六年级下册数学讲义-小升初培优：第01讲 归一问题(下)(解析版)全国通用

在一些问题中，经常要先求出一个单位的数量是多少，再以这个数量为标准，利用题中的条件求出答案。

这样的问题称为归一问题，解答归一问题的方法叫作归一法。

归一问题主要有两类，一种是正归一，也称直进归一。

另一种为反归一，又称返回归一，两类问题的相同点是：在一般情况下，先求出一个单位的数量；不同点则是：正归一是求若干个单位的数量是多少；而反归一是求包含了多少个单位的数量。

这里所说的一个单位的数量，是指一个人或一台机器在单位时间内(如l小时或l天)的工作量、商品的单价、单位时间所走的路程等等。

在归一问题中，经常用“照这样计算”，“用同样的……”等字眼，来表明问题中不变的量。

[例1] 一个面粉加工厂2小时磨了6吨面粉，照这样计算，这个面粉厂一天可以磨面粉多少吨(一天按10小时计算)?思路剖析一要求出面粉厂一天10小时可以磨多少面粉，根据题中的“照这样计算”说明每小时加工的面粉吨数相同，于是用所给条件求出一个单位数量，再求出结果。

解答(1)面粉厂l小时可以加工面粉：6÷2=3(吨)(2)面粉厂10小时可以加工面粉：3×10=30(吨)综合算式： (6÷2)×10=3×lO=30(吨)思路剖析二上面是以1个小时的磨面粉吨数为标准，也就是前面所说的一个单位数量。

同样可以以2个小时磨出的面粉为标准，然后再看10小时中包含有几个2小时，就可以算出是2小时所磨面粉吨数的几倍。

解答(1)10小时有几个2小时?10÷2=5(个)(2)面粉厂10小时可以磨面粉：6×5=30(吨)综合算式：6×(10÷2) ’=6×5=30(吨)答：该面粉厂一天可以磨面粉30吨。

【倒2】甲、乙两城市相距200千米，小王开车从甲城到乙城，两小时行驶了80千米，照这样计算，小王要到达乙城还需要几小时?解答☆解法一要求出还需要几小时到乙城，可以先求出每小时走多远，也就是说先求出速度，然后再求出剩下的路程以得到结果。

专题11 归一、归总知识梳理1.归一问题。

此类问题中暗含着单一量不变，文字叙述中多带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量（即归一），再以它为标准，根据题目要求解决问题。

（1）正归一问题:用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

总量 ÷ 数量 = 单一量单一量 × 新的数量 = 新的总量综合式:总量 ÷ 数量 × 新的数量 = 新的总量（2）反归一问题:用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。

总量 ÷ 数量 = 单一量新的总量 ÷ 单一量 = 新的数量综合式:新的总量 ÷ （总量 ÷ 数量） = 新的数量2.归总问题。

此类问题中暗含着总量不变，即乘积不变。

其解题的关键是先求出总量（即归总），再根据总量求出所求量。

单一量 × 单一量个数 ÷ 另一组单一量 = 另一组单一量个数单一量 × 单一量个数 ÷ 另一组单一量个数 = 另一组单一量例题精讲【例1】一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了168千米，照这样的速度，又行了5小时，正好到达乙地。

甲、乙两地相距多少千米？【点拨分析】这是一道归一问题，汽车的速度不变，可先算出汽车的速度，再用速度乘上总时间即可得所行路程。

也可先求出汽车的速度，再用前3小时行的路程加上后5小时行的路程即得甲、乙两地的距离。

【答案】解法一：汽车的速度:168÷3＝56（千米/时）甲、乙两地相距:56×（3+5）＝448（千米）解法二：汽车的速度:168÷3＝56（千米/时）甲、乙两地相距:168+56×5＝448（千米）答：甲、乙两地相距448千米。

举一反三1.同学们步行从学校去动物园，开始1.5小时行驶了6千米，照这样的速度，又行驶了2小时到达动物园。

第01讲归一问题（下）教学目标：1、引入难度逐级递增的归一问题的不同题型；2、与生活实际问题结合起来，解决归一问题相关问题；3、培养学员的学习兴趣，提高学员的信心。

教学重点：能够利用归一法解决实际问题。

教学难点：二次归一问题的实际应用。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1、已知“总数”和“份数”，先求出“每份数”，再通过“每份数”求“几份数”的“总数”，或是求“总数”里有几个一份数的应用题，叫归一问题。

2、归一问题中包含以下数量关系：总数÷份数＝每份数；每份数×份数＝总数；总数÷每份数＝份数。

3、解答归一问题常用以下两种方法：①“单位量”的计算与假设：先算出问题中的单位量，再通过单位量求出结果。

②“倍比法”求解归一问题：不通过单位量，而是根据“人数”、“天数”等条件间的倍数关系求出结果。

【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟一幢大楼里所有的空调都打开的话8小时要用电8000度，如果关掉一半的空调，那么12000度电可以用多久？解析部分：让学生思考，找到解题的突破口，所有的空调1个小时用电8000÷8=1000（度），关掉一半，耗电量也减半，1小时用电500度，所以12000度可以用12000÷500=24（小时）鼓励学生换一种思路解答：所有的空调1个小时用电8000÷8=1000（度），12000度电可供所有空调用12000÷1000=12（小时），关掉一半，用的时间相应加倍是12×2=24（小时）给予新学员的建议：帮助学生理解关掉一半的空调，电量发生的变化。

哈佛案例教学法：鼓励学生之间的相互讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。

参考答案：解法一：8000÷8=1000（度），1000÷2=500（度），12000÷500=24（小时）解法二：8000÷8=1000（度），12000÷1000=12（小时），12×2=24（小时）答：那么12000度电可以用24小时。

【已知和与比】【牛刀小试1】（1）（黄冈）六年级一班甲、乙、丙三个小队植树，平均每个小队植树12课，三个小队植树棵树比5:3:4，乙小队比甲小队少植树（ ）棵。

（2）（天河）一个三角形，三个内角度数的比是1：2：3，这个三角形是（ ）。

A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形（3）一个长方形，它的周长是36厘米，长宽的比是7：2，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。

【板块简介】按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种方法通常叫做按比例分配。

解题方法：1．一般方法：把比转化成为分数，用分数方法解答，即先求出总分数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少2．归一法：把比看做分得的分数，先求出各部分的总分数，然后再用“总量 总份数=平均每份的量（归一）”，再用“一份的量 各部分量所对应的份数”，求出各部分的量。

3．用比例知识解答：首先设未知量为。

再根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x 的比例式，再解比例求出x 。

例1 （1）已知A 、B 、C 三个数的比是2∶3∶5，这三个数的平均数是90，这三个数分别是（ ）、（ ）、（ ）。

（2）（明德）一个等腰三角形两个内角度数的比是 1：2，它的顶角可能是（ ）度。

（3）（育才实验）一个长方形的长宽之比是4：3，周长是21厘米，它的面积是（ ）平方厘米．按比例分配【已知差与比】【牛刀小试2】（大联盟）联想电脑专卖店有一批电脑，已经卖了一部分，已卖的是剩下的23，当再卖80台时，已卖的和剩下的比是4:1，还剩多少台电脑没卖？【已知部分量与比】【牛刀小试3】配制一种消毒药，药液和水的比是1：50，现有药液300千克，需要加水多少千克？例2 （广大附）甲乙两数的比是2：5，乙数与甲数的差是10.5，则乙数是多少？例3 （希望杯）甲乙丙三人共同制作了一批零件，甲制作了总数的30%，乙丙两人制作的件数之比是3:4。

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归一问题：互相关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是一样的，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量〞的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量〞的归一问题。

又称“单归一。

〞
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量〞的归一问题。

又称“双归一。

〞
正归一问题：用等分除法求出“单一量〞之后，再用乘法计算结果的归一问题。

反归一问题：用等分除法求出“单一量〞之后，再用除法计算结果的归一问题。

解题关键：从的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量)，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

数量关系式：单一量×份数=总数量(正归一)
总数量÷单一量=份数(反归一)
例一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多少天?
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。

693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)
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小升初数学运用题真题汇编典型运用题—归一问题班级姓名得分知识梳理基础题1.(浙江温州六年级期末)印刷厂装订一种练习本，30本需要600张纸，照这样计算，50本需要多少张纸?2.(辽宁鞍山小升初)张老师家上个月用电量是292千瓦时，电费是146元。

李老师家电费是138元，用电量是多少千瓦时?3.(安徽阜阳六年级期末)“一方有难，八方支援”。

武汉疫情期间，淘气把自己的零花钱36元捐给了武汉，他和笑笑捐款的钱数比是3:5。

笑笑捐了多少元?提高题4.(陕西西安六年级期末)某工程队铺一条长6000米的道路，前8天铺了3200米。

照这样计算，剩下的道路还要多少天铺完?5.(河南郑州六年级期末)李师傅开车从郑州去距离680千米的地方运送物资。

货车每100千米耗油20升，按照这个耗油量，出发时加满100升油，途中还需要加油吗?请写出判断过程。

6.(福建厦门小升初考试)北京园博会的中国园林博物馆开馆4天接待游客3万人，照这样计算，中国园林博物馆2个星期预计接待多少人?7.(陕西铁一中滨河学校入学测试)饲养场原来养20匹马，7天用饲料280千克，照这样计算，增加了5匹马，450千克饲料能用几天?8.(陕西西安六年级期末)一个编织组，原来30人10天生产1500顶草帽，现在增加到120人，按照原来的工效，生产9000顶草帽需要多少天?9.(湖北武汉小升初考试)3月12日植树节，学校买进一些树苗分给学生栽种。

原计划平均每名学生栽3棵，150名学生栽完；实际平均每名学生只栽了2棵，实际参加植树的学生人数比原计划多多少名?培优题10.(安徽芜湖六年级期末)2022年4月23日，首届全民阅读大会在京开幕，习近平总书记在贺信中希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长。

敏敏看一本216页的科技书，她看了6天后还余下72页没有看。

照这样计算，看完余下的还要几天?11.(四川广元东城实验学校小学毕业测评)3头小猪4天吃千克玉米面，那么6头小猪5天3吃多少千克玉米面?12.(江苏南京鼓楼实验中学小升初招生分班考试)某服装厂计划全年要生产6000件西装，前3个月完成了20%,照这样计算，全年任务能按时完成吗?(列式计算来说明)13.(四川广元东城实验学校小学毕业测评)某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%,后来按定价的90%出售，每天的销售量提高到原来的2.5倍，照这样计算，每天的利润比原来增加多少元?参考答案1.【答案】1000张【解析】600÷30×50=20×50=1000(张)2.【答案】276千瓦时【解析】138÷(146÷292)=138÷0.5=276(千瓦时)3.【答案】60元【解析】1份量: 36÷3=12(元)；笑笑捐了:12×5=60(元)解答本题的关键是用“归一法”，先求出每份是多少,再求出相应的具体数量。

14.归一、归总问题知识要点梳理一、归一问题１．归一问题来历：我国珠算除法中有一种方法，称为归除法，除数是几，就称几归；除数是８，就称为８归。

而归一的意思，就是用除法求出单一量，这就是归一的说法。

在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其他条件求出结果。

用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。

所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。

２．归一问题有两种基本类型如下：先求单一量再一次归一：一步求单一量归正归一：求几个单一量一是多少（乘）二次归一：两步求单一量问题反归一：先求单一量再求包含几个单一量（除）３．正、反归一问题的相同点是：第一步先求出单一量；不同点是：第二步正归一是乘法，反归一是除法。

二、归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是先找出“总量”，然后再根据其他条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总量”是指几小时（几天）的总工作量、几亩地上的总产量、总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

数量关系：１份数量×份数＝总量总量÷１份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量解题思路：先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

考点精讲分析典例精讲考点1 正归一问题【例１】一只小蜗牛６分钟爬行12分米，照这样速度１小时爬行多少米？【精析】为了求出蜗牛１小时爬多少米，必须先求出１分钟爬多少分米单一量（一次归一）即蜗牛的速度，然后以单一量为依据按要求算出结果。

【答案】①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷６＝２（分米）②１小时爬几米？１小时＝60分２×60＝120（分米）＝12（米）答：小蜗牛１小时爬行12米。

【归纳总结】一般情况下第一步先求出单一量，第二步求几个单一量是多少。

【例２】王奶奶家养了５头奶牛，７天产牛奶630千克，照这样计算，８头奶牛15天可产牛奶多少千克？【精析】第一步先算１头奶牛７天产的牛奶为单一量一次归一，再算１头奶牛１天产的牛奶为单一量二次归一，最后８头奶牛１５天可产牛奶多少千克。

小学六年级数学小升初思维训练习题知识迁移专项解答1、数学老师和班主任打赌，班上的50名同学中，至少有两个同学生日相同，输家要请对方吃大餐，班主任信心满满准备痛宰对方一顿，毕竟一年365天，自己赢面居多。

事实真的像他所想的那样吗?哪一方的胜率比较高呢?A、班主任B、数学老师C、胜率相同数学老师胜率约为97%2、一次竟赛中，小东的语文成绩和自然成绩加起来是197分，语文成绩和数学成绩加起来是199分，数学成绩和自然成绩加起来是196分。

小东哪一科成绩最高?小东的各科成绩分别是多少?解析：根据题目所给的三个已知条件不难看出是语文分数最高，如何求出三科的成绩各是多少分呢?可用“整体思路”进行思考，因为这道题是属于已知“甲乙两数之和、乙丙两数之和、丙又与甲数之和”而求甲、乙、丙三个数各是多少的“回环”问题。

解题时先将三个两两之和加起来得到三科的“两两总成绩”(每科的成绩都计算了两次)，接着除以2得到三科的(一次)总成绩，然后用这个总成绩减去语文自然总分得数学分、减去语文数学总分得自然分、减去自然数学总分得语文分。

分步列式解答如下：1、三科总分：(197+199+196)÷2=…=296(分)2、三科成绩分别是：语文296-196=100(分)、自然296-199=97(分)、数学296-197=99(分)。

3、学校里买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱。

每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶和每个茶杯各多少元?分析与解:根据每个保温瓶的价钱是每个茶杯的4倍，可把5个保温瓶的价钱转化为20个茶杯的价钱。

这样就可把5个保温瓶和10个茶杯共用的90元钱，看作30个茶杯共用的钱数。

解:每个茶杯的价钱:90÷(4×5+10)＝3(元)每个保温瓶的价钱3×4＝12(元)答:每个保温瓶12元，每个茶杯3元。

4、某工地运进一批沙子和水泥，运进沙子袋数是水泥的2倍。

每天用去30袋水泥，40袋沙子，几天以后，水泥全部用完，而沙子还剩120袋，这批沙子和水泥各多少袋?分析与解:由己知条件可知道，每天用去30袋水混，同时用去30×2袋沙子才能同时用完。

第3课时 典型应用题(一)——平均数、归一和归总问题典型应用题⎩⎪⎨⎪⎧平均数应用题⎩⎪⎨⎪⎧平均数×总份数＝总数总数÷平均数＝总份数总数÷总份数＝平均数归一应用题（单一量不变）归总应用题（总量不变）填一填。

(1)用一个平底锅煎饼,一锅每次只能同时煎2个。

如果煎一个饼每面需要2分钟。

煎3个饼至少需要( )分钟。

(2)有6袋松果,其中5袋质量相同,另有一袋稍重一些,是次品,如果用天平称,至少称( )次能保证找出较重的那袋松果。

(3)20只鸽子飞进3个鸽笼,至少有一个鸽笼飞进鸽子不少于( )只。

【解】 (1)6 (2)2 (3)7下表是张丽同学单元练习的成绩记录情况,表中有两个数字不清楚,现用A ,B 来表示这两个数字。

你知道张丽同学的数学和英语成绩各是多少分吗？【解】 87×3－79＝182(分)182－5－80＝97(分) A 是9,B 是7。

答：数学和英语成绩分别是95分和87分。

某工厂用4台机床4.5小时加工零件720个。

照这样计算,2小时要加工560个零件,需要多少台机床？【解】 720÷4÷4.5＝40(个)560÷40÷2＝7(台)答：需要7台机床。

第4课时 典型应用题(二)——行程问题1．一般行程问题⎩⎪⎨⎪⎧速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度2．相遇问题⎩⎪⎨⎪⎧速度和×相遇时间＝相遇距离相遇距离÷相遇时间＝速度和相遇距离÷速度和＝相遇时间3．追及问题⎩⎪⎨⎪⎧速度差×追及时间＝追及距离追及距离÷追及时间＝速度差追及距离÷速度差＝追及时间4．水中行程问题⎩⎪⎨⎪⎧顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2水速＝（顺水速度－逆水速度）÷25．过桥问题⎩⎪⎨⎪⎧路程＝桥长＋车长路程÷速度＝时间 理解词语及表述的情景：速度和、路程和、相遇时间、同时、相对、相向、相背、相距、相遇等。

解决一般问题和典型问题（讲义）六年级下册数学小升初高频考点专项培优（通用版）教学目标：1.了解并理解小学数学中的典型问题和一般问题；2.通过学习典型问题和一般问题，提高学生数学思维能力；3.巩固学生对于小学数学的基础知识和技能重点难点：1. 小学数学中的典型问题和一般问题；2. 如何提高学生的数学思维能力；3. 如何巩固学生对于小学数学的基础知识和技能教学过程：一、导入1、教师出示两个问题：1+2+3+4+5+…+98+99+100=? 和1+4+7+…+100=?2、然后进行下面的讨论：- 这两个问题分别是什么类型的问题？- 它们有什么不同之处？- 这些问题的解法是什么？二、讲解1. 典型问题和一般问题小学数学中，有一些问题被称为“典型问题”，即某一类问题中最常见的问题、最基础的问题。

例如，加、减、乘、除等运算，以及平均数、倍数、因数、倍数等。

而“一般问题”则是指一些变体或相对较难的问题，这些问题需要在掌握了基本策略之后才能解决。

2. 典型问题的解法对于典型问题，通常都有固定的解法。

例如，加法运算示例：17 +38 = （30+5）+（10+8）=（30+10）+（5+8）=48+13=61.3. 一般问题的解法一般问题的解法相对复杂，需要根据问题的不同而有所变化。

解决一般问题的方法有很多种，比如说找规律、数学归纳法、类比推理、等式转化法、逆向思维法等。

三、练习根据学习的典型问题和一般问题，进行以下练习：【例题一】请计算1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8的值。

解：将乘法分为两个部分：1x2x3x4和5x6x7x8。

计算两个乘积的值，再将其相乘即可。

1x2x3x4=24，5x6x7x8=1680，因此1x2x3x4x5x6x7x8=24x1680=40320【例题二】某个数字加上29是53，求这个数字是什么？解：设这个数字为x，则题目所给的条件可以表示为x+29=53，移项得到x=53-29=24.【例题三】请计算301/7的商和余数。