【教学设计】4.2提公因式法(1)

4.2 提公因式法（1）●学习目标分析（一）知识与技能1.了解公因式的意义，能准确的确定一个多项式各项的公因式；2.初步会用提公因式法分解因式，进一步理解因式分解与整式乘法的关系.（二）方法与过程经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,培养合作探究的意识，积累合作的经验，进一步培养学生认真、严谨的科学态度.（三）情感态度价值观积极参与数学活动，养成独立思考的习惯，提高数学合作交流意识水平，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法，进一步深化学生逆向思维能力.●教学重点能观察出多项式的公因式，并能利用提公因式法分解因式.●教学难点正确识别多项式各项的公因式.●教学方法独立思考、合作交流探究.●教具准备：多媒体课件●探究活动设计本节教学共设计了两个探究活动：一是探究如何确定公因式；二是探究如何提取公因式分解因式。

探究方法与步骤：1、创设问题情境，引发学生独立思考。

2、学生小组合作交流，共同探究。

3、交流展示讨论结果，归纳总结探究结论。

●教学过程设计：第一环节：温故知新1.因式分解的概念：把一个多项式化为___________的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。

2．下面由左到右的变形，哪个是分解因式？（1） 5x(2x -1)= 10x 2-5x(2) 10x 2-5x = 5x(2x -1)整式乘法与分解因式之间的关系是什么？【设计意图】 因式分解的概念及整式乘法与分解因式之间的关系两个知识点与本节课的学习紧密相关。

提公因式法分解因式实质上是逆用整式乘法中的单项式乘多项式将一个多项式化为两个整式乘积的形式。

第2题中设计的的两个等式也旨在渗透这一点。

加上课件动态演示互逆变形过程，增强了直观性。

通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程学习因式分解的方法，以提高学生对知识间联系的认识。

第二环节：创设情境、导入新课近年来，我国土地沙漠化问题严重. 3月12日植树节到来之际，，学校组织了 “我参与、我奉献、我快乐”植树活动，要求每行种树15棵，其中初一年级种树27行，初二年级种树35行，初三年级种树38行，问完成这次植树活动学校共需要多少棵树苗？师：解决这个问题，你能列出怎样的算式？哪种算式计算起来较为简便？生：列式：①15×27+15×35+15×38②15×（27+35+38）15×27+15×35+15×38=15×（27+35+38）=15×100=1500师：这种运算方法的根据是什么？生：根据是乘法对加法的分配律师：为什么能逆用分配律呢？这个式子的各项有什么特点？生：这个式子的各项有相同的因数。

《提公因式法》第1课时教学目标1、经历探索多项式因式分解方法地过程，并在具体问题中，能确定多项式各项地公因式.2、会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中地字母指数仅限于正整数地情况）.教学重难点教学重点：用提公因式法把多项式分解因式.教学难点：探索多项式因式分解方法地过程.教学过程一、创设情景，导出问题张老师准备给航天建模竞赛中获奖地同学颁发奖品，他来到文具商店，经过选择决定买单价16元地钢笔10支，5元一本地笔记本10本，4元一瓶地墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱？（让学生独立完成，然后选取两种比较多用地方法展示）关于这一问题两位同学给出了各自地做法：方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36= 225（元）方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）请问：两位同学计算地方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量.二、探索交流，概括概念1、议一议：（1）多项式ab+bc各项都含有相同地因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？2（2）将上面地多项式分别写成几个因式地乘积，说明你地理由，并与同位交流.2、讨论概括：（1）多项式ab+bc各项都含有相同地因式b，我们把多项式各项都含有地相同因式，叫做这个多项式地公因式，如b就是多项式ab+bc地公因式.同样，多项式3x2+x各项都含有相同地公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同地公因式 b.（2）如果一个多项式地各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积地形式，这种分解因式地方法叫做提公因式法.三、巩固应用，拓展研究例：将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-21x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x.答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）；（2）7x2-21x=7x·x-7x·3=7x（x-3）；（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab-8a2b-ab-12b2c+ab·c=ab （8a2b-12b2c+c）；（4）-24x3-12x2+28=-（24x3+12x2-28）=-（4x?6x2+4x?3x-4x?7）=-4x（6x2+3x-7）.想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？（进一步体会分解因式与整式乘法地互逆关系）四、练习巩固，促进迁移1、写出下列多项式地公因式：（1）ma+mb （2）4kx-8ky （3）5y3+20y2（4）a2b-2ab2+ab2、把下列各式分解因式：（1）3x2-6xy+x （2）-4m3+16m2-26m3、利用分解因式计算：（1）33×0.48+85×0.48-18×0.48 （2）7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.254五、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？（通过问题地回答，引导学生自主总结，把分散地知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生地认知结构，加深对所学知识地理解.）第2课时教学目标1、会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中地字母指数仅限于正整数地情况）.2、进一步了解分解因式地意义，加强学生地直觉思维并渗透化归地思想方法.教学重难点重点：用提公因式法把多项式分解因式.难点：掌握多项式因式分解方法地过程.教学过程一、课前热身，复习回顾想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？做一做：1、下列用提取公因式法分解因式正确地是（）A、a3+2a2+a=a（a2+2a）B、-x2y+4x2y2-7xy=-xy（x-4xy+7）C、6（x-2）+x（2-x）=（x-2）（x+6）D、a（a-b）2+ab（a-b）=（a+ab）（a-b）2、（-3）2005+（-3）2004等于_______.（通过提问和几个练习使学生回忆上节课地内容，为本节课地学习作好准备.）二、应用拓展，深化研究把下列各式分解因式：（1）a（x-3）+2b（x-3）；（2）5（x-y）3+10（y-x）2.答案：（1）a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）；（2）5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2）（此题是上节课地延伸，公因式由前节课地单项式6过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生地认知规律.）第（1）小题在教学时引导学生把（x-3）看作一个整体，从而解决公因式是多项式地情况；第（2）小题是在第（1）小题地基础上，进一步解决符号问题，教学时要引导学生正确理解（x-y）与（y-x），（x- y）2与（y-x）2地关系.三、巩固应用，拓展研究1、把下列各式分解因式：（1）3x2-6xy+x （2）-4m3+16m2-26m答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）（2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）2、把下列各式分解因式：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2（2）3m（x-y）-n（y-x）（3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）答案：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）（2）3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）（3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）3、计算：（1）已知a+b=13，ab=40，求a2b+ab2地值.（2）1998+19982-19992.答案：（1）a2b+ab2=ab（a+b），当a+b=13时，原式=40×13=520.（2）1998+19982-19992=-1999.四、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？（通过问题地回答，引导学生自主总结，把分散地知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生地认知结构，加深对所学知识地理解.）8。

4.2提取公因式法教学设计教学目标：一、知识与技能目标：1.会用提取公因式法分解因式。

2.理解添括号法则。

二、过程与方法目标：1.树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。

2.树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。

三、情感态度与价值观目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。

重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。

难点：正确地找出公因式教学流程：一、导入新课想一想：一幢房子侧面的形状由一个长方形和三角形组成（如图），若把它设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？我们知道，m（a+b）=ma+mb，反过来，就有ma+mb=m（a+b）.应用这一事实，怎样把多项式2ab+4abc分解因式？一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

如m是多项式ma+mb各项的公因式，2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。

这种分解因式的方法叫做提取公因式法.同学们，我们下面一起来讨论如何确定应提取的公因式.以多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示如下：3ax2y=3·a·x·x·y6x2yz=2·3·x·x·x·y·z应提取的公因式为: 3x2y公因式的确定方法：应提取的多项式各项的公因式应是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。

试一试：所以，公因式是-3 x分解因式：-9 x 2 + 6 x y= -3x( 3x -２y)二、例题讲解[来源:Z§xx§]例 (1) 多项式 8a3b2 +12ab3c的公因式是(2) 多项式3mx – 6nx2的公因式是提取公因式法的一般步骤：（1）确定应提取的公因式；（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；[来源:学_科_网Z_X_X_K][来源:学科网ZXXK]（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.例1 把下列各式分解因式：(1)2x3+6x2(2)3pq3+15p3q(3)-4x2+8ax+2x(4)-3ab+6abx-9aby.注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号.例2 把2(a-b)2-a+b分解因式：分析:把-a+b变形为-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把（a-b）看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b).在求解例2时，我们把-a+b加上括号，变形为-（a-b），而不改变-a+b的值，这种方法叫做添括号.一般地，添括号法则如下：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

4.2 提公因式法（一）杜姣姣【课标要求】：能利用提公因式法，公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

【学习目标】：一、经历探索、类比、归纳的过程，得出公因式的概念，并能在具体问题中确定多项式各项的公因式。

二、会用提公因式法对多项式进行因式分解。

【教学重点】：1.能确定一个多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法对多项式进行因式分解。

【教学难点】：会用提公因式法对多项式进行因式分解。

【教学设计】：一、复习旧知：1、什么叫做因式分解？2、下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？（1）ay ax y x a +=+)(（2）)12(55102+=+x x x x（3）22)2(44－－y y y =+（4）t 3)4)(4(3t 162++=+－－t t t t因式分解是上一节学过的内容，上一节简单的介绍了什么叫做因式分解并可以判断出哪些式子的变形是因式分解，（2）先让同学们回顾一下因式分解式子变形的样子，进而可以引出这些因式分解是怎样进行的，引出新课的内容。

二、新课1、公因式的定义及确定一个多项式的公因式：（设计意图：针对目标1）(1)计算：2859851585⨯+⨯⨯-采用什么方法？依据是什么？(旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

)（2）多项式bc ab +、x x 332+、b nb mb －+2各项都含有相同的因式吗？（b 、x 3、b ）（3）试着说出公因式的定义，并举例说明。

（4）告知学生：找公因式时要从系数和字母及字母次数三方面来找，例如x x 332+的公因式不能把3忘掉了。

（学生的易错点，老师要明确告知）（5）练习：说出下列各多项式的公因式①3x+3x ②7x 3–212x ③8a 3b 2–12ab 3c+ab ④–24x 3+12x 2－28x2、利用提公因式法进行因式分解。

八年级数学学科备课教案（下册）第四章因式分解
学活动活动一：将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）2x2y+6x3y2 mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
1.找公因式：课本96页随堂练习每个多项式的公因式
2.公因式的构成：①系数：；
②字母：；
③指数：.
第三环节：巩固提高
活动内容：将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+3x（2）7x3–212x
（3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x
先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。

最后学生归纳：提取公因式的步骤：
（1）找公因式；（2）提公因式．
第四环节：
想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
活动目的：通过学生的回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法把多项式因式分解。

教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。

教学难点：确定多项式的公因式。

教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。

学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法把多项式因式分解。

（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。

这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。

四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。

培养学生的初步归纳能力。

一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。

学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。

简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。

（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。

北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计2一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能够运用提公因式法解决一些实际问题。

教材通过具体的例子引导学生探究提公因式法的原理，并通过大量的练习让学生熟练掌握这一方法。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法，对因式分解有一定的了解。

但由于年龄和认知特点，学生可能对提公因式法的理解不够深入，需要通过大量的练习来巩固。

三. 教学目标1.让学生理解提公因式法的概念，掌握提公因式法分解因式的技巧。

2.培养学生运用提公因式法解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力，培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的概念和运用。

2.难点：提公因式法的灵活运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生探究提公因式法的原理。

2.使用案例教学法，通过具体的例子让学生理解并掌握提公因式法。

3.采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深对提公因式法的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学课件，用于辅助教学。

3.准备黑板，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾因式分解的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）展示教材中的案例，引导学生观察和分析，让学生尝试找出其中的规律。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，教师巡回指导，及时纠正学生在练习中出现的问题。

4.巩固（10分钟）让学生进行一些典型的练习题，巩固提公因式法的应用。

5.拓展（10分钟）让学生运用提公因式法解决一些实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，加深学生对提公因式法的理解。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。

8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的主要知识点，方便学生复习。

《4.2提取公因式法》教案课题 4.2提取公因式法单元四学科数学年级七年级下册学习目标1.掌握用提取公因式法分解因式；2．掌握添括号法则．重点掌握用提取公因式法分解因式．难点理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式添括号时．所添括号前面是负号，括到括号里各项都要改变符号是易错点．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、导入新课一、创设情景，引出课题如图，一块场地由三个长方形组成，这些长方形的长分别是17m、59m、24m，宽都是6m，如何计算这块场地的面积.根据长方形面积公式，很容易得出所求面积为：6 ×17＋6 ×59 ＋6 × 24=6 × (17 + 59 + 24)=6 ×100=600（m2）()a b cm m m m a b c++=++1.公因式一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式.2.提取公因式法把该公因式提取出来进行因式分解的方法. 思考自议系数和字母分别进行考虑：对于系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公因数作为公因式的系数。

理解公因式可以是一个数，也可以是字母、单项式或多项式；对于字母，取各项相同的字母；且各相同字母的指数取次数最低的。

合作探究二.提炼概念一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式.指出下列各多项式中各项的公因式：⑴ ax+ay-a⑵ 3ax2y-6x3yz（3） m2n+mn2（4)x(x-y)2-y(x-y)(1）a （2）3x2y （3）mn （4）(x-y)注意: 确定公因式时，要对数字1. 系数和字母分别进行考虑：对于系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公因数作为公因式的系数.2.对于字母，取各项相同的字母；且各相同字母的指数取次数最低的.多项式2336ax y x yz有公因式吗？是什么？应提取的公因式为:23x y.公因式的确定方法：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解,这种分解因式的方法叫做提取公因式法.分解因式⑴ ax+ay-a⑵ 3ax2y-6x3yz(3)x(x-y)2-y(x-y)⑴ ax+ay-a =a(x+y-1)⑵ 3ax2y-6x3yz=3x2y(a-2xz)(3)x(x-y)2-y(x-y)=(x-y)[x(x-y)-y]= (x-y)(x2-xy-y) (1)系数部分是取多项式各项系数的最大公约数；(2)字母部分是取多项式各项中含有的相同的字母，并且相同字母的指数取其次数最低的．提公因式时，如果第一项的系数是负数，应先提负号转化，然后再提公因式.添括号时，所添括号前面是负号，括到括号里各项都要改变符号是易错点．。