【附加15套高考模拟试卷】高考领航2019-2020高考数学(理)模拟题及解析含答案

黑龙江省哈师大附中2019-2020下学期高三数学（理科）第二次月考考试试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年； ②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣（衣着）食（食品烟酒）住（居住）行（交通通信）的支出超过人均消费的70%.则上述说法中，正确的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知函数()f x 是定义域为R 上的偶函数，若()f x 在(,0]-∞上是减函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则不等式()4log 1f x >的解集为（ ）A ．20,(2,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,(2,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．(2,)+∞3．记设，则（ ）A ．存在B ．存在C ．存在D ．存在4．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，.若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（ ） A ．8B ．4或8C ．2D ．2或45．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>6．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：若αβ∥、αγP ，则βγP （2）若αβ⊥，m αP ，则m β⊥若m α⊥、m βP ，则αβ⊥（4）若m n P ，n ⊂α，则m αP其中真命题的序号是 （ ）A ．（1）（4）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（1）（3）7．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1841,17a S S ==，则5a =（ ） A ．8B ．8-C ．16±D ．168．已知关于x 的不等式()22e 1e xxm x x -+≥在(],0-∞上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)0,+∞C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 9．已知函数()ln 2f x x x x a =-+，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,+∞10．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=- D ．14nn a a b b -=-11．执行如图所示的程序框图，若输入x 8=，则输出的y 值为（ ）A ．34-B ．12C ．52D ．312．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈三中2020届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题及答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|21,,1,0,1,2,3,4A x x k k Z B ==-∈=-，则集合A B ⋂中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．42.已知复数z 满足()21z i i -=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．3i - B ．3i -+ C ．3i -- D ．3i +3.已知()1sin 653α︒+=，则()cos 25α︒-的值为（ ）A ．13-B ．13C ．D ．4.向量()()0,1,1,1a b ==-，则()32a b b +⋅=（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.已知,m n 表示两条不同直线，,,αβγ表示三个不同平面，以下命题正确的是（ ） A ．若,m m αβ，则αβ B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂ ，则αβC ．若,m n αα⊂，则m nD ．若,,m n αβγαγβ⋂=⋂=，则 m n6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若128920a a a a +++=，则9S =（ ） A ．40 B ．45 C ．50 D ．557.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．8C D8.阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是63，则判断框内n 的值可为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．510.在区间()0,2上任取两个实数,x y ，则2xy >的概率是（ ） A ．1ln 22- B ．ln 22 C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 11.已知()1,2A 是抛物线24y x =上一点，过点A 作直线,AD AE 分别交抛物线于,D E .若,AD AE 斜率分别记为,AD AE k k ，且0AD AE k k +=，则直线DE 的斜率为（ ） A ．1 B ．12-C ．-1D ．不确定 12.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'212xf x f x x +=，且()11f =，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．2eB ．eCD ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,04,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦. 14.已知()()61a x x +-的展开式中3x 的系数为5，则实数a = .15.已知()f x 是定义在R 上周期为4的偶函数.若()f x 在区间[]2,0-上单调递减，且()10f -=，则()f x 在区间[]0,10内的零点个数是 .16.数列{}n a 满足()1232n n a a a a n a n N ++++=-∈.数列{}n b 满足()222n n nb a -=-，则{}n b 中的最大项的值是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a A C =++.（1）求角B 的大小；（2）求函数()()2cos 2cos 2f x x x B =+-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最下值及对应x 的值. 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，,,222,AB AD AB CD AB AD CD E ⊥===是线段PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC（2）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为,,,,A B C D E 五个等级.某考场考生的两颗考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D 的考生恰有4人.（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A 的考生人数；（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A ，在至少一科成绩为A 的考生中随机抽取2人进行访谈，设这2人中两科成绩均为A 的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）设拖延()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 是线段2QF 的中点，若果2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()0,2M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点，且MG MH >.若实数λ满足MG MH λ=，求1λλ+的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x ax x b =++. （1）当0a =时，曲线()y f x =与直线1y x =+相切，求b 的值；（2）当1b =时，函数()y f x =图像上的点都在0x y -≥所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知线段BC 为圆O 的直径，A 为圆周上一点，AD BC ⊥于D ，过A 作圆O 的切线交BC 的延长线于P ，过B 作BE 垂直PA 的延长线于E ，求证： （1）PA PD PE PC ⋅=⋅； （2）AD AE =.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点(),P x y 是直线l 上位于圆C 内的动点（含端点）y +的最大值和最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()20f x m x m =-->，且()20f x +≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若0,0,0a b c >>>，且1112343m a b c ++=，求证2349a b c ++≥.理科数学答案及评分参考一．选择题1-5 CABDD 6-10 BCCBA 11-12 CD 二．填空题 13. -2 14. 12 15. 5 16. 18三．解答题17.（1）由已知，()()cos 2cos b A c a B π=+- 即()sin cos 2sin sin cos B A C A B =-+ 即()sin 2sin cos A B C B +=- 则sin 2sin cos C C B =-1cos 2B ∴=-，即23B π=； （2）()222cos 2cos 2cossin 2sin33f x x x x ππ=++3cos 222x x =23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当4233x ππ+=，即2x π=是，()32f x ⎛==- ⎝ 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32-，此时2x π=. 18.（1）由PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PC ∴⊥2,1,AB AD CD AC BC ∴===∴==于是222AC BC AB +=，有AC BC ⊥ 又BC PC C ⋂=AC ∴⊥平面PBC ，AC ⊂平面EAC∴平面平面EAC ⊥PBC ；（2）以C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=即00x y x y az +=⎧⎨--=⎩，取x a =，得,2y a z =-=-，则(),,2n a a =--依题意有2cos ,m n m n m na ⋅〈〉===⋅，则2a = 于是()2,2,2n =--设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=〈〉==⋅ 则直线PA 与平面EAC . 19.（1）该考场考生“科目一”科目中D 等级学生所占频率为 1-0.2-0.375-0.25-0.075=0.1 所以该考场人数为40.140÷=（人）于是“科目一”考试成绩为A 的人数为400.0753⨯=“科目二”考试成绩为A 的人数为()4010.3750.3750.150.025400.0753⨯----=⨯=（人）； （2）因为两科考试中，共有6人次得分等级为A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ，即至少有一科成绩为A 的学生共有4人. 随机变量X 的可能取值为0,1,2()()()2112222222244414210,1,26636C C C C P X P X P X C C C ⋅========== 所以X 的分布列为X 0 1 2P16 23 16X 的数学期望()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=20.（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c > 由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a = 又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴= 所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=； （2）若1l 与x 轴不垂直，可设其方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y += 可得()22341640k x kx +++=，由0∆>，得214k >设()()1122,,,G x y H x y ，根据已知，有12x x λ=于是()1222212216134134k x x x k x x x k λλ-⎧+=+=⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩消去2x ，可得()22216434k k λλ+=+ 因为214k >，所以()22264644,163344k k k=∈++ 即有()()21124,16λλλλ+=++∈，有()12,14λλ+∈若1l 垂直于x轴，此时114λλλ=+=故1λλ+的取值范围是()2,14.21.（1）当()()()'10,ln ,a f x x b f x x b==+=+ 令()'11fx x b =∴=-，于是切点坐标为()1,0b -将切点坐标()1,0b -代入切线方程，有01+12b b =-∴=； （2）根据已知，有1x >-时，()2ln 10x ax x --+≥恒成立 即()2ln 10ax x x -++≤恒成立设()()()2ln 11F x ax x x x =-++>-，则原命题等价于()max 0F x ≤恒成立()()'22112111x ax a F x ax x x +-⎡⎤⎣⎦=-+=++若0a <，令()'0Fx =，有12101122a x x a a -⎛⎫===-+<- ⎪⎝⎭舍去，此时 当()()'10,0,x F x F x -<<>是增函数；当()()'0,0,x F x F x ><是减函数于是()()max 00F x F ==，满足条件； 若()'0,1xa F x x-==+ 当()()'10,0,x F x F x -<<>是增函数；当()()'0,0,x F x F x ><是减函数于是()()max 00F x F ==，满足条件； 若0a >，11ln 1ln10F a a ⎛⎫⎛⎫=+>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足条件 综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞.22.（1）连接,AC DE ，由已知，180ADB AEB ∠+∠=︒ 所以,,,A D B E 四点共圆 于是ABD AED ∠=∠因为直线PA 与圆O 切于点A ，所以PAC ABC ∠=∠，则有PAC AED ∠=∠ 于是ACED ，所以,PA PCPA PD PC PE PE PD=⋅=⋅即 （2）因为,,,A D B E 四点共圆，有ABD AED ∠=∠ 由ACED ，有ADE CAD ∠=∠因为,ABD CAD ∠∠均与DAB ∠互余，即ABD CAD ∠=∠ 所以ABE ABD ∠=∠ 又,AD BD AE BE ⊥⊥ 即AD AE =.23.（1）因为圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭214cos 4cos 32πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以222x y x +=+即圆C的直角坐标方程是2220x y x +--= （2）圆C 的方程可化为()(2214x y -+=，圆心是(，半径是2设z y =+，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入z y =+，得z t = 因为直线l过圆心(，且圆的半径是2， 故点P 对应的参数t 满足22t -≤≤于是22t ≤-≤y +的最大值是2+，最小值是2-. 24.（1）因为()2f x m x +=-所以()20f x x m m x m +≥⇔≤⇔-≤≤ 根据已知，3m = （2）解法一：由（1）知1111234a b c++=，又,,a b c 皆为正数 ()111234234234a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭29≥=当且仅当23433,,1,11124234a b ca b ca b c=====即时“=”成立解法二：由（1）知1111234a b c++=，又,,a b c皆为正数()2342341a b c a b c∴++=++⋅()111234234a b ca b c⎛⎫=++++⎪⎝⎭3242433232434b ac a c ba b a c b c⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++=当且仅当234a b c==，即33,1,24a b c===时“=”成立高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}3,2,1,2|{--=x A ，}31|{<<-=x x B ，则=B A ( ) A ．)3,2(- B ．)3,1(- C ．}2{ D ．}3,2,1{-2. 若复数iiz -=12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -13. 已知双曲线)0(19222>=-a y a x 的渐近线为x y 43±=，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．47 C ．45 D ．354.设变量y ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+02202201y x y x x ，则目标函数y x z 43+=的最小值为( )A ．1B ．3C ．526D ．19- 5.函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图像如右图所示，则)2411(πf 的值为( ) A ．26-B ．23-C ．22- D ．1-6.已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，且当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 7.程序框图如图，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( ) A ．81B ．1C ．2D ．48.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：11时的平均气温 ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温 ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9. 如图所示的数阵中，用),(n m A 表示第m 行的第n 个数，则依此规律)2,8(A 为( ) A ．451 B ．861 C ．1221 D ．167110.某几何体的三视图如图所示，图中格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．316 C ．320D ．1211.已知C B A ,,是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．]2,1(D ．)0,1(-12. 若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为( ) A ．32-B ．23-C ．32D ．23 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：“0||,2000<+∈∃x x R x ”，则p ⌝为 . 14.已知椭圆1222=+y ax 的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线x y -=的对称点P 仍在椭圆上，则21F PF ∆的周长为 .15.已知ABC ∆中，BC AD BAC BC AC ⊥=∠==,60,72,4于D ，则CDBD的值为 . 16.在三棱锥ABC P -中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）在平面四边形ACBD （图①）中，ABC ∆与ABD ∆均为直角三角形且有公共斜边AB ，设2=AB ，30=∠BAD ， 45=∠BAC ，将ABC ∆沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥ABC C -'.（Ⅰ）当2'=D C 时，求证：平面⊥AB C '平面DAB ；（Ⅱ）当BD AC ⊥'时，求三棱锥ABD C -'的高.19.（本小题满分12分）某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次.规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分.求该运动员得1分的概率. 20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 过点)2,(m M ，其焦点为F ，且2||=MF . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：ADCB① D'CBA②1)1(22=+-y x 相切，切点分别为B A ,，求证：A 、B 、F 三点共线.21. （本小题满分12分）已知函数a x e x f x 33)(+-=（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当ea 3ln >，且0>x 时，a x x x e x 3123-+>.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、A 四点共圆.（Ⅰ）证明：CD AE //；（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ，求四边形PBFA 的外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-+=x x x f .（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.一．选择题：A 卷答案：1-5 CBCBD 6-10 DACCB 11-12 BD B 卷答案：1-5 CACAD 6-10 DBCCA 11-12 AD二．填空题：13.. 0,2≥+∈∀x x R x 14. 222+ 15. 6 16. π26三、解答题所以{}n a 的通项公式为52(3)21n a n n =+-=-，……………………6分 （II ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ……………………8分∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n ……………10分 12)1211(21+=+-=n nn ……………………12分 18. 解：（1）当C D '=时，取AB 的中点O ，连,C O DO '，在Rt ACB ∆，Rt ADB ∆，2AB =，则1C O DO '==，又C D '=，∴222C O DO C D ''+=，即C O OD '⊥，…………………………………………2分又C O AB '⊥，AB OD O =，,AB OD ⊂平面ABD ，C O '∴⊥平面ABD ， (4)分 又C O '⊂平面ABC '∴平面C AB '⊥平面DAB ． ……………………5分（2）当AC BD '⊥时，由已知AC BC ''⊥，∴AC '⊥平面BDC '，…………………7分 又C D '⊂平面BDC '，∴AC C D ''⊥，△AC D '为直角三角形，由勾股定理，1C D '===……………………9分而△BDC '中，BD=1,BC '=∴△BDC '为直角三角形，111122BDC S'=⨯⨯=……………………10分 三棱锥C ABD '-的体积111332BDC V S AC ''=⨯⨯=⨯=．112ABDS=⨯= ，设三棱锥C ABD '-的高为h ，则由622331=⨯⨯h A BC'OD解得36=h ．……………………12分19.解：（I ） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x ， ∵5.020.010.0205.0<++⨯，且5.06.01)20.040.0(>=⨯+，∴]5,4[∈x …………………2分 由5.0120.0)5(40.0=⨯+-⨯x ，解得425.x =∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是425.（米）． …………………4分（II ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A 1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B 1，B 2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C 1，C 2，C 3，C 4 .从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（A 1，C 3），（A 1，C 4），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 1，C 4），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（B 2，C 4），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 1，C 4），（C 2，C 3），（C 2，C 4），（C 3，C 4）共21个基本事件. ……… 7分其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个.………… 10分 所以该运动员得1分的概率P=62217=. ……………………… 12分 20.解：（I ）抛物线C 的准线方程为：2p x =-， ||22p MF m ∴=+=，又42pm =，即42(2)2pp =-……………2分 2440,2p p p ∴-+=∴=抛物线C 的方程为24y x =. ……………4分 （II ）设E (0,)(0)t t ≠，已知切线不为y 轴，设:EA y kx t =+联立24y kx t y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，可得222(24)0k x kt x t +-+=直线EA 与抛物线C 相切，222(24)40kt k t ∴∆=--=，即1kt =代入222120x x t t-+=，2x t ∴=，即2(,2)A t t ……………………6分 设切点00(,)B x y ，则由几何性质可以判断点,O B 关于直线:EF y tx t =-+对称，则0000010122y t x y x t t-⎧⨯=-⎪-⎪⎨⎪=-⋅+⎪⎩，解得：202022121t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即22222(,)11t t B t t ++……………………8分直线AF 的斜率为22(1)1AF tk t t =≠±-， 直线BF 的斜率为22222021(1)2111BFttt k t t t t -+==≠±--+，AF BF k k ∴=，即,,A B F 三点共线. ……………………………………10分当1t =±时，(1,2),(1,1)A B ±±，此时,,A B F 共线.综上：,,A B F 三点共线. ……………………………………12分21. （I ）解 由f(x)＝e x －3x ＋3a ，x ∈R 知f ′(x)＝e x －3，x ∈R. ………………………1分 令f ′(x)＝0，得x ＝ln 3， ………………………………2分 于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递增区间是[ln3，＋∞)，………………………………5分f(x)在x ＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝e ln3－3ln 3＋3a ＝3(1－ln 3＋a)．………6分 （II ）证明待证不等式等价于23312x e x ax >-+………………………………7分 设23()312x g x e x ax =-+-，x ∈R ， 于是()33xg x e x a '=-+，x ∈R. 由（I ）及3lnln 31a e>=-知：()g x '的最小值为g ′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0. ………9分 于是对任意x ∈R ，都有()g x '＞0，所以g(x)在R 内单调递增． 于是当3lnln 31a e>=-时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)． ………………10分 而g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即23312xe x ax >-+，故3132x e x a x x >+- ……………………12分 22.解：（I ）连接AB, P 、B 、F 、A 四点共圆，PAB PFB ∴∠=∠． ………………………………2分又PA 与圆O 切于点A, PAB AEB ∴∠=∠, ………………………………4分PFB AEB ∴∠=∠//AE CD ∴. ………………………………5分（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆， 由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆， 四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，∴OP 是该外接圆的直径. ………………………………7分由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯= ………………………………9分OP ∴===.∴四边形PBFA………………………………10分23解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， ………………………………2分2C 的直角坐标方程为3x =；………………………………4分（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，可知2|||||2cos |AP t θ== ………………………………6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== ………………………………8分 所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ长度的最小值为 ………………………………10分24.解：（1）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以min ()1f x =， ………………………………3分 所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，02m ∴≤≤，所以实数m 的最大值2M =. ………………………………5分 （2）法一：综合法222a b ab +≥1ab ∴≤1≤，当且仅当a b =时取等号，① ………………………………7分又2a bab +≤21≤+∴b a ab 2abb a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，② ………………………………9分 由①②得，21≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥ ………………………………10分 法二：分析法因为0,0a b >>,所以要证2a b ab +≥，只需证222()4a b a b +≥， 即证222224a b ab a b ++≥，22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，………………………………7分即证22()10ab ab --≤，即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立，所以2a b ab +≥ ………………………………10分高考模拟数学试卷注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2019-2020年高考数学模拟试卷1—5套（理科）高考理科数学模拟试卷（一）时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ）． A. iB. 1C. i -D. 1-2.已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）． A. 1 B. 5C. 6D. 无数个3.“k =”是“直线)2(:+=x k y l 与圆221x y +=相切”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若非零向量,a b rr 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=rr rrr，则,a b rr 的夹角为（ ）． A.6πB.3π C.56π D.23π 5.己知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则()35tan a a +的值为（ ）．A. 3B. C.3D. 33-6.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A.1415B.115C.29D.7.设log a =，2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. c b a >> B. a c b >> C. b a c >>D. c b a >>8.已知函数||()sin()(0,0,0)x f x A x e A ωϕωϕπ-=+⋅>><<的图象如图所示，则A ω的可能取值（ ）．A. 2πB. πC.23π D. 2π9.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）． A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -，中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为（ ）．A. 2B. 3C. 4D. 511.已如F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）．B.14+12.已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A. (0,)e B. (,)e +∞ C. (0,2)eD. ),2(+∞e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为cos2α=__________． 14.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22y x +的最大值是____________.15.若)22nx-展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________．16.函数()cos 2(sin cos )f x x x x α=+-在区间[0,]2π上单调递增，则实数α的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

高考等值试卷★预测卷理科数学（全国I卷）根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。

22413③5%；635636237899375324④96.5%．635636不正确的个数为（A）1（B）2（C）3ππ5．已知f(x)sin(2x )，g(x)cos(2x )33（D）4，则下列说法中，正确的是第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A）（C）ππx R，f(x)g(x)（B）x R，f(x)g(x)24ππx R，g(x)f ( x)（D）x R，g(x)f ( x)241．已知i为虚数单位，则i(1i3)6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i的三视图，则该几何体的表面积为2．已知集合（A）a 2 3．已知数列A {x|lg x 2}，B {x|x a}，且A B R，则实数a的取值范围是R（B）a 2（C）a 100（D）a 100a的首项为1，且a a a a对于所有大于1的正整数n都成立，n n 1n n n 1（A）（C）(425)π(525)π（B）（D）(55)π(535)πS S 2a，则a a359612（A）34（B）17（C）36（D）187．已知点P△为ABC所在平面内一点，且PA 2P B 3PC 0，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中：4．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．①向量PA与PC可能平行；②向量PA与PC可能垂直；③点P在线段EF上；④PE:PF 2:1．正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）48．已知椭圆xa22y21b2（a b 0）经过点2(1,)2，过顶点(a,0)，(0,b)的直线与圆x2y223相切，则椭圆的方程为（A）x22y21（B）x243y221（C）x234y321（D）x258y521 9．已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1．则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（A）0.25（B）0.15（C）0.1（D）0.03110．如果围是x2(25a)x 3a 10在区间(1,3)内有且只有一个实数解，则实数a的取值范16．双曲线xa22yb221的左、右焦点分别为F ，F12，左、右顶点分别为A，A12，P为双曲（A）1a 76（B）1a76或a1621425线上一点，已知直线PA1，PA2的斜率之积为2425，F PF 6012，F1到一条渐近线的距离为6，（C）1a 76（D）1a716214或a625则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△PF F的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．1211．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．A B C D与下底面ABCD相互平行，且ABCD与1111A B C D均为长方形．《九章算术》中，称如图所1111示的图形为“刍童”．如果AB a，BC b，A B c，B C d，且两底面之间的距离为h，1111记“刍童”的体积为V，则（一）必考题：共60分．17．（12分）已△知ABC中，C为钝角，而且（1）求B的大小；（2）求AC cos A 3cos B的值．AB 8，BC 3，AB边上的高为323．（A）（C）hV [(2c a)d (2a c)b]6hV [(c 2a)d (a 2c)b]6（B）（D）hV [(2c a)d (2a c)b]3hV [(c 2a)d (a 2c)b]318．（12分）如图，AB，CD分别是圆柱O O下底面、上底面的直径，1AD，BC分别是圆柱的母线，ABCD是一个边长为2的正方形，E，F都是下底面圆周上的点，且EAB 30，FAB 45，点P在上底面圆周上运12．已知数列{a}的前n项的和为S，且a 1，a 2，a 7n n123S 3S 3S S 2恒成立．则使得n 1n n 1n2111722()a 1a 1a 155k k 12成立的正整数k的取值集合为．又已知当n 2时，动．（1）判断直线AF是否有可能与平面PBE平行，并说明理由；（2）判断直线BE是否有可能与平面PAE垂直，并说明理由；（3）设平面PAE与平面ABCD 所成夹角为（90），求cos 的取值范围．（A）（C）{k|k 9,k N}{k|k 11,k N}（B）（D）{k|k 10,k N}{k|k 12,k N}19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．π3π14．已知是第四象限角，且sin()，则sin()_____________．3512315.在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的一条直线与函数f(x)的图像交于P，Q两x 1点，则线段PQ长的最小值是．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x和创新能力得分y，所得数据如下表所示．2x31333538394245454749525457576020．（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，倾斜角为锐角的直线l与抛物线交于A，B两点，y667999101212121315161819 x636565687171737577808080838384 y212425273133364042444649515754 x84858687909091929395y59626468717580888390且直线l过点(2,0)，|AB |13．（1）求直线l的方程；（2）如果C是抛物线上一点，O为坐标原点，且存在实数t，使得求|FC|．OC OF t(F A FB)，根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．21．（12分）已知函数f(x)sin xx．（1）求曲线ππy f(x)在(, f())22处的切线方程；（2）求证：f(x)1x26；（3）求证：当0x 1.1时，f(x)ln(1x)x．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的参数方程为x 2t c osy 2t s in （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为1，且直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C与直线l的一般方程，并求直线l的斜率的取值范围；（2）设P(2,2)，且| PA|:|PB |5:7，求直线l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）图2已知函数f(x)|2x 1||x 1|．（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．（1）求不等式f(x)3的解集；附：K2n(a d bc)2(a b)(c d)(a c)(b d),P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828.（2）如果“x R，f(x)t252t”是真命题，求t的取值范围．（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X表示抽得的人中，知识测试得P(X 1)．分和创新能力得分都超过70分的人数，求（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y关于x的回归方程为yˆ 1.27x 47.92：①根据回归方程计算：当x [50,70]时，yˆ的取值范围．②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y与x关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．3。

FDCBA 2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ⋂)(=A ．}3,2{B ．}4,3,2{C ．}2{D ．φ2．已知i 是虚数单位，iz +=31，则z z ⋅= A ．5B ．10C ．101D ．51 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题） （第4题）4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若13DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x ，则yx z 82⋅=的最大值是A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+C ．32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ．101 B ．51 C ．103 D ．548．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++⋅=n n n S S a ，则5a = A ．301 B ．031- C ．021 D ．201- 9. 函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥ABCD P -的外接球体积最小值是A ．π625 B ．π125 C ．π6251 D ．π25 11. 已知抛物线()220y px p =>,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =- D ．x =12. 已知函数x x x f ln )(2-=（22≥x ），函数21)(-=x x g ，直线t y =分别与两函数交于B A ,两点，则AB 的最小值为A ．21B ．1C ．23D ．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设样本数据1x ，2x ，...，2018x 的方差是5，若13+=i i x y （2018,...,2,1=i ），则1y ，2y ，...，2018y 的方差是________14. 已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0>ω），若3=ω，则方程1)(-=x f 在),0(π的实数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯ 的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则5N =_______16.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c =，π3C =．若sin sin()sin 2C A B B +-=，则ABC ∆的面积为三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分． 17.(本小题满分12分)设数列}{n a 是公差为d 的等差数列. (Ⅰ) 推导数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ) 设0≠d ，证明数列}1{+n a 不是等比数列.18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X 表示随机抽取的2人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，CA BA ⊥。

最高考·高考全真模拟卷·数学附加分参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)21. A . 解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4，(4分)所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－131616.(10分) B. 解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，所以直线l 的普通方程为y ＝3x .(2分)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2，2]). (4分)联立解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝12x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，由x ∈[－2，2]，则x ＝23，y ＝6(舍去)，故P 点的直角坐标为(0，0)．(10分)C. 证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32) ≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.(10分)22. 解：如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz ， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2)． (1) 因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010， 所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010.(4分)(2) 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)．设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0，取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝25×2＝105.易知二面角BAB 1C 为锐角， 所以二面角BAB 1C 平面角的余弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 由已知得a 3＝70，a 4＝180， 所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500； 当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.(2分)猜想：a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)． 下面用数学归纳法证明： ① 当n ＝2时，结论成立．② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立， 即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500.将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k －1＋a 2k －1＝－500， 则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500，故当n ＝k ＋1时结论成立， 根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立．(4分) (2) 将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500， 则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500， 5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501. 设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)， 则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501.又a n ＋1＋a n ∈N *，且501＝1×501＝3×167，故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82.由a n ＋1＋a n ＝250，解得n ＝3； 由a n ＋1＋a n ＝82，得n 无整数解， 所以当n ＝3时，满足条件．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)21. A . 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) B. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3，所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.(10分) C ．证明：由题得a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5 ＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)．(4分) 又a ≥0，b ≥0，∴ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0， 即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 33×⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1136.(3分) (2) ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝724， P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎫133×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1124，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫133×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫23×13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 13×⎝⎛⎭⎫123＝524， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝124， 所以ξ(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分)23. 解：(1) 110(2分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个． 当A B ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B )有错误!C 错误!＝(3n －2n )个．同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有(3n －2n )个．故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)21. A . 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(10分) B. 解：曲线C ：ρ＝2sin θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，∴ 曲线C 是以(0，1)为圆心，1为半径的圆．(1分)由题可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，则圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2.(4分)∵ AB ＝2r 2－d 2，∴ 3＝21－11＋k2，即k 2＝3，解得k ＝±3，∴ 直线l 的方程为y ＝±3x .(10分)C. 解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2， 解得－3＜x ≤－2；(3分)当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2， 解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；(6分)当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2， 解得x ≥2，(9分)所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}．(10分)22. 解：(1) 先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12(种)不同的阵容．(2分) (2) ξ的可能取值是0，2，3，4，5，7.P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343，P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343.ξ(8分)所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.(10分)23. 解：(1) 将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y.(2分) (2) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(－x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0，x 1＝2k －2k 2－1，x 2＝2k ＋2k 2－1，所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝k 2－1x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A′B 过定点(0，1)．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)21. A . 解：由题意得矩阵M 的特征多项式 f (λ)＝(λ－a )(λ－1)．因为矩阵M 有一个特征值为2，f (2)＝0，所以a ＝2.(2分)所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ， 代入方程x 2＋y 2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.(10分) B. 解：点P 的直角坐标为(3，3)．(2分) 直线l 的普通方程为x －y －4＝0，(4分)从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62.(10分)C. 解：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3， 所以f (x )的最小值为3－|a 2－2a |.(4分) 由题设，得|a 2－2a |<3，解得－1＜a ＜3， 即a 的取值范围是(－1，3)．(10分)22. (1) 证明：连结BD ，∵ FB ∥ED ，∴ F ，B ，E ，D 共面． ∵ ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴ ED ⊥AC.又ABCD 为正方形， ∴ BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，∴ AC ⊥平面DBFE ，而EF ⊂平面DBFE ， ∴ AC ⊥EF.(4分)(2) 解：如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)．由(1)知AC →为平面DBFE 的法向量，即AC →＝(－2，2，0)， 又CE →＝(0，－2，2)，CF →＝(2，0，1)， 设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1， 则x ＝－12，y ＝1，∴ n ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，1.设二面角CEFD 的大小为θ，则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC →|＝1＋232×22＝22.又二面角CEFD 为锐角， ∴ θ＝π4.(10分)23. 解：(1) 由题意，取a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2＜6，满足题意； 若∃a 3≥3，则必有a 2a 3≥6，不满足题意， 综上所述，m 的最大值为2，即f(6)＝2.(2分) (2) 由题意，当n(n ＋1)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，设A 1＝{1，2，…，n}，A 2＝{n ＋1，n ＋2，n ＋3，…}， 显然，∀a i ，a i ＋1∈A 1时，满足a i a i ＋1≤n(n －1)＜n(n ＋1)＜k ，所以从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，∀a j ，a j ＋1∈A 2时，a j a j ＋1≥(n ＋1)(n ＋2) ≥k ，不符合题意， 所以从集合A 2中选出的a j 必不相邻． 因为从集合A 1中选出的a i 至多有n 个， 所以从集合A 2中选出的a j 至多有n 个，放置于从集合A 1中选出的a i 之间，所以f(k) ≤2n. ① 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，取一串数a i 为1，2n ，2，2n －1，3，2n －2，…，n －1，n ＋2，n ，n ＋1，或写成a i＝⎩⎨⎧i ＋12，i 为奇数，2n ＋1－i2，i 为偶数(1≤i ≤2n)，此时a i a i ＋1≤n(n ＋2)＜k(1≤i ≤2n －1)，a 2n a 1＝n ＋1＜k ，满足题意，所以f(k)＝2n.(5分) ② 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，从A 1中选出的n 个a i ：1，2，…，n ，考虑数n 两侧的空位，填入集合A 2的两个数a p ，a q ，不妨设na p ＞na q ，则na p ≥n(n ＋2) ≥k ，与题意不符，所以f(k) ≤2n －1，取一串数a i 为1，2n －1，2，2n －2，3，2n －3，…，n －2，n ＋2，n －1，n ＋1，n ，或写成a i＝⎩⎨⎧i ＋12，i 为奇数，2n －i2，i 为偶数(1≤i ≤2n －1)，此时a i a i ＋1≤n(n ＋1)＜k(1≤i ≤2n －2)， a 2n －1a 1＝n ＜k ，满足题意， 所以f(k)＝2n －1.(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(五) 21. A . 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1，所以a ＋1＝－1，即a ＝－2.(4分)特征方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－112λ－1＝(λ－1)2－2＝0，因此λ＝1±2.(10分)B . 解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(4分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(10分)C . 解：由柯西不等式可知(12·2x ＋13·3y ＋1·z)2≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132＋12(2x 2＋3y 2＋z 2)，(4分)所以2x 2＋3y 2＋z 2≥（x ＋y ＋z ）212＋13＋1＝2411，当且仅当x ＝611，y ＝411，z ＝1211时取等号，所以2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为2411.(10分)22. 解：(1) 由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2分)(2) 由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为(8分)E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(10分)23. (1) 证明：设l ：x ＝my ＋2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16＞0恒成立， 所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m(y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(4分) (2) 解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ， x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m)， 圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P(4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10；当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516.(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(六)21. A . 解：由f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－2－4λ－1＝λ2－4λ－5＝0，解得λ1＝－1，λ2＝5.(2分) 由λ1＝－1，得4x ＋2y ＝0，取ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2； 由λ2＝5，得x －y ＝0，取ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3241的特征值为λ1＝－1，λ2＝5， 相应的特征向量分别为ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分)B. 解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，即x 2＋(y －3)2＝3，则C (0，3)．设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3，0)．(10分)C. 解：(1) 由题意可得g (x ＋4)＝m －2|x ＋4－11|＝m －2|x －7|，若2f (x ) ≥g (x ＋4)恒成立，则2|x ＋3|≥m －2|x －7|，即m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)， 由绝对值三角不等式可得2(|x ＋3|＋|x －7|)≥2|(x ＋3)－(x －7)|＝20， 所以m ≤20，故m 的最大值t ＝20.(4分)(2) 实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，由柯西不等式可得[(2x )2＋(3y )2＋(6z )2]·[⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫162]≥⎝⎛⎭⎫2x ·12＋3y ·13＋6z ·162，即a ×1≥(x ＋y ＋z )2，所以x ＋y ＋z ≤a . 又x ＋y ＋z 的最大值是t20＝1，所以a ＝1，所以a ＝1.(10分)22. (1) 证明：如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0，不妨设z ＝1，可得n ＝(1，0，1)． 又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0，因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .(3分) (2) 易知n 1＝(1，0，0)为平面CEM 的一个法向量， 设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.因为EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1，2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0，不妨设y 1＝1，可得n 2＝(－4，1，－2)．因此cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－421，于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521， 所以二面角CEMN 的正弦值为10521.(5分) (3) 依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0，0，h )，得NH →＝(－1，－2，h ), BE →＝(－2，2，2)， 由已知，得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理，得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.(10分)23. (1) 解：把P(1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(3分) (2) 证明：当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零．由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0， 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<12，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(七)21. A . 解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1，解得a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－2－1.(2分) (2) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 3知，C ′(－3，3)，(6分)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－23 2313⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1知，D (1，－1)．(10分) B. 解：直线C 1：2x ＋y ＝9， 椭圆C 2：y 29＋x 2a 2＝1(0<a <3)，准线为y ＝±99－a 2， 由99－a 2＝9，得a ＝2 2.(10分) C. 证明：∵ a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，令a ＝2cos α，b ＝2sin α，c ＝4cos β，d ＝4sin β，∴ ac ＋bd ＝8(cos αcos β＋sin αsin β)＝8cos(α－β)≤8，当且仅当cos(α－β)＝1时取等号．因此ac ＋bd ≤8.(10分)22. 解：(1) “飞碟投入红袋”“飞碟投入蓝袋”“飞碟不入袋”分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)＝50100＝12，P(B)＝P(C)＝25100＝14.(2分)因为每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为P 4(3)＝C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－12＝14.(4分)(2) 两次投掷得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则P (ξ＝0)＝P(C)·P(C)＝116，P (ξ＝1)＝C 12P (B )P (C )＝2×14×14＝18， P (ξ＝2)＝C 12P (A )P (C )＋P (B )·P (B )＝516， P (ξ＝3)＝C 12P (A )P (B )＝14，P (ξ＝4)＝P (A )·P (A )＝14，故得分ξ∴ E (ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52.(10分)23. (1) 解：由已知推得f k (x)＝(n －k ＋1)x n －k ，从而有f k (1)＝n －k ＋1.(2分)(2) 证明：当x ∈[－1，1]时，F(x)＝x 2n ＋n C 1n x 2n －2＋(n －1)·C 2n x 2n －4＋…＋(n －k ＋1)C k n x 2n－2k ＋…＋2C n －1n x 2＋1，当x>0时F′(x)>0，所以F(x)在[0，1]上为增函数． 因为F(x)为偶函数，所以F(x)在[－1，0]上为减函数， 所以对任意的x 1，x 2∈[－1，1]， |F(x 1)－F(x 2)|≤F(1)－F(0)，F(1)－F(0)＝C 0n ＋n C 1n ＋(n －1)C 2n ＋…＋(n －k ＋1)C k n ＋…＋2C n －1n＝n C n －1n ＋(n －1)C n －2n ＋…＋(n －k ＋1)C n －k n ＋…＋2C 1n ＋C 0n .因为(n －k ＋1)C n －k n ＝(n －k)C n －k n ＋C n －k n ＝n C k n －1＋C kn (k ＝1，2，3，…，n －1)，所以F(1)－F(0)＝n(C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n )＋C 0n＝n(2n －1－1)＋2n －1＝2n －1(n ＋2)－n －1. 因此结论成立．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(八)21. A . 解：M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2 ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2 ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0.(2分)由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.(10分)B. 解：由ρ2＋2ρcos θ－3＝0，得x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4，所以曲线是以(－1，0)为圆心，2为半径的圆．(2分)由ρcos θ＋ρsin θ－7＝0，得直线方程为x ＋y －7＝0，(4分)所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以(AB )min ＝42－2. (10分) C. 证明：由柯西不等式得(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a ·a 5＋b ·b 5)2＝(a 3＋b 3)2＝4，即(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4.(10分)22. 解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＝2py 解得A(0，0)，B(2p ，2p)，∴ 42＝AB ＝4p 2＋4p 2＝22p ，∴ p ＝2.(2分)(2) 由(1)得x 2＝4y ，A(0，0)，B(4，4)．假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点C ⎝⎛⎭⎫t ，t24(t ≠0，t ≠4)，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．令圆的圆心为N(a ，b)，则由⎩⎪⎨⎪⎧NA ＝NB ，NA ＝NC 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝（a －4）2＋（b －4）2，a 2＋b 2＝（a －t ）2＋（b －t 24）2 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，4a ＋tb ＝2t ＋18t 3⇒⎩⎨⎧a ＝－t 2＋4t 8，b ＝t 2＋4t ＋328.∵ 抛物线L 在点C 处的切线斜率k ＝y′|x ＝t ＝t2(t ≠0)，又该切线与NC 垂直，∴ b －t 24a －t ·t 2＝－1⇒2a ＋bt －2t －14t 3＝0，∴ 2·⎝⎛⎭⎫－t 2＋4t 8＋t·t 2＋4t ＋328－2t －14t 3＝0⇒t 3－2t 2－8t ＝0.∵ t ≠0，t ≠4，∴ t ＝－2，故存在点C 且坐标为(－2，1)．(10分) 23. 解：(1) (x 2＋2x ＋2)10＝(1＋(x ＋1)2)10＝C 010＋C 110(x ＋1)2＋C 210(x ＋1)4…＋C 1010(x ＋1)20 ＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2＋…＋b 20(x ＋1)20，比较可知b 2n ＝C n 10(n ＝1，2，…，10)；而A ＝0，B ＝1时a n ＝At n －1＋Bn ＋1＝n ＋1， 所以错误!n C 错误! ①＝2⎣⎡⎦⎤1t （（1＋t ）10－1）＋210－1－[(1＋2)10－1] ＝2t (1＋t )10－2t ＋211－2－310＋1＝211－2， 即2t (1＋t )10－2t－310＋1＝0 ②， 因为①为关于t 的递增的式子，所以关于t 的方程最多只有一解， 而观察②可知，有一解t ＝2， 综上可知t ＝2.(10分)。