高考领航高2020届高2017级一轮人教理科数学全书学案第九章

专题强化十带电粒子在复合场中运动的实例分析专题解读 1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用,高考往往以计算压轴题的形式出现.2.学习本专题,可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力.针对性的专题训练,可以提高同学们解决难题压轴题的信心.3.用到的知识有:动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律).一、带电粒子在复合场中的运动1.复合场与组合场(1)复合场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现.2.带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,将处于静止状态或做匀速直线运动.(2)匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.(3)较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.(4)分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域,其运动情况随区域发生变化,其运动过程由几种不同的运动阶段组成.二、电场与磁场的组合应用实例三、电场与磁场的叠加应用实例命题点一质谱仪的原理和分析1.作用测量带电粒子质量和分离同位素的仪器.2.原理(如图1所示)图1(1)加速电场:qU ＝12m v 2；(2)偏转磁场:q v B ＝m v 2r ,l ＝2r ；由以上两式可得r ＝1B 2mUq, m ＝qr 2B 22U ,q m ＝2U B 2r 2.例1 一台质谱仪的工作原理如图2所示.大量的带电荷量为＋q 、质量为2m 的离子飘入电压为U 0的加速电场,其初速度忽略不计,经加速后,通过宽为L 的狭缝MN 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中,最后打到照相底片上.图中虚线为经过狭缝左、右边界M 、N 时离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.图2(1)求离子打在底片上的位置到N 点的最小距离x ；(2)在图中用斜线标出磁场中离子经过的区域,并求该区域最窄处的宽度d . 答案 (1)4BmU 0q－L (2)见解析图2BmU 0q－4mU 0qB 2－L 24解析 (1)设离子在磁场中的运动半径为r 1, 在电场中加速时,有qU 0＝12×2m v 2在匀强磁场中,有q v B ＝2m v 2r 1解得 r 1＝2BmU 0q根据几何关系x ＝2r 1－L , 解得x ＝4BmU 0q－L . (2)如图所示,最窄处位于过两虚线交点的垂线上d ＝r 1－r 12－(L 2)2解得d ＝2BmU 0q－4mU 0qB 2－L 24变式1 (2016·全国卷Ⅰ·15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图如图3所示,其中加速电压恒定.质子在入口处从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后从出口离开磁场.若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速,为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场,需将磁感应强度增加到原来的12倍.此离子和质子的质量比约为( )图3A.11B.12C.121D.144 答案 D解析 由qU ＝12m v 2得带电粒子进入磁场的速度为v ＝2qUm,结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R ＝m v Bq ,联立得到R ＝1B2mUq,由题意可知,该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量,故离子和质子的质量之比m 离子m 质子＝144,故选D.命题点二 回旋加速器的原理和分析1.构造:如图4所示,D 1、D 2是半圆形金属盒,D 形盒处于匀强磁场中,D 形盒的缝隙处接交流电源.图42.原理:交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等,使粒子每经过一次D 形盒缝隙,粒子被加速一次.3.粒子获得的最大动能:由q v m B ＝m v m 2R 、E km ＝12m v m 2得E km ＝q 2B 2R 22m ,粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定,与加速电压无关.4.粒子在磁场中运动的总时间:粒子在磁场中运动一个周期,被电场加速两次,每次增加动能qU ,加速次数n ＝E km qU ,粒子在磁场中运动的总时间t ＝n 2T ＝E km 2qU ·2πm qB ＝πBR 22U.例2 (2018·山东省泰安市上学期期末)回旋加速器的工作原理如图5所示,置于真空中的两个D 形金属盒半径为R ,两盒间的狭缝很小,带电粒子穿过的时间可以忽略不计.磁感应强度为B 的匀强磁场与盒面垂直. 设两D 形盒之间所加的交流电压为U ,被加速的粒子质量为m 、电荷量为q ,粒子从D 形盒一侧开始被加速(初动能可以忽略),经若干次加速后粒子从D 形盒边缘射出.求:图5(1)粒子从静止开始第1次经过两D 形盒间狭缝加速后的速度大小； (2)粒子第一次进入D 形盒磁场中做圆周运动的轨道半径； (3)粒子至少经过多少次加速才能从回旋加速器D 形盒射出. 答案 (1)2qU m (2)1B2mU q (3)qB 2R 22mU解析 (1)粒子在电场中被加速,由动能定理qU ＝12m v 12得:v 1＝2qUm(2)带电粒子在磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得,q v 1B ＝m v 12r 1解得:r 1＝m v 1qB代入数据得:r 1＝1B2mUq(3)若粒子从回旋加速器D 形盒射出,则粒子做圆周运动的轨道半径为R ,设此时速度为v n 由洛伦兹力提供向心力得q v n B ＝m v n 2R ,解得此时粒子的速度为v n ＝BqRm此时粒子的动能为E k ＝12m v n 2,代入数据得E k ＝q 2B 2R 22m粒子每经过一次加速动能增加qU ,设经过n 次加速粒子射出,则nqU ＝E k ,代入数据解得:n ＝qB 2R 22mU. 变式2 (2018·湖南省常德市期末检测)某种回旋加速器的设计方案如图6甲所示,图中粗黑线段为两个正对的极板,两个极板的板面中部各有一狭缝(沿OP 方向的狭长区域),带电粒子可通过狭缝穿越极板(如图乙所示),当带电粒子每次进入两极板间时,板间电势差为U (下极板电势高于上极板电势),当粒子离开两极板后,极板间电势差为零；两细虚线间(除开两极板之间的区域)既无电场也无磁场；其他部分存在匀强磁场,磁感应强度方向垂直纸面.在离子源S 中产生的质量为m 、电荷量为q (q >0)的离子,由静止开始被电场加速,经狭缝中的O 点进入磁场区域,O 点到极板右端的距离为D ,到出射孔P 的距离为4D ,已知磁感应强度大小可以调节,离子从离子源上方的O 点射入磁场区域,最终只能从出射孔P 射出,假设离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收.忽略相对论效应,不计离子重力,求:图6(1)离子从出射孔P 射出时磁感应强度的最小值； (2)调节磁感应强度大小使B 1＝5D 2mUq,计算离子从P 点射出时的动能. 答案 (1)1DmU2q(2)64qU 解析 (1)设离子从O 点射入磁场时的速率为v ,有qU ＝12m v 2设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r ,q v B ＝m v 2r若离子从O 点射出后只运动半个圆周即从孔P 射出,有:r ＝2D 此时磁感应强度取得最小值,且最小值为B min ＝1DmU 2q； (2)若B 1＝5D2mU q ,根据q v B ＝m v 2r ,解得r 1＝D5分析可知离子在磁场中运动半圈后将穿过上极板进入电场区域做减速运动,速度减到零后又重新反向加速至进入时的速率,从进入处再回到磁场区域,因为r 1＝D5,这样的过程将进行2次.由几何关系可知,离子将在距P 点16D5的位置经电场加速进入磁场绕过两极板右端从下极板进入电场区域再次被加速,半径不断增大,但每次从下极板进入电场的位置相同,经过多次加速后离子从孔P 射出时的半径满足r n ＝8D5,此时速度最大设为v m ,根据q v m B 1＝m v m 2r n ,解得:v m ＝82qUm从P 射出时的动能为E k ＝12m v m 2＝64qU .命题点三 电场与磁场叠加的应用实例分析共同特点:当带电粒子(不计重力)在复合场中做匀速直线运动时,q v B ＝qE . 1.速度选择器图7(1)平行板中电场强度E 和磁感应强度B 互相垂直.(如图7)(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是q v B ＝qE ,即v ＝EB .(3)速度选择器只能选择粒子的速度,不能选择粒子的电性、电荷量、质量. (4)速度选择器具有单向性.例3 如图8所示是一速度选择器,当粒子速度满足v 0＝EB 时,粒子沿图中虚线水平射出；若某一粒子以速度v 射入该速度选择器后,运动轨迹为图中实线,则关于该粒子的说法正确的是( )图8A.粒子射入的速度一定是v >EBB.粒子射入的速度可能是v <EBC.粒子射出时的速度一定大于射入速度D.粒子射出时的速度一定小于射入速度 答案 B 2.磁流体发电机(1)原理:如图9所示,等离子体喷入磁场,正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在A 、B 板上,产生电势差,它可以把离子的动能通过磁场转化为电能.图9(2)电源正、负极判断:根据左手定则可判断出图中的B 是发电机的正极.(3)电源电动势U :设A 、B 平行金属板的面积为S ,两极板间的距离为l ,磁场磁感应强度为B ,等离子体的电阻率为ρ,喷入气体的速度为v ,板外电阻为R .当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时,两极板间达到的最大电势差为U (即电源电动势),则q Ul ＝q v B ,即U ＝Bl v .(4)电源内阻:r ＝ρlS .(5)回路电流:I ＝Ur ＋R.例4 (多选)如图10所示是磁流体发电机的示意图,两平行金属板P 、Q 之间有一个很强的磁场.一束等离子体(即高温下电离的气体,含有大量正、负带电粒子)沿垂直于磁场的方向喷入磁场.把P 、Q 与电阻R 相连接.下列说法正确的是( )图10A.Q 板的电势高于P 板的电势B.R 中有由a 向b 方向的电流C.若只改变磁场强弱,R 中电流保持不变D.若只增大粒子入射速度,R 中电流增大 答案 BD解析 等离子体进入磁场,根据左手定则,正离子向上偏,打在上极板上,负离子向下偏,打在下极板上,所以上极板带正电,下极板带负电,则P 板的电势高于Q 板的电势,流过电阻R 的电流方向由a 到b ,故A 错误,B 正确；依据电场力等于洛伦兹力,即为q Ud ＝q v B ,则有U ＝Bd v ,再由闭合电路欧姆定律I ＝UR ＋r ＝Bd v R ＋r ,电流与磁感应强度成正比,故C 错误；由上分析可知,若只增大粒子的入射速度,R 中电流会增大,故D 正确. 3.电磁流量计(1)流量(Q )的定义:单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积. (2)公式:Q ＝S v ；S 为导管的横截面积,v 是导电液体的流速. (3)导电液体的流速(v )的计算如图11所示,一圆柱形导管直径为d ,用非磁性材料制成,其中有可以导电的液体向右流动.导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转,使a 、b 间出现电势差,当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时,a 、b 间的电势差(U )达到最大,由q U d ＝q v B ,可得v ＝UBd.图11(4)流量的表达式:Q ＝S v ＝πd 24·U Bd ＝πdU4B .(5)电势高低的判断:根据左手定则可得φa >φb .例5 (2018·山东省淄博一中三模)为监测某化工厂的污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图12所示的长方体流量计.该装置由绝缘材料制成,其长、宽、高分别为a 、b 、c ,左右两端开口.在垂直于上下底面方向加一匀强磁场,前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极.污水充满管口从左向右流经该装置时,接在M 、N 两端间的电压表将显示两个电极间的电压U .若用Q 表示污水流量(单位时间内排出的污水体积),下列说法中正确的是( )图12A.M 端的电势比N 端的高B.电压表的示数U 与a 和b 均成正比,与c 无关C.电压表的示数U 与污水的流量Q 成正比D.若污水中正、负离子数相同,则电压表的示数为0 答案 C解析 根据左手定则知,正离子所受的洛伦兹力方向向里,则向里偏转,N 端带正电,M 端带负电,则M 端的电势比N 端电势低,故A 错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡,有:q v B ＝q Ub ,解得U ＝v Bb ,电压表的示数U 与b 成正比,与污水中正、负离子数无关,故B 、D 错误；因v ＝U Bb ,则流量Q ＝v bc ＝Uc B ,因此U ＝BQc ,所以电压表的示数U 与污水流量Q 成正比,故C 正确.4.霍尔效应的原理和分析(1)定义:高为h 、宽为d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B 中,当电流通过导体时,在导体的上表面A 和下表面A ′之间产生电势差,这种现象称为霍尔效应,此电压称为霍尔电压.(2)电势高低的判断:如图13,导体中的电流I 向右时,根据左手定则可得,若自由电荷是电子,则下表面A ′的电势高.若自由电荷是正电荷,则下表面A ′的电势低.图13(3)霍尔电压的计算:导体中的自由电荷(电荷量为q )在洛伦兹力作用下偏转,A 、A ′间出现电势差,当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时,A 、A ′间的电势差(U )就保持稳定,由q v B ＝q U h ,I＝nq v S ,S ＝hd ；联立得U ＝BI nqd ＝k BI d ,k ＝1nq称为霍尔系数. 例6 (多选)(2018·华南师大附中三模)利用霍尔效应制作的霍尔元件,广泛应用于测量和自动控制等领域.如图14所示是霍尔元件的工作原理示意图,磁感应强度B 垂直于霍尔元件的工作面向下,当元件中通入图示方向的电流I 时,C 、D 两侧面会形成一定的电势差U .下列说法中正确的是( )图14A.若C 侧面电势高于D 侧面,则元件中形成电流的载流子带负电B.若C 侧面电势高于D 侧面,则元件中形成电流的载流子带正电C.在地球南、北极上方测地磁场强弱时,元件工作面竖直放置时U 最大D.在地球赤道上方测地磁场强弱时,元件工作面竖直放置且与地球经线垂直时,U 最大 答案 AD解析 若元件的载流子带负电,由左手定则可知,载流子受到的洛伦兹力方向向D 侧面偏,则C 侧面的电势高于D 侧面的电势,故A 正确；若元件的载流子带正电,由左手定则可知,载流子受到的洛伦兹力方向向D 侧面偏,则D 侧面的电势高于C 侧面的电势,故B 错误；在测地球南、北极上方的地磁场强弱时,因磁场方向竖直,则元件的工作面保持水平时U 最大,故C 错误；地球赤道上方的地磁场方向水平,在测地球赤道上方的地磁场强弱时,元件的工作面应保持竖直,当与地球经线垂直时U 最大,故D 正确.1.在如图1所示的平行板器件中,电场强度E 和磁感应强度B 相互垂直.一带电粒子(重力不计)从左端以速度v 沿虚线射入后做直线运动,则该粒子( )图1A.一定带正电B.速度v ＝E BC.若速度v ＞E B,粒子一定不能从板间射出 D.若此粒子从右端沿虚线方向进入,仍做直线运动答案 B解析 粒子带正电和负电均可,选项A 错误；由洛伦兹力等于电场力,可得q v B ＝qE ,解得速度v ＝E B ,选项B 正确；若速度v ＞E B,粒子可能从板间射出,选项C 错误；若此粒子从右端沿虚线方向进入,所受电场力和洛伦兹力方向相同,不能做直线运动,选项D 错误.2.(多选)如图2所示,a 、b 是一对平行金属板,分别接到直流电源的两极上,使a 、b 两板间产生匀强电场(场强大小为E ),右边有一块挡板,正中间开有一小孔d ,在较大空间范围内存在着匀强磁场,磁感应强度大小为B ,方向垂直纸面向里.从两板左侧中点c 处射入一束正离子(不计重力),这些正离子都沿直线运动到右侧,从d 孔射出后分成三束,则下列判断正确的是( )图2A.这三束正离子的速度一定不相同B.这三束正离子的比荷一定不相同C.a 、b 两板间的匀强电场方向一定由a 指向bD.若这三束离子改为带负电而其他条件不变,则仍能从d 孔射出答案 BCD解析 因为三束正离子在两极板间都是沿直线运动的,电场力等于洛伦兹力,可以判断三束正离子的速度一定相同,且电场方向一定由a 指向b ,A 错误,C 正确；在右侧磁场中三束正离子运动轨迹半径不同,可知这三束正离子的比荷一定不相同,B 正确；若将这三束离子改为带负电,而其他条件不变的情况下分析受力可知,三束离子在两板间仍做匀速直线运动,仍能从d 孔射出,D 正确.3.(2018·山东省济宁市模拟)为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况,技术人员在排污管中安装了监测装置,该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔,其宽和高分别为b 和c ,左、右两端开口与排污管相连,如图3所示.在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为B 的匀强磁场,在空腔前、后两个侧面上各有长为a 的相互平行且正对的电极M 和N ,M 、N 与内阻为R 的电流表相连.污水从左向右流经该装置时,电流表将显示出污水排放情况.下列说法中错误的是( )图3A.M 板比N 板电势低B.污水中离子浓度越高,则电流表的示数越小C.污水流量越大,则电流表的示数越大D.若只增大所加磁场的磁感应强度,则电流表的示数也增大答案 B解析 污水从左向右流动时,根据左手定则,正、负离子在洛伦兹力作用下分别向N 板和M 板偏转,故N 板带正电,M 板带负电,A 正确.稳定时带电离子在两板间受力平衡,可得q v B ＝q U b,此时U ＝Bb v ,又因流速v ＝Q S ＝Q bc ,故U ＝BbQ bc ＝BQ c,式中Q 是流量,可见当污水流量越大、磁感应强度越强时,M 、N 间的电压越大,电流表的示数越大,而与污水中离子浓度无关,B 错误,C 、D 正确.4.(多选)如图4是质谱仪的工作原理示意图.带电粒子被加速电场加速后,进入速度选择器.速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B 和E .平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A 1A 2.平板S 下方有磁感应强度为B 0的匀强磁场.下列表述正确的是( )图4A.质谱仪是分析同位素的重要工具B.速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外C.能通过狭缝P 的带电粒子的速率等于E BD.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P ,粒子的比荷越小答案 ABC解析 质谱仪是分析同位素的重要工具,A 正确；带电粒子在速度选择器中沿直线运动时,所受电场力和洛伦兹力应等大反向,结合左手定则可知B 正确；由qE ＝q v B 可得v ＝E B,C 正确；粒子在平板S 下方的匀强磁场中做匀速圆周运动,由q v B 0＝m v 2R 得R ＝m v qB 0,所以q m ＝v B 0R,故粒子越靠近狭缝P ,粒子的比荷越大,D 错误.5.(多选)(2018·甘肃省兰州市三诊)如图5所示为磁流体发电机的原理图,将一束等离子体(带有等量正、负离子的高速离子流)喷射入磁场,在磁场中有两块金属板A 、B ,这时金属板上就会聚集电荷,产生电压.如果射入的等离子体速度为v ,两金属板间距离d ,板的正对面积为S ,匀强磁场的磁感应强度为B ,方向与速度方向垂直,负载电阻为R .当发电机稳定发电时电动势为E ,电流为I ,则下列说法正确的是( )图5A.A 板为发电机的正极B.其他条件一定时,v 越大,发电机的电动势E 越大C.其他条件一定时,S 越大,发电机的电动势E 越大D.板间等离子体的电阻率为S d (Bd v I－R ) 答案 BD6.如图6所示为回旋加速器的示意图.两个靠得很近的D 形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中,一质子从加速器的A 处开始加速.已知D 形盒的半径为R ,磁场的磁感应强度为B ,高频交变电源的电压为U 、频率为f ,质子质量为m ,电荷量为q .下列说法错误的是( )图6A.质子的最大速度不超过2πRfB.质子的最大动能为q 2B 2R 22mC.质子的最大动能与电压U 无关D.只增大磁感应强度B ,可减小质子的最大动能答案 D7.(多选)如图7所示为一种质谱仪的示意图,由加速电场、静电分析器和磁分析器组成.若静电分析器通道中心线的半径为R ,通道内均匀辐射电场,在中心线处的电场强度大小为E ,磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场,磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向外.一质量为m 、电荷量为q 的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器,由P 点垂直边界进入磁分析器,最终打到胶片上的Q 点.不计粒子重力.下列说法正确的是( )图7A.极板M 比极板N 的电势高B.加速电场的电压U ＝ERC.直径PQ ＝2B qmERD.若一群粒子从静止开始经过题述过程都落在胶片上的同一点,则该群粒子具有相同的比荷 答案 AD解析 粒子在静电分析器内沿电场线方向偏转,说明粒子带正电荷,极板M 比极板N 的电势高,选项A 正确；由Uq ＝12m v 2和Eq ＝m v 2R 可得U ＝ER 2,选项B 错误；在磁场中,由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2r ,即r ＝m v qB ,直径PQ ＝2r ＝2m v Bq＝2ERm B 2q,可见只有比荷相同的粒子才能打在胶片上的同一点,选项C 错误,D 正确.8.一台质谱仪的工作原理图如图8所示,电荷量均为＋q 、质量不同的离子飘入电压为U 0的加速电场,其初速度几乎为零.这些离子经加速后通过狭缝O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场,最后打在底片上.已知放置底片的区域MN ＝L ,且OM ＝L .某次测量发现MN 中左侧23区域MQ 损坏,检测不到离子,但右侧13区域QN 仍能正常检测到离子.在适当调节加速电压后,原本打在MQ 区域的离子即可在QN 区域检测到.图8(1)求原本打在MN 中点P 点的离子质量m ；(2)为使原本打在P 点的离子能打在QN 区域,求加速电压U 的调节范围.答案 (1)9qB 2L 232U 0 (2)100U 081≤U ≤16U 09解析 (1)离子在电场中加速时有qU 0＝12m v 2,在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r 0,解得r 0＝1B 2mU 0q ,代入r 0＝34L ,解得m ＝9qB 2L 232U 0. (2)由(1)知,U ＝16U 0r 29L 2,离子打在Q 点r ＝56L ,U ＝100U 081,离子打在N 点r ＝L ,U ＝16U 09,则电压的调节范围为100U 081≤U ≤16U 09. 9.(2018·福建省龙岩市一模)环保部门为了监测某化肥厂的污水排放量,技术人员在该厂的排污管末端安装了如图9所示的流量计.该装置的外形为一长方体,由绝缘材料制成,长、宽、高分别为a 、b 、c ,左右两端开口,在垂直于上下表面加磁感应强度为B 的匀强磁场,在前后两个内侧面固定有金属板作为电极,电阻率为ρ的污水从左向右匀速流经该装置时,接在两电极间的理想电压表显示两个电极间的电压为U ,求:图9(1)该装置内电场场强的大小和方向；(2)污水的流量Q (单位时间内排出的污水体积)；(3)若从两个电极引出两条导线,导线间接一阻值为R 的电阻时理想电压表的示数.答案 (1)U b 方向指向纸外(或由后侧面指向前侧面) (2)Uc B (3)Rac Rac ＋ρbU 解析 (1)根据匀强电场场强的公式得:E ＝U b,因为正、负离子在流动时,根据左手定则可知,正离子受洛伦兹力向后侧面偏转,负离子受洛伦兹力向前侧面偏转,故后侧面上带正电,前侧面上带负电,故后侧面电势比前侧面高,故场强的方向指向纸外或由后侧面指向前侧面(2)最终正、负离子在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡,有:Eq ＝q v B又Q ＝v S ＝v cb联立解得:Q ＝Uc B(3)根据电阻定律有:r ＝ρb ac根据串联电路的特点有:U 1R ＝U R ＋r联立得:U 1＝Rac Rac ＋ρbU。

本章综合能力提升练一、单项选择题1.关于磁感应强度B,下列说法正确的是()A.根据磁感应强度的定义式B＝FIL可知,磁感应强度B与F成正比,与IL成反比B.一小段通电导线放在磁感应强度为零处,它所受的磁场力一定为零C.一小段通电导线在某处不受磁场力的作用,则该处的磁感应强度一定为零D.磁场中某处磁感应强度的方向,与通电导线在该处所受磁场力的方向相同答案 B2.(2019·江西省南昌市模拟)如图1所示,在玻璃皿的中心放一个圆柱形电极B,紧贴边缘内壁放一个圆环形电极A,把A、B分别与电源的两极相连,然后在玻璃皿中放入导电液体,现把玻璃皿放在如图所示的磁场中,液体就会旋转起来.若从上向下看,下列判断正确的是()图1A.A接电源正极,B接电源负极,液体顺时针旋转B.A接电源负极,B接电源正极,液体顺时针旋转C.A、B与50 Hz的交流电源相接,液体持续旋转D.仅磁场的N、S极互换后,重做该实验发现液体旋转方向不变答案 A解析若A接电源正极,B接电源负极,在电源外部电流由正极流向负极,因此电流由边缘流向中心,玻璃皿所在处的磁场竖直向下,由左手定则可知,导电液体受到的磁场力沿顺时针方向,因此液体沿顺时针方向旋转,故A正确；同理,若A接电源负极,B接电源正极,根据左手定则可知,液体沿逆时针方向旋转,故B错误；A、B与50 Hz的交流电源相接,液体不会持续旋转,故C 错误；若磁场的N、S极互换后,重做该实验发现液体旋转方向改变,故D错误.3.(2018·安徽省亳州市第一学期期末质检)M、N、P是半圆上的三点,O点是圆心,MN为直径,∠NOP＝60°.在M、N处各有一条垂直半圆面的长直导线, 导线中通有大小相等的恒定电流,方向如图2所示,这时O点的磁感应强度大小为B1.若将M点的长直导线移至P点,O点的磁感应强度大小变为B2,则()图2A.B 2∶B 1＝2∶ 3B.B 2∶B 1＝3∶2C.B 2∶B 1＝1∶2D.B 2∶B 1＝2∶1答案 C解析 根据安培定则可知,原来位置每根导线在O 点产生的磁感应强度方向均向上,大小为B 12,则当M 移至P 点时,在O 点产生的磁感应强度如图所示由图可知,两导线形成的磁感应强度方向夹角为120°,由几何关系可知,O 点合磁感应强度大小为:B 2＝B 12,故B 2∶B 1＝1∶2,C 正确. 4.(2018·安徽省芜湖市上学期期末)如图3所示,直角坐标系Oxyz 处于匀强磁场中,有一条长0.6 m 的直导线沿Ox 方向通有大小为9 A 的电流,受到的安培力沿Oz 方向,大小为2.7 N.则该匀强磁场可能的方向和磁感应强度B 的最小值为( )图3A.平行于xOy 平面,B ＝0.5 TB.平行于xOz 平面,B ＝1.0 TC.平行于xOy 平面,B ＝0.2 TD.平行于xOy 平面,B ＝1.0 T答案 A解析 根据左手定则,安培力必须与电流和磁场构成的平面垂直,故磁场的方向一定平行于xOy 平面；当电流、磁场互相垂直的时候,安培力最小,所以最小的磁感应强度为:B ＝F IL ＝ 2.79×0.6T ＝0.5 T. 二、多项选择题5.(2018·河北省张家口市上学期期末)1957年,科学家首先提出了两类超导体的概念,一类称为Ⅰ型超导体,主要是金属超导体,另一类称为Ⅱ型超导体(载流子为电子),主要是合金和陶瓷超导体.Ⅰ型超导体对磁场有屏蔽作用,即磁场无法进入超导体内部,而Ⅱ型超导体则不同,它允许磁场通过.现将一块长方体Ⅱ型超导体通入稳恒电流I 后放入匀强磁场中,如图4所示.下列说法正确的是( )图4A.超导体的内部产生了热能B.超导体所受安培力等于其内部所有电荷定向移动所受洛伦兹力的合力C.超导体表面上a 、b 两点的电势关系为φa <φbD.超导体中电流I 越大,a 、b 两点间的电势差越小答案 BC解析 超导体电阻为零,超导体不会在内部产生热能,故A 错误；超导体所受安培力是洛伦兹力的宏观表现,安培力等于其内部所有电荷定向移动所受洛伦兹力的合力,故B 正确；载流子为电子,超导体表面上a 带负电,所以φa ＜φb ,故C 正确；根据电流的微观表达式I ＝neS v ,当超导体稳定时,洛伦兹力和电场力平衡,即e v B ＝e U d ,解得:U ＝BId neS,所以电流越大,a 、b 两点间的电势差越大,故D 错误.6.(2018·陕西省西安一中一模)如图5所示,含有11H 、21H 、42He 的带电粒子束从小孔O 1处射入速度选择器,沿直线O 1O 2运动的粒子在小孔O 2处射出后垂直进入偏转磁场,最终打在P 1、P 两点.则( )图5A.沿直线O 1O 2运动的粒子速度相等B.打在P 点的粒子是21H 和42HeC.O 2P 的长度是O 2P 1长度的2倍D.粒子11H 在偏转磁场中运动的时间最长答案 ABC解析 带电粒子在沿直线通过速度选择器时,电场力与洛伦兹力大小相等、方向相反,所以有:qE ＝q v B 1,得v ＝E B 1,可知从速度选择器中射出的粒子具有相等的速度,即选项A 正确；带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,q v B 2＝m v 2r ,r ＝m v qB 2＝m q ·v B 2,可知粒子的比荷越大,则运动的半径越小,所以打在P 1点的粒子是11H,打在P 点的粒子是21H 和42He,选项B 正确；由题中的数据可得,11H 的比荷是21H 和42He 的比荷的2倍,所以11H 的轨道的半径是21He 和42He 的半径的12,即O 2P 的长度是O 2P 1长度的2倍,选项C 正确；粒子运动的周期:T ＝2πr v ＝2πm qB 2,三种粒子中,11H 的比荷最大,所以粒子11H 在偏转磁场中运动的周期最小,而三种粒子运动时间都为半个周期,所以粒子11H在偏转磁场中运动的时间最短,选项D 错误.7.(2018·山东省菏泽市上学期期末)无限长通电直导线在周围某一点产生的磁场的磁感应强度的大小与电流大小成正比,与导线到这一点的距离成反比.如图6所示,两根长直导线电流大小I 1>I 2,方向如图所示,且垂直于纸面平行放置,纸面内有M 、N 、O 、P 四点,其中M 、N 在导线横截面连线的延长线上,O 点在导线横截面的连线上,P 在导线横截面连线的垂直平分线上.这四点处磁场的磁感应强度不可能为零的是( )图6A.M 点B.N 点C.O 点D.P 点答案 ACD解析 根据安培定则可知两电流在M 点磁感应强度的方向相反,由于M 离I 1近且I 1>I 2,故在M 点I 1的磁感应强度的大小大于I 2的磁感应强度的大小,则M 点磁感应强度不可能为0,选A ；根据安培定则可知两电流在N 点的磁感应强度的方向相反,由于I 2离N 点近且I 1>I 2,则N 点I 1的磁感应强度的大小可能等于I 2的磁感应强度的大小,故N 点磁感应强度可能为0,不选B ；根据安培定则可知两电流在O 点磁感应强度的方向相同,则O 点磁感应强度不可能为0,选C ；根据安培定则可知两电流在 P 点的磁感应强度方向不相反,均存在竖直向下的分量,故P 点的磁感应强度不可能为0,选D.三、非选择题8.如图7所示,倾斜固定放置的两平行光滑导轨相距20 cm,金属棒MN 的质量为10 g,接入电路的电阻R ＝8 Ω,匀强磁场的磁感应强度B 的方向竖直向下,大小为0.8 T,电源电动势为10 V,内阻为1 Ω.当开关S 闭合时,MN 处于平衡状态.求滑动变阻器R 1接入电阻多大？(已知θ＝45°,g ＝10 m/s 2)图7答案 见解析解析 金属棒受重力mg 、支持力F N 、安培力F 的作用,受力分析如图.根据平衡条件得: F ＝mg tan θ＝0.1 N根据安培力F ＝BIL解得:I ＝F BL ＝58A 根据闭合电路欧姆定律得:I ＝E r ＋R ＋R 1代入数据解得:R 1＝7 Ω.9.(2018·安徽省皖北协作区联考)如图8所示,区域中一部分有匀强磁场,另一部分有匀强电场,磁场方向垂直于纸面向里,电场方向与电、磁场分界线平行且向右.一带正电粒子从A 点以速度v 射入匀强磁场,方向未知,经过一段时间运动到磁场与电场交界处P 点,此时速度方向垂直于两个场的分界线,此后粒子在电场力的作用下,又经过一段时间从C 点离开电场,A 点和C 点在同一竖直线上,已知磁场宽度与电场宽度分别为l 1和l 2,A 点与P 点的水平距离为d ,不计重力.求:图8(1)整个运动过程中粒子的最大速度；(2)求出磁感应强度与电场强度的比值B E. 答案 (1)l 22＋4d 2l 2v (2)l 22(l 21＋d 2)v解析 (1)在整个运动过程中只有电场力对粒子做功,所以当粒子在C 点射出电场时速度最大.粒子进入电场后做类平抛运动,其初速度为v ,方向垂直于电场.由运动学公式有:l 2＝v t d ＝12at 2 加速度为:a ＝qE m由动能定理得:qEd ＝12m v 2C －12m v 2 联立解得:v C ＝l 22＋4d 2 l 2v (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动(如图).由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直,圆心O 应在分界线上,OA 长度即为粒子运动的圆弧的半径R .由几何关系得:R 2＝(R －d )2＋l 12,由洛伦兹力提供向心力得:q v B ＝m v 2R由第(1)问可得,粒子在磁场中运动时电场强度E ＝2md v 2ql 22, 由以上各式得:B E ＝l 22(l 21＋d 2)v. 10.(2018·河南省安阳市第二次模拟)如图9所示,三块等大且平行正对的金属板水平放置,金属板厚度不计且间距足够大,上面两金属板间有竖直向下的匀强电场,下面两金属板间有竖直向上的匀强电场,电场强度大小均为E .以中间金属板的中轴线为x 轴,金属板右侧存在一足够大的匀强磁场,现有一重力不计的绝缘带电粒子,质量为m ,带电荷量为－q ,从中间金属板上表面的电场中坐标位置(－L,0)处以初速度v 0沿x 轴正方向开始运动,已知L ＝m v 20qE,求:图9(1)带电粒子进入磁场时的位置坐标(用L 表示)以及带电粒子进入磁场时的速度大小与方向；(2)若要使带电粒子能回到中间金属板下表面关于x 轴与释放点对称的位置,计算匀强磁场的磁感应强度B 的大小(用E 、v 0表示).答案 见解析解析 (1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,粒子的加速度为a ＝qE m,水平方向上有L ＝v 0t ,竖直方向上有y ＝12at 2 联立解得y ＝L 2所以带电粒子进入磁场时的位置坐标为(0,L 2),竖直方向速度v y ＝at ＝qE mt ＝v 0 所以v ＝v 20＋v 2y ＝2v 0,因为tan θ＝v 0v y＝1,所以速度方向与y 轴正方向夹角为45°. (2)若要使带电粒子能回到中间金属板下表面关于x 轴与释放点对称的位置,根据对称性可知,它在磁场中做圆周运动的圆心应在x 轴上,其运动轨迹如图所示.由几何关系有r ＝2y ＝2L 2,根据洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r ,联立解得B ＝2E v 0。

第九节解析几何压轴大题突破策略第一课时破题上——着眼4点找到解题突破口(阅读课——供学有余力的考生自主观摩)解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点．利用向量转化几何条件[典例]如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩]假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．设直线l的方程为y＝x＋b，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 并整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42.①因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0. 由①知，b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝－4或b ＝1. 当b ＝－4或b ＝1时，均有Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＝－4b 2－24b ＋36＞0， 即直线l 与圆C 有两个交点．所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. [关键点拨]以AB 为直径的圆过原点等价于OA ⊥OB ，而OA ⊥OB 又可以“直译”为x 1x 2＋y 1y 2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．[典例] (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PB Q 的角平分线，求证：直线l 过定点．[解题观摩] (1)设动圆圆心为点P (x ，y )，则由勾股定理得x 2＋42＝(x －4)2＋y 2，化简即得圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ，得k 2x 2＋2(kb －4)x ＋b 2＝0.由Δ＝4(kb －4)2－4k 2b 2＞0，得kb ＜2. 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2(kb －4)k 2，x 1x 2＝b 2k2.因为x 轴是∠PB Q 的角平分线，所以k PB ＋k Q B ＝0，即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b (x 1＋1)(x 2＋1)＝8(k ＋b )(x 1＋1)(x 2＋1)k 2＝0，所以k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以l 的方程为y ＝k (x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)．法二：设直线PB 的方程为x ＝my －1，它与抛物线C 的另一个交点为Q ′，设点P (x 1，y 1)，Q ′(x 2，y 2)，由条件可得，Q 与Q ′关于x 轴对称，故Q (x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝8x ，消去x 得y 2－8my ＋8＝0，其中Δ＝64m 2－32＞0，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝8. 所以k P Q ＝y 1＋y 2x 1－x 2＝8y 1－y 2，因而直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1－y 2(x －x 1)． 又y 1y 2＝8，y 21＝8x 1，将P Q 的方程化简得(y 1－y 2)y ＝8(x －1)， 故直线l 过定点(1,0)．法三：由抛物线的对称性可知，如果定点存在，则它一定在x 轴上，所以设定点坐标为(a,0)，直线P Q 的方程为x ＝my ＋a .联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝8x消去x ，整理得y 2－8my －8a ＝0，Δ＞0.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8a .由条件可知k PB ＋k Q B ＝0， 即k PB ＋k Q B ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝(my 1＋a )y 2＋(my 2＋a )y 1＋y 1＋y 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝2my 1y 2＋(a ＋1)(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，所以－8ma ＋8m ＝0.由m 的任意性可知a ＝1，所以直线l 恒过定点(1,0)． 法四：设P ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2， 因为x 轴是∠PB Q 的角平分线， 所以k PB ＋k Q B ＝y 1y 218＋1＋y 2y 228＋1＝0， 整理得(y 1＋y 2)⎝⎛⎭⎫y 1y 28＋1＝0. 因为直线l 不垂直于x 轴， 所以y 1＋y 2≠0，可得y 1y 2＝－8. 因为k P Q ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2，所以直线P Q 的方程为y －y 1＝8y 1＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y 218，即y ＝8y 1＋y 2(x －1)． 故直线l 恒过定点(1,0)． [关键点拨]本题前面的三种解法属于比较常规的解法，主要是设点，设直线方程，联立方程，并借助判别式、根与系数的关系等知识解题，计算量较大．解法四巧妙地运用了抛物线的参数方程进行设点，避免了联立方程组，计算相对简单，但是解法二和解法四中含有两个参数y 1，y 2，因此判定直线过定点时，要注意将直线的方程变为特殊的形式．弦长条件的转化[典例] 如图所示，已知椭圆G ：x 2＋y 2＝1，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点F 1，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．(1)若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率．(2)是否存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解题观摩] (1)由题意可知点F 1(－1,0)， 又直线l 的斜率为1， 故直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并整理得3x 2＋4x ＝0， 则x 1＋x 2＝－43，y 1＋y 2＝23，因此中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13.故直线OM 的斜率为13－23＝－12.(2)假设存在直线l ，使得|AM |2＝|CM ||DM |成立． 由题意，直线l 不与x 轴重合， 设直线l 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1，消去x 并整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，可得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫2m m 2＋22＋4m 2＋2＝22(m 2＋1)m 2＋2， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝2m 2m 2＋2－2＝－4m 2＋2，所以弦AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线CD 的方程为y ＝－m2x .联立⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22＋y 2＝1，消去y 并整理得2x 2＋m 2x 2－4＝0，解得x 2＝4m 2＋2. 由对称性，设C (x 0，y 0)，D (－x 0，－y 0)，则x 20＝4m 2＋2， 可得|CD |＝1＋m 24·|2x 0|＝(m 2＋4)·4m 2＋2＝2 m 2＋4m 2＋2. 因为|AM |2＝|CM ||DM |＝(|OC |－|OM |)(|OD |＋|OM |)，且|OC |＝|OD |， 所以|AM |2＝|OC |2－|OM |2，故|AB |24＝|CD |24－|OM |2，即|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，则8(m 2＋1)2(m 2＋2)2＝4(m 2＋4)m 2＋2－4⎣⎡⎦⎤4(m 2＋2)2＋m 2(m 2＋2)2，解得m 2＝2，故m ＝±2.所以直线l 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. [关键点拨]本题(2)的核心在于转化|AM |2＝|CM |·|DM |中弦长的关系．由|CM |＝|OC |－|OM |，|DM |＝|OD |＋|OM |，又|OC |＝|OD |，得|AM |2＝|OC |2－|OM |2.又|AM |＝12|AB |，|OC |＝12|CD |，因此|AB |2＝|CD |2－4|OM |2，转化为弦长|AB |，|CD |和|OM |三者之间的数量关系，易计算．面积条件的转化[典例] 设椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于E ，F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值．[解题观摩] 法一：如图所示，依题意得椭圆的方程为x 24＋y2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.①根据点到直线的距离公式和①，得点E ，F 到直线AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2).又|AB |＝22＋12＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |·(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号． 因此四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. 法二：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线EF 的方程为y ＝kx (k ＞0)．设点E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＝4.故x 1＝－21＋4k 2，x 2＝21＋4k 2，|EF |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 21＋4k2. 根据点到直线的距离公式，得点A ，B 到直线EF 的距离分别为d 1＝|2k |1＋k 2＝2k1＋k 2，d 2＝11＋k 2.因此四边形AEBF 的面积为S ＝12|EF |·(d 1＋d 2)＝12·41＋k 21＋4k 2·1＋2k1＋k 2＝2(1＋2k )1＋4k2＝24k 2＋4k ＋11＋4k 2＝21＋4k 1＋4k 2＝21＋41k＋4k ≤22，当且仅当1k ＝4k ，即k ＝12时取等号．因此四边形AEBF的面积的最大值为2 2.[关键点拨]如果利用常规方法理解为S四边形AEBF＝S△AEF＋S△BEF＝12|EF|·(d1＋d2)(其中d1，d2分别表示点A，B到直线EF的距离)，则需要通过联立直线与椭圆的方程，先由根与系数的关系求出EF的弦长，再表示出两个点线距，其过程很复杂．而通过分析，若把四边形AEBF的面积拆成两个小三角形——△ABE和△ABF的面积之和，则更为简单．因为直线AB的方程及其长度易求出，故只需表示出点E与点F到直线AB的距离即可．[总结规律·快速转化]做数学，就是要学会翻译，把文字语言、符号语言、图形语言、表格语言相互转换，我们要学会对解析几何问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理，在理解题意的同时，牢记解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考1．平行四边形条件的转化2．3．等腰三角形条件的转化4．菱形条件的转化5．圆条件的转化6．角条件的转化。

第三节 用样本估计总体[考纲传真] 1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．频率分布直方图(1)画频率分布直方图的步骤：(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．茎叶图统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 4．样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn称为x 1，x 2，…，x n 这n 个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是ss2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]．[常用结论]1．频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1.2．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．3．若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n ＋a的平均数是m x＋a，方差为m2s2.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ()(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数B[标准差反映样本数据的离散波动大小，故选B.]3．数据1,3,4,8的平均数与方差分别是()A．2,2.5B．2,10.5C．4,2 D．4,6.5D[平均数为1＋3＋4＋84＝4，方差为(1－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(8－4)24＝6.5.]4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A．117 B．118C．118.5 D．119.5B[22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.]5．(教材改编)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人．48[由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人). ]样本的数字特征的计算与应用1．在某次测量中，得到的A样本数据为81,82,82,84,84,85,86,86,86，若B样本数据恰好是A样本数据分别加2后所得的数据，则A，B两个样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数B．平均数C．标准差D．中位数C[由题意可得A，B两组数据的众数分别是86和88，排除A；B组数据的平均数比A组数据的平均数大2，排除B；B组数据的中位数比A组数据的中位数大2，排除D；A，B两组数据的标准差相同，C正确，故选C.]2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()甲 乙A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差C [根据条形统计图可知甲的中靶情况为4环、5环、6环、7环、8环；乙的中靶情况为5环、5环、5环、6环、9环.x 甲＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，x 乙＝15(5×3＋6＋9)＝6，甲的成绩的方差为(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)25＝2，乙的成绩的方差为(5－6)2×3＋(6－6)2＋(9－6)25＝2.4；甲的成绩的极差为4环，乙的成绩的极差为4环；甲的成绩的中位数为6环，乙的成绩的中位数为5环，综上可知C 正确，故选C .]3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋1＋1]＝2，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2＝208.∴(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ，即208＋2xy ＝400，∴xy ＝96. ∴(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ＝16，∴|x －y |＝4，故选D .]茎叶图【例1】 某良种培育基地正在培育一小麦新品种A ，将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产量的数据(单位：千克)如下： 品种A ：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,41 5,416,422,430(1)作出品种A与B亩产量数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．[解](1)画出茎叶图如图所示．(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本容量不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产量的平均数(或均值)比品种B高；②品种A的亩产量的标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产量的稳定性较差．(1)空气质量指数(Air Qualit y Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________．(该年为365天)(2)如图所示的茎叶图是甲、乙两位选手在某次比赛中的比赛得分，则下列说法正确的是()A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差D．甲的平均数等于乙的中位数(1)146(2)C[(1)该样本中AQI大于100的频数是4，频率为2 5，由此估计该地全年AQI大于100的频率为2 5，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×25＝146.(2)由茎叶图可知，x甲＝19×(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，x乙＝19×(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，s2甲＝19×(302＋162＋32＋92＋52＋32＋182＋172＋152)≈235.3，s2乙＝19×(212＋132＋02＋42＋102＋52＋32＋22＋182)≈120.9，甲的中位数为26，乙的中位数为28.所以甲的方差大于乙的方差．故选C.]频率分布直方图【例2】某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值．(2)求月平均用电量的众数和中位数．(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240]的用户中应抽取多少户？[解](1)(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5.即直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内．设中位数为a，则0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240]的用户有0.012 5×20×100＝25(户)．同理可得月平均用电量在[240,260)的用户有15户，月平均用电量在[260,280)的用户有10户，月平均用电量在[280,300]的用户有5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15.∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．得如下频数分布表：(1)(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[解](1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A[对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半A[设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确．]。