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华东理工高等数学作业本第7次作业答案第2章（之6）第7次作业教学内容：§2.2.4极限的运算法则E §2.2.5无穷小的比较**1．试求下列极限：（1）xx x 10211lim ??? ??+→；（2）111)313(lim -→++x x x x ；（3）x x x sin 20)31(lim +→;（4）nnn x 2sin2lim ∞→（x 为不等于零的常数）.解：（1）xx x 10211lim ??? ??+→=22211])21[(lim 1ex x x =+→（2） 2132132)1(231111e lim 3221lim )313(lim ==??+-+=+++→+?-+→-→xx xx xx x x ex x xx .（3）xx x sin2)31(lim +→6e =.(4) 原式=xx nnn =?∞→22lim .**2．试求()x x f cos =的导数。
解：()()x x x x x f x ?-?+='→?cos cos lim 0x x x x x ????? ?+-=→?2sin2sin 2lim 022sin2sin lim 0x xx x x+-=→?22sinlim 2sin lim 00x xx x x x+-=→?→?x sin -=，()()x x x f sin cos -=' ='∴.**3。
的存在性研究极限)0(cos 22lim >-→a xaxx .解：x ax x 2sin2lim→=原式axax x ax x x ==++→→2sin2lim2sin 2limaxax x ax x x -=-=--→→2sin2lim2sin 2lim，所以原极限不存在由于左、右极限不相等.4．选择题**（1）时（），则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x xx x βα.)()()(; )()()(; )()()(;)()()(高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与x x D x x C x x B x x A αββαβαβα答：A**(2)在点，则曲线为可导函数且满足设)(12)()(lim)(0x f y xx a f a f x f x =-=--→处的切线斜率为， 2)(1)(1)(2)()())((--D C B A a f a分析：1)(21)()(lim212)()(lim-='=---=--→→a f xa f x a f xx a f a f x x ，2)(-='∴a f .)(D 答**(3)设xx x f sin )2()(+=，则)(x f 在0=x 处 ( )（A ）2)0(='f （B ）0)0(='f （C ）1)0(='f （D ）不可导=+=-→→2)2(sin lim )0()(lim 00x x x x f x f x x)(A 答***5．适当选取A 、k 的值，使下式成立：kAx x x ~sin 1tan 1+-+（当0→x ）.解：x x xx x xx x x x x sin 1tan 1)cos cos 1(sin sin 1tan 1sin tan sin 1tan 1++ +-=+++-=+-+x x x x x cos )sin 1tan 1(2sin2sin 2+++?=，0→x时，x x ~sin ，∴ 上式等价于 411)2(232xx x =+??，3,41==∴k A .6．当0→x 时，试确定下列各无穷小对x 的阶数. *（1）2310000x x +； **（2）31)1(x x x +解：（1）1000010000lim2230=+→xxx x ，∴ 阶数为2。
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
习题一1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n 级排列 (1)21n n -。
解：（1）(134782695)04004200010τ=++++++++= ；（2）[(1)21]n n τ-=(1)(1)(2)102n n n n --+-+++=。
2.选择i 和k ，使得： 1）1274i 56k 9成奇排列；2）1i 25k 4897为偶排列。
解：（1）令3,8i k ==，则排列的逆序数为：(127435689)5τ=，排列为奇排列。
从而3,8i k ==。
（2）令3,6i k ==，则排列的逆序数为：(132564897)5τ=，排列为奇排列。
与题意不符，从而6,3i k ==。
3.由定义计算行列式11122122313241424344455152535455000000000a a a a a a a a a a a a aaaa 。
解：行列式＝123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑，因为123,,j j j 至少有一个大于3，所以123123j j j a a a中至少有一数为0，从而12345123450j j j j j a a a a a =（任意12345,,,,j j j j j ），于是123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-=∑。
4.计算行列式：1）402131224---； 2）1111111*********----； 3）41241202105200117；4）1464161327912841512525--；5）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++++++++。
线性代数与几何答案华南理工大【篇一：华南理工大学线性代数与解析几何试卷(14)】s=txt>华南理工大学期末考试《线性代数－2007》试卷a注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：开（闭）卷；一、单项选择题（每小题2分，共30分）。
1．设矩阵a1 2??3 4??, b1 23??456??, c??14?25，则下列矩阵运算无意义的是【】36??a. bacb. abcc. bcad. cab2.设n阶方阵a满足a2–e =0，其中e是n阶单位矩阵，则必有【】a. a=a-1b. a=-ec. a=ed. det(a)=13.设a为3阶方阵，且行列式det(a)=?12,则a*【】 a. ?14b. 14c. ?1d. 1 4.设a为n阶方阵，且行列式det(a)=0，则在a的行向量组中【】a.必存在一个行向量为零向量b.必存在两个行向量，其对应分量成比例c. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合d. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】 a．a1?a2,a2?a3,a3?a1 b. a1,a2,2a1?3a2 c. a2,2a3,2a2?a3 d.a1,a2,a1?a36.向量组(i): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【】a.(i)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出b.(i)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 c.(i)中任意两个向量线性无关d.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1kmam?0【】a．a的行向量组线性相关 b. a的列向量组线性相关 c. a的行向量组线性无关 d. a的列向量组线性无关a1x1a2x2a3x308.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组?bx?bx?bx?02233?11的基础解系含2个解向量，则必有【】a.a1a2b2b30 b.a1a2b1b20 c.a1a3a1a2a30 d.b1b2b1b2b3【】9.方程组?x?2x?x?1 有解的充分必要的条件是1233 x3x2xa123?2x1x2x31a. a=-3b. a=-2c. a=3d. a=2【】a. 方程组有无穷多解b. 方程组可能无解，也可能有无穷多解c. 方程组有唯一解或无穷多解d. 方程组无解12. n阶方阵a相似于对角矩阵的充分必要条件是a有n个【】a.互不相同的特征值b.互不相同的特征向量c.线性无关的特征向量d.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间rn的子空间的是【】a. {(a1,a2,?,an)|a1a2?0}b. {(a1,a2,?,an)|c. {(a1,a2,?,an)|a1?1}d. {(a1,a2,?,ana)|?an1i?nii0} 1}14.【】1001?1 2a. 011b. ?5?2-10 1 -1c. ?1 -11 0d.0 -10 -11 0 015.若矩阵a?0 2 a正定,则实数a的取值范围是【】 0 a 8?? a．a 8b. a＞4c．a＜-4 d．-4 ＜a＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院__________ 专业____________ 班级_______________ 学号__________ 姓名____________ 任课教师___________ 1.1 矩阵的概念1. 矩阵 A a ij 2i j 2 3.解：A2．设1 0 00 1 0 0 3 0 05 2A ,B 0 1 0 0 ,C 2 3 0, D0 3 00 40 0 10 0 4 1 0 0 3其中对角阵为___ ，三角阵有_解：对角阵为D；三角阵有A，C， D.1.2 矩阵的运算3 1 1 2 1 11. 已知2 3X O ，求矩阵X .2 0 23 1 1解：依题意，由3X 6422421311 4 3 3，1 1 1 5 ，41 1即得X 31 13 32. 如果矩阵A m n 与B t s 满足AB BA，试求m,n,t,s 之间的关系解：m nt s.3. 填空：4 3 1 7(1) 1 2 3 25 7 0 11(2) 1, 2, 3 23 ___________1(3) 2 1, 2 ;3__________________1 3 1214 0 0 1 2(4)1 1 3 4 1 3 14 0 235 1 2解：(1) 6 ；(2) 14；(3) 2 4 ；(4) 6 7820 5649 3 60104. 已知矩阵 A 0 0 1 ，试求与 A 可交换的所有矩阵 000解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为 abc其为 B d e f ，于是有ghi010aAB 0 0 1 d000g abc0BA d e f 0ghi0def由 AB BA ，即得 g h i000由相应元素相等，则得 d gabc故 B 0 a b （a,b,c 均为任意常数） 为与 A 可交换的所有矩阵00a2a 33x 3 (a 12 a 21 )x 1x 2 (a 13 a 31) x 1 x 3 (a 23 a 32)x 2x 33 阶方阵，不妨设b c d e fe f = ghi ，h i 0 0 0 1 0 0 a b 0 1 0 d e ， 0 00 g h0ab0 d e ，0gh h 0,a e i,b f ,a 11 a 12 a 13 x 1(1)x 1, x 2, x 3 a 21a 22 a 23 x 2 ；a 31a 32a 33x 35. 计算下列各题：解：原式等于： 2 a11x1 2 a22x21 33(2) A，求A 2008解：记 A，则A 2A 3 ，Q 2008 3669(3) 解： A9 200820071,1,13)669A .A 9.1,1,1 23 1,1,1 2328A2561 26. 利用等式17 62 3 2 0 7 335 1257 0 3 5 273 2 31 0,5 2 5 70 1,计算 1756.3512 .55解： 176 2 3 2 0 73 3197 12663512 5 7 0 3 527385 29227. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该 公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000人，若每 年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训， 同时又有 60%脱产轮 训职工结业回到生产岗位， 设职工总数不变， 令资料个人收集整理，勿做 商业用途0.7 0.6 8000 A , X0.3 0.42000试用 A 与 X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况， 并据 此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人 . 解：一年后职工状况为： AX 3200不脱产职工 6800 人，轮训职工 3200 人.6800 2 6680 两年后职工状况为： A A 2 X3200 3320不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人. 218. 设矩阵 A 24 12 ，B求:(1) A T B T B T A T ; (2) A 2 B 2.解： (1) A T B T B T A T10 20 0 0 10 20 5 10 0 0 5 10 (2) A 2 B 22 1 2 13 1 314 24 2 6 2 620 0 15 5 15 5.0 0301030 10 .9. 设 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，则( )是反对称矩阵(A ) AB BA; (B ) AB BA; (C ) (AB)2 ; (D ) BAB . 解：B.1 2 110．试将矩阵 A 3 0 12 23 解：11. 设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵 的充分必要条件为 AB BA. 证：必要性 :由(AB)Τ AB 及(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA 即得 AB BA. 充分性: 若 AB BA ，则(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA AB ，知 AB 是反对称阵 .表示成对称矩阵与反对称矩阵之和11A 12(A A T ) 12(A A T )1 5 3 0 1 12 2 2 2 53 1 0122 223 331 12 22212. 设 f (x) a m x m项式，f (A)1)2) 设A解：(1)f(a mm1am 1 1m a m 1xm a m A1L a1xm1a m 1A L证明 f (证明f (A)a0，记 f (A) 为方阵A的多a1A a0If ( 1)f ( 2)Pf ( )Pf(1) 0f ( 2)2) A A kf(A) f(P 1)Pf ( )P 13．设矩阵A a 1a m Pm11m12a1a1001aam 1m12 a1 a0k P 1mP1ma m 1P1P1a1P a0PP 1T2 T ，其中I 为n 阶单位阵，为n 维列向量，试证 A 为对称矩阵，且A2 I .证：A T(I 2 T )T I T2( T )T T2(T)T I 2 T 故 A 是对称矩阵，且T 2A2（I 2 T ）（IT2T) 4T4 (( T T ))2 T I .(T)21.3 逆矩阵1. 设A为n 阶矩阵，且满足A2A ，则下列命题中正确的是（）.A) A O ；B) A I ；（C）若 A 不可逆，解：D.则A O ；（ D ）若 A 可逆，则A I.2. 设n阶矩阵A、（A）CA2B B、I；C 满足ABAC I ，则必有（）.（B）A T B T A T C T I ；（C）解：B.BA2C I；D)A2B2A2C2I .3．已知矩阵A 111111111111111，求A n及A 1（n是正整数）.11证：由A2 4I ，即可得nnA n (A 2)2(4I)2 2nI, n 为偶数 An 1A n 1A (4I) 2 A 2n 1A, n 为奇数及 A (1A ) I ，亦即 A 1 1A . 444. 已知 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A 3I O ，求: A 1, (A 2I) 1, (A 4I) 1.( A 2I ) 解：依题意，有 A (A 2I ) 3I ，即 A(A 2I)I ，故311A 1 (A 2I )；( A 2I )1A ，33再由已知凑出 (A 4I)(A 2I) 5I ，即得11(A 4I) 1 1(A 2I).55. 设 A 、 B、ABI 为同阶可逆阵， 试证： (1) A B 1 可逆；(2) AB 11A 1也可逆，且有AB1111A 1ABA 证：(1) AB 1ABB 1B 1(A B I)B1A B 1 可逆(2)证法 一：AB 11A 1A B11A B11A B 1 A 1AB11I IB1A 1AB A B 1(ABAA)1AB 11A 1可逆，且 AB 1 1A 11ABA A .证法二： 由（1）得 AB 11B(AB I） 1 ，因此1A B 1 A 1(ABA A) B(AB I) 1 A 1 (ABA A) 11B(AB I) 1(AB I)A A 1A(BA I) BA BA I I1 1 1 11A B 1 A 1可逆，且 A B 1 A 1 ABA A .。
习题七（P274－276）1．设3,R αβ∈，以下哪些函数(,)αβ定义了3R 的一个内积？ （1）1122332332(,)22a b a b a b a b a b αβ=+++-， 否 （2）1122332332(,)a b a b a b a b a b αβ=++-- ， 是（3）222222112233(,)a b a b a b αβ=++ ， 否（4）1133(,)a b a b αβ=+ ， 否 2.以下哪些函数定义了[1,1]C -上的一个内积.（1）1221(,)()()f g f x g x dx -=⎰ （⨯） （2）11(,)()()f g xf x g x dx -=⎰ （⨯） （3）121(,)()()f g x f x g x dx -=⎰（√）（4）11(,)()()f g xf x g x dx -=-⎰（⨯）（5）11(,)()()x f g e f x g x dx --=⎰（√）3．设A 是正定矩阵，在nR 中对任两个向量12(,,,)T n x x x α= ，12(,,,)T n y y y β= ，定义(,)T A αβαβ=，证明：在这个定义下nR 构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西——施瓦兹不等式. 证明：（1）(,)()(,)T T T A A βαβααβαβ=== （2）(,)()()(,)T T k k A k A k αβαβαβαβ===（3）设：,(,)()(,)(,)n T T T R A A A γαβγαβγαγβγαγβγ∈+=+=+=+（4）由A 的正定性知(,)0T A αααα=≥，当且仅当0α=时，0TA αα=，即(,)0αα=，从而n R 在(,)T A αβαβ=定义下构成欧氏空间。
又(,)TA αβαβαββ=.柯西——施瓦兹不等式为()T A αβ≤4． 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ（内积按对应分量乘积之和）.（1）(2,1,3,2)(1,2,2,1)αβ==-（2）(1,1,1,2)(3,1,1,0)αβ==-解：（1）(,)0.,2παβαβ=∴=（2）(,)(,) 3.cos ,αβαβαβαβαβ=====⋅，从而,arc αβ=5．在4R 中求一单位向量与()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3---正交. 解：设所求向量为1234(,,,)x x x x α=，应有：12341234123400230x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 解之得：411423433,0,x x x x x =-==-， 又 222212341x x x x +++=，得：4x =，(,0,,α∴= 6． 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）：1(1,1,0,0)α=,2(1,0,1,0)α=,3(1,0,0,1)α=-。
华东理工大学线性代数 作业簿（第七册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________5.1 方阵的特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A . 解:（1）由 11043012|A I |---=---λλλλ0)1)(2(2=--=λλ，解得A 的特征值为: 2,1321===λλλ,当121==λλ时, 解方程 ()0A I x -=, 由210101420~012101000A I -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1211p , 故对应121==λλ的全部特征向量为 )0(1≠k kp ;当23=λ时, 解方程 0)2(=-x E A , 由3101002410010100000A I ~-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002p , 故对应23=λ的全部特征向量为 )0(2≠k kp .解: (2) 由122212221|A I |--=--λλλλ0)5()1(2=-+=λλ,解得A 的特征值为: 5,1321=-==λλλ, 当121==λλ时, 解方程 ()0A I x +=, 由222111222~000222000A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011p ，故对应121-==λλ的全部特征向量为 )0(212211≠+k k p k p k ;当53=λ时, 解方程: (5)0A I x -=, 由4221015242~011224000A I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 得基础解系为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113p , 故对应53=λ的全部特征向量为)0(3≠k kp .2. 已知3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,235A A B -=,求B 的特征值. 解: 容易证明， 当λ是A 的特征值时, 则矩阵A 的多项式)(A f 必有特征值)(λf .设235)(A A A f B -==, 则B 有特征值: 4)1(-=f , 6)1(-=-f , 12)2(-=f .3.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A , 且A 的特征值为3,2,1, 求z y x ,,. 解: 0]2))(1)[(1(10321||=----=---=-x y z y x I A λλλλλλλ,因为A 有特征值为3,2,1得: ⎩⎨⎧=----=----0]2)3)(31)[(31(0]2)2)(21)[(21(x y x y ,即⎩⎨⎧=-+=-+03022y x y x , 解得 ⎩⎨⎧=-=41y x , z 无限制, 故 R z y x ∈=-=,1,1.4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111a A , 且A 有特征值2,6321===λλλ, 则a =( ).(A)2; (B)2-; (C)4; (D)4-.解: B. 一方面24||321==λλλA ； 又)6(653342111||a a A +=---=, 所以得2-=a .5.设向量T k ]1,,1[=α是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量, 试求常数k 的值.解：设λαα=-1A , 左乘A 得 αλαA =, 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1121112111211k k λ, 即⎩⎨⎧+=+=)22()3(1k k k λλ, 解得⎩⎨⎧-==2111k λ,⎩⎨⎧==14122k λ, 故有2-=k 或1=k .6. 设21,ξξ分别是矩阵A 属于不同特征值21,λλ的特征向量, 试证: 21ξξ+不可能是A 的特征向量.解: 设21ξξ+是A 的对应于特征值0λ的特征向量, 即有201021021)()(ξλξλξξλξξ+=+=+A , 另一方面, 又有22112121)(ξλξλξξξξ+=+=+A A A ,综合得0)()(220110=-+-ξλλξλλ,再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 ,02010=-=-λλλλ 即得 21λλ=, 与已知条件21λλ≠矛盾, 故命题得证.7. 设B A ,为n 阶矩阵, 证明AB 与BA 有相同的特征根. 证明: 只要证明AB 的特征值都是BA 的特征值即可.如果0是AB 的特征值, 则得 0||=AB , 从而0||||||||===AB B A BA , 故0也是BA 的特征值;再设λ是AB 的任意一个非零特征值, 对应的特征向量为x , 即有x x AB λ=)(,两边左乘B 得 Bx x AB B λ=)(, 即)())((Bx Bx BA λ=,显然0≠Bx （否则有0)()(===Bx A x AB x λ, 得到0=λ, 矛盾）, 故λ也是BA 的特征值, 对应的特征向量为Bx . 8．设A 为实正交矩阵, 即T A A I =, 证明: A 的特征值的绝对值只能是1或1-.证明: 设λ是A 的特征值, x 是对应λ的特征向量, 即有x Ax λ=,所以有x x x x Ax Ax T T T 2)()(λλλ==,另一方面, 又有()T T T T T Ax Ax x A Ax x Ix x x ===,结合上述两式得12=λ, 即1±=λ.5.2 相似矩阵1.已知A 是n 阶可逆矩阵， 如果A 与矩阵B 相似，则下列四个命题中，(1)AB 与BA 相似, (2)2A 与2B 相似, (3)1-A 与1-B 相似, (4)T A 与T B 相似, 正确的命题共有( ).(A)4; (B)3; (C)2; (D)1.解：A. (2)、（3）、（4）显然；（1）成立是因为1()B BA B AB -=.2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300320321A ; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301121402A ; (3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=201335212A . 解：(1)显然A 有三个不同的特征值3,2,1, 故A 有三个线性无关的特征向量, 从而A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ300020001. (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-λλλλ301121402I A , 由0)1()2(2=+--=-λλλI A 得A 的特征值.1,2321-===λλλ再由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-000000101~1011014042I A 知方程组0)2(=-x I A 有两个线性无关的特征向量；而单根13-=λ必有另一特征向量, 故A 有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵A 能够相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122. (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-λλλλ201335212I A , 由0)1(3=+-=-λλI A 得A 的特征值.1321-===λλλ再由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+000110101~101325213I A , 知方程组0)(=+x I A 只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵A 没有三个线性无关的特征向量, 故A 不能相似于任何对角矩阵. 3. 设矩阵460350361A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (1)证明A 可对角化; (2)计算n A . 解:（1） 由)2()1(2+--=-λλλI A , 可得矩阵A 的特征值位2,1321-===λλλ.对应特征值121==λλ, 有两个线性无关特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002p ； 对应特征值23-=λ, 有一个线性无关特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1113p ； 因为A 有三个线性无关的特征向量, 所以A 可对角化.取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==110101102][321p p p P , 则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ=-2111AP P ; (2)由（1）知1-Λ=P P A , 而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-021*******P , 故11)(--Λ=Λ=P P P P A n n n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=021121011)2(11110101102n nn⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+----=1)2(22)2(10)2(21)2(10)2(22)2(2nn n n n n.4．已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似， (1)求y x ,；(2)求一个满足B AP P =-1的可逆阵P . 解: (1)由A 相似于B , 得 ||||I B I A λλ-=-, 即λλλλλλ----=---1000002110002y x ,亦即)1)()(2(]1)()[2(+--=---λλλλλλy x ,解之得 1,0==y x ；(2)A 与B 有相同的特征值1,1,2321-===λλλ,解方程组 0)2(=-x I A , 得特征向量 T p ]0,0,1[1=, 解方程组 0)(=-x I A , 得特征向量 T p ]0,1,0[2=, 解方程组 0)(=+x I A , 得特征向量 T p ]1,1,0[3-=,取 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110110001],,[321p p p P , 则有B AP P =-1.5.3 实对称矩阵1.求正交矩阵Q , 将下列矩阵正交对角化.(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=020212022A ; (2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222A . 解: (1)由λλλλ-------=-20212022||I A )4)(1)(2(--+-=λλλ, 可得特征值为4,1,2321==-=λλλ，当,21-=λ 解方程组0)2(=+x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2211ξ, 单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221311q ; 当,12=λ 解方程组0)(=-x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2122ξ，单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212312q ; 当,43=λ 解方程组0)4(=-x A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1223ξ，单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122313q ; 取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==12221222131],,[321q q q Q , 则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-4121AQ Q .(2) 由λλλλ-------=-542452222||I A )10()1(2---=λλ, 可得特征值为10,1321===λλλ,当,121==λλ 解方程组0)(=-x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0121ξ, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1022ξ，正交化得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==01211ξβ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=><><-=5425101254102,,1111222ββββξξβ, 再单位化得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==01251||111ββq , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==542531||222ββq ; 当,103=λ 解方程组0)10(=-x I A , 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2213ξ,单位化得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=221313q , 取⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==3253503253451315252],,[321q q q Q , 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10111AQ Q .2. 已知3阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3, 对应于特征值3的特征向量为T ]1,0,1[1-=α, T ]1,2,1[2-=α, 求A 的对应于特征值6的特征向量及矩阵A .解: 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以A 的对应特征值6的特征向量为T x x x ],,[3213=α与21,αα都正交，于是得到031=+-x x 和02321=+-x x x ,取一非零解T ]1,1,1[3=α,再取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111120111],,[321αααP , 则有1336P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以1336A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111120111633111120111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41114111422212130361633*********.。
