2020高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式知能训练轻松闯关理北师大版

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac___>__bc； a>b，c<0⇒ac__<___bc； a>b>0，c>d>0⇒ac___>__bd；(单向性) (5)乘方法则：a>b>0⇒an___>__bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (6)开方法则：a>b>0⇒n a___>__n b(n≥2，n∈N)；(单向性) (7)倒数性质：设 ab>0，则 a<b⇔1a>1b.(双向性)
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第六章 不等式、推理与证明
[变式探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为 a>0，所以 ax－1a(x－1)<0.
所以当
a>1
时，解集为1a<x<1；当
a＝1
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第六章 不等式、推理与证明
4．(2018·河南洛阳期末)若 a，b∈R，且 a>b，则下列不等式恒成立的是( C )
A．a2>b2
B．ab>1
C．2a>2b
D．lg(a－b)>0
解析 取a＝－1，b＝－2，排除A、B、D．
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第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理与证明
2．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2 中，正确

第1讲 不等关系与不等式1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的________条件．解析：由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝________． 解析：T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}． 答案：(－∞，1]3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)4．(2018·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 15．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y2－4y －3<0，解得－12<y <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 6．(2018·信阳模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为________．解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y，则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a ，故有b <ax ＋by x ＋y<a . 答案：b <ax ＋by x ＋y<a 7．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a 的取值范围是________．解析：由5x 2－a ≤0，得－a 5≤x ≤ a 5， 而正整数解是1，2，3，4，则4≤ a 5＜5， 所以80≤a ＜125.答案：[80，125)8．(2018·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5，即实数a 的取值范围是(1，5]．答案：(1，5]9．(2018·盐城模拟)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152， －2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，13210．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________． 解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6.答案：611．若k ∈R ，求解关于x 的不等式x 22－x <（k ＋1）x －k 2－x. 解：不等式x 22－x ＜（k ＋1）x －k 2－x 可化为 x 2－（k ＋1）x ＋k 2－x＜0， 即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.当k ＜1时，x ∈(k ，1)∪(2，＋∞)；当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1＜k ＜2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；当k ≥2时，x ∈(1，2)∪(k ，＋∞)．12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n (n ∈N *)人，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。

位：元)是( )
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
第五页，共20页。
解析：令 x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3 代入检验． A 项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14； B 项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10； C 项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11； D 项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13. 答案：B
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说 明．
第十六页，共20页。
(1)(2014·山东卷)已知实数 x，y 满足 ax<ay(0<a<1)，则下列关
系式恒成立的是( )
11 A.x2＋1>y2＋1
B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y
D．x3>y3
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第十四页，共20页。
法二 令 a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则ac＝－1，bd＝－1，排除选项 C，D； 又da＝－32，bc＝－23， 所以da<bc， 所以选项 A 错误，选项 B 正确． 答案：(1)C (2)B
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1．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质 包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式， 双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
第二页，共20页。
解：设甲、乙两种产品的产量分别为 x 件，y 件， x＋2y≤400，
2x＋y≤500， 由题意可知， x≥0，x∈N，
y≥0，y∈N.
第三页，共20页。
1．求解此类问题一定要准确将题目中的文字语言转化为数学符 号语言(如不等或等)，特别要注意“不超过”、“至少”、“低于” 表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．

)
A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n
C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m
解析 解法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代 入各选项检验即可．
解法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于 m<0<n，故 m<－n<n<－m 成立．
3．[ 2017·贵阳测试] 下列命题中，正确的是(
【变式训练 2】 若实数 x，y 满足 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9， 则xy34的最大值是___2_7____．
解析 解法一：由 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9，可知 x>0，y>0， 且18≤x1y2≤13，16≤xy42≤81，由性质 6，得 2≤xy34≤27，故xy34的 最大值是 27.
5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，
b>c⇒a>c，其中
a>c
不能推出a>b， b>c.
6.作商法比较大小时，要注意两式的符号.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列 7——不等式性质应用不当致误
[2017·长春模拟]若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋1 b<a1b；
解 设 3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则mm＋ －nn＝ ＝32， ，
∴m＝52， n＝21，
即 3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，
又－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－52<52(x＋y)<10,1<12(x－y)<32， ∴－32<52(x＋y)＋12(x－y)<223， 即－32<3x＋2y<223. 故 3x＋2y 的取值范围为－32，223.