝0，得7π2122＝A2，所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. [考情分析] 三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法． [例3] (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x .(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．[思路点拨] 先化简函数解析式，再求函数的性质． [解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}． 因为f(x)＝ sin x －cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z)．[类题通法]函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． [冲关集训]6．(2012·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D 因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数．7．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.8．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称；④函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x 的图像可知，函数f(x)的图像关于直线x＝π4不对称，③错误；由f(x)的图像易知函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确． 9．设函数f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R. (1)若ω＝12，求f(x)的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ，当ω＝12时，f(x)＝sin x 2－cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4， 又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f(x)的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x|x ＝3π2＋4k π，k ∈Z}．(2)法一：因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 所以，x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z ， 又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z.法二：x ＝π8是f(x)的一个零点⇔f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ωπ8－cos ωπ8＝0， 即tan ωπ8＝1.所以ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k<1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 以下同法一．“观看”数学思想在三角函数中的精彩应用许多三角函数问题，如能灵活运用相应的数学思想(数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、整体思想)，往往能使一些抽象的、复杂的三角问题迅速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法．[典例] 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．[思路点拨] 利用转化思想把方程问题化为函数问题，再利用数形结合法求解．[解] (1)由图像知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2，又图像过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2.即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m(m ∈R)的图像，如图所示，由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2. 当－2<m<1时，两根之和为4π3； 当1<m<2时，两根之和为π3.[名师支招]本题将方程的根的问题转化成两个函数图像交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解，从函数图像上可以清楚地看出当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图像的对称性便可求出两根之和． [高考预测]函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x ∈R 都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x2－x1|的最小值为________． 解析：依题意得，当sin πx －cos πx ≥0，即sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx －cos πx<0，即sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图像可知，|x2－x1|的最小值是34.答案：34[配套课时作业]1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：选A 记α＝∠POQ ，由三角函数的定义可知，Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos α＝cos23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.2．(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan2 θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan2 θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin2 θ＋cos2 θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3解析：选B 由于函数f(x)＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像，可知π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32. 4．(2012·福州质检)将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后，所得到的图像对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B .⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选 B 将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图像向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图像，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.5．(2012·山西考前适应性训练)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<5,0≤φ≤π2)的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝－1，则ω＝( ) A.113 B ．4 C.133 D.143解析：选D 依题意得，f(0)＝sin φ＝32，又0≤φ≤π2，因此φ＝π3.由f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ω×π4＋π3＝－1得ω×π4＋π3＝2k π－π2，ω＝8k －103，k ∈Z ；又0<ω<5，于是有0<8k －103<5，512<k<2524，k ∈Z ，因此k ＝1，ω＝143.6．已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：选B 法一：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f(x)在[0，π6]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f ⎝⎛⎭⎫π7，所以c<a<b.法二：f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，显然f(x)的最小正周期T ＝2π，一个对称轴为x ＝π6.因为⎪⎪⎪⎪π6－π6<⎪⎪⎪⎪π7－π6<⎪⎪⎪⎪π3－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，即c<a<b.7．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：r ＝x2＋y2＝16＋y2， 且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.答案：－88．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：∵f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，且f(x)的最大值是3<2，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，即sin π4ω＝32， ∴π4ω＝π3，∴ω＝43. 答案：439．函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1，给出下列四个命题：①函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上是减函数； ②直线x ＝π8是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度而得到；④若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f(x)的值域是[]－1，2.其中所有正确命题的序号是________．解析：∵f(x)＝2cos2x ＋sin 2x －1＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，即f(x)的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．∴命题①正确．又∵x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是函数图像的一条对称轴，∴命题②正确．又∵f(x)可由y ＝2sin 2x 的图像向左平移π8个单位长度而得到，∴命题③错误．又∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1， 2 ]， 即f(x)∈[－1， 2 ]，∴命题④正确． 答案：①②④10．(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2cos2x －1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)法一：因为f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.法二：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，因为－π4≤x ≤π4，则－π2≤2x ≤π2，则－π4≤2x ＋π4≤3π4.所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，即－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 2. 所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.11．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f(x)＝－sin x.(1)作出y ＝f(x)的图像； (2)求y ＝f(x)的解析式．解：(1)y ＝f(x)的图像如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，因函数y ＝f(x)图像关于直线x ＝π4对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f(x)＝－sin x ，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.12.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图像的一部分如右图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图像经过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0.又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23， ∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值为－2 2.第二节三角变换与解三角形1．“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α.②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.③tan 2α＝2tan α1－tan2α.2．“熟记”两个定理 (1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C.(2)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A ＝b2＋c2－a22bc ，cos B ＝a2＋c2－b22ac ，cos C ＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A ，a2＋c2－b2＝2accos B ， a2＋b2－c2＝2abcos C.[考情分析] 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用．高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题．[例1] (2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R. (1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．[思路点拨] (1)可以直接代入求值．(2)首先要化简条件得sin α，cos β，然后用和角公式sin(α＋β)计算．[解] (1)f(0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. (2)由f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，即2sin α＝1013，所以sin α＝513.由f(3β＋2π)＝65，得2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65， 即2cos β＝65，所以cos β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin2α＝1213，sin β＝1－cos2β＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×35＋1213×45＝6365. [类题通法]三角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换．特别是“1”的代换，如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等． (2)项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin2x ＋2cos2x ＝(sin2x ＋cos2x)＋cos2x ＝1＋cos2x ；配凑角：α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等．(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次．(4)化弦(切)法．将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)．(5)引入辅助角．asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba确定．[冲关集训]1．(2012·深圳调研)已知直线l ：xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( ) A ．－73B.73C.57D ．1 解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.2．(2012·哈师大附中模拟)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525解析：选A 依题意得sin α＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2 α＋β ＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.3．(2012·德州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sin x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．解：(1)∵f(x)＝2cos2x2－3sin x＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴周期T ＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.[考情分析] 正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．[例2] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为 3，求b ，c.[思路点拨] (1)由题设以及正弦定理得到关于A 的三角函数值，进而求得A 的值．(2)由面积公式以及余弦定理得到b 与c 的方程组，进而求得b 与c 的值． [解] (1)由acos C ＋3asin C －b －c ＝0得 sin Acos C ＋3sin Asin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝3，故bc ＝4.而a2＝b2＋c2－2bccos A ，故b2＋c2＝8. 解得b ＝c ＝2. [类题通法] 解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C. [冲关集训]4．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725. 5．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin ∠B ＝bsin ∠A a ＝3sinπ33＝12，所以∠B ＝π6或5π6(舍去)，所以∠C ＝π－∠A －∠B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π26．(2012·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C. (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c. 解：(1)由3cos(B －C)－1＝6cos Bcos C ， 得3(cos Bcos C －sin Bsin C)＝－1， 即cos(B ＋C)＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C)＝13.(2)由于0<A<π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bcsin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A ，得b2＋c2＝13.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b2＋c2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.[考情分析] 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．[例3] 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数求解S 的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题． [解] (1)设相遇时小艇航行距离为S 海里，则 S ＝900t2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，Smin ＝103，v ＝303，即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小．(2)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·(30t)·cos(90°－30°)， 化简得v2＝400t2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675， 由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v2＝400t2－600t ＋900，令1t＝μ(μ>0)，于是有400μ2－600μ＋900－v2＝0，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧600 2－1 600 900－v2 >0，900－v2>0，解得：153<v<30，所以v 的取值范围为(153，30)． [类题通法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[冲关集训]7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CDsin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BCtan 60°＝10 6.答案：10 68．(2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2＝1.414，3＝1.732) 解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC ·BC ＝82＋52－AB22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD2＋BD2－AB22AD ·BD ＝72＋72－AB22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，③解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BDsin D ，S △ABC ＝12AC ·BCsin C ，因为AD ·BD>AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD>S △ABC.故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝∠C ＝60°. 故S △ABC ＝12AC ·BCsin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 0003≈86 600元．透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：①未能牢记三角公式；②不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法．三角函数的求值、求角问题包括：(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； (2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．[典例] (2011·天津高考)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． [思路点拨] (1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值．[解] (1)由三角函数的定义得2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π8＋k π2，k ∈Z.∴f(x)的定义域为{x|x ≠π8＋k π2，k ∈Z}，f(x)的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos2α－sin2α)， 整理得：sin α＋cos αsin α－cos α＝2(sin α＋cos α)(sin α－cos α)．∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴sin α＋cos α≠0.∴(sin α－cos α)2＝12.∴sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α＝π6，α＝π12.[名师支招]利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用．求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围．总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变． [高考预测]已知向量OA ＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA－n)．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)． 解：(1)∵OA＝(cos α，sin α)， ∴OA－n ＝(cos α，sin α＋5)，∵m ⊥(OA －n)，∴m ·(OA－n)＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②联立方程解得cos α＝－255，sin α＝－55，∴OA＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210， 又∵0<β<π，∴sin β＝7210，且π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45， cos 2α＝2cos2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22.[配套课时作业]1．(2012·威海模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，则tan 2α＝( )A.43 B ．－43 C ．－2D ．2解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，cos α＝－55，所以sin α＝－1－cos2α＝－255.所以tan α＝2.则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3解析：选D 由二倍角公式可得sin2α＋1－2sin2α＝14，sin2α＝34，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32.即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 3．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724C.247D.724解析：选D ∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan 2β＝2tan β1－tan2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝724. 4．(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：选C 原式＝sin 30°＋17° －sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－435.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 6．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a>b>c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n>1，且n ∈N*)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)· n ＋1 2＋n2－ n ＋2 22n n ＋1 ，化简得7n2－13n－60＝0，n ∈N*，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶si n C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：代入余弦定理公式得：b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：48．(2012·烟台模拟)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：因为cos2α＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12，即cos2α＋cos 2α＝12，所以cos2α＋2cos2α－1＝12.整理得3cos2α＝32，所以cos α＝22(因α为锐角，所以取正)．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（湖北卷）解析本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1． 在复平面内，复数2i 1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查复数的概念、运算、共轭复数及复平面等知识． 解题思路：先化简复数，然后求出复数对应的点的坐标． 解答过程：因为()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，所以z 的共轭复数1i z =-．其对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故选D ．规律总结：对于复数的除法运算，一般是分子分母同时乘以分子的共轭复数，从而化简;运算计算时要注意2i 1=-而不是1．主题2． 已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =≤，2{|680}B x x x =-+≤，则A B =R C （ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|24}x x ≤≤ C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查合的补集、交集运算，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性等．解题思路：先化简集合，然后求B R C ，A B R C ．解答过程：易知集合{}|0A x x =≥，{}|24B x x =≤≤，故{}|24B x x x =<>R C 或，从而{}|024A B x x x =≤<>R C 或．故选C ．规律总结：集合的基本运算是高考热点之一，一般会与不等式等内容结合起来考查，难度较小．主题3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨ 答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查逻辑联结词、复合命题的判断．解题思路：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．”解答过程：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．又命题p 是“甲降落在指定范围”，可知命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”； 同理，命题q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()()p q ⌝∨⌝．规律总结：对于逻辑联结词问题，关键是要明白各个常见的逻辑联结词所表示的含义，同时理解命题本身的意义．主题4．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角函数图象的对称性、奇偶性、平移以及辅助角公式等． 解题思路：先求出平移后函数的解析式，再根据奇偶性列式求解． 解答过程：将函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位后，得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由题意，函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，故()32m k k πππ+=+∈Z ，解得()6m k k ππ=+∈Z ．故当0k =时，m 取得最小正值6π．故选B ．规律总结：若三角函数()sin y a x ωϕ=+为偶函数，则()2k k πϕπ=+∈Z ；若三角函数()sin y a x ωϕ=+为奇函数，则()k k ϕπ=∈Z ．主题5． 已知04πθ<<，则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率的基本性质以及三角函数的恒等变换．解题思路：根据双曲线的定义求解． 解答过程：因为04πθ<<，所以cos 0sin 0θθ>>，． 对于双曲线1C ，实半轴cos a θ=，虚半轴sin b θ=，则半焦距1c =，故离心率为1cos c e a θ==；对于双曲线2C ，实半轴'sin a θ=，虚半轴2sin 'cos b θθ=，则半焦距sin 'cos c θθ==，故离心率为sin '1cos ''sin cos c e a θθθθ===； 故两双曲线满足离心率相等．故选D ．规律总结：求解本题的关键是要深刻理解双曲线的性质，以及仔细审题，切忌疏忽大意． 主题6．已知点(1,1)(1,2)(2,1)(3,4)A B C D ---、、、，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）AB．2C．2D答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查向量的基本运算、数量积和向量投影． 解题思路：先求出向量,AB CD 的坐标，然后运用cos AB θ求解．解答过程：由已知得()()2,1,5,5AB CD ==，所以2,15,5cos 5AB CD AB CDθ==10=．故向量AB 在CD 方向上的投影为cos 102AB θ==．故选A ．规律总结：向量a 在b 方向上的投影为cos θ==a b a ba a ab b．主题7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t的单位：s ，v 的单位m/s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）A ．1+25ln 5B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查一元二次方程的求解，定积分计算和实际应用． 解题思路：弄清汽车从刹车到停止所花的时间，然后用定积分求解． 解答过程：由()257301v t t t=-+=+，化简得：()()3840t t +-=， 解得83t =-（舍去）或4t =．故汽车行驶4秒后停止． 所以在此期间汽车继续行驶的距离是：()()442400025373725ln 1|425ln 512S v t dt t dt t t t t ⎛⎫⎡⎤==-+=-++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰．故选C ．规律总结：定积分在不同的条件下所表达的含义是不一样的．本题中，速度和时间关系式的定积分的意义就是汽车行驶距离．如若未能理解这一点，将难以快速有效的解题．主题8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第8题图答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查空间几何体的体积计算以及旋转体、多面体的三视图的识别． 解题思路：弄清从上到下各几何体的形状，然后运用各尺寸及各形体体积公式求解． 解答过程：根据题目提供的信息：上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，观察几何体的三视图，可知：该几何体从下到上分别是棱台、正方体、圆柱、圆台．根据已知尺寸，可求得各几何体的体积分别为：()117433V πππππ=+=，22122V ππ=⨯⨯=，3328V ==，()412816433V =+=，因为7282833ππ<<<，所以2134V V V V <<<． 故选C ．规律总结：对于三视图求体积问题，一般先要将三视图还原为直观图，然后根据几何体的特征及体积公式求解；圆台（棱台）的体积公式为：()1'3V S S h=+． 主题9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查概率、随机变量的均值，以及空间想象的能力，分类讨论的能力．解题思路：先观察求出面数分别为3，2，1，0的小正方体的个数，然后求各概率． 解答过程：通过观察可知，涂漆面数为3面的小正方体有8个，涂漆面数为2面的小正方体有31236⨯=个，涂漆面数为1面的小正方体有9654⨯=个，则涂漆面数为0面的小正方体有1258365427---=个．则()()()83654,,125125125P P P X X X =3==2==1=，()27125P X =0=．()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选B ．规律总结：求解均值关键是求各随机变量取值下的概率，本题难点在于涂漆面数分别为3，2，1的小正方体的个数的求解；另外，牢记一个公式：()()()121n P x P x P x +++=…，对于最后一个不好求的概率，往往可以利用该公式求解，事半功倍．主题10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查导数的应用，函数的极值，不等关系以及函数与方程思想，数形结合的数学思想等．解题思路：先求出极值点()1212,x x x x <所满足的方程；然后通过假设方程l n 21x a x -+ ()00x =>只有一根，来求出12,,a x x 的范围;最后利用等量关系转化，结合不等式知识与导数知识求()()12,f x f x 的范围．解答过程：因为()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，又12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是方程ln 210x ax -+=的两根．假设方程()ln 2100x ax x -+=>只有一根，数形结合，即：直线21y ax =-与曲线ln y x =相切． 设切点为()00,ln x x ，则切线方程为()0001ln y xx x x -=-，即001ln 1y x x x =+-．又切线方程为21y ax =-，对比得012,1ln 1,a x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得01,21.a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故若要使直线21y ax =-与曲线ln y x =相交， 即：函数()()ln f x x x ax =-有2个极值点，需满足1210,201,1.a x x ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩因为()()()111111ln 1f x x x ax x ax =-=-（利用11ln 210x ax -+=转化），且易知1112ax <<，所以()1110x ax -<．即()10f x <． 同理，()()()222222222ln 11ln ln ln 122x f x x x ax x x x x +⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭（利用22ln 210x ax -+=转化）． 令()()1ln 12g x x x =-，则()1'ln 2g x x=． 当1x >时，()'0g x >，故函数()g x 在()1,+∞上单调递增．又21x >，所以()()()22211ln 1122g x x x g =->=-．即：()()22211ln 122f x x x =->-．故选D．规律总结：巧妙利用导数求极值，利用数形结合思想解决方程根的问题是解决本题的关键所在．若按常规方法求解，则极易出错或加大解题难度．第Ⅱ卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）主题11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中x的值为___________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为___________．第11题图答案：（Ⅰ）0.0044；（Ⅱ）70思路分析：考点解剖：本题主要考查频率分布直方图、识图看图的能力．解题思路：（Ⅰ）利用频率和为1求解；（Ⅱ）先求出用电量落在区间[100，250）内的频率，再用100乘以频率，即得用电量落在区间[100，250)内的户数．解答过程：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：()x+++++⨯=，0.00240.00360.00600.00240.0012501解得0.0044x=；（Ⅱ）用电量落在区间[100,250）内的频率是：()++⨯=，0.00360.00600.0044500.7则用户数为1000.770⨯=．规律总结：解决简单的统计知识在实际中的应用的问题的关键是正确识图、提取有用信息，理解统计图中各个量的意义．主题12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________．答案：5思路分析：考点解剖：本题主要考查程序框图的应用．解题思路：分步求解,ia=时，输出的i值即为所求．a的值，只到4解答过程：由算法框图知：第一次运行时：5,i2a=；a==，不满足4第二次运行时：16,i3a=；a==，不满足4第三次运行时：8,i4a=；a==，不满足4第四次运行时：4,i5a=，a==，满足4故输出i5=．规律总结：程序框图问题，关键是要根据不同条件，执行不同的步骤，从而推理出正确的结论．主题13．设,,x y z ∈R，且满足：2221,23x y z x y z ++=++=则x y z ++=___________．思路分析：考点解剖：本题主要考查柯西不等式的应用．解题思路：利用柯西不等式，得到等号成立的条件，比较即可求得,,x y z 的值． 解答过程：根据柯西不等式，得：()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，当且仅当存在实数k ，使得,2,3x k y k z k ===时，等号成立．由于题目已知2221,23x y z x y z ++=++=所以此时,2,3x k y k z k ===，代入23x y z ++=k =，所以x y ==，z =．所以7x y z ++=． 规律总结：三维形式的柯西不等式为：()()222222123123aa ab b b ++++≥()2112233a b a b a b ++，当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时等号成立．主题14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(+1)11=+222n n n n ．记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数211(,3)=+22N n n n正方形数 2(,4)=N n n五边形数231(,5)=-22N n n n六边形数2(,6)=2-N n n n………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________________． 答案：1000 思路分析：考点解剖：本题主要考查观察、猜想、推理能力．解题思路：将三角形数、正方形数、五边形数、六边形数的表达式通分，观察分子与项数n 的区别，归纳猜想即可．解答过程：通过观察，表达式可做如下变形： 三角形数：()()()223243,322n n n n N n -+-+==;正方形数：()()()22424420,422n n n n N n -+-+==;五边形数：()()()2252453,522n n n n N n -+--==;六边形数：()()()22624642,622n n n n N n -+--==;……………………………………………观察每个分式的分子，特别是2n 与n 前面系数的变化规律，发现2n 前的系数以1递增，n 前的系数以1递减，于是根据规律，可以推测：()()()224,2k n k n N n k -+-=． 所以()()()2242104241010,2410002N -+-==． 规律总结：在归纳、推理过程中，关键是要有敏锐的观察力．通过变形，找出前几项的表达式与项数之间的关系，从而推出一般形式下的表达式．对于一般表达式，还要代入题目条件进行验证，以免出错．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）主题15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CE EO的值为 ．答案：8 思路分析：考点解剖：本题主要考查几何证明、圆、相似三角形的性质．解题思路：先求出,OD OC 的等量关系；然后利用相似三角形的性质求解． 解答过程：由已知3,2AB AD AB OA ==， 所以23AD OA=， 所以13OD OA=． 又由圆的性质可知，OA OC =，得：13OD OC=． 又因为C 在直径AB 上的射影为D ，D 在半径OC 上的射影为E ， 知：CDO DEO ∆∆，所以ODEO OC OD=，所以19EO OC=． 故8CEEO=．规律总结：几何证明选讲主要考查简单推理证明能力，难度一般较小．在证明过程中要严谨，以免出错．主题16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴为正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭()m m 为非零常数与=b ρ．若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的参数方程，直线、圆的极坐标方程与平面直角坐标系方程的转化．解题思路：先将参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，进而结合直线与圆的位置关系求解．解答过程：由已知椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），求出其直角坐标方程为()222210x y a b a b +=>>；同样， 由已知条件可求出直线l 与圆O 的直角坐标方程分别为：0x y m +-=，222x y b +=． 因为直线l 经过椭圆C 的焦点，所以||c m =． 又直线l 与圆O 相切，则圆心()0,0O 到直线l的距离为b=，得：||m =．故c =．又因为222a b c =+，所以3ca =， 即：椭圆C规律总结：坐标系和参数方程问题，一般步骤都是将参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用圆锥曲线的性质解题．在不同的坐标系的转化过程中要小心，避免造成不必要的失分．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 主题17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ．已知()cos23cos 1A B C -+=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值． 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用． 解题思路：（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得c ，再利用余弦定理求得a ，最后利用正弦定理求解．解答过程：解：（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得：22cos 3cos 20A A +-=， 即：(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0πA <<，所以π3A =．（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得：20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得：2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a = 又由正弦定理得：222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．规律总结：解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．主题18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查等比数列的性质，通项公式，前n 项和与不等式的综合应用．同时考查分类讨论的数学方法．解题思路：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式表示123,,a a a ，然后联立方程组求解；（Ⅱ）先利用{}na 的通项公式表示出1{}na 的通项公式，然后利用等比数列求和公式及分类讨论求解．解答过程：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故：1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-． （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故：1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]11031013mmm n na =⋅-==⋅-<<-∑． 若1(5)(1)n na -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--， 故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列．从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N ,故111m n n a =<∑． 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． 规律总结：本题考查等差数列的通项公式、求和公式与解方程、不等式的综合运用．解决数列与其他知识的综合应用问题应对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，然后运用数列的性质进行分析、转化从而解题．主题19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP=．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．思路分析：考点解剖：本题主要考查空间中线线、线面、面面关系的应用及空间想象能力，推理能力．解题思路：（Ⅰ）先证明直线//EF 平面ABC ，再证明//EF l ，从而得出：直线//l 平面PAC ；（Ⅱ）方法一：利用线面、面面关系、二面角的性质先找出直线l 为直线BD ，角θ为CDF ∠，角α为BDF ∠，角β为CBF ∠，然后求证．方法二：建立适当的空间直角坐标系，将几何问题转化为向量的坐标运算．解答过程：解：（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF平面ABC l =，所以EF ∥l ．因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ． 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥． 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥． 而PCBC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=． 由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP=． 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =． 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=． 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BF β=，从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=． （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP=． 第19题解答图1 第19题解答图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ． 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===， 则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ． 于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-， 所以||cos||||FE QP FE QP aα⋅==⋅，从而sin α=又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得：||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得：10,20.ax bycz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅=⋅m n m n ，从而sinβ=． 故：sin sin sin αβθ===，即：sin sin sin θαβ=．规律总结：常规方法解决立体几何问题要注意充分利用各种性质定理、判定定理，挖掘出隐含的条件；利用空间向量解决立体几何问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系．以上两点，可有效减少出错的几率．主题20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．） （Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?思路分析：考点解剖：本题主要考查正态分布、线性规划的实际应用． 解题思路：（Ⅰ）利用正态分布的定义和性质求解；（Ⅱ）根据题目条件先列出A B 、型号汽车数量需要满足的关系式，然后作图，利用可行域解题．解答过程：解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=． (700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，可得：0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=． （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +． 依题意，, x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ． 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．规律总结：线性规划问题，目标函数的最值一般在可行域边界的几个顶点处取得．但当顶点坐标(,)x y 中的,x y 为非整数或负数时，我们还必须注意考虑,x y 的实际意义，以免出错．主题21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为()2,2m n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的性质、圆锥曲线的综合应用以及分类讨论的思想方法．解题思路：（Ⅰ）方法一：先利用椭圆的代数性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．方法二：利用椭圆的几何性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．（Ⅱ）方法一：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出||||AD BC 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出||||AD BC 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．方法二：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出A Bx x 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出A Bx x 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．解答过程：解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.m n λ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则： 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得：2210λλ--=．由1λ>，可解得：1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则：||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则：因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=． 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是：||1||1AD BC λλ+=-． ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =．根据对称性可知C B x x =-，D Ax x =-，于是：2||||2A B x AD BC x ==②从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图21(1)λλλ+-． ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >．于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<．由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则：因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11AB xx λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B BB x kx 分别在C 1，C 2上，可得：222221A A x k x a m +=，222221B Bx k x a n +=，两式相减可得：22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A Bx x >．所以由上式解得：22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A BB A m x x a x x λ->-，可解得：1AB x x λ<<． 从而111λλλ+<<-，解得：1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．规律总结：本题是涉及圆锥曲线的存在性问题，此类问题一般分为探究条件和探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论．主题22．（本小题满分14分） 设n 是正整数，r 为正有理数．（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值； （Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S =+，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）思路分析：考点解剖：本题主要考查导数、函数单调性、不等式证明以及分类讨论、推理能力． 解题思路：（Ⅰ）先求出函数()f x 的导函数，然后利用导函数的性质求最小值； （Ⅱ）通过取11,x x n n==-，利用函数()f x 的单调性求证；（Ⅲ）令13r =，n 分别取值81,82，…，125，利用（Ⅱ）的结论解题．解答过程：解：（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =． 当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即：1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++． ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+．上式两边同乘1r n +，得：11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即：11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得： 11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立． 综合②，③得：1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得： 44443333338180(8281)44-<-（）， 44443333338281(8382)44--（）， 44443333338382(8483)44-<<-（， ………4444333333125124(126125)44-<<-（）． 将以上各式相加，并整理得：444433333312580(12681)44S -<<-（）． 代入数据计算，可得：4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥． 规律总结：本题要注意通过取特殊值1x n=-，从而与不等式的证明巧妙的联系在一起．在解题过程中要注意定义域的范围的确定，否则极易出错．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为AB C ． D ．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+C ．425ln 5+D ．450ln 2+第8题图8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．75 10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________.第11题图12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++=_________.第9题图14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值. 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）D EOBA 第15题图C如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q满足12D Q C P =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：s i n s i n s i n θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△B D M 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S + S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，43350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17． （Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.第21题图（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-. （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC .第19题解答图1第19题解答图2因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=. （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.m n λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.第20题解故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③第21题解答图1第21题解答图2令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>，所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.22． （Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①第11页（共11页） 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n +++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ② 当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得 11(1).1r r r n n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44--（），444433333382(8382)44-<-（，44443333338382(8483)44-<<-（， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。

湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共12页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ðA ．{0}x x ≤B ．{24}x x ≤≤C ．{024}x x x ≤<>或D ．{024}x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝ C ．()p ⌝∧()q ⌝ D ．p ∨q4．将函数sin ()y x x x +∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π65．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为ABC． D．7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第2页（共6页）9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X = A ．126125 B ．65C ．168125D ．7510．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图示.第11题图 第12题图第8题图第9题图第3页（共6页）（Ⅰ）直方图中x 的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为_________. 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =_________.13．设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++x y z ++=_________. 14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10， ，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出 了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n n n =-， ………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴 为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数） 与b ρ=. 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.OD E BA第15题图C第4页（共6页）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆. 若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?第19题图第5页（共6页）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图第6页（共6页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．B 10．D 二、填空题11．（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 12．5 1314．1000 15．8 16三、解答题 17．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =. 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.（Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑.若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，第7页（共6页）从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立.19．（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC .（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC . 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥.已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥. 而PC BC C = ，所以l ⊥平面PBC .连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥.故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=.由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD .连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=. 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得第19题解答图1第19题解答图2第8页（共6页）sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=. （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP = ，作DQ ∥CP ，且12DQ CP =.连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD . 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ,1(,0,),(0,0,)2E a cF c .于是1(,0,0)2FE a = ，(,,)QP a b c =-- ，(0,,)BF b c =- ，所以||cos ||||FE QP FE QP α⋅==⋅sin α=.又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m，可得||sin ||||QP QP θ⋅==⋅ m m设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得10,20.ax by cz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n .于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n，从而sin β==.故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=.20．（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=(700900)0.9544P X <≤=.由正态分布的对称性，可得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=.第20题解答图第9页（共6页）（Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +.依题意, , x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥.由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥. 于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R .由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n+=. 其中0a m n >>>， 1.mn λ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.第21题解答图1第21题解答图2第10页（共6页）（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x == ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③ 令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.第11页（共6页）因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-. 因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<. 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=.22．（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③且当1n =时，③也成立.综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得第12页（共6页）44443333338180(8281)44--（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得444433333312580(126)44S -<<-（. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）. 由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。

2013年湖北高考数学试题及答案（理科)一、选择题1． 在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限1．D [解析] z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i(1－i)＝1＋i ，z ＝1－i ，z 对应的点在第四象限，选D.2． 已知全集为，集合A ＝，B ＝{x|x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁B)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x ≤2或x ≥4}2．C [解析] A ＝{x|x ≥0}，B ＝{x|2≤x ≤4}，∁B ＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C. 3． 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(⌝p)∨(⌝q)B ．p ∨(⌝q)C ．(⌝p)∧(⌝q)D ．p ∨q3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.4． 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π64．B [解析] 结合选项，将函数y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移π6个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B.5． 已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2 θ－y 2sin 2 θ＝1与C 2：y 2sin 2 θ－x 2sin 2 θtan 2 θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等5．D [解析] e ＝c a ＝1＋b 2a 2，C 1与C 2的b 2a2＝tan 2 θ，故e 1＝e 2，选D.6． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 1526．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22，选A.7． 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 27．C [解析] 令v(t)＝0，得3t 2－4t －32＝0，解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，求定积分得行驶距离为s ＝⎠⎛04v(t)dt ＝⎠⎛04(7－3t ＋251＋t )dt ＝[7t －32t 2＋25ln(1＋t)]⎪⎪⎪ )40＝4＋25ln 5，选C. 8． 一个几何体的三视图如图1－1所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图1－1A ．V 1<V 2<V 4<V 3B ．V 1<V 3<V 2<V 4C ．V 2<V 1<V 3<V 4D ．V 2<V 3<V 1<V 48．C [解析] 由图知组成该几何体的从上到下的简单几何体为圆台，圆柱，棱柱，棱台，其体积分别为V 1＝7π3，V 2＝2π，V 3＝8，V 4＝283，选C.9． 如图1－2所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )图1－2A.126125B.65C.168125D.759．B [解析] X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65，选B.10． 已知a 为常数，函数f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f(x 1)>0，f(x 2)>－12B ．f(x 1)<0，f(x 2)<－12C ．f(x 1)>0，f(x 2)<－12D ．f(x 1)<0，f(x 2)>－1210．D [解析] f′(x)＝ln x －(2ax －1)＝0ln x ＝2ax －1，函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －1的图像有两个交点，令y 1＝ln x ，y 2＝2ax －1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a ≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y ′1＝1x，故曲线y ＝ln x 上的点(x 0，ln x 0)处的切线方程是y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x 0＝－1，解得x 0＝1，故过点(0，－1)的曲线y ＝ln x 的切线斜率是1，故2a ＝1，即a ＝12，所以a 的取值范围是(0，12)．因为0<x 1<1<x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)>0，f(x)递增，f(1)＝－a ，f(x 1)<f(1)＝－a<0，f(x 2)>f(1)＝－a>－12，选D.11． 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．图1－311．(1)0.004 4 (2)70 [解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x ＋0.006 0)×50＝1x ＝0.004 4.(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.12． 阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i ＝________.图1－412．5 [解析] 逐次运算结果是a ＝5，i ＝2；a ＝16，i ＝3；a ＝8，i ＝4；a ＝4，i ＝5，满足条件，输出i ＝5.13． 设x ，y ，z ∈，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.13.3 147 [解析] 由柯西不等式得(x 2＋y 2＋z 2)(1＋4＋9)＝14≥(x ＋2y ＋3z)2＝14，当x 1＝y 2＝z 3时取“＝”，故x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，则x ＋y ＋z ＝3 147. 14． 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N(n ，4)＝n 2，五边形数 N(n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N(n ，6)＝2n 2－n ， ……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1 000 [解析] 观察得k 每增加1，n 2项系数增加12，n 项系数减少12，N(n ，k)＝k －22n 2＋(4－k)n2，故N(10，24)＝1 000.图1－515． (选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．15．8 [解析] 设AB ＝6k ，则AD ＝2k ，DO ＝k ，CO ＝3k ，设EO ＝x ，由射影定理：DO 2＝EO·CO ，k 2＝x·3k ，x ＝k 3，故CEEO ＝3k －k 3k3＝8.16． (选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin (θ＋π4)＝22m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．16.63[解析] 直线l 的直角坐标方程为x ＋y －m ＝0，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线与圆相切得：m 2＝2b 2.又椭圆C 的一般方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线过椭圆焦点，故m ＝c ，所以c 2＝2b 2e ＝c a ＝63.17． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sin Bsin C 的值．17．解： (1)由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0.即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，因为0<A<π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bcsin A ＝12bc ·32＝34bc ＝5 3，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理得sin Bsin C ＝b a sinA c a sin A ＝bc a 2sin 2 A ＝2021×34＝57.18． 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．18．解： (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35(13)n －1，故{1a n }是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n＝35[1－（13）m ]1－13＝910[1－(13)m ]<910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k ∈N ＋），0，m ＝2k （k ∈N ＋），故∑n ＝1m 1a n <1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．19．， 如图1－6所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．(1)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足DQ →＝12CP →.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E －l －C 的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β.图1－619．解： (1)直线l ∥平面PAC ，证明如下：联结EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC.又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF ∥l.因为l 平面PAC ，EF 平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC.(2)方法一：(综合法)如图①，联结BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC. 因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BC ，于是l ⊥BC. 已知PC ⊥平面ABC ，而l 平面ABC ，所以PC ⊥l ， 而PC ∩BC ＝C ，所以l ⊥平面PBC.联结BE ，BF ，因为BF 平面PBC ，所以l ⊥BF ，故∠CBF 就是二面角E －l －C 的平面角，即∠CBF ＝β.由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，CP ＝2PF ，所以DQ ＝PF ，从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD.联结CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故∠CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即∠CDF ＝θ.又BD ⊥平面PBC ，有BD ⊥BF ，知∠BDF 为锐角，故∠BDF 为异面直线PQ 与EF 所成的角，即∠BDF ＝α，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin θ＝CF DF ，sin α＝BF DF ，sin β＝CFBF，从而sin αsin β＝BF DF ·CF BF ＝CFDF＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β.方法二：(向量法)如图②，由DQ →＝12CP →，作DQ ∥CP ，且DQ ＝12CP.联结PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由(1)可知交线l 即为直线BD.以点C 为原点，向量CA →，CB →，CP →所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝a ，CB ＝b ，CP ＝2c ，则有C(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，b ，0)，P(0，0，2c)，Q(a ，b ，c)，E ⎝⎛⎭⎫12a ，0，c ，F(0，0，c)，于是FE →＝⎝⎛⎭⎫12a ，0，0，QP →＝(－a ，－b ，c)，BF →＝(0，－b ，c)，所以cos α＝|FE →·QP →||FE →||QP →|＝a a 2＋b 2＋c 2，从而sin α＝1－cos 2α＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2.又取平面ABC 的一个法向量为＝(0，0，1)，可得sin θ＝|m ·QP →||m ||QP →|＝ca 2＋b 2＋c 2.设平面BEF 的一个法向量为＝(x ，y ，z)，所以由⎩⎪⎨⎪⎧·FE →＝0，n ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧12ax ＝0，－by ＋cz ＝0，取＝(0，c ，b)，于是|cos β|＝|m·n ||m||n |＝b b 2＋c 2，从而sin β＝1－cos 2β＝cb 2＋c2. 故sin αsin β＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2·c b 2＋c 2＝ca 2＋b 2＋c 2＝sin θ，即sin θ＝sin αsinβ.20．， 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P 0.(1)求P 0的值；(参考数据：若X ～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于P 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？20．解： (1)由于随机变量X 服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得P 0＝P(X ≤900)＝P(X ≤800)＋P(800<X ≤900) ＝12＋12P(700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y ，依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P(X ≤36x ＋60y)≥P 0.由(1)知，P 0＝P(X ≤900)，故P(X ≤36x ＋60y)≥P 0等价于36x ＋60y ≥900，于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y 值．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．21．， 如图1－9，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n(m>n)，过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.记λ＝mn，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，求λ的值；(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2？并说明理由．图1－921．解： 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1：x 2a 2＋y 2m 2＝1，C 2：x 2a 2＋y 2n 2＝1，其中a>m>n>0，λ＝m n>1.(1)方法一：如图①，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x ＝0，则S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|，所以S 1S 2＝|BD||AB|.在C 1和C 2的方程中分别令x ＝0，可得y A ＝m ，y B ＝n ，y D ＝－m ，于是|BD||AB|＝|y B －y D ||y A －y B |＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1.若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.方法二：如图①，若直线l 与y 轴重合，则|BD|＝|OB|＋|OD|＝m ＋n ，|AB|＝|OA|－|OB|＝m －n ；S 1＝12|BD|·|OM|＝12a|BD|，S 2＝12|AB|·|ON|＝12a|AB|.所以S 1S 2＝|BD||AB|＝m ＋n m －n ＝λ＋1λ－1，若S 1S 2＝λ，则λ＋1λ－1＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝2＋1，故当直线l 与y 轴重合时，若S 1＝λS 2，则λ＝2＋1.(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是|AD||BC|＝λ＋1λ－1.① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得x A ＝am a 2k 2＋m 2，x B＝ana 2k 2＋n 2. 根据对称性可知x C ＝－x B ，x D ＝－x A ，于是|AD||BC|＝1＋k 2|x A －x D |1＋k 2|x B －x C |＝2x A 2x B ＝m n a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2.② 从而由①和②式可得a 2k 2＋n 2a 2k 2＋m 2＝λ＋1λ（λ－1）.③ 令t ＝（λ＋1）λ（λ－1），则由m>n ，可得t ≠1，于是由③可解得k 2＝n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）.因为k ≠0，所以k 2>0，于是③式关于k 有解，当且仅当n 2（λ2t 2－1）a 2（1－t 2）>0，等价于(t 2－1)(t 2－1λ2)<0，由λ>1可解得1λ<t<1，即1λ<λ＋1λ（λ－1）<1，由λ>1，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2；当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2.方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2，根据对称性，不妨设直线l ：y ＝kx(k>0)，点M(－a ，0)，N(a ，0)到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则因为d 1＝|－ak －0|1＋k 2＝ak 1＋k 2，d 2＝|ak －0|1＋k 2＝ak1＋k 2，所以d 1＝d 2. 又S 1＝12|BD|d 1，S 2＝12|AB|d 2，所以S 1S 2＝|BD||AB|＝λ.因为|BD||AB|＝1＋k 2|x B －x D |1＋k 2|x A －x B|＝x A ＋x B x A －x B ＝λ，所以x A x B ＝λ＋1λ－1.由点A(x A ，kx A )，B(x B ，kx B )分别在C 1，C 2上，可得x 2A a 2＋k 2x 2A m 2＝1，x 2B a 2＋k 2x 2Bn 2＝1，两式相减可得x 2A －x 2B a 2＋k 2（x 2A －λ2x 2B ）m 2＝0，依题意x A >x B >0，所以x 2A >x 2B ，所以由上式解得k 2＝m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）.因为k 2>0，所以由m 2（x 2A －x 2B ）a 2（λ2x 2B －x 2A ）>0，可解得1<x A x B <λ， 从而1<λ＋1λ－1<λ，解得λ>1＋2，所以当1<λ≤1＋2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1＝λS 2； 当λ>1＋2时，存在与坐标轴不重合的直线l 使得S 1＝λS 2. 22．， 设n 是正整数，r 为正有理数．(1)求函数f(x)＝(1＋x)r ＋1－(r ＋1)x －1(x>－1)的最小值；(2)证明：n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1；(3)设x ∈，记[x]为不小于．．．x 的最小整数，例如[2]＝2，[π]＝4，[－32]＝－1.令S ＝381＋382＋383＋…＋3125，求[S]的值．(参数数据：8043≈344.7，8143≈350.5，12443≈618.3，12643≈631.7)22．解： (1)因为f′(x)＝(r ＋1)(1＋x)r －(r ＋1)＝(r ＋1)[(1＋x)r －1]，令f′(x)＝0，解得x ＝0.当－1<x<0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－1，0)内是减函数；当x>0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x ＝0处取得最小值f(0)＝0.(2)由(1)，当x ∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r ＋1≥1＋(r ＋1)x ，且等号当且仅当x ＝0时成立，故当x>－1且x ≠0时，有(1＋x)r ＋1>1＋(r ＋1)x.①在①中，令x ＝1n (这时x>－1且x ≠0)，得⎝⎛⎭⎫1＋1n r ＋1>1＋r ＋1n.上式两边同乘n r ＋1，得(n ＋1)r ＋1>n r ＋1＋n r (r ＋1)，即n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.② 当n>1时，在①中令x ＝－1n (这时x>－1且x ≠0)，类似可得n r >n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1，③且当n ＝1时，③也成立，综合②，③得 n r ＋1－（n －1）r ＋1r ＋1<n r <（n ＋1）r ＋1－n r ＋1r ＋1.④(3)在④中，令r ＝13，n 分别取值81，82，83，…，125，得34(8143－8043)<381<34(8243－8143)， 34(8243－8143)<382<34(8343－8243)， 34(8343－8243)<383<34(8443－8343)， ……34(12543－12443)<3125<34(12643－12543)， 将以上各式相加，并整理得 34(12543－8043)<S<34(12643－8143)，代入数据计算，可得34(12543－8043)≈210.2，34(12643－ ≈210.9.由[S]的定义，得[S]＝211.。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题,全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知全集为R ,集合1{|()1}2x A x =≤,2{|680}B x x x =-+≤,则R A B =ð ( )A .{|0}x x ≤B .{|24}x x ≤≤C .{|02x x ≤＜或4}x ＞D .{|02x x ＜≤或4}x ≥3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )A .()()p q ⌝∨⌝B .()p q ∨⌝C .()()p q ⌝∧⌝D .p q ∨4.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A .π12 B .π6 C .π3D .5π65.已知π04θ<<,则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的( ) A .实轴长相等B .虚轴长相等C .焦距相等D .离心率相等6.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 ( ) ABC. D. 7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度25()731v t t t=-++（t 的单位：s ,v 的单位：m /s ）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是( ) A .125ln 5+B .11825ln 3+C .425ln 5+D .450ln 2+8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 ( )A .1243V V V V <<<B .1324V V V V <<<C .2134V V V V <<<D .2314V V V V <<<9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值()E X =( )A .126125 B .65 C .168125 D .7510.已知a 为常数,函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ,212()x x x <,则( )A .1()0f x >,21()2f x >-B .1()0f x <,21()2f x <-C .1()0f x >,21()2f x <-D .1()0f x <,21()2f x >-二、填空题：本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图如图所示.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________（Ⅰ）直方图中x 的值为 .（Ⅱ）在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为 .12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i = .13.设x ,y ,z ∈R ,且满足：2221x y z ++=,23x y z ++则x y z ++= .14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+,正方形数 2(,4)N n n =,五边形数 231(,5)22N n n n =-,六边形数 2(,6)2N n n n =-, ……………………………………可以推测(,)N n k 的表达式,由此计算(10,24)N = .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4—1：几何证明选讲）如图,圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E .若3AB AD =,则CEEO的值为 . 16.（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数,0a b >>）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC △的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.18.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=,123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥？若存在,求m 的最小值；若不存在,说明理由.19.（本小题满分12分）如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A ,B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证：sin sin sin θαβ=.20.（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . （Ⅰ）求0p 的值； （参考数据：若2(,)XN μσ,有()0.6826P X μσμσ-+=＜≤,(2P X μσ-＜≤2)0.9544μσ+=,(33)0.9974P X μσμσ-+=＜≤.）（Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1 600 元/辆和2 400 元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ 21.（本小题满分13分）如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM △和ABN △的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值； （Ⅱ）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l , 使得12S S λ=？并说明理由. 22.（本小题满分14分）设n 是正整数,r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ,记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数,例如22=⎡⎤⎢⎥,π4=⎡⎤⎢⎥,312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令3125S =+,求S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈,4381350.5≈,43124618.3≈,43126631.7≈）{A B=()ðRð【提示】利用指数函数的性质可求得集合A BR【解析】由题意可知(2,1)AB =，(5,5)CD =，故AB 在CD 方向上的投影为15||50AB CD CD =【提示】先求出向量AB ，CD ，根据投影定义即可求得答案由射影定理得28CD AD BD ==，则在Rt OCD △中，12OD CD DE OC ⨯==88-=，8AD BD =，得222cos 222m θθ⎫+=⎪⎪⎭3324bc bc =sin c bc AA a a =（Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式即可得出sin cA A a即可得出【考点】余弦定理，正弦定理1533n -或1(1)5n n a -=-1533n -或1(1)5n n a -=- （Ⅱ）若1533n n a -=，则13153a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是首项为3，公比为的等比数列，31153911110313m m⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-1(1)5n --a ，则是首项为-11a ++≥q 1a ++，即可判断11 / 18BEFABC 平面PAC ，所以直线（综合法）证明：如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线因为AB 是O 的直径，所以已知PC ABC ⊥平面，而l 而PCBC C =，所以l ⊥连接BE ，BF ，因为BF ⊂CBF 就是二面角由1DQ CP =，作DQ 连接PQ DF ，，因为sin sin CFBF CFBF DF DFαβ===（向量法）证明：如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥连接PQ EF BE BF ，，，，，由（Ⅰ）可知交线以点C 为原点，向量CA ，CB ，CP 所在直线分别为设CA a CB b CP ===，，则有0,0,0,0,0()()C A a ，，于是1FE a ⎛= ，,(a P Q =-，(0,BF =-2||||||FE QP a FE QP a =αABC 的一个法向量为||||m QP m QP a =BEF 的一个法向量为0,0,n FE n BF ==可得)c b ，，．于是2||||m n bn b =．222c b c=+PAC ．连接=，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；BDFα为原点，向量CA，CB，CP所在直线分别为【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面平行的判定，二面可行域的三个顶点坐标分别为(P13 / 18若直线l 与y 轴重合，即直线则111||||1=|||22|2BD OM S a BD ON a ==的方程中分别令B m y ==，11|||||22|BD OM a ON a==||||BD mAB m=（Ⅱ）解法1：如图2，15 / 18解法2：如图2，17 / 183 4。

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）（2013?湖北）在复平面内，复数「-丄（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）1+i _ _ A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2. (5 分)(2013?湖北)已知全集为R,集合A ，-. ' < ■ 1 I:. | ：■：，则A n?RB=( )A. {x|x O} B . {x|2^X 4} C . {x|0^X V 2 或x > 4} D . {x|0v x 屯或x^4}3. （5分）（2013?湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是甲降落在指定范围” q是乙降落在指定范围”则命题至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）z ? ? ? ? ?A. （p） V（q）B. p V（q）C. （p） A （q） D . p V q4. （5分）（2013?湖北）将函数，二hj：宀—=- 的图象向左平移m （m> 0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）5. （5分）（2013?湖北）已知-'1- ——，则双曲线42 2 2 2 的（）cos f sin f sin 已sin 廿tan fA.实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等6. ( 5 分)(2013?湖北)已知点A (- 1, 1), B ( 1, 2), C (- 2,- 1) , D ( 3, 4),贝U向量AB 在CD 方向上的投影为( )A .B . 1 .C . ；:D . _ Vis227. （5分）（羽3?湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度-'的单位：s, v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（）A . 1l+25ln5B .8+25l n 1 '3C . 4+25 In5D .4+50 In28 （5分）（2013?湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1, V2, V3, V4, 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（正视图 侧视图佣观團A • V i < V 2< V4< V3B . V l < V 3< V 2< V 4C . V 2< V 1 < V 3V V 4D . V 2< V 3V Vi < V49. （ 5分）（2013?湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后,从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，贝U X 的均值E （X ）=（）A. 126125B. 6 1 5 C . 1168 |125D . 7510. （5分）（2013?湖北）已知a 为常数，函数f （x ） =x （Inx -ax ）有两个极值点x1, X 2 ( X 1< X 2)( )A. f (“)>o. f (七)B .. E (x[)<0* f ( xj)C .f ( x|) >0* f 〔 x 2】 D . f Gj) G f (七)二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第 15题作答结果计分.）11. （5分）（2013?湖北）从某小区抽取 100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（I ）直方图中 x 的值为 _____________________； （n ）在这些用户中，用电量落在区间[100, 250）内的户数为 _____________________ .12. （5分）（2013?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i= _____________13. ______________________________________________________________________________________________ （5 分）（2013?湖北）设x, y, z €R,且满足：吕 + 萝2+忑？二］,z+2y+3z二寸肓，则x+y+z= ___________________________ .14. （5分）（2013?湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1, 3, 6,10,…，第n个三角形数为介5+1〕A J丄口.记第n个k边形数为N （n, k）（k為）,以下列出了部分k边形数中第n个2 2 2数的表达式：三角形数「」.：：；-ri:'二二2正方形数N （n, 4）=n ,五边形数:■：.r : i —丄、-2 2六边形数N （n, 6）=2n2- n,可以推测N （n, k）的表达式，由此计算N （10, 24）= _____________ .15. （5分）（2013?湖北）（选修4 - 1:几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB=3AD，则三的值为16. （2013?湖北）（选修4- 4:坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为P_aC0S^ （④为参数，a>b>0）.在极坐标系（与直角坐标系xOy {y=bsin（P 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线I与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与p=b.若直线I经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心4 2率为 _________________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12 分)(2013?湖北)在△ ABC 中，角A, B, C 对应的边分别是a, b, c,已知cos2A - 3cos ( B+C) =1.(I)求角A的大小；(H)若△ ABC 的面积I；■ I' ■，求sinBsinC 的值.18. (12 分)(2013?湖北)已知等比数列｛a n｝满足：|32-a3|=10, a132a3=125.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)是否存在正整数m，使得1 .…，1 I ?若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.a l a219. (12分)(2013?湖北)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A, B的点，直线PC丄平面ABC , E, F 分别是PA, PC的中点.(I)记平面BEF与平面ABC的交线为I，试判断直线I与平面PAC的位置关系，并加以证明；异面直线PQ与EF所成的角为a,二面角E- l - C的大小为3.求证：sin 0=sin asin 3.220. (12分)(2013?湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N ( 800, 50 )的随机变量•记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p o.(I)求P0的值；2(参考数据：若X 〜N (a, O2),有P ( — O< X < + o) =0.6826 , P (厂2(r< X <+2 <r) =0.9544, P (厂3 o< X < 朮3 o)=0.9974.)(n)某客运公司用A, B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， A , B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21. (13分)(2013?湖北)如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m, 2n (m> n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A, B , C, D , 记工』，△ BDM和厶ABN的面积分别为S1和S2.n(I)当直线I与y轴重合时，若S1=；S2，求入的值；(n)当入变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线I，使得s仁泊2?并说明理由.22. (14分)(2013?湖北)设n是正整数，r为正有理数.(I)求函数f (x) = (1+x) r+1-( r+1) x - 1 (x >- 1)的最小值;(n)设(I)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足fi； . | ■:2.记直线PQ与平面ABC所成的角为0,（川）设x€R ,记［x ］为不小于x 的最小整数，例如厂：=「亍| ［_］的值.（参考数据：丨厂-：:■ . 「：-—：.丄 J …：…，：“:（n ）证明:?+i n '^+i'匸「•令2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）考点：复数的代数表示法及其几何意义.专题：计算题.分析：将复数z=…的分母实数化，求得z=1+i，即可求得•，从而可知答案.1+i解答：解：••• z== 」=1+i ,1+i (1+i) tl - i) 2•••「=1 - i.对应的点(1, - 1 )位于第四象限，故选D.点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=幕的分母实数化是关键，属于基础题.1+i2. (5 分)考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：: 利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一兀一次不等式可求得集合B,从而可求得A Q C R B .解答：1龙 1 0解：（2）* （2）,2 2•x为，•A={x|x 为};2又x - 6x+8 O? (x - 2) (x - 4)切，•2$ 詔.•B={x|2 強<4},•- ?R B={x|x V 2 或x> 4},•- A Q?R B={X|0強V 2 或x >4}, 故选C.点评：本题考查指数函数的性质与兀二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题.3. (5 分)考点：复合命题的真假.专题：阅读型.分析：由命题P和命题q写出对应的」p和「q,则命题至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.解答：解：命题p是甲降落在指定范围”则」p是甲没降落在指定范围”q是乙降落在指定范围”则」q是乙没降落在指定范围” 命题至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（「故选A.p) V 厂q).点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题.4. （5 分）考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （®x+ $）的图象变换. 专题：三角函数的图像与性质.分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值.' 解: y= Icosx+sinx=2 ( —cosx+二sinx) =2sin (x+——),2 2 3•••图象向左平移m (m>0)个单位长度得到y=2sin[ (x+m) +H]=2sin (x+m+工),3 3•••所得的图象关于y轴对称，• m+——=k n+——(k €Z),3 2则m的最小值为工.6故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin ( «x+ $)的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键.5. (5 分)考点：. 双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：；根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案.解答：2 2 1解：双曲线：：——务一一一卑~=]的实轴长为2cos 0,虚轴长2sin 焦距2,离心率 --------------------------------- ,1cos2e sin2e 8肌2 2 1双曲线- 口J实干山长丿J U，干山UU11 U,八、'距匕U, | ^离_ [ , J sin20 sin29 tan26 cos 0故它们的离心率相同.故选D.点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题.6. （5 分）考点：平面向量数量积的含义与物理意义.专题：平面向量及应用.分析：先求出向量.「、' 1,根据投影定义即可求得答案.解答：，解：厂；1 J 二匚则向量订二〒方向上的投影为：?cosv〒=> =糾‘ ？打•〔=- ；=一 ',|AB | |CD | |CD | W2 2 故选A.点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键.7. （5 分）考点：定积分.专题：导数的综合应用.分析：, 令v (t) =0,解得t=4，则所求的距离S= | •.「，解出即可.解答：.一2解：令v （t）=7 - 3t+ 1,化为3t - 4t-32=0，又t>0，解得t=4.•由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离2s=：、- … 二」「一=「‘‘十—「」丨二.t 1 7=4+25In5 .故选C.点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题.分析：禾U用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项. 解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成,体积分别记入为V i=丄兀尹二"尹)=空.3 3V2=i2xnx2 nV3=2 >2X2=8V4=_. • m - =_'；3 3• V2V V i v V3V V4 故选C.点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键.9. (5 分)考点：离散型随机变量的期望与方差.专题：压轴题；概率与统计.分析：由题意可知：X所有可能取值为0, 1 , 2, 3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3X12=36个小正方体涂有2面，③ 每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9X5=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125-( 8=36+54 ) =27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出.解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0, 1, 2, 3.①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，••• P (X=3 )= ;125②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3X12=36个小正方体涂有2面，• P (X=2 )36125'③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9X3=54个小正方体涂有面，• P (X=1 ) =「.125④ 由以上可知：还剩下125-( 8+36+54 )=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，/• P( X=0 ) = _ .故X的分布列为因此E (X ) “ —斗二—:点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.i0. (5 分)考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件. 专题：压轴题；导数的综合应用.分析： 先求出f (x ),令f (x ) =0，由题意可得Inx=2ax - i 有两个解x i , X 2?函数g (x ) =lnx+i - 2ax 有且只有 两个零点？ g' (x )在(0, +a)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.工 亠二.丄工 -=lnx+i - 2ax, (x>0)令f(x ) =0,由题意可得Inx=2ax - i 有两个解x i ,X 2?函数g (x )=lnx+i - 2ax 有且只有两个零点？ g (x )在(0, + a)上的唯一的极值不等于0.f、 1 o 1 - 2ax | .，二 = .解答:解：••• 当a 包)时，g' (x ) 当a >0时，令g0, f (x )单调递增，因此 g (x ) =f (x )至多有一个零点，不符合题意, (x ) =0,解得 x=,2a应舍去.g (x )> 0,函数g (x )单调递增；—壬3时，g (xX0,「x —— 单调递减.• x='是函数g (X )的极大值点，贝y一 I >0,即•2a52a丄函数g (x )••• 0v 2a v i , 即2- '.,, f (x i ) =ln x i +i - 2ax i =0, f12a d且 f (x i ) =x i (Inx i - ax i ) =x i (2ax i - 1 - ax i ) =x if (X 2)=X 2 (lnX 2 - aX 2)=X 2 ( aX 2 - i ) > 1 :讥汽故选D .点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.(2a )v 0,(X2)=lnx 2+1 - 2ax 2=0 .(ax i - i ) ■--- 12a 2a寻-D = (当〉1). 2a 2 2a二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)(二)选考题(请考生在第 15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选，则按第 15题作答结果计分.)ii . (5 分)考点：频率分布直方图. 专题：图表型. 分析：(I)根据频率分布直方图中，各组的频率之和为i ,我们易得到一个关于 x的方程，解方程即可得到答案.(II)由已知中的频率分布直方图，利用［i00 , 250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到 ［i00, 250)的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数.解答：解：(I)依题意及频率分布直方图知， 解得 x=0.0044 .(II )样本数据落在［i00 , 样本0.0024 >50+0.0036 X50+0.0060 >50+x >50+0.0024 X50+0.00i2 >50=i ,故在这些用户中，用电量落在区间 故答案为：0.0044; 70 .i50)内的频率为 0.0036>50=0.i8, 内的频率为 0.006拓0=0.3.内的频率为 0.0044 >50=0.22 , [i00 , 250)内的户数为(0.i8+0.30+0.22) >00=70.点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容--频率分布直方图是新高考的重要考点.对于 频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图.「一- .二 | -> 0 ,「• In12. (5 分)考点：程序框图.分析：；框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a-3a+1,否执行路径._-_!，再执行i-i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值.2 1解答：：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4, i=1 .判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行 --—-： , i=1+1=2 ; 2判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3>5+1=16 , i=2+仁3 ;判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行一.；,i=3+1=4 ;2判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行-i=4+1=5 ;2判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5.故答案是5.点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环•是基础题.13. (5 分)考点：般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：；根据柯西不等式，算出(x+2y+3z ) <14 (x +y +z ) =14,从而得到x+2y+3z恰好取到最大值QU ,由不等式的等号成立的条件解出x=—、y= '且z=「\由此即可得到x+y+z的值.14 7 14解答：：解：根据柯西不等式，得2 2 2 2、/ 2 2 2、一/ 2 2 2、(x+2y+3z ) < (1 +2 +3 ) (x+y+z ) =14 (x+y+z )当且仅当. 时，上式的等号成立1 2 32 2 2 2••• x +y +z =1 ,•••( x+2y+3z ) <14,结合•、可得x+2y+3z恰好取到最大值.■-• 一丄-，可得-,丄,z=--1 2 3 14 14 7 14因此，x+y+z= + '亠=—14 7 14 7故答案为：——7点评：本题给出x、y、z的平方和等于1,在x+2y+3z恰好取到最大值T i. 的情况下求x+y+z的值.着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题•抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键.14. (5 分)考点：归纳推理.专题：计算题.分析：1,-9 4-1-观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得■■ ：i, ■ ：' - ' - •，把n=10, k=24代入可得答案.解答： 1 1 3-9 4—3解：原已知式子可化为：：一|二；•+ - ,/ 八 2 4-2 2 4-4 M f八 3 2 1 5-2 2 4-5kt「二m .. ■. + .•,■■•■.•- ,, - - ,, ■,「八n 2 6-2 2 4-6'■——1■--2 2由归纳推理可得■, :>■. 故 / . 111. :J. 1.=1100- 100=1000故答案为：1000点评： 本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题. 15. （5 分） 考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理. 专题：压轴题；选作题. 分析：设圆O 的半径为3x ，根据射影定理，可以求出 OD 2=OE?OC=X 2,CD 2=CE?OC=8x 2,进而得到 '的值.E0解答： 解：设圆O 的半径OA=OB=OC=3x , •/ AB=3AD , /• AD=2x , BD=4x , OD=x 又•••点C 在直径AB 上的射影为D , 在厶ABC 中，由射影定理得： 在厶ODC 中，由射影定理得：2 2 CD =AD?BD=8x ,2 2 2 2 OD =OE?OC=x , CD =CE?OC=8x , 故打=J故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围 …双垂直”.16. (2013?湖北) 考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化. 专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：解答: 先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线I 的极坐标方程分别为为非零常4 2数）化成直角坐标方程， 再利用直线I 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，从而得到c= ,又b 2=a 2 - c 2, 消去b 后得到关于a, c 的等式，即可求出椭圆 C 的离心率. 解:直线I 的极坐标方程分别为11-:' ：-|八为非零常数）化成直角坐标方程为 x+y - m=0,42它与x 轴的交点坐标为（m , 0）,由题意知，（m , 0）为椭圆的焦点，故|m|=c , -ml又直线l 与圆O ： p=b 相切，••• ----------V2从而 c= ■:b ,又 b 2=a 2 - c 2,2 2 2、…c =2 (a - c ),c 22 c v6•- 3c =2a , •=.a 3则椭圆C 的离心率为 '. 3故答案为：7点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生 分析问题的能力. 三、解答题：本大题共 6小题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12 分）考点：' 余弦定理；正弦定理. 专题：: 解三角形.分析：t (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出；(II)由三角形的面积公式厂•■•汇•即可得到bc=20 .又b=5，解得c=4 .由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccosA=25+16 - 20=21，即可得出a.又由正弦定理得即可得到--------------- 厂宀即可得出.a a解答：: 解: (I)由cos2A - 3cos (B+C ) =1，得2cos2A+3cosA - 2=0,即(2cosA 1) (cosA+2) =0，解得,21：：•'.(舍去).2因为0V A V n所以职匹.3(n)由S= - = ='、.；%［得到bc=20 .又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2- 2bccosA=25+16 - 20=21，故「:二=.又由正弦疋理得.丁.「_门| 一：一：| ：卜,._ . 一—• 一 . ,L_ _a a 子21 4 T点评：：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键.18. (12 分)考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：(1)设等比数列｛a n｝的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1, q,进而可求通项公式(n)结合(1)可知「是等比数列，结合等比数列的求和公式可求 1 •….，即可判断5 a l a2 a rt解答：解：(I)设等比数列｛a n｝的公比为q，则由已知可得/［冷』- 1=10解得.幻它或1故一• — . 「一■- r .(n)若一二工一一，则1'r ,n3 % 5 3故［―：是首项为.；，公比为一的等比数列，“ 5 3上［1-(丄)\…二1 5 3 」9 _n小2 9八从而；, _ ・1' '.3若一…：• 「；则丄匸「一一：川丄；是首项为,公比为-1的等比数“a n 5J 5列，洼山-1(心+)故£丄V .0, mP2k (k€ N +). 炉 1 a n综上，对任何正整数 m ，总有J ，| .炉1故不存在正整数 m ，使得1 |i 成立.a l a2 a n用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定; 求法.空间位置关系与距离；空间角.（I ） 直线I //平面PAC .连接EF ，利用三角形的中位线定理可得， EF // AC ;禾U 用线面平行的判定定理即可得到EF //平面ABC .由线面平行的性质定理可得 EF // I .再利用线面平行的判定定理即可证明直线I //平面PAC .（II ） 综合法：利用线面垂直的判定定理可证明 I 丄平面PBC •连接BE ,BF ,因为BF?平面PBC ,所以I 丄BC •故 / CBF 就是二面角 E - I - C 的平面角，即/ CBF= 3-已知PC 丄平面ABC ,可知CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故/ CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即 / CDF= 0.由BD 丄平面PBC ，有BD 丄BF ，知/ BDF= a,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C 为原点，向量：，■■ , 「、所在直线分别为x , y , z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角.解：（I ）直线I //平面PAC ,证明如下： 连接EF ，因为E , F 分别是PA , PC 的中点，所以 EF // AC , 又EF?平面ABC ，且AC?平面ABC ，所以EF //平面 ABC . 而EF?平面BEF ，且平面 BEF D 平面 ABC=I ，所以EF / I . 因为I?平面PAC , EF?平面PAC ，所以直线I //平面PAC .（H ）（综合法）如图1,连接BD ，由（I ）可知交线I 即为直线BD ，且I // AC . 因为AB 是O O 的直径，所以 AC 丄BC ,于是I 丄BC .已知PC 丄平面 ABC ，而I?平面ABC ，所以PC 丄I . 而PCABC=C ，所以I 丄平面PBC .连接BE , BF ，因为BF?平面PBC ，所以I 丄BF . 故/ CBF 就是二面角 E - I - C 的平面角，即/ CBF= 31i1由.-I .',作 DQ // CP ,且 口=「「连接PQ , DF ，因为F 是CP 的中点，CP=2PF ，所以DQ=PF , 从而四边形 DQPF 是平行四边形，PQ // FD .连接CD ，因为PC 丄平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故/ CDF 就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即/ CDF= 0 . 又BD 丄平面 PBC ，有BD 丄BF ，知/ BDF= a,于是在 Rt △ DCF , Rt △ FBD , Rt △ BCF 中，分别可得 ■ ■ i.:？-,DF DFBF从而二：门匚匕-二和八 一 =]--「.门二「* 1 *（n ）（向量法）如图 2,由.■ I ：',作 DQ // CP ,且i连接PQ , EF , BE , BF , BD ，由（I ）可知交线 I 即为直线 BD .从而厂一n=l a n点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19 . （12 分）考 占： 八、、♦ 专 题： 分面角的平面角及解 答:】」「「，从而故 ---------------------- :---------------------- ---------------- 二-，即 sin B =sin osin 3,Va 2+b 2+c Z Vb Z +c Z Va Z +b 2+c Z点本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、 线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、评：线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力.20. (12 分)(I)变量服从正态分布 N (800, 502),即服从均值为 800,标准差为50的正态分布，适合 700 v X 电00范 围内取值即在(厂2 q时2 d)内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过 900的概 率为P 0.(II) 设每天应派出 A 型x 辆、B 型车y 辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数， 画出可行域求解.2解答： 解：(I)由于随机变量 X 服从正态分布 N ( 800, 50 ),故有 尸800 , (=50 , P (700 v X 电00) =0.9544 .由正态分布的对称性，可得 po=(p (X<900)=P(X 詣00)+p (800v X <900)=^+-^P (700<X<；900)=0. 9772(H)设A 型、B 型车辆的数量分别为 x , y 辆，则相应的营运成本为 1600x+2400y .依题意，x , y 还需满足：x+y <21, y<x+7 , P (X <36x+60y )却0.以点C 为原点,向量CA,亍，千所在直线分别为x , y , z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 CA=a ,CB=b , CP=2c , 则有C (0, O f 0)(a, 0, 0)，B (0, b, 0) f P (0, 0, 2c) , Q (a, b f c) , E (吉並 0, c)--------------- */?2, 1|FE| -|QP |又取平面ABC 的一个法向量为 匸-、：，.，可得三［门，-I m ■ QF | c ____ I nt | • | QP | Va 2+b 2+c 2设平面BEF 的一个法向量为所以由n pFE=0t n-BF=0.可得却口 取;(山s b).-by+cz=O*考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题：不等式的解法及应用；概率与统计. 分析：A.【I , 由（I ）知，p o =p （X 电00）,故 P （X W60x+60y ）却o 等价于 36x+60y 为00.x+y<21y<x+7 36x+60y^900u, y>0, x, y€N且使目标函数 z=1600x+2400y 达到最小值的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5, 12), Q (7, 14), R (15, 6).由图可知，当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时，直线z=1600x+2400y 在y 轴上截距—二最小，即 「 2400 z 取得最小值.故应配备A 型车5辆，B 型车12辆.本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划•本题解题的关键是列出不等式组 (方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可 得到目标函数的最优解.21. （13 分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式. 专题：丿 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：1 1(I)设出两个椭圆的方程，当直线1与y 轴重合时，求出 △ BDM 和厶ABN 的面积&和S 2,直接由面积 比=入列式求入的值；(n)假设存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=x S 2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M 和N 到直线l 的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到- ''，换元后利用非零的k 值存在讨论 入的取值范围.解答：解：以题意可设椭圆 C1和C2的方程分别为2 2 2 2厂 「.1 ,：「. 1 •其中 a > m >n >0,a ma n(I)如图1，若直线I 与y 轴重合，即直线I 的方程为x=0，则■ ： ' II' I- f ■:，在C 1和C 2的方程中分别令 x=0，可得y A =m , y B =n , y D = - m ,于是问题等价于求满足约束条件_ x.,化简得 斤-2入-1=0，由$> 1，解得x =*7^+1 •_ 1故当直线I 与y 轴重合时，若S i = 0,则’.(n)如图2，若存在与坐标轴不重合的直线I ，使得S 仁$2,根据对称性,不妨设直线I : y=kx 点 M (- a , 0) , N等价于 丨-| I -即1「丄，由$>1，解得 当■- - ■ ■ '时，不存在与坐标轴不重合的直线 I ，使得S 1= &; 当’• "i-卜「-时，存在与坐标轴不重合的直线I ，使得S 1=$$2.若…则1 (k > 0),(a , 0)到直线I 的距离分别为d i , d 2,则I - ak- 0|% 二ak|ak- 0|ak--------- --------- ，所以 d i =d 2-又.： = -- ,K I—I I -1，所以「慨「，即 |BD|=开AB| •由对称性可知 |AB|=|CD|，所以 |BC|=|BD| - |AB|=(入-1) |AB| ,|AD|=|BD|+|AB|=(廿1) |AB|，于是 |-将I 的方程分别与 C i 和C 2的方程联立，可求得_ anlB=7?7w根据对称性可知 X C = - x B , X D = - x A ,I ADI RT 胃廿 i BC i Vl+k 2I - X c从而由①和②可得x+l2i 2丄 2一：一 「 ③ a k +n令—/I 、，则由m > n ,可得t 詞，于是由③可得足/ ］衷"y 入(扎 _ 1)a 2(1 -x 2}因为k 旳，所以k 2> 0•于是 ③关于k 有解,当且仅当22. （14 分） 考 导数在最大值、最小值问题中的应用；禾U 用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明.占：八、、♦ 专 压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用. 题： 分 (I)先求出函数f (x )的导函数f'(x ),令f (x ) =0,解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值 析：为 f (0) =0 ;(H)根据(I)知，即(1+x ) r+1》+ (r+1) x ,令*2代入并化简得—,再令n r+1 n得n ----------------------- - ----- ，即结论得到证明；r+1(川)根据(n)的结论，令 -,n 分别取值81, 82, 83,…，125,分别列出不等式，再将各式相加得，3444 4--飞 ：-：| | !：: ：■■ :- --、 :!，再由参考数据和条件进行求解.解 解；(I)由题意得 f (x ) = (r+1) (1+x ) r -( r+1) = (r+1) [ (1+x ) r - 1], 答：令f (x ) =0，解得x=0 .当-1v x v 0 时，f (x )v 0 ,••• f (x )在(-1, 0)内是减函数； 当x >0时，f (x )> 0,「. f (x )在(0, +s)内是增函数. 故函数f (x )在x=0处，取得最小值为f (0) =0.(n)由(I)，当 x € (- 1, + R )时，有 f (x )并(0) =0,r+1即(1+x ) 》+ (r+1) X ,且等号当且仅当 x=0时成立， 故当 x >- 1 且 x 和，有(1+x ) r+1> 1+ (r+1) x ,① 在①中，令厂一(这时x >- 1且x 旳)，得「「讣■-亠-.AB点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考 查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，(n)中判断 入的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法.。

2013年湖北高考数学试卷（理科）WORD 版绝密 ★ 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理科）4．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π 5．已知04πθ<<，则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等6．已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量AB 和CD 方向上的投影为A ．322 B ．3152 C ．322 D ．31527．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()73(,/)1v t t t s v m s t=-++的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 A ．1+25ln5 B ．118+25ln3C ．4+25ln5D ．4+50ln 2 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有1243.AV V V V <<< 1324.BV V V V <<< 2134.C V V V V <<< 2314.DV V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)= A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．7511．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示。