高考数学大一轮复习 第六章 不等式与推理证明 理 北师
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1 第1课时 不等关系与不等式
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大小．
1．比较两个实数大小的依据
a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0.
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a(双向)．
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c(单向)．
(3)同向不等式可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c(双向)；
a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d(单向)．
(4)乘法法则：a＞b，c＞0⇒ac＞bc(单向)；
a＞b，c＜0⇒ac＜bc(单向)；
a＞b＞0c＞d＞0⇒ac＞bd(单向)．
(5)倒数法则：a＞b，ab＞0⇒1a＜1b(单向)．
(6)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N且n＞1)(单向)．
(7)开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N且n＞1)(单向)．
[基础自测]
1．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
A．ad＞bc B．ac＞bd
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
解析：由不等式的性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
答案：D
2．(2016·内江检测)若6＜a＜10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是( )
A．9≤c≤18 B．15＜c＜30
C．9≤c≤30 D．9＜c＜30 2 解析：因为c＝a＋b，a2≤b≤2a，所以3a2≤c≤3a，又6＜a＜10，则9＜c＜30.
答案：D
3．(2016·铜川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a＞bac2＞bc2，∵c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.
答案：B
4．(教材改编题)若a＞b，c＞d，则下列不等关系中一定成立的是________．
①a－b＞d－c ②a＋d＞b＋c
③a－c＞b－c ④a－c＜a－d
解析：∵a＞b，c＞d，∴a－b＞0，d－c＜0，∴a－b＞d－c.故①成立；取a＝0，b＝－2，c＝0，d＝－3代入②，可知②不成立；由不等式的可加性知③成立；由c＞d知，－c＜－d，由不等式的可加性知④成立．
答案：①③④
5．已知f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0
∴f(x)＞g(x)．
答案：f(x)＞g(x)
考点一 用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
审题视点 这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可．
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知
x＋2y≤400，2x＋y≤500.x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.
3 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”“不低于”“至少”“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围．
1．实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为( )
A．|x|>2 B．|x|≥2
C．|x|<2 D．|x|≤2
解析：“不大于”指“≤”，所以|x|≤2.
答案：D
2．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则由题意可
得 40x＋90y≤1 000，x≥5，y≥6，x，y∈N.即 4x＋9y≤100，x≥5，y≥6，x，y∈N，
考点二 不等式的性质
[例2] (1)若a＞0＞b＞－a；c＜d＜0，则下列命题；(1)ad＞bc；(2)ad＋bc＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)“a2＋b2ab≤－2”是“a＞0且b＜0”的( )
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
审题视点 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．
解析 (1)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，∴(1)错误．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，∴(2)正确．
∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，∴(3)正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确， 4 故选C.
(2)a2＋b2ab≤－2⇔a2＋b2ab＋2＝a＋b2ab≤0⇔ab＜0⇔ a＜0b＞0
或 a＞0b＜0，故选A.
答案 (1)C (2)A
在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．
1．(2016·鄂州模拟)已知a＜b，则下列不等式正确的是( )
A.1a＞1b B．a2＞b2
C．2－a＞2－b D．2a＞2b
解析：a＜0，b＞0时，A不成立，0＜a＜b时，B不成立，由y＝2x是增函数，知2a＜2b，故D不成立，故选C.
答案：C
2．(2016·山东临沂一模)若a，b为实数，则a>b>0是“a2>b2”的
( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a>b>0时，a2>b2显然成立；当a2>b2时，令a＝－2，b＝1，则b>a，故a2>b2⇒a>b>0不一定成立，故选A.
答案：A
考点三 比较大小
[例3] (1)若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋1＞b2＋1 B.ba＜1
C．lg(a－b)＞0 D.13a＜13b
(2)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．不确定 5 (3)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．
审题视点 (1)运用特殊值验证即可．(2)可用作差法求解．(3)利用作商法求解判断．
解析 (1)令a＝－12，b＝－1，则A、B、C均不成立，故选D.
(2)∵M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)
又a1，a2∈(0,1)，
故(a1－1)(a2－1)＞0，故M＞N.
(3)解：∵aabbabba＝aa－bba－b＝aba－b，
又a＞b＞0，故ab＞1，a－b＞0，
∴aba－b＞1，即aabbabba＞1，又abba＞0，∴aabb＞abba，
∴aabb与abba的大小关系为：aabb＞abba.
答案 (1)D
(2)B
(1)“作差比较法”的依据是“a－b＞0⇔a＞b，a－b＜0⇔a＜b，a－b＝0⇔a＝b”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形．
(2)“作商比较法”的依据是“ab＞1，b＞0⇒a＞b”，是把两数的大小比较转化为两数的商与1进行比较，在数式结构含有幂或根式、绝对值时，可采用此方法．
1．(2016·吉林联考)已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是( )
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.
(b＋c)－(c－b)＝2a2＋2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34＞0，∴b＞a.
答案：A
2．(2015·高考北京卷)2－3,312，log25三个数中最大的数是________．
解析：利用中间量进行大小比较． 6 因为2－3＝123＝18＜1,1＜312＝3＜2，log25＞log24＝2，
所以三个数中最大的数是log25.
答案：log25
忽视等号成立条件致误
[典例] 若变量x，y满足约束条件 3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为________．
解题指南 设z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)，然后利用待定系数法，求得λ和μ的值，然后通过“2x＋y”和“x－y”本身的范围求得z＝x＋2y的范围．
解析 令z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)
＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
∴ 2λ＋μ＝1，λ－μ＝2，
∴ λ＝1，μ＝－1，
∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
又∵3≤2x＋y≤9，－9≤－(x－y)≤－6，
∴－6≤(2x＋y)－(x－y)≤3，
即－6≤z≤3，
∴zmin＝－6.
答案 －6
易错分析 多次同向不等式相加扩大变量的范围，切断了变量间互相的限制．
创新点评 解答本题时有两点误区
(1)忽视条件中等号成立条件分别求出x、y范围后再求x＋2y的范围；
(2)利用待定系数法求λ，μ时计算失误．
备考建议 求范围及最值问题时要对以下问题高度关注：
(1)解题时看清题目条件，不能忽视变量满足的约束条件；
(2)题目运算过程要等价转换，转换不等价易造成失分；
