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函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。
函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。
函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。
2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。
3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。
4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。
这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。
这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。
函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。
总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。
导数四则运算和反函数求导法则
一、导数四则运算规则
1、加法：如果有f(x)+g(x)，那么它们的导数为f'(x)+g'(x)
2、减法：如果有f(x)-g(x)，那么它们的导数为f'(x)-g'(x)
3、乘法：如果有f(x)g(x)，那么它们的导数为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
4、除法：如果有f(x)/g(x)，那么它们的导数为[f'(x)g(x)-
f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
5、幂函数：如果有f(x)=x^n，那么它们的导数为f'(x)=nx^(n-1)
6、指数函数：如果有f(x)=a^x，那么它们的导数为
f'(x)=ln(a)a^x
7、对数函数：如果有f(x)=ln(x)，那么它们的导数为f'(x)=1/x
8、三角函数：如果有f(x)=Acos(bx+c)，那么它们的导数为
f'(x)=-Absin(bx+c)
反函数求导法则是指在求解函数的导数时，可以先将要求导数的函数反过来构成一个新的函数，然后再使用普通求导法则求导。
反函数求导是在求解函数的导数时，将要求导数的函数先转化成另一个新的函数，然后再使用求导法则求导。
原函数转化为
y=f(x)
反函数：
x=f-1(y)
得到：
f’(x)=f-1’(y)⋅dy/dx公式
所以反函数求导法则就是：
先求反函数，再用dy/dx求导，最后把对应关系代入公式求出
f’(x)。
反函数求导法则的核心思想就是把复杂的导数拆分成对应的正反函数，然后再分别求每一个函数的导数。
导数的四则运算法则实用导数的四则运算法则是求解导函数的基本法则，它包括求和、差、积和商四种基本运算。
这些法则对于解决复杂函数的导数问题非常实用，在解题过程中能够简化计算，提高效率。
下面我将详细介绍导数的四则运算法则的应用。
1.和的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于它们的导数之和，即(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)。
这个法则告诉我们，对于求解两个函数相加的导数问题时，我们只需要分别求出每个函数的导数，然后将它们相加即可。
2.差的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于它们的导数之差，即(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
这个法则告诉我们，在求解两个函数相减的导数问题时，我们只需要分别求出每个函数的导数，然后将它们相减即可。
3.积的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数，即(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
这个法则告诉我们，在求解两个函数相乘的导数问题时，我们需要将每个函数的导数与另一个函数本身相乘，然后将这两部分结果相加。
4.商的导数法则：如果函数f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)≠0，则它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数本身再减去分子函数本身乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方，即(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2这个法则告诉我们，在求解两个函数相除的导数问题时，我们需要用分子函数的导数乘以分母函数本身减去分子函数本身乘以分母函数的导数，然后除以分母函数的平方。
以上就是导数的四则运算法则的应用。
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
3.2.3 导数的四则运算法则
学习目标：1.理解函数和、差、积、商的求导法则．(重点).2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
导数的运算法则
(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的．
(2)法则：
①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′.
②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．
特别地：[Cf (x )]′＝Cf ′(x )．
③商的求导法则：
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )(g (x )≠0)， 特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )
(g (x )≠0)． 思考：商的导数⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？
[提示] 先对f (x )求导，即f ′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( )
(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x )
.( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数．( )
[提示] (1)√ (2)√
(3)× 应用导数的运算法则求导数的前提是f (x )，g (x )均为可导函数，即
f′(x)，g′(x)存在．
2．设y＝－2e x sin x，则y′等于()
A．－2e x cos x B．－2e x sin x
C．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x) D[y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．]
3．已知函数f(x)＝ln x
x，则f′(1)＝________.
【导学号：73122232】
1[∵f′(x)＝1
x×x－ln x
x2＝
1－ln x
x2，∴f′(1)＝1.]
[合作探究·攻重难]
(1)y＝2x2＋1
x－
3
x3；
(2)y＝x＋3
x2＋3
；
(3)y＝e x cos x＋sin x；
(4)y＝x3＋lg x.
[思路探究]观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．
[解](1)∵y＝2x2＋x－1－3·x－3，
∴y′＝4x－x－2－3·(－3)x－4＝4x－1
x2＋
9
x4.
(2)y′＝1·(x2＋3)－2x(x＋3)
(x2＋3)2
＝
－x2－6x＋3
(x2＋3)2
.
(3)y′＝(e x cos x＋sin x)′＝(e x cos x)′＋(sin x)′
＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＋cos x
＝e x cos x －e x sin x ＋cos x .
(4)y ′＝3x 2＋1x ln 10.
求下列函数的导数：
(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2. (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－32x －6＋2. (3)y ＝cos x ln x . (4)y ＝x e x .
【导学号：73122233】
[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′ ＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x
＝－2x 3＋12cos x .
(2)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′ ＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′
＝3x 2－3x －6.
(3)y ′＝(cos x ln x )′
＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′
＝－sin x ln x ＋cos x x .
(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x
)′(e x )2
＝e x －x e x e 2x ＝1－x e x .
[1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？
[提示] [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．
2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？
[提示] 对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．
已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝
f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．
[思路探究] 先求导，再求切线斜率，根据点斜式得切线方程．
[解] 因为当a ＝－1时， f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．
所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，
因为f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2，
所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2，
即x －y ＋ln 2＝0.
母题探究：1.(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为x －y ＋ln 2＝0”，求a 的值．
[解] 因为f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2＋x ＋a －1x 2
，又曲线在点(2，，f (2))处的切线方程为x －y ＋ln 2＝0，所以f ′(2)＝1，即－22a ＋2＋a －122
＝1，即a ＝－1. 2．(改变问法)本典例的条件不变，求使f ′(x )>0成立的x 的取值范围．
[解] 因为当a ＝－1时，
f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．
所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，
因为f ′(x )>0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －2＞0，
x ＞0.解得x ∈(1，＋∞)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列结论不正确的是( )
A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3
C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－1
2x
＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x
D [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．]
2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2k x ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )
【导学号：73122234】
A.e 2
B.e 3 C ．－e 2 D ．－e 3
A [∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2，
∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e 2，故选A.]
3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22
B [∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )
2 ＝1
(sin x ＋cos x )2，
∴y ′|x ＝π4
＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 【导学号：73122235】
12
[∵f (x )＝(x 2－4)(x －a )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ， ∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.
又∵f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，
∴a ＝12.]
5．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))
处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．
[解] 由题意，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，
由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得
⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(0)＝0，f (0)＝1， 即⎩⎨⎧ 02－a ×0＋b ＝0，
13×03－a 2
×02＋b ×0＋c ＝1， 解得b ＝0，c ＝1.。
