2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析

○…………装…………○………学校:___________姓名：___________班级：_____○…………装…………○………2012年高考理数真题试卷（湖北卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i D.2+3i2.命题“∃x 0∈∁R Q ，x 03∈Q”的否定是（ ） A.∃x 0∉∁R Q ，x 03∈Q B.∃x 0∈∁R Q ，x 03∉Q C.∀x 0∉∁R Q ，x 03∈Q D.∀x 0∈∁R Q ，x 03∉Q3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8π3 B.3π C.10π3D.6π4.设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，则 a+b+cx+y+z =（ ） A.14 B.13 C.12 D.345.定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，答案第2页，总8页○…………外…………○…………※※请※※不※○…………内…………○…………（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x 2；②f （x ）=2x ；③f （x ）= √|x| ；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.77.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d≈ √169V 3 ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A.d≈ √169V 3 B.d≈ √2V 3 C.d≈ √300157V 3 D.d≈ √2111V 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=…○…………订…………○…………线…………○…___班级：___________考号：___________…○…………订…………○…………线…………○…9.如图，双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a ，b ＞0）的两顶点为A 1 ， A 2 ， 虚轴两端点为B 1 ， B 2 ， 两焦点为F 1 ， F 2 ． 若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， 切点分别为A ，B ，C ，D ．则： （Ⅰ）双曲线的离心率e= ；（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值 S1S 2= ．10.如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为 ．三、解答题（题型注释）11.已知向量 a →=（cosωx﹣sinωx，sinωx）， b →=（﹣cosωx﹣sinωx，2 √3 cosωx），设函数f （x ）= a →• b →+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（ 12 ，1） （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图象经过点（ π4 ，0）求函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围．答案第4页，总8页………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※………○…………装…………○……参数答案1.A【解析】1.解：∵方程x 2+6x+13=0中， △=36﹣52=﹣16＜0， ∴ x =−6±√16i2=﹣3±2i，故选A ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数相等的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 2.D【解析】2.解：∵命题“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x 0∈C R Q ， x 03 ∈Q”的否定是∀x 0∈C R Q ， x 03 ∉Q故选D 3.B【解析】3.解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： 12×π×12×6 =3π． 故选B ．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题． 4.C【解析】4.解：由柯西不等式得，（a 2+b 2+c 2）（ 14 x 2+ 14 y 2+ 14 z 2）≥（ 12 ax+ 12 by+ 12 cz ）2，当且仅当 a12x=b12y=x12z时等号成立∵a 2+b 2+c 2=10，x 2+y 2+z 2=40，ax+by+cz=20，…………外…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…学校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________…………内…………○…………装………○…………订…………○………线…………○…∴等号成立 ∴ a 12x=b 12y=x12z∴ a+b+c x+y+z = 12故选C ．【考点精析】认真审题，首先需要了解一般形式的柯西不等式(一般形式的柯西不等式：)．5.C【解析】5.解：由等比数列性质知 a n a n+2=a n+12 ，① =f 2（a n+1），故正确； ② ≠ 22a n+1=f 2（a n+1），故不正确；③= √|a n+1|2 =f 2（a n+1），故正确；④f（a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠ ln|a n+1|2 =f 2（a n+1），故不正确；故选C【考点精析】认真审题，首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断)． 6.C【解析】6.解：令f （x ）=0，可得x=0或cosx 2=0 ∴x=0或x 2= kπ+π2 ，k∈Z∵x∈[0，4]，则x 2∈[0，16]， ∴k 可取的值有0，1，2，3，4， ∴方程共有6个解∴函数f （x ）=xcosx 2在区间[0，4]上的零点个数为6个 故选C【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的零点与方程根的关系的理解，了解二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点．答案第6页，总8页7.D【解析】7.解：由V= 43π(d 2)3，解得d= √6V π3 设选项中的常数为 a b ，则π= 6ba选项A 代入得π= 6×916 =3.375；选项B 代入得π= 62 =3； 选项C 代入得π=6×157300=3.14；选项D 代入得π=6×1121=3.142857 由于D 的值最接近π的真实值 故选D ． 8.9【解析】8.解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5， 第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环， 输出S=9．所以答案是：9． 【考点精析】利用算法的循环结构对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构和直到型循环结构．9.√5+12；√5+22【解析】9.解：（Ⅰ）直线B 2F 1的方程为bx ﹣cy+bc=0，所以O 到直线的距离为 √b 2+c 2∵以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ， ∴√b 2+c 2=a∴（c 2﹣a 2）c 2=（2c 2﹣a 2）a 2 ∴c 4﹣3a 2c 2+a 4=0 ∴e 4﹣3e 2+1=0 ∵e＞1 ∴e=√5+12（Ⅱ）菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1=2bc 设矩形ABCD ，BC=2n ，BA=2m ，∴ mn =cd ∵m 2+n 2=a 2 ， ∴ m =√b 2+c2， n =√b 2+c 2∴面积S 2=4mn=4a 2bc b 2+c 2∴ S 1S 2= b 2+c 22a 2= b 2+c 22bc∵bc=a 2=c 2﹣b 2………订…………○…………___________考号：___________………订…………○…………∴ b =−1+√52c∴ S1S 2=√5+22所以答案是：√5+12，√5+2210.2【解析】10.解：由题意可得△OCD 为直角三角形，故有CD 2=OC 2﹣OD 2 ， 故当半径OC 最大且弦心距OD 最小时，CD 取得最大值．故当AB 为直径、且D 为AB 的中点时，CD 取得最大值，为AB 的一半，由于AB=4，故CD 的最大值为2， 所以答案是2．11.（1）解：∵f （x ）= a →• b →+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 √3 cosωx+λ=﹣（cos 2ωx﹣sin 2ωx）+ √3 sin2ωx+λ = √3 sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣ π6 ）+λ ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣ π6 = π2 +kπ，k∈z ∴ω= k 2 + 13 ，又ω∈（ 12 ，1） ∴k=1时，ω= 56∴函数f （x ）的最小正周期为 2π2×56= 6π5（2）解：∵f（ π4 ）=0∴2sin（2× 56 × π4 ﹣ π6 ）+λ=0 ∴λ=﹣ √2答案第8页，总8页∴f（x ）=2sin （ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 由x∈[0， 3π5 ]∴ 53 x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 5π6 ] ∴sin（ 53 x ﹣ π6 ）∈[﹣ 12 ，1]∴2sin（ 53 x ﹣ π6 ）﹣ √2 =f （x ）∈[﹣1﹣ √2 ，2﹣ √2 ] 故函数f （x ）在区间[0， 3π5 ]上的取值范围为[﹣1﹣ √2，2﹣ √2【解析】11.（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f （x ）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y=Asin （ωx+φ）+k 型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的值域．。

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1．方程2 6 13 0x x 的一个根是 A ． 3 2i B ．3 2iC ． 2 3iD ．2 3i考点分析： 本题考察复数的一元二次方程求根 .难易度 ：★解析： 根据复数求根公式：26 6 13 4 x 3 2i ，所以方程的一个根为3 2i2答案为 A.2．命题“ x 0 e R Q ， 3x Q ”的否定是0 A ． x 0 e R Q ， 3x Q B ． x 0 e R Q ，0 3xQ 0 C ． x e R Q ，3x Q D ． x e R Q ， 3x Q考点分析： 本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别 . 难易度 ：★ 解析： 根据对命题的否定知， 是把谓词取否定， 然后把结论否定。

因此选 D y1 1 3．已知二次函数 y f (x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为1 O x1A ．2π 5 B ． 4 3第3 题图 11 C ．3 2D ．π2考点分析： 本题考察利用定积分求面积 . 难易度 ：★ 4解析： 根据图像可得：2 y f ( x) x1，再由定积分的几何意 24 义，可求得面积为114 23 1 S( x 1)dx ( x x). 11332 正视图2 侧视图4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B．3π俯视图第 1 页共 15 页第 4 题图C ．10π3D． 6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图.难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2 的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.5．设a Z ，且0 a 13，若2012 51 a 能被13 整除，则aA．0 B．1C．11 D．12考点分析：本题考察二项展开式的系数.难易度：★解析：由于2012 C0 2012 C1 2011 C2011 1 , 51=52-1，(52 1) 52 52 ... 52 12012 2012 2012 又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13, 所以a=12选D.6．设a,b, c, x, y, z是正数，且2 2 210a bc ，2 2 2 40x y z ， ax by cz 20 ，则a b cx y zA．14 B．13C．12 D．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于(22 )( 2 2 2 )( )22a b c x y z ax by cza b c等号成立当且仅当t,x y z2 x2 y2 z2则a=t x b=t y c=t z ，t ( ) 10a b c a b c a b c所以由题知t 1/ 2 , 又, 所以t 1/ 2，答案选C.x y z x y z x y z7．定义在(,0) (0, )上的函数 f (x) ，如果对于任意给定的等比数列{a } ，{ f (a )} 仍n n是等比数列，则称f ( x) 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0) (0, ) 上的如下函数：① 2 xf (x) x ；②f (x) 2 ；③f (x) | x |；④f(x) ln | x|.第2页共15 页则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为A．①②B．③④C．①③D．②④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质，22 2 2 2 2a n a a ，① f a n f a a a a f a1 ；n2 n 1 n 2 n n 2 n 1n②f a a a a 2a 2a n f a 2 2 2 2 2 f a nn n n1 ；③n n 2n 2 12 2f a n f a a a a f a ；n 2 n n 2 n 1n 1④ 2 2f n f a a a a f a .选Ca 2 ln n ln n ln n nn 2 1 18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A． 1 2πB．1 12 πC．2πD．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法. 难易度：★解析：令OA 1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为S ，围成 OC 为S2 ，1作对称轴OD，则过 C 点。

2012年高考数学试卷及解析湖北卷(理科)2012年高考湖北理科数学试卷选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.方程2x +6x +13 =0的一个根是( )A .-3+2i B.3+2i C.-2 + 3i D.2 + 3i2.命题“?x 0∈C R Q ，30x ∈Q ”的否定是( )A.?x 0?C R Q ，30x ∈QB.?x 0∈C R Q ，30x ?QC.?x 0?C R Q ，30x ∈QD.?x 0∈C R Q ，30x ?Q3. 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示，则它与X 轴所围图形的面积为( )A.25πB.43C.32D.2π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.83π B.3π C. 103π D.6π 5.设a ∈Z ，且0≤a≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( )A.0B.1C.11D.126.设a,b,c,x,y,z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则a b c x y z++=++( ) A. 14 B. 13 C. 12 D,347.定义在（-∞，0）∈（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∈（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x2；②f （x ）=2x ；③；④f （x ）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A.①②B.③④C.①③D.②④8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。

在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.21π- B.112π-. C.2πD.1π9.函数f（x）=2cosx x在区间[0,4]上的零点个数为( )A.4B.5C.6D.710.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d人们还用过一些类似的近似公式。

2012年湖北高考数学理科试卷(带详解)2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程2+6+13=0x x 的一个根是 （ ）A ．3+2i -B ．3+2i C ．22i -+ D ．2+2i【测量目标】复数的一元二次方程求根. 【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：26613432i2x --⨯==-±，所以方程的一个根为32i -+，答案为A. 2．命题“300x x ∃∈∈R Q Q，”的否定是（ ） A ．300x x ∃∉∈RQ Q， B ．300x x ∃∈∉RQ Q，C ．30x x ∀∉∈R Q Q，D ．300x x ∀∈∉RQ Q，【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.3．已知二次函数=()y f x的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）第4题图A．2π5B. 43C．32D．π2【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积.【难易程度】容易一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 5．设a ∈Z ，且013a <，若201251a+能被13整除，则a =（ ）A ．0B ．1C ．11D ．12 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由于51=52-1，2012020121201120111201220122012(521)C 52C 52C 521-=-+-+…又由于13|52,所以只需13|1+a ，0a ＜13,所以a =12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且222++=10a b c ，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++等号成立当且仅当ab ct x y z===，则a tx b ty c tz ===，，， 2222()10t x y z ++=（步骤1）所以由题知12t =,又a b c a b cx y z x y z++===++（步骤2）, 所以12a b c t xy z ++==++，答案选C.（步骤3） 7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ，{}()nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2xf x =； ③()f x x=；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ）A ．① ② B．③④C ．① ③D ．② ④ 【测量目标】等比数列性质及函数计算. 【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】等比数列性质，221n n n a a a ++=，①222222211()()()()nn n n n n f a f aa a a f a ++++=== （步骤1） 2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=②（步骤2） ()222211()()()n n n n n n f a f a a a a f a ++++===③（步骤3）2221()()=ln ln ()n n n n n f a f a a a f a +++≠④选C.（步骤4）8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π第8题【测量目标】几何概型及平面图形面积公式. 【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. 【难易程度】中等【参考答案】A 【试题解析】令1OA =，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， （步骤1）221111π2π122228S -⎛⎫=-⨯⨯=⎪⎝⎭.在扇形OAD 中12S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，21211π2π(1)284216S S -=--=，12π24S S -+=，扇形OAB 面积1π4S =， 选A.（步骤2）第8题图9．函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．4B ． 5C ．6D ．7【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()0f x =，则0x =或2cos 0x=，2ππ+,2xk k =∈Z又[]0,4x ∈，0,1,2,3,4k =所以共有6个解.选C.10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．3169d V ≈B ．32d V≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈【测量目标】球的体积公式以及估算. 【考查方式】根据球的体积估算圆周率. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】由34π32d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得36πV d =，设选项中常数为ab ，则6π=b a （步骤1）；A 中代人得69π 3.37516⨯==，B 中代入得6π32==，C 中代入得π61573.14300⨯==，D 中代人得611π= 3.142857,21⨯=由于D 中值最接近π的真实值，故选D.（步骤2） 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()()a b c a b c ab+-++=，则角C = ．【测量目标】余弦定理，解三角形.【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C . 【难易程度】容易 【参考答案】120【试题解析】由()(+)a b c a b c ab +--=，得222ab c ab+-=-根据余弦定理2221cos ,222a b c ab C ab ab +-==-=-故120C ∠=.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .第12题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s . 【难易程度】容易 【参考答案】9【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.（步骤1）第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5 （步骤2）第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7 （步骤3）此时n=3，不再循环，所以解s=9 . （步骤4）13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99．3位回文数有90个：101，111，121， (191)202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()+∈N位回文数有个．n n+【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及21()+∈N回文数的个数.n n+【难易程度】较难【参考答案】（I）90；（II）910n⨯【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有91090⨯=种，答案：90. （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n +1位回文数和2n +2位回文数的个数相同，所以可以算出2n +2位回文数的个数.2n +2位回文数只用看前n +1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n⨯.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导22102nn s s =-,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因21210n nss +=,则答案为910n⨯.14．如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=＞的两顶点为12A A ，虚轴两端点为12B B ，两焦点为12F F ，. 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则第14题图（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S的比值12SS = .【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算.【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比. 【难易程度】较难 【参考答案】（I ）51e +=，（II ）1225SS+=【试题解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22F B 的距离为a ，又由于虚轴两端点为12B B ，，因此2OB 的长为b ，那么在22F OB △中，由三角形的面积公式知，2222111222bc a B F a b c ==+1），又由双曲线中存在关系222ca b =+联立可得出222(1)ee -=，根据(1,)e ∈+∞解出51e +=（步骤2）（II ）菱形1122F B F B 的面积12S bc =，设矩形ABCD ，2BC m =，2BA n =∴m c n b=（步骤3），∵222m n a +=，∴2222m n b c b c ==++步骤4) ∴面积222244a bcS mn b c==+，∴221222S b c S a +=（步骤5）∵222bc a =-∴12252SS+=（步骤6）.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为 .第15题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D 的位置从而求出线段最大值. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】（由于OD CD ⊥,因此22CD OC OD =-线段OC 长为定值，即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D 为AB 的中点，点C与点B 重合，因此122CD AB == 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 . 【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点. 【难易程度】中等【参考答案】55(,)22 【试题解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为()y x x =∈R ，将参数方程21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222(1)(11)(2)y t x x =-=--=-表示一条抛物线（步骤1），联立上面两个方程消去y 有2540xx -+=，设A B，两点及其中点P 的横坐标分别为0ABx x x 、、（步骤2），则有韦达定理0522A B x x x+==,又由于点P 点在直线y x=上，因此AB 的中点P 55(,)22.（步骤3） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，a ，(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易【试题解析】（I ）因为22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-+cos23sin 2.x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+（步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ+()62k k ω-=∈Z ，即1().23k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以k =1，故56ω=，所以()f x 的最小正周期为6π5.（步骤2）（II ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，（步骤3）即5πππ2sin()2sin 2,6264λ=-⨯-=-=-即2λ=- 故5π()2sin()2,36f x x =--（步骤4）由3π0,5x有π5π5π,6366x --所以15πsin()1236x --，得5π122sin()222,36x ----故函数()f x 在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为12,22⎡---⎣.（步骤5）18．（本小题满分12分）已知等差数列{}na 前三项的和为3-，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}na 的前n 项和.【测量目标】等差数列的通项，前n 项和. 【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n 和. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，则21aa d=+，312aa d=+.有题意得1111333()2a d a a d a d +=-⎧⎨++⎩（）=8解得123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩（步骤1）所以由等差数列通项公式可得23(1)35,n a n n =--=-+或43(1)37.nan n =-+-=-故35,nan =-+或37.nan =-（步骤2）（II ）当35na n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--,不成等比数列. 当37na n =-时，231,,a a a 分别为1,2,4,--成等比数列，满足条件.故37,1,237.37,3nn n an n n -+=⎧=-=⎨-⎩（步骤3）记数列{}na 的前n 项和为nS .当n =1时，114;S a ==当n =2时，2125;S a a =+=当n 3，234...5(337)(347) (37)n n S S a a a n =++++=+⨯-+⨯-++-=[]2(2)2(37)311510.222n n n n -+-+=-+当2n =时，223112210522S=⨯-⨯+=综上，24131110,122n n S n n n =⎧⎪⎨-+⎪⎩，＞.（步骤4）19．（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD折起，使90BDC ∠=（如图2所示）．（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN与平面BMN 所成角的大小．图1图2第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小.【难易程度】中等【试题解析】（I ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设BD =x (03)x ＜＜，则3CD x =-.由,45AD BC ACB ⊥∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD =CD =3x -.（步骤1）由折起前AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3).22BCD S BD CD x x ==-△于是1111(3)(3)2(3)333212A BCD BCD V AD S x x x x x x -==--=-△（-）312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当且仅当23,x x =-即当x =1时，等号成立， 故当x =1，即BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2） 解法2：同解法1，得321111=(3)(3)(69).3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=--=-+△（步骤1）令321()(69),6f x x x x =-+由1()(1)(3)02f x x x '=--=，03,x ＜＜解得x =1.当(0,1)x ∈时，()0;f x '＞当(1,3)x ∈时，()0f x '＜. 所以当x =1，()f x 取1得最大值.故当BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2）(II)解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -.由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1,2BD AD CD ===.于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A M E且(1,1,1).BM =-（步骤3）设1(0,,0),=2N EN λλ则（-,-1,0）.因为EN BM ⊥等价于0EN BM =,即111022λλ+-=（-,-1,0）(-1,1,1)=，故11,(0,,0)22N λ=（步骤4）所以当DN =12（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥.设平面BMN 的一个法向量为n(,,),x y z =由BNBM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及1(1,,0),2BN =- 得2y x z x=⎧⎨=-⎩可取(1,2,1)=-n .（步骤5）3cos EN <>=，n即EN 与平面BMN 所成角的大小60.（步骤6）第19题图a解法2：由（I）知，当三棱锥A BCD-的体积最大时，1, 2.===（步骤3）BD AD CD如图b,取CD的中点F，连接,MF BF,EF,则MF AD.由（I）知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD.（步骤4）如图c，延长FE至P点使得FP=DB，连接BP,DP，则四边形DBPF为正方形，所以.⊥取DF得中点N，连接EN，又DP BFE为FP的中点，则EN DP，所以.⊥因为MF⊥平面BCD，又EN⊂面EN BFBCD，所以MF EN⊥.又=MF BF F，因为MF∈面BMF，所以EN⊥BM..因为EN BM⊥当且仅当,⊥而点F是唯一EN BF的，所以点N是唯一的.即当1DN=(即N是CD的靠近点D的一个2四等分点)，EN BM⊥.连接MN，ME，由计算得NB=NM=EB=EM5所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5）如图d.BM EGN⊥平面在平面EGN中，过点E作EH GN⊥于H,则EH⊥平面BMN.故ENH∠是EN与平面BMN所成的角.，所在△EGN中，易得EG=GN=NE=22以△EGN是正三角形，故=60EGN∠，即EN与平面BMN所成角的大小为60.（步骤6）图b图c图d第19题图 20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，降水量X300X ＜300700X ＜＜ 700900X ＜＜ 900X 工期延0 2 6 100.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率. 【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率.【难易程度】中等【试题解析】（I）由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X P X==--=＜＜＜＜＜(700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X--=＜＜（＜）(900)1(900)=10.90.1.P X P X=--=＜（步骤1）所以Y的分布列为：Y0 2 6 1 0P0.0.0.0于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8.D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=故工期延误天数Y 的均值为3，方差9.8.（步骤2）（II ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X =-=＜，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X =-=-=＜＜＜.由条件概率，得(300900)0.66(6300)(900300)(300)0.77P X P YXP X XP X ====＜＜.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.（步骤3）21．（本小题满分13分）设A 是单位圆221xy +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足(01),DM m DA m m =≠＞，且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．3 4 2 .1（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）如图1，设0(,),(,),M x y A x y 则由(01),DM m DA m m =≠＞，且可得0,,x x y m y ==所以001,.xx y y m==①因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221(0)y x m m m+=≠＞，且1，（步骤1）因为(0,1)(1,),m ∈+∞所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为22(1,0),(1,0)m m ---；（步骤2）当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为22(0,1),(0,1)m m ---.（步骤3）（II ）解法1：如图2、30k ∀＞，设1122(,),(,),P x kx H x y 则111(,),(0,),Q x kx N kx --直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40.m k x k x x k x m +++-=依题意可知此方程的两根为12,,x x -于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即21222.4m x x m k=+（步骤4）因为点H 在直线QN 上，所以212122222.4km x y kx kx m k-==+于是112121(2,2),(,)PQ x kx PH x x y kx =--=--=2211222242(,)44k x km x m k m k -++.而PQ PH ⊥等价于PQ PH =2221224(2)0,4m k x m k-=+即220m-=，又m ＞0，得2m =，故存在2m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k ＞，都有PQ PH ⊥.（步骤5）第21题图1解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设1122(,),(,),P x y H x y 则111(,),(0,)Q x y N y --因为P ,H 两点在椭圆C 上，所以222211222222m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得222221212()()0.m x x y y -+-=（步骤3）依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ,H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.（步骤4）又Q ,N ,H 三点共线，所以QNQHK K =，即1121122.yy y x x x +=+于是由④式可得211212*********()()1.2()()2PQPHy y y y y y y m K K x x x x x x x --+===---+（步骤5） 而PQ PH ⊥等价于PQPHK K =1-,即22m -=1-，又m ＞0，得m =2.故存在m =2，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥. （步骤6）图2图3（0＜m ＜1） （m ＞1）第21题图 22．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数()(1)(0)rf x rx xr x =-+-＞，其中r 为有理数，且01r ＜＜. 求()f x 的 最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12120,0,,aa b b ，为正有理数. 若121b b+=，则12121122;b b aaa b a b +（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()xx ααα-'=.【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I ）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广.【难易程度】较难 【试题解析】（I ）11()(1),r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得x =1.当0＜x ＜1时，()0f x '＜，所以f (x )在（0，1）内是减函数；当x ＞1时，()f x '＞0，所以f (x )在（0，1）内是增函数.故函数()f x 在x =1处取得最小值(1)0.f =（步骤1） （II ）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f =，即(1)rx rx r +-若12,a a 中有一个不为0，则12121122b b aa ab a b ++成立（步骤2）；若12,a a 均不为0，又121b b+=，可得211bb =-，于是在①中令112,,ax r b a ==可得1111122(1),b a a b b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即12121121(1)b b aaa b a b +-，亦即12121122b b aaa b a b +.（步骤3）综上，对12120,0,,aa b b 为正有理数且121b b+=，总有12121122b b a a a b a b +.②（步骤3）(III) （II ）中命题的推广形式为： 设12,,,na a a …为非负实数，12,,,nb b b …为正有理数.若121,kb b b+++=…则12121122+kb b b k k kaa a ab a b a b ++…….（步骤4）③用数学归纳法证明如下: （1）当1n =时，11,b =有11,aa ③成立.（步骤5）（2）假设当n k =时③成立，即若12,,,ka a a …，非负实数，12,,,kb b b …，为正有理数.且121,kb b b+++=…则12121122kb b b k k ka a a ab a b a b ++…….当1n k =+时，已知12,,,ka a a …，1k a +非负实数，12,,,kb b b …，1k b +为正有理数且1211,kk b b b b+++++=…此时101k b+＜＜，即110k b+-＞，（步骤6）于是111212121121(...)kk kk b b b b b b b b k k k k a a a aa a a a++++= (1)2111+1+11111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aa a a +++----+=…12111...1111k k k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++--- (1122)121211111111k k k k k k k k b a b a b a b b b a a a b b b b +++++++++=----……从而112121k k b b b b k k aa a a ++ (1)111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫++ ⎪-⎝⎭…（步骤7）又因1+1(1)=1k k bb +-+，由②得11111221122111111k k b b k k k kk k k k a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++⎛⎫++++ ⎪--⎝⎭……+（1-）1+1k k a b ++=1122k ka b a b a b ++…++11k k a b ++，从而112121kk b b b b k k a a a a ++ (11)2211k kk k a b a b a b a b +++++…+.（步骤7） 故当1n k =+时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明：（III ）中如果推广形式中指出③式对2n 成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况（步骤8）。

2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2+6x+13=0的一个根是（湖北）方程x）1．（2012? A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i，∈Q”的否定是（“?x∈CQ）2．（2012?湖北）命题R0，?CQQQ ∈D．?xQ，?Q C．?x?CQ∈，C A．?x?Q．，∈Q B?x∈C R0R0RR003．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）．． C AD．B．4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）．D．6π．B．3πAC2012+a能被13整除，则a=（）51Z（2012?湖北）设a∈，且0≤a≤13，若5．A．0 B．1 C．11 D．12222222，则=（）x=10，+y+zax+by+cz=20=40，azyxcba?（6．2012湖北）设，，，，，是正数，且+b+cCBA ．．．．D1}a），{f（f（0，+∞）上的函数（x），如果对于任意给定的等比数列{a}．7（2012?湖北）定义在（﹣∞，0）∪nn）x①f（+．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，∞）上的如下函数：f仍是等比数列，则称（x）为“保等比数列函数”x2）=ln|x|）．则其中是“保等比数列函数”的f（=2；②f（x）x；③f（x））的序号为（=；④f（x=x D．②④B．③④C．①③．A①②内随机为直径作两个半圆．在扇形OAB（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB8．）取一点，则此点取自阴影部分的概率是（．D﹣A．1C﹣B．．2）在区间[0，4]上的零点个数为（湖北）函数9．（2012?f（x）=xcosx7 ．5 C．6 D．A．4 B曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”（10．．人们还用过一≈的一个近似公式，求其直径dd除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ）判断，下列近似公式中最精确的一个是（些类似的近似公式．根据x=3.14159…..≈≈C．d．≈Dd A．d≈B．d分．请将答案5分，共25二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．，则角_________C=．cb所对的边分别是a，，c．若（a+b﹣）（a+b+c）=ab，，△201211．（?湖北）设ABC的内角AB，C_________．（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=12．位回2等．显然，3443，942492213．（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如，，11 999，．则：191，202，…，个：，22，，33…99.3位回文数有90101，111121，…，119文数有个：_________位回文数有个；Ⅰ（）4（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有_________个．+2，，两焦点为F．（2012?B湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A，A，虚轴两端点为，B1411122 D为直径的圆内切于菱形F．若以AAFBFB，切点分别为A，B，C，．则：2112221；（Ⅰ）双曲线的离心率_________e=（Ⅱ）菱形FBFB的面积S与矩形ABCD的面积S的比值=_________．212211二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（2012?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_________．16．（2012?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线_________．来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（t为参数）相较于A，B75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共λ?+）f（x=，设函数cos，（﹣=cosωx﹣sinωx2ωx）xxx=（17．2012?湖北）已知向量（cos ω﹣sinω，sinω），，1）（λπ∈（xR）的图象关于直线x=对称，其中ω，为常数，且ω∈）的最小正周期；f（1）求函数（x上的取值范围．，）在区间（，）的图象经过点（0）求函数fx[0]xy=f2（）若（18．（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．n（1）求等差数列{a}的通项公式；n 3项和．|}的前naa，，a成等比数列，求数列{|a（2）若n213，AB上且异于点B，连接⊥BC，垂足D在线段BC1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD（19．2012?湖北）如图，（如图2所示）ABD折起，使∠BDC=90°沿AD将△的体积最大；A﹣BCD（1）当BD的长为多少时，三棱锥，BMEN⊥CD上确定一点N，使得设点E，M分别为棱BC，AC 的中点，试在棱（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，所成角的大小．与平面BMN并求EN20．（2012?湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：X≥900 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900工期延误天数Y 02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．22=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i湖北）设21．（2012?A是单位圆x与+yx轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x=rxf湖北）．22（2012?（I）已知函数（x）﹣x）的最小值；b1b2≤ab+aab；a+b为正有理数，若b≥≥I（II）试用（）的结果证明如下命题：设a0，a0，，bb=1，则222121121112（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求r1﹣αα．α道公式（x）=x42012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012?湖北）考点：复数相等的充要条件。

2012年湖北卷(理数)详细解析1.A 【解析】因为判别式26413160∆=-⨯=-<，所以方程26130x x ++=无实数根，只有复数根，且复数根6643222i x i -±-±===-±.【点评】本题考查一元二次方程跟的求解以及复数的有关运算.对于一元二次方程20a x b x c ++=，若240b ac ∆=-<，则方程没有实数根，只有复数根22x aa==.来年需注意复数的概念，如共轭复数，复数的运算，复数的几何意义等，都是复数中的热门考点.2.D 【解析】本命题为特称命题，写其否定的方法是：先改变量词，再否定结论，故D 符合. 【点评】本题考查含有量词的命题的否定.对于特称命题的否定，一般是先改变量词，再否定结论；对于全称命题的否定，也是类似的.千万不要忽略改变量词这一点，否则就是错误的.来年需注意充要条件的判断，这也是逻辑中的一大热门考点.3.B 【解析】根据图象可知，二次函数图象的顶点为()0,1，且开口向下，故可设二次函数的解析式为()()210f x ax a =+<.因为函数()f x 的图象过点()1,0，所以()2111f a =⨯+0=，解得1a =-.所以()21f x x =-+,所以()31211141|33x S x dx x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰.【点评】本题考查二次函数的图象，定积分的应用以及数形结合的数学思想方法.本题容易直接把所围成的图形当成半圆去求解面积了.来年需注意直接给出定积分解析式，却要用定积分的几何意义来数形结合去解题的一类型题.4. B 【解析】由三视图可知，该几何体的下方是一个圆柱，上方是圆柱的一半，两圆柱的底面圆半径都为1，高都为2，所以该几何体的体积221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.【点评】本题考查三视图的识别，圆柱的体积求解.对常见几何体：如圆柱，圆锥，正四棱锥，长方体，正方体及它们的组合体等的三视图要了如指掌.来年需注意圆锥与长方体等的三视图考查及体积，表面积的求解. 5.D 【解析】由题意，()20122012122201220125111341C 134C (134)a a a +=-⨯+=+-⨯+⨯++()2012134⨯,显然当()113a k k +=∈Z 时，201251a +的各项都是13的倍数，故能被13整除.故此时()131a k k =-∈Z .又013a <<，所以当1k =时，12a =.【点评】本题考查二项式定理的应用.运用二项式定理判断数a 能被数b 整除，关键是要能将数a 转化分解为含有数b 的因式的乘积.来年需注意利用二项式定理求解常数项，系数等题型.6.C 【解析】已知22222210,40,20a b c x y z ax by cz ++=++=++=， 则()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++.由柯西不等式得()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++， 所以上述不等式取等号，一定有,,,a kx b ky c kz === 此时()2222222a b c k x y z ++=++，即21040k =，解得12k =（舍去负值）.所以由等比性质得+1.2a b c a k x y zx +===++【点评】本题考查柯西不等式的应用.柯西不等式是考纲中的了解内容，考查一般难度并不大，但如果不了解柯西不等式的结构，求解也有一定的困难.来年需注意绝对值不等式的求解与应用7. C 【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nna a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④,11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 8.A 【解析】如下图所示，设O A 的中点为1O ，O B 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12O O FO 是正方形.不妨设扇形O A B 的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则21234124O A B S S S S S ππ+++==⨯=扇形, ①而22132311111,12222S S S S ππππ+=⨯=+=⨯=，即1232S S S π++=, ②由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB OFBO AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形222222111111111114422πππππ=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-=-.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 3442221O ABO ABS S S P S S πππ+-====-扇形扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.9.C 【解析】由()2cos 0f x x x ==，得0x =或2cos 0x =.又[]0,4x ∈，所以[]20,16x ∈.由于()c o s 02k k ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭Z ,而在()2k k ππ+∈Z 的所有取值中，只有3579,,,,22222πππππ满足在[]0,16内.故零点个数为156+=.【点评】本题考查函数的零点个数的求解.求解函数的零点个数通常有两种方法：一、直接法，即求解出所有的零点；二、数形结合法，即转化为原函数的图象与x 轴的交点个数或分解为两个函数相等，进而判断两个函数图象的交点个数，此法往往更实用.本题是直接求解零点法，来年需注意数形结合法.10.D 【解析】设球的直径为d ,则球的体积为3344332d V r ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭（,r d 分别为圆的半径、直径），所以d =≈,对于A 项,d ≈≈;对于C 项,d ≈≈对于D 项，d ≈≈;比较各选项的被开方数大小可知,选项D 中的d 与d =≈D.【点评】本题考查球的直径与体积的关系，估算法.根据球的直径与体积的关系，即可用体积来表示直径；然后比较各选项中的表示直径的式子，看哪个最接近求出的式子即可.11年考查的是以放射性元素为背景，考查了导数的运算，难度不算大，主要是要读懂题意，本题承接了11年的思想，难度不大，重在考查数学知识在实际生活中的应用.来年需注意一些常见知识的实际应用，比如线性规划，函数的应用，数列的应用等. 11.23π【解析】因为已知()()a b c a b c a b +-++=,所以()22a b c a b +-=，即222a b c a b+-=-,故2221a b cab+-=-，即222122a b cab+-=-，故1c o s 2C =-.所以23C π=.【点评】本题考查余弦定理的应用.正余弦定理是解三角形的有力武器，本题只考查到余弦定理，来年需注意它们的结合考查.12. 9【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,满足判断条件3?n <;第二次:n=2,s=4,a=5,满足判断条件3?n <;第三次:n=3,s=9,a=7,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.13.（1）90; （2）910n ⨯.【解析】按照回文数的定义，1位回文数有1,2,3，…9等9个，又已知2位回文数有9个，3位回文数有90910=⨯个，4位回文数有1001,1111,……,1991,2002,…,9999,共90910=⨯个，5位回文数有2910⨯个，6位回文数有2910⨯个，…以此类推，故猜想()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个. 【点评】本题考查归纳推理的应用.对于归纳推理问题，关键是要归纳前几项所共有的性质，这就需要学生有一定的归纳与猜想能力.来年需注意类比推理的创新性问题.14.（1）12；（2）22【解析】（1）由图象可知，O B 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =，又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=， 所以a =,整理得()22222c aa c -=，得22c a ac -=.所以210e e --=，解得12e =（负值舍去）（2）连结O B ，设B C 与x 轴的交点为G，则1BF =.在直角三角形1OBF 中，有11,O B BF BG O F ⊥⊥, 所以1111122O B F S O B B F F O B G ∆==,得11BF O B ab BG F Oc==.所以2aOG c==.所以32242||2||a b S OG GB c=⋅=.而112121||||22S F F B B bc ==,所以331321222S ce S a===【点评】本题考查双曲线的离心率，点到直线的距离，四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切，得到圆心到该直线的距离等于半径，这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程，轨迹问题，特别是双曲线的定义的应用.15. 2【解析】由勾股定理，得CD ==r 为O 的半径，是定值），所以当O D 取最小值时，C D 取得最大值.显然当O D AB ⊥时，O D 取得最小值，故此时122C D A B ==,故所求的C D 的最大值2.【点评】本题考查直角三角形的性质以及转化与化归的能力.本题将求解C D 的最大值转化为求O D 的最小值，进而转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想的作用之巨大.来年需注意弦切角，切线长定理，相似三角形的性质等题型.16.55,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】曲线()21,1x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩化为直角坐标方程是()22y x =-，射线4πθ=化为直角坐标方程是()0y x x =≥.联立()()22,0,y x y x x ⎧=-⎪⎨=≥⎪⎩消去y 得2540x x -+=，解得121,4x x ==.所以121,4y y ==.故线段A B 的中点的直角坐标为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即55,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，中点坐标公式的应用问题.()()1122,,,A x y B x y 两点的中点坐标公式为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭.来年需注意极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，直线与圆锥曲线的位置关系，交点个数等题型.17. 【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 18. 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'n n a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 19. 【解析】【点评】本题考查三棱锥的体积，直线与平面所成的角以及线线垂直的探讨性问题；考查空间想象，逻辑推理，以及运算求解的能力.本题将三棱锥的体积与基本不等式结合考查，实为一种创新.求解最值时注意验证等号成立的条件，因为实际问题要求相关量都为正数；对于线面角的求解，可以用两种方法：向量法与直接法求解.来年需注意二面角的求解，这是高考的考查频度最高的几何考题.20.【解析】【点评】本题考查随机变量的期望，方差，古典概型.本题有两个随机变量，分别是 与Y，两个随机变量之间的关系要理清理顺，不要混淆，各自对应的概率要求解正确；来年需注意频率分布直方图的应用考查，概率与生活热点话题结合考查等题型.21.【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的性质，数学归纳法等；考查分类讨论的数学思想，运算求解，逻辑推理的能力.本题利用导数求函数的最值，利用最值来证明不等式；层层递进，难度一步一步递增，学生若做不出前一问，就很难做出后一问，来年需注意导数判断函数的极值，含有对数函数或指数函数的导数综合应用，导数的实际应用等.。

2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。

2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2，知=3，，∉3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）B轴所围图形的面积为）+1﹣=4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）B=32012+6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）Bx y ax+by+cz 当且仅当=7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；，①②≠③8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）﹣﹣的面积为﹣∴此点取自阴影部分的概率是．210．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..≈≈，表示出V=，解得设选项中的常数为，则==3.375=3=3.14=3.142857二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．cosC==．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个．14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．到直线的距离为，根据以，到直线的距离为，∴，==故答案为：二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．=，曲线三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．•2）=+，又（）的最小正周期为（××﹣）（﹣）﹣，x∈，x），x）﹣=f﹣﹣，，18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．，由题意可得，，根据等差数列的求和公式可求或=综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD 上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．××××（=（（，且，则=，•=0，+=，DN=的一个法向量为，由及，，取==（﹣，﹣，＞|=|=20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．|y|上，可得，从而可得可得在圆上运动，∴的方程为（）上，∴可得，∴，∴，使得在其对应的椭圆上，对任意22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．，a中令a+≤+a•。

【试卷总评】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21、22题分别从三角函数、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查.第14与15题考查了选学讲内容，试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2x+6x +13 =0的一个根是( )A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i2. 命题“∃x0∈C R Q，30x∈Q ”的否定是( )A ∃x0∉C R Q，30x∈QB ∃x0∈C R Q ，30x∉QC ∀x0∉C R Q ，30x∈QD ∀x0∈C R Q ，30x∉Q3. 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示，则它与X轴所围图形的面积为( )A.25πB.43C.32D.2π【考点定位】本小题考查利用定积分求平面图形的面积问题,不难.定积分是理科生高考的热点分问题之一,几乎年年必考,熟练其基础知识是解决好本类题目的关键. 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.83ππ C. 103ππ 【答案】B【解析】由三视图可知, 该几何体为一底面半径为1且高为2的圆柱与一圆锥组合而成,所以其体积为23πππ+=,故选B.【考点定位】本小题考查立体几何中的三视图.三视图是新课标新增内容,是高考的重点和热点,年年必考,一般以选择或填空题的形式出现,经常与表面积、体积相结合来考查. 5.设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( ) .12 【答案】D【解析】因为512012的个位数是1, 且a ∈Z ， 0≤a ≤13，512012+a 能被13整除，所以12a =,故选D.【考点定位】本小题考查整除问题,属中档题.6.设a,b,c,x,y,z 是正数，且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则a b cx y z++=++( )A.14 B. 13 C. 12 D,34【答案】C 【解析】由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++,等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t ,所以由题知2/1=t ,又俯视图侧视图2 正视图第4题图42 422/1,==++++++++===t zy x c b a z y x c b a z c y b x a 所以，答案选C. 【考点定位】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

2012 年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每题5 分，共 50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．（ 分）（ 2012? 湖北）方程 x 2+6x+13=0 的一个根是（ ）1 5A ．﹣ 3+2iB ．3+2iC ．﹣ 2+3iD ．2+3i【剖析】由方程 x 2+6x+13=0 中，△ =36﹣52=﹣16＜0，知﹣ ± ，= 3 2i由此能求出结果．【解答】 解：∵方程 x 2+6x+13=0 中， △ =36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i ，应选： A ．2．（5 分）（2012?湖北）命题 “? x 0∈?R Q ， x 0 3∈Q ”的否认是（）?? ， 3∈QB ．? x ∈? ， 3?QA ．? x 0 R Q x 0 0R Q x 0??， 3∈Q D ．? x ∈? ， 3?Q C ．? x 0 R Q x 0 0R Q x 0 【剖析】 依据特称命题 “? x ∈A ，p （A ）”的否认是 “? x ∈A ，非 p （A ）”，联合已知中命题，即可获得答案．【解答】解：∵命题 “? x 0∈C R Q ， ∈Q ”是特称命题，而特称命题的否认是全称命题，∴“? x 0∈ C R Q ， ∈ Q ”的否认是 ? x 0∈C R Q ， ?Q 应选： D ．3．（5 分）（2012?湖北）已知二次函数y=f （ x ）的图象以下图，则它与 x 轴所围图形的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【剖析】 先依据函数的图象求出函数的分析式，而后利用定积分表示所求面积，最后依据定积分运算法例求出所求．【解答】解：依据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣ 1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数 y=f（x）=﹣x2+1∴它与 X 轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=应选： B．4．（5 分）（2012?湖北）已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【剖析】经过三视图判断几何体的特色，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为 1 高为 6 的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．应选： B．5．（5 分）（2012?湖北） a∈Z，且 0≤ ≤，若2012+a 能被 13 整除， a= a1351（）A．0B．1C．11D．12【剖析】由二式定理可知512012+a=（52 1 ）2012+a 的睁开式中的含有因数 52，要使得能 512012+a 能被 13 整除，只需 a+1 能被 13 整除，合已知 a 的范可求【解答】解：∵ 512012+a=（52 1）2012+a=+⋯++a因为含有因数 52，故能被 52 整除要使得能 512012+a 能被 13 整除，且 a∈ Z， 0≤ a≤ 13可得 a+1=13∴ a=12故： D．2+b2+c2，2+y2+z2，6．（ 5 分）（ 2012?湖北） a，b，c，x，y，z 是正数，且 a=10 x=40 ax+by+cz=20，=（）A．B．C．D．【剖析】依据所条件，利用柯西不等式求解，利用等成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（ x2+ y2+ z2）≥（ax+ by+ cz）2，当且当等成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等成立∴∴=应选： C．7．（5 分）（2012?湖北）定义在（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞）上的函数 f（ x），假如对于随意给定的等比数列 { a n} ，{ f（a n）} 还是等比数列，则称 f（ x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞， 0）∪（ 0，+∞）上的以下函数：① f（x）=x2；② f（ x）=2x；③ f（x） =；④ f （x）=ln| x|．则此中是“保等比数列函数”的 f （x）的序为（）A．①②B．③④【剖析】依据新定义，联合等比数列性质C．①③D．②④，一一加以判断，即可获得结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（ a n+1），故正确；②≠=f2（a n+1），故不正确；③==f2（ a n+1），故正确；④ f（a n） f（a n+2） =ln| a n| ln| a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；应选： C．8．（5 分）（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自暗影部分的概率是（）A．B．C．D．【剖析】求出暗影部分的面积即可，连结OC，把下边的暗影部分均匀分红了部分，而后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么暗影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形 OAB的面积为，连结 OC，把下边的暗影部分均匀分红了 2 部分，而后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则暗影部分的面积为：﹣，∴此点取自暗影部分的概率是．应选： C．2．（分）（湖北）函数2在区间 [ 0，4] 上的零点个数为（）9 52012?f（x）=xcosxA．4B．5C．6D．7【剖析】令函数值为 0，建立方程，即可求出在区间[ 0，4] 上的解，从而可得函数 f（x）=xcosx2在区间 [ 0，4] 上的零点个数【解答】解：令 f（ x）=0，可得 x=0 或 cosx2=0∴ x=0 或 x2=，k∈Z∵x∈[ 0，4] ，则 x2∈ [ 0，16] ，∴ k 可取的值有 0，1，2，3，4，∴方程共有 6 个解∴函数 f（x）=xcosx2在区间 [ 0，4] 上的零点个数为 6 个应选： C．10．（ 5 分）（2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d 的一个近似公式d≈“开立圆术”相．人们还用一些似的近似公式．依据π=3.14159⋯判..断，以下近似公式中最精准的一个是（）A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈【剖析】依据球的体公式求出直径，而后中的常数，表示出π，将四个逐个代入，求出最靠近真的那一个即可．【解答】解：由 V=，解得 d=中的常数，π=A 代入得π=；B 代入得π= ；=3.375=3C 代入得π=；D 代入得π= =3.142857=3.14因为 D 的最靠近π的真故： D．二、填空：（一）必考（ 11-14 ）本大共 4 小，考共需作答 5 小，每小 5 分，共 25 分．将答案填在答卡的地点上．答地点，写不清，含糊其词均不得分．11．（5 分）（ 2012?湖北）△ ABC的内角 A，B，C，所的分是 a，b，c．若（a+b c）（a+b+c） =ab，角 C=．【剖析】利用已知条件（a+b c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可立解得 cosB 的，一步求得角B．【解答】解：由已知条件（ a+b c）（ a+b+c）=ab 可得 a2+b2c2+2ab=ab即 a2+b2 c2= ab由余弦定理得：cosC==又因0＜ C＜π，所以C=．故答案：12．（ 5 分）（2012?湖北）如所示的程序框，运转相的程序，出的果 s= 9 ．【剖析】用列法，通循程直接得出S与 n 的，获得 n=3 退出循，即可．【解答】解：循前， S=1， a=3，第 1 次判断后循， n=2，s=4，a=5，第 2 次判断并循 n=3，s=9， a=7，第 3 次判断退出循，出S=9．故答案： 9．13．（5 分）（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左都一的正整数．如22， 11，3443，94249 等．然 2 位回文数有 9 个： 11，22，33⋯，99.3 位回文数有 90 个： 101，111，121，⋯， 191，202，⋯，999．：（Ⅰ） 4 位回文数有90个；（Ⅱ） 2n+1（n∈N+）位回文数有9× 10n个．【剖析】（I）利用回文数的定，四位回文数只需从10 个数字中两个可重复数字即可，但要注意最两的数字不可以0，利用分步数原理即可算4位回文数的个数；（ II）将（ I）中求法推行到一般，利用分步数原理即可算2n+1（n∈N+）位回文数的个数【解答】解：（I）4 位回文数的特色中两位同样，千位和个位数字同样但不能零，第一步，千位和个位数字，共有9 种法；第二步，中两位数字，有 10 种法；故 4 位回文数有 9× 10=90 个故答案 90（ II）第一步，左第一个数字，有9 种法；第二步，分左第 2、3、4、⋯、n、n+1 个数字，共有 10×10×10×⋯×10=10n 种法，+n故 2n+1（n∈N ）位回文数有9×10 个故答案 9×10n14．（ 5 分）（2012?湖北）如，双曲=1（a，b＞0）的两点 A1，A2，虚两头点 B1，B2，两焦点 F1， F2．若以 A1A2直径的内切于菱形 F1 1 2 2，切点分 A，B，C，D．：B F B（Ⅰ）双曲的离心率 e=；（Ⅱ）菱形 F1B1F2B2的面 S1与矩形 ABCD的面 S2的比 =．【剖析】（Ⅰ）直 B2F1的方程bx cy+bc=0，所以O 到直的距离，根据以A1A2直径的内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲的离心率；（Ⅱ）菱形F1 B1F2B2的面S1=2bc，求出矩形ABCD 的与，从而求出头S2=4a2sin θ cos θ=；，由此可得．【解答】解：Ⅰ）因为以 AA1直径的内切于菱形F1B1F2B2，所以点 O 到直 F2B2的距离 a，又因为虚两头点B1，B2，所以 OB2的 b，那么在△ F2 2 中，由三角形的面积公式知， 2 2|=a ，OB bc= a| B F 又由双曲线中存在关系c2=a2+b2联立可得出（ e2﹣ 1）2=e2，解出 e=（Ⅱ）设∠ F2OB2=θ，很明显知道∠ F2A2O=∠ AOB2=θ，所以 s22（θ）．=2a sin 2在△ F2OB2中求得 sin θ=，cosθ=，故 S2=4a2sin θ cos θ=；菱形F1122的面积 S1，再依据第一问中求得的e 值能够解出=．B F B=2bc故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、 16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定地点将你所选的题目序后的方框用 2B 铅笔涂黑，假如全选，则按第 15 题作答结果计分．）15．（ 5 分）（2012?湖北）如图，点D 在⊙ O 的弦 AB 上挪动， AB=4，连结 OD，过点 D 作 OD 的垂线交⊙ O 于点 C，则 CD的最大值为 2 ．222最大且弦心距 OD 最小时，【剖析】由题意可得 CD=OC﹣ OD ，故当半径 OCCD获得最大值，故当 AB为直径、且 D 为 AB 的中点时，CD获得最大值，为 AB 的一半．【解答】解：由题意可得△ OCD为直角三角形，故有222CD =OC﹣OD ，故当半径OC最大且弦心距 OD 最小时， CD获得最大值．故当 AB 为直径、且 D 为 AB 的中点时，CD获得最大值，为 AB 的一半，因为 AB=4，故 CD的最大值为 2，故答案为 2．16．（ 2012?湖北）（选修 4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）订交于A， B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【剖析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为一般方程，联立可求线段AB 的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（ x≥ 0），曲线（t为参数）化为一般方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得 x2﹣ 5x+4=0，∴方程的两个根分别为 1，4∴线段 AB 的中点的横坐标为 2.5，纵坐标为 2.5 ∴线段 AB 的中点的直角坐标为（ 2.5，2.5）故答案为：（ 2.5，2.5）三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）（ 2012?湖北）已知向量=（cos ωx﹣sin ωx，sin ωx）， =（﹣ cos ωx﹣s in ωx，2 cosωx），设函数 f （x）= ? +λ（x∈R）的图象对于直线 x=π对称，此中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（ 1）求函数 f（ x）的最小正周期；（ 2）若 y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[ 0，]上的取值范围．【剖析】（1）先利用向量数目积运算性质，求函数 f（x）的分析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数 f（ x）化为 y=Asin（ωx+φ）+k 型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（ 2）先将已知点的坐标代入函数分析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（ x）的值域．【解答】解：（ 1）∵f（x）= ? +λ=（cosωx﹣sin ωx）×（﹣cosωx﹣sin ωx）+sin ωx ×2cosωx+λ=﹣（ cos2ωx﹣ sin2ωx）+sin2 ωx+λ=sin2 ωx﹣cos2 ωx+λ =2sin（ 2ωx﹣）+λ∵图象对于直线 x=π对称，∴ 2πω﹣ = +kπ， k∈z∴ω=+ ，又ω∈（，1）∴ k=1 时，ω=∴函数 f（x）的最小正周期为=（2）∵ f（） =0∴2sin（2× × ﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（ x﹣）﹣由 x∈[ 0，]∴ x﹣∈[﹣，]∴ sin（ x﹣）∈ [﹣，1]∴ 2sin（）=f（x）∈ [ 1，2]x故函数 f（x）在区 [ 0， ] 上的取范 [ 1，2]18．（12 分）（ 2012?湖北）已知等差数列n}前三的和3，前三的8．{ a（1）求等差数列 { a n } 的通公式；（2）若 a2， a3，a1成等比数列，求数列 {| a n|} 的前 n 和．【剖析】（I）等差数列的公差d，由意可得，，解方程可求 a1，d，而可求通（ II）由（I）的通可求足条件 a2，a3，a1成等比的通 a n=3n 7， | a n| =| 3n7| =，，，依据等差数列的乞降公式可求，【解答】解：（I）等差数列的公差d， a2=a1+d， a3=a1+2d由意可得，解得或由等差数列的通公式可得，a n=2 3（n 1）= 3n+5 或 a n= 4+3（ n 1）=3n 7（ II）当 a n= 3n+5 ， a2，a3， a1分 1， 4，2 不可等比当 a n=3n 7 ， a2，a3， a1分 1，2， 4 成等比数列，足条件，，故 | a n| =| 3n7| =，数列 {| a n|} 的前 n 和 S n当 n=1 ， S1=4，当 n=2 ， S2=5当 n≥3 ， S n=| a1|+| a2|+ ⋯+| a n | =5+（ 3× 3 7） +（3×4 7）+⋯+（3n 7）=5+=，当n=2，足此式，上可得，19．（ 12 分）（2012?湖北）如 1，∠ ACB=45°， BC=3，点 A 作 AD⊥ BC，垂足 D 在段 BC上且异于点 B，接 AB，沿 AD 将△ ABD折起，使∠ BDC=90°（如图 2 所示），（1）当 BD 的长为多少时，三棱锥 A﹣ BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M 分别为棱BC，AC的中点，试在棱 CD 上确立一点 N，使得 EN⊥ BM，并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小．【剖析】（1）设 BD=x，先利用线面垂直的判断定理证明AD 即为三棱锥 A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为 x 的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（ 2）由（ 1）可先成立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和有关向量的坐标，设出动点 N 的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N 点坐标，从而确立N 点地点，再求平面BMN 的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设 BD=x，则 CD=3﹣x∵∠ ACB=45°，AD⊥ BC，∴ AD=CD=3﹣x∵折起前 AD⊥ BC，∴折起后 AD⊥BD， AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面 BCD∴V A﹣BCD= × AD× S△BCD= ×（ 3﹣x）××x（3﹣x）= （x3﹣6x2+9x）设 f（ x）= （x3﹣ 6x2+9x） x∈（ 0，3），∵ f （′ x）= （x﹣1）（ x﹣ 3），∴ f （x）在（ 0， 1）上为增函数，在（ 1，3）上为减函数∴当 x=1 时，函数 f（ x）取最大值∴当 BD=1时，三棱锥 A﹣BCD的体积最大；（ 2）以 D 为原点，成立如图直角坐标系D﹣ xyz，由（ 1）知，三棱锥 A﹣BCD的体积最大时， BD=1， AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且 =（﹣ 1，1，1）设 N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴ ? =0即（﹣ 1，1，1）?（﹣，λ﹣1，0）= +λ﹣1=0，∴λ=，∴ N（ 0，， 0）∴当 DN= 时， EN⊥ BM设平面 BMN 的一个法向量为（，，），由及（﹣，，0）= x y z=1得，取 =（1，2，﹣ 1）设 EN 与平面 BMN 所成角为θ，则（﹣，﹣，0）=sin θ= ＜，＞|=|| == | cos∴θ=60°∴ EN与平面 BMN 所成角的大小为60°20．（12 分）（2012?湖北）依据过去的经验，某工程施工时期的降水量X（单位：mm）对工期的影响以下表：降水量 X X＜300300≤X＜700700≤ X＜900X≥900工期延迟天数 Y02610历年气象资料表示，该工程施工时期降水量X 小于 300，700，900 的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（ I）工期延迟天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 起码是 300 的条件下，工期延迟不超出 6 天的概率．【剖析】（I）由题意，该工程施工时期降水量X 小于 300，700，900 的概率分别为 0.3，0.7，0.9，联合某程施工时期的降水量对工期的影响，可求相应的概率，从而可得期延迟天数 Y 的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜ 300）=0.7， P（ 300≤X＜900） =P（X＜900）﹣ P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意， P（ X＜ 300）=0.3，P（300≤ X＜ 700）=P（ X＜ 700）﹣P（X ＜300） =0.7﹣0.3=0.4， P（ 700≤X＜900）=P（X＜900）﹣ P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2， P（ X≥ 900）=1﹣0.9=0.1 Y 的散布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（ Y）=0×0.3+2×0.4+6× 0.2+10× 0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（ 2﹣ 3）2×0.4+（6﹣3）2× 0.2+（10﹣3）2× 0.1=9.8∴工期延迟天数Y 的均值为 3，方差为 9.8；（Ⅱ） P（X≥300） =1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900） =P（X＜900）﹣ P （X＜300） =0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得 P（ Y≤ 6| X≥300）=＜．21．（ 13 分）（2012?湖北）设 A 是单位圆 x2+y2=1 上的随意一点， l 是过点 A 与x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且知足丨 DM 丨=m 丨 DA 丨（ m＞ 0，且 m≠ 1）．当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C．（I）求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为什么种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点，此中 P 在第一象限，它在 y 轴上的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H，能否存在 m ，使得对随意的 k＞0，都有 PQ⊥PH？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明原因．【剖析】（I）设 M（ x，y），A（x0，y0），依据丨 DM 丨=m 丨 DA 丨，确立坐标之间的关系x0=x，| y0| =| y| ，利用点A 在圆上运动即得所求曲线 C 的方程；根据 m∈（ 0，1）∪（ 1，+∞），分类议论，可确立焦点坐标；（Ⅱ） ? x1∈（ 0，1），设 P（ x1，y1），H（x2，y2），则 Q（﹣ x1，﹣ y1），N（0，y1），利用 P，H 两点在椭圆 C 上，可得，从而可得可得．利用 Q，N，H 三点共线，及PQ⊥ PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图 1，设 M （x，y），A（x0，y0）∵丨 DM 丨 =m 丨 DA 丨，∴ x=x0，| y| =m| y0|∴ x0=x，| y0| =| y| ①∵点A 在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线 C 的方程为＞，∵ m∈（ 0，1）∪（ 1， +∞），∴ 0＜ m＜1 时，曲线 C是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（，），，m＞ 1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（，），，（Ⅱ）如图 2、3，? x1∈（ 0，1），设 P（x1， y1）， H（ x2，y2），则 Q（﹣ x1，﹣y1），N（0，y1），∵ P， H 两点在椭圆 C 上，∴①﹣②可得③∵ Q，N，H 三点共线，∴ k QN=k QH，∴∴k PQ?k PH=∵PQ⊥PH，∴ k PQ?k PH=﹣1∴∵ m＞0，∴故存在，使得在其的上，随意k＞0，都有PQ⊥PH22．（ 14 分）（ 2012?湖北）（I）已知函数 f（ x）=rx x r+（1 r ）（ x＞0），此中 r 有理数，且0＜r＜1．求 f（x）的最小；（II）用（ I）的果明以下命： a1≥0，a2≥ 0， b1，b2正有理数，若b1+b2=1，a1b1a2b2≤a1 b1+a2b2；（III）将（ II）中的命推行到一般形式，并用数学法明你所推行的命αrα﹣1．注：当α 正有理数，有求公式（x ） =αx ．【剖析】（I）求函数，令 f ′（x）=0，解得 x=1；确立函数在（ 0，1）上是减函数；在（ 0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小；（II）由（ I）知， x∈（ 0， +∞），有 f （x）≥f （1） =0，即 x r≤rx+（1 r ），分：若 a1， a2中有一个 0， a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若 a1，a2均不 0，，，可得 a1b12b2≤a11+a2 2成立a b b（ III）（II）中的命推行到一般形式：a1≥0，a2≥0，⋯，a n≥0，b1，b2，⋯，b1 b2bnb n正有理数，若b1+b2+⋯+b n=1， a1 a2⋯a n≤ a1b1+a2b2+⋯a n b n；用数学法明：（ 1）当 n=1 ， b1=1，a1≤ a1，推行命成立；（ 2）假当n=k ，推行命成立，明当a k+1bk+1=到．【解答】（I）解：求函数可得：当 0＜x＜ 1 ， f ′（x）＜ 0，所以b1b2bkbk+1b1 b2bk）n=k+1 ，利用 a1 a2⋯a k a k+1=（a1 a2⋯a ka k+1bk+1，合假，即可得f′（ x）=r（1 x r﹣1），令 f ′（x） =0，解得 x=1；f（x）在（ 0， 1）上是减函数；当 x ＞1 ， f ′（x ）＞ 0，所以 f （x ）在（ 0， 1）上是增函数所以 f （x ）在 x=1 获得最小 f （ 1） =0；（ II ）解：由（ I ）知， x ∈（ 0，+∞） ，有 f （x ）≥ f （1）=0，即 x r≤ rx+（ 1r ）①若 a 1，a 2 中有一个 0， a 1b1a 2b2≤a 1b 1+a 2b 2 成立；若 a 1，a 2 均不 0，∵ b 1+b 2=1，∴ b 2=1 b 1 ，∴①中令，，可得 a 1b1a 2b2≤a 1b 1+a 2b 2 成立上， a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2 正有理数，若 b 1+b 2=1， a 1b1a 2b2≤a 1b 1 +a 2b 2；②（ III ）解：（II ）中的命 推行到一般形式 ： a 1≥0，a 2≥ 0， ⋯，a n ≥0，b 1，b1 b2bnb 2，⋯，b n 正有理数，若 b 1+b 2+⋯+b n =1， a 1 a 2 ⋯a n ≤a 1b 1+a 2b 2 +⋯a n b n ；③用数学 法 明（ 1）当 n=1 ， b 1=1，a 1≤a 1，③成立（ 2）假 当 n=k ，③成立，即 a 1 ≥0，a 2≥0，⋯，a k ≥ 0， b 1 ，b 2， ⋯， b k 正有理数，若 b +b +⋯+b ， b1 b2bk ≤a+a +⋯a ． 1 2k =1 a 1 a 2 ⋯a k 1b 1 2b 2 k b k 当 n=k+1 ，a 1≥ 0，a 2≥0，⋯，a k +1≥0，b 1，b 2 ，⋯，b k +1 正有理数，若 b 1+b 2+⋯+b k +1=1，1 b k +1＞ 0于是b1b2bkbk +1（b1 b2bk）a 1a 2k k +1= a 12 ⋯a k⋯a aaa k +1bk +1=bk +1 a k +1∵+ +⋯+ =1∴⋯ ≤ + +⋯+=∴a k +1bk +1≤?（1b k +1）+a k +1b k +1，b12b2bbk +1≤a1 1+a2 2+⋯a k k+a k+1k+1．∴ a1⋯a k k+1a ka bbbb∴当 n=k+1 ，③成立由（ 1）（ 2）可知，全部正整数，推行的命成立．。

....2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 .1．方程x 26 x 13 0 的一个根是 A ． 3 2iB ． 3 2iC ． 2 3iD ． 2 3i 考点分析： 本题考察复数的一元二次方程求根 .难易度 ： ★ 解析： 根据复数求根公式： x 6 6213 4 3 2i ，所以方程的一个根为2 答案为 A.2．命题“ x 0 e R Q ， x 03 Q ”的否定是 A ． x0 eR Q ， x0 3 B ． x0 eR Q ， x03 Q Q C ． x e R Q ， x 3 Q D ． x e R Q ， x 3 Q 考点分析： 本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度 ：★解析： 根据对命题的否定知，是把谓词取否定， 然后把结论否定。

因此选 D 3．已知二次函数 y f ( x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 A ． 2πB ． 45 3C ． 3 πD ． 2 2 考点分析： 本题考察利用定积分求面积 .难易度 ：★解析： 根据图像可得： y f ( x)x 2 1，再由定积分的几何意 2 1 1 x 34 4义，可求得面积为x 2 1)dx ( x)1 2S( 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A ． 8π B ．π 3....3 2iy111 O 1 x1第 3 题图142侧视图第 4 题图C ．10πD ． 6π 3 考点分析： 本题考察空间几何体的三视图 .难易度：★解析： 显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2 的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 .选 B. 3π 5．设 a Z ，且 0a 13 ，若 512012 a 能被 13 整除，则 aA ．0 B ．1 C ．11D ． 12 考点分析： 本题考察二项展开式的系数 .难易度：★解析：由于51=52-1 ， (52 1)2012C 20120 522012 C 20121 522011 ... C 20122011521 1 , 又由于 13|52,所以只需 13|1+a ， 0≤ a<13, 所以a=12 选 D.6．设 a,b, c, x, y, z 是正数，且 a 2b2 c 210 ， x 2 y 2 z 240 ， ax by cz 20 ，则 a b c x y zA ． 1B ． 14 3 C ． 1 D ． 32 4考点分析： 本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度： ★★解析： 由于 ( a 2b 2 2 )( x 2 y 2 z 2 ) ( ax by cz)2c等号成立当且仅当a b c t , 则 a=t x b=t y c=t z ， t 2( x 2 y 2 z 2 ) 10 x y z所以由题知 t1/ 2 , 又 a b c a b c , 所以 a b c t 1/ 2，答案选 C.x y z x y z x y z7．定义在 ( ,0) (0, ) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等比数列{ a n}， { f(a n )} 仍是等比数列，则称f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在( ,0) (0,) 上的如下函数：① f( x) x2；② f ( x) 2x；③ f ( x)| x | ；④ f (x) ln | x | .第 2 页共 15 页则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为A ．① ②B ．③ ④C．① ③ D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质， a n a n a n21，①f a n f a n 2 a n2a n22 a n22f 2 a n 1；2 12a n2a n2 2a n a n2 22a n 1 f 2 an 1；③ f a n f a n 222 an 1；② f a n f a n 2a n a n 2a n 1 f④ f a n f a n 2ln a n ln a n 22f 2 an 1.选 C ln a n 18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1 2 B ．11π 2 πC．2D．1ππ考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令OA 1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD ，则过 C 点。

2012湖北理一、选择题1 ．方程26130x x ++=的一个根是（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +2 ．命题“0x ∃∈R Q ð,30x ∈Q ”的否定是（ ）A ．0x ∃∉R Q ð,30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ð,30x ∉QC ．x ∀∉R Q ð,3x ∈QD ．x ∀∈R Q ð,3x ∉Q3 ．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43 C ．32D ．π24 ．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π侧视图正视图45 ．设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a = （ ）A ．0B ．1C ．11D ．126 ．设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．347 ．定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函 数:①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()f x ()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④8 ．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．21π-C ．2π9 ．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ）A ．dB ．dC ．d ≈D ．d ≈二、填空题11．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.12．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s =__________.13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有_________个.14．如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则(Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. .15．(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为__________.16．(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数) 相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.三、解答题17．已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;18．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.19．如图1,45ACB ∠= ,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,连接AB ,沿AD 将△ABD 折起,使90BDC ∠= (如图2所示).(Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在 棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.第15题图 A AM20．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.21．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.22．(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且01r <<. 求()f x 的最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.2012湖北理参考答案一、选择题 1. A. 2. D3. B4. B.5. D.6. C.7. C8. A.解析：令1=OA ，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。