【恒心】(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(文科)试题及参考答案

第 1 页 共 8 页 东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （文科） 2014.3本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi 3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B . 4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线。

北京市东城区2014届高三3月质量调研文综试题地理部分学校班级姓名考号本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共10页。

满分300分，考试时间150分钟。

第一部分选择题（共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

请将所选答案前的字母，按要求填涂在答题卡第1-35题的相应位置上。

沪昆高铁是国家《中长期铁路网规划》中“四纵四横”的快速客运通道之一，全线预计于2015年建成通车。

图1为“沪昆高铁干线示意图”，读图回答1～3题。

图11．下列铁路干线，纵向与沪昆高铁干线交汇的是A．陇海线B．湘黔线C．京九线D．浙赣线2．沪昆高铁干线A．途经昆明、武汉等省级行政中心B．横跨地势第一、二、三级阶梯C．跨越热带、亚热带季风气候区D．沿线地区多泥石流、洪涝等灾害3．下列世界遗产，位于沪昆高铁干线所经省区的是A．丽江古城、三清山B．苏州园林、庐山C．云南石林、峨眉山D．福建土楼、黄山图2示意某国家部分经济活动分布。

该国人口2400多万，人口自然增长率约2.4%，矿产品、可可和木材为其三大经济支柱。

回答4～6题。

4．该国A．位于北半球、西半球B．河流以降水补给为主C．地势南部高，北部低D．人口增长处于原始型5．关于该国经济活动的正确叙述是A．北部地区主要发展乳畜业B．南部沿海有世界著名渔场C．木材产自常绿硬叶林区D．主要出口初级农矿产品6．图中甲地发展炼铝工业的突出优势是①铝土矿丰富，接近原料地②邻近水库，提供优质水源③附近有水电站，能源充足④城市密集，消费市场广阔⑤有铁路运输和海运，交通便利A. ①②B.③④C. ①③D. ④⑤图3是我国华北平原某城市近十年土地利用率变化图，读图回答7、8题。

图37．监测并估算该城市近十年土地利用率的变化，采用的地理信息技术分别是A．RS和GPS B．RS和GISC．GIS和RS D．GPS和GIS8．据图可知，该城市近十年A．城区植被覆盖率增加B．郊区种植业迅速发展C．城市热岛效应减弱D．郊区生态环境改善北京时间2014年2月12日17时19分，位于昆仑山北麓的新疆于田县（36.1°N，82.5°E）发生7.3级地震，震源深度12千米，没有造成人员伤亡。

北京市东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则AB =（A ）{}02， （B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = （3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14（D ）30（5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为（A ）38 （B ）38- （C （D ）（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ） ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④（C ）①③④ （D ）①②③④（7）已知向量(1,3)=a ，(,23)m m =-b ，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为+λμ=c a b (,)λμ∈R ，则实数m 的取值范围是（A ）(,0)(0,)-∞+∞ （B ）(,3)-∞ （C ）(,3)(3,)-∞--+∞ （D ）[3,3)-（8）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得△MNP 是直角三角形，则实数k 的取值范围是 （A ）11[,0)(0,]33- （B ）3[,0)(0,]33- （C ）11[,]33-（D ）[5,5]- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2014 届下学期高三年级一模考试文综试卷有答案本试卷共300 分。

考试时长150 分钟。

第一部分（选择题共140分）本部分共35 小题，每小题 4 分，共140 分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

北京植物园每年都举办以赏花为主的时令旅游活动——桃花节。

读图1，回答1、 2 题。

1.北京植物园桃花节开始日期A.呈现提前趋势B.都比山桃始花期晚C.呈现推迟趋势D.与山桃始花期相同2.从审美特征看，举办桃花节主要是为了欣赏桃花的A.动态美和形象美B.色彩美和形象美C.朦胧美和动态美D.色彩美和朦胧美读图2，回答第 3 题。

3.在图中所示的灾害链中，①、②、③依次是A.狂风、泥石流、滑坡B.海啸、洪水、滑坡1C.风暴潮、洪水、泥石流D.洪水、风暴潮、泥石流博格达峰位于我国天山的东段。

读图3，回答4、 5 题。

4.图中博格达峰A.垂直自然带分布主要以水分为基础B.北坡和南坡垂直自然带的数量相同C.垂直自然带的基带是温带荒漠带D.各垂直自然带的分布随季节而变化5.图中山地针叶林带形成的主要原因是其位于①阳坡，蒸发强②阴坡，蒸发弱③迎风坡，降水量多④背风坡，降水量少A.②③B.①③C.①②D.③④读图4，回答6、 7 题。

6.图中河流特征及其成因对应正确的是A.渭河南岸无大支流——地转偏向力影响B.泾河自西北流向东南——地势西北高东南低C.洛河含沙量小——流经地区植被覆盖率高D.河流以冰雪融水补给为主——发源于高原27.图中泾河流域可持续发展的重点是A.加固大堤，治理“地上河”B.引水灌溉，发展农业C.修建水库，梯级开发D.合理采矿，保持水土花岗岩在我国分布广泛，图 5 为“岩石圈物质循环示意图”。

读图，回答第8 题。

8.图中表示花岗岩的岩石类型及其形成的地质作用分别是A.甲、①B.乙、③C.丙、④D.丁、②读图6，回答9～ 11 题。

9.图示大部分地区海拔在A. 200 米以下B. 200 ～ 1000 米C. 800 ～ 1000 米D.大于1000 米10.图中城镇集中分布在沿海地区的主要原因是①地形平坦②气候温和湿润③交通运输便捷④基督教的影响A.①③B.②③C.①④D.②④3。

第Ⅰ卷(共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.【题文】设全集{}3,4,5P=，{}Q=,则()U1,2,3,4,5,61,2,3,4U=，设集合{}P Q=（）A.{}1,2,51,2,3,4,5C。

{} 1,2,3,4,6B。

{}D。

{}1,2【结束】2.【题文】在某次测量中得到的A样本数据如下：52545456565655555555。

若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A。

众数B。

平均数C。

中位数D。

标准差【结束】3。

【题文】已知i 是虚数单位,若31i i z+=-，则z 的共轭复数为（ ） A 。

12i - B 。

24i - C 。

222i - D 。

12i +【解析】【结束】4.【题文】设l 是直线，α、β是两个不同的平面,则（ ）A.若//l α,//l β，则//αβB.若//l α,l β⊥，则αβ⊥C 。

若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D 。

若αβ⊥,//l α，则l β⊥【结束】5。

【题文】函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为( ） A.23+B.4C.3D.23-【解析】【结束】6。

【题文】“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ）。

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 2014.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} （2）在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = （4）“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（6）直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k = （A）（B） （C（D（7）关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③俯视图侧(左)视图正(主)视图（8）已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞（C ）(0,5] （D ）[0,5]第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2014届高三下学期3月教学质量检测文科数学（解析版）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P = ，{}3,4,5Q =，则()UPQ =ð（ ）A.{}1,2,3,4,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2 【答案】D【解析】试题分析：由题意知{}1,2,6U Q =ð，因此(){}1,2UP Q =ð，故选D.考点：集合的基本运算2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：52545456565655555555.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A.众数B.平均数C.中位数D.标准差3.已知i 是虚数单位，若31ii z+=-，则z 的共轭复数为（ ）A.12i -B.24i -C.D.12i + 【答案】A 【解析】试题分析：由31i i z +=-可得()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+，因此z 的共轭复数为12i -，故选A.考点：1.复数的除法；2.共轭复数4.设l 是直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若//l α，//l β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D.若αβ⊥，//l α，则l β⊥5.函数()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为（ ）A.2+B.4C.3D.26.“0a ≤”是“函数()()2f x x ax =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：当0a =时，()()222f x x ax x x =-==，此时函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增，当0a ≠时，令()()20f x x ax =-=，解得0x =或2x a=，7.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A.2x y =B.2x =C.28x y =D.216x y =8.已知()3269f x x x x abc =-+-，a b c <<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①()()010f f ⋅>；②()()010f f ⋅<；③()()030f f ⋅>；④()()030f f ⋅<. 其中正确结论的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C 【解析】 试题分析：()3269f x x x x abc =-+-，()()()23129313f x x x x x '∴=-+=--，结合导数可知，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,3上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，因此函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知变量x、y满足条件1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则x y+的最大值是______.【答案】6. 【解析】试题分析：作出不等式组1290xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图的阴影部分所表示，设z x y =+，联立290x yx y-=⎧⎨+-=⎩，解得33xy=⎧⎨=⎩，即点()3,3A，作直线:l z x y=+，则z为直线l在x轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 336z =+=.考点：线性规划10.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 .11.曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 .12.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5a = . 【答案】2ln 5+. 【解析】试题分析：由于()111ln 1ln ln 1ln n n n n n a a a a n n n n++⎛⎫=++=+=++- ⎪⎝⎭， ()1ln 1ln n n a a n n +∴-=+-，因此54ln5ln 4a a -=-，43ln 4ln3a a -=-，32ln3ln 2a a -=-，21ln 2ln1a a -=-， 上述四个等式累加得()()()()51ln5ln4ln4ln3ln3ln2ln2ln1ln5ln1ln5a a -=-+-+-+-=-=，因此51ln52ln5a a =+=+. 考点：累加法求数列通项13.已知平面向量()2,4a =，()1,2b =-若()c a a b b =-⋅， 则c =_____________.【答案】【解析】 试题分析：由题意可得()21426a b ⋅=⨯+⨯-=-，()()()()62,461,28,8c a a b b a b ∴=-⋅=+=+-=-，(28c ∴=+=.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模14.定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线()222:42C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a =_______.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求ABC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=.（1）证明:：AC BC =； （2）证明：AB PC ⊥；（3）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）83. 【解析】 试题分析：（1）先证明PAC PBC ∆≅∆，从而得到AC BC =；（2）取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，证明AB ⊥平面PCD ，利用直线与平面垂直的性质得到AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，结合（2）中的结论证明PC ⊥平面ABE ，再求出AEB∆的面积，最后利用分割法得到三棱锥P ABC -的体积13ABE V PC S ∆=⋅来进行计算. 试题解析：（1）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=， 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，可得AC BC =；（2）如图，取AB 中点D ，连结PD 、CD ，则PD AB ⊥，CD AB ⊥， 所以AB ⊥平面PDC ，所以AB PC ⊥；（3）作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =， 由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=，因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以AEB ∆、PEB ∆、CEB ∆都是等腰直角三角形. 由已知4PC =，得2AE BE ==，AEB ∆的面积2S =， 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三棱锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯=. 考点：1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积17.（本题满分13分）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆，其中有类轿车辆. （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3 、9.0、8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值 不超过0.5的概率.（2）设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样，所以40010005m=，解得2m =， 即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作1S 、2S 、1B 、2B 、3B ， 则从中任取2辆的所有基本事件为()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B 、()12,B B 、()13,B B 、()23,B B ，共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：()12,S S 、()11,S B 、()12,S B 、()13,S B 、()21,S B 、()22,S B 、()23,S B ，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710；18.（本题满分14分）设函数()(),,nn f x x bc c n N b c R +=++∈∈.（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （2）设2n =，若对任意1x 、[]21,1x ∈-，有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围.，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递增的，()n f x ∴在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）当2n =时，()22f x x bx c =++，对任意1x 、[]21,1x ∈-都有()()21224f x f x -≤等价于()2f x 在[]1,1-上的最大值与最小值之差4M ≤，据此分类讨论如下：19.（本题满分14分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. （1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程.试题解析：（1）由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>，其离心率为2，故2a =，解得4a =，因此椭圆2C 的方程为221164y x +=；20.（本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列数集{}m a ，记{}12max ,,,k k b a a a =()1,2,,k m =，即k b 为1a 、2a 、、k a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1、3、2 、5、5的控制数列是1、3、3、5、5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2、3、4、5、5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1k =、2、、m ）.求证：k kb a =()1,2,,k m =.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据新数列的定义写出符合条件的数列{}n a ；（2）根据数列{}n b 的定义得到1k k b b +=，再结合1k m k a b C -++=得到1k m ka b C +-+=，将两个等式作差得110k k m k m k a a b b +-+--=-≥，结合1k k b b +=证明k k b a =.。

北京市东城区2014届高三下学期综合练习（一）文科数学试卷（带解析）1（A）（xlx<-1，或x>2} （B）{xlx≤-1，或x≥2）（C）{x|-l<x<2} （D）{x|-l<x<2}【答案】C【解析】C正确。

考点：1一元二次不等式；2集合的运算。

2（A（B（C（D【答案】B【解析】C正确。

考点：复数的运算。

3．为了得到函数y=sin（y= sin2x的图象（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：D正确。

考点：三角函数伸缩平移变换。

4m=（A（B）3 （C（D）【答案】B【解析】试题分析：B正确。

考点：双曲线的简单几何性质。

5．设等差数列的前n项和为S n，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=（A）27 （B）39（C）45 （D）63【答案】B【解析】考点：1等差数列的通项公式；23等差中项。

6b=log42，c=log31．6，则（A）a>b>c （B）a>c>b（C）b>a>c （D）c>a>b【答案】A【解析】3A正确。

考点：1指数函数的单调性；2对数函数的单调性；3对数函数的运算法则。

7．若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（A（B）4（C（D）8【答案】A【解析】为3，则底面边长为2故A正确。

考点：三视图8．已知a，b是正数，且满足2<a+2b<4（A（B（C（D【答案】A【解析】试题分析：内，分析可知A正确。

考点：线性规划问题。

9．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .【解析】试题分析：由准线方程考点：抛物线的简单几何性质及方程。

10．= .【解析】考点：三角函数的诱导公式。

11．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .【答案】76【解析】试题分析：将甲组数据按从小到大（或从大到小）排列中间的数为76，则甲组数据的中位数为76.乙组数据分别为65、82、87、85、95考点：茎叶图、中位数、平均数12．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，。

2014北京市东城区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1，2}2．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55．若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数 B．平均数C．中位数D．标准差3．（5分）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i4．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．（5分）函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之差为（）A．2+B．4 C．3 D．2﹣6．（5分）“a≤0”是函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y8．（5分）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知变量x、y满足条件则z=x+y的最大值是．10．（5分）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是．11．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．12．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a5= ．13．（5分）已知平面向量=（2，4），=（1，﹣2），若=﹣（•），则||= ．14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°．（Ⅰ）证明：AC=BC；（Ⅱ）证明：AB⊥PC；（Ⅲ）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P﹣ABC体积．17．（13分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．18．（14分）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N*，b，c∈R）（Ⅰ）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4，求b的取值范围．19．（14分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．20．（13分）对于项数为m的有穷数列数集{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}；（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m）．求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，∴P∩（C U Q）={1，2}故选D．2．【解答】设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=6+x i，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差6，只有标准差没有发生变化，故选：D3．【解答】∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．4．【解答】A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选 B5．【解答】∵x∈[0，9]，∴﹣∈[﹣，]，∴2sin（﹣）∈[﹣，2]，∴函数y=2sin（﹣）（0≤x≤9）的最大值与最小值之差为2+．故选：A．6．【解答】当a=0时，f（x）=|x（2﹣ax）|=2|x|在区间（0，+∞）内单调递增，当a≠0时，f（x）=|x（2﹣ax）|=0的两个根为x=0或x=，若a＜0，则根x=＜0，此时在区间（0，+∞）内单调递增，∴充分性成立．若函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增，则当a=0时，满足条件．当a≠0时，f（x）=|x（2﹣ax）|=0的两个根为x=0或x=，则要使函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增，则，即a＜0，此时a≤0成立，必要性成立．∴“a≤0”是函数f（x）=|x（2﹣ax）|在区间（0，+∞）内单调递增”的充分且必要条件．故选：C．7．【解答】双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．8．【解答】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c，设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a，∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴0＜a＜1＜b＜3＜c，∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为（1，1），（1，4），（3，3），设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过（3，3）时，z最大，最大值为：6．故答案为：6．10．【解答】易知点C为（﹣1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．11．【解答】y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．故答案为：y=3x+112．【解答】∵数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=+…++1=ln（）+2=lnn+2．∴a5=ln5+2．故答案为：ln5+2．13．【解答】∵向量=（2，4），=（1，﹣2），∴=2×1+4×（﹣2）=﹣6．∴=（2，4）﹣（﹣6）（1，﹣2）=（8，﹣8），∴=．故答案为：．14．【解答】圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y=x的距离为=2，∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，即解得a=或﹣．当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【解答】（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=acosB，∴由正弦定理可得 sinBsinA=sinAcosB．∵sinA≠0，∴sinB=cosB，∴tanB=，∴B=．（Ⅱ）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，解得a=，c=2a=2．故△ABC的面积为ac•sinB=．16．【解答】（Ⅰ）证明：∵△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，∴Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC=BC；（Ⅱ）如图，取AB的中点D，连结PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，∴AB⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，∴AB⊥PC；（Ⅲ）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．∵△PAB是等边三角形，∴AE⊥PC，同理BE⊥PC，∠AEB为二面角B﹣PC﹣A的平面角，且AE=BE．∵平面PAC⊥平面PBC，∴∠AEB=90°．∴△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．又PC=4，得AE=BE=2，∴△AEB的面积S=2．∵PC⊥平面AEB，∴V P﹣ABC=×2×4=．17．【解答】（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a=2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，故P（E）=，即所求概率为．（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，∴P（D）=，即所求概率为．18．【解答】（Ⅰ）n≥2，b=1，c=﹣1时，f n（x）=x n+x﹣1，∵•f n（1）=＜0，∴f n（x）在区间（）内存在零点，又+1＞0，∴f n（x）在区间（，1）上是单调递增函数，故f n（x）在区间（）内存在唯一的零点；（Ⅱ）当n=2时，，对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有|f2（x1）﹣f2（x2）丨≤4等价于f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M=f （x）max﹣f（x）min≤4，据此分类讨论如下：（1）当||＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；（2）当﹣1＜0，即0＜b≤2时，M==≤4恒成立；（3）当0＜﹣，即﹣2≤b≤0时，M==恒成立；综上知﹣2≤b≤2．19．【解答】（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x20．【解答】（1）解：数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．（2）证明：因为b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1，a2，…，a k，a k+1}，所以b k+1≥b k．因为a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，所以a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k．因此，b k=a k．。

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）2014.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、已知集合{|02}A x x =<<，{1,0,1}B =-，则A B =（A ）{1}- （B ）{0} （C ）{1} （D ）{0,1} 2、在复平面内，复数i(2i)+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）ln ||y x =- （B ）3y x = （C ）||2x y = （D ）cos y x = 4、 “1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5、执行如图所示的程序框图，输出的a 值为（A ）3（B ）5 （C ）7（D ）96、直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =，则k = （A）（B） （C（D7、关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题： ①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ；②若(1,)k =a ，(2,6)=-b ，a ∥b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为30． 其中真命题的序号为（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③8、已知函数25,0,()e 1,0.x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（A ）(,0]-∞ （B ）(,5]-∞ （C ）(0,5] （D ）[0,5]俯视图侧(左)视图正(主)视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。