中考数学总复习考点：代数式

初中代数式务必掌握的20个考点考点1： 代数式的定义及书写（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或 一个字母也是代数式．（2）代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘 号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在 那个字母前加上“-”号.例题1： （1）在下列各式中（1）3a ，（2）4+8＝12，（3）2a ﹣5b ＞0，（4）0，（5）s ＝πr 2，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，其中代数式的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 （2）下列各式：①114x ；②2•3；③20%x ；④a ﹣b ÷c ；⑤m−n 3；⑥x ﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．【解析】（1）由题，属于代数式有：（1）3a ，（4）0，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，共5个，选C（2）①114x 中分数不能为带分数；②2•3数与数相乘不能用“•”；③20%x ，书写正确； ④a ﹣b ÷c ，除号应用分数线，所以书写错误；⑤m−n 3书写正确；⑥x ﹣5应该加括号，所以书写错误；符合代数式书写要求的有③⑤共2个．选：D ． 【小结】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．（2）注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．变式1： 在以下各式中属于代数式的是（ ）①S =12ah ②a +b ＝b +a ③a ④1a ⑤0 ⑥a +b ⑦a+b ab A ．①②③④⑤⑥⑦ B ．②③④⑤⑥ C ．③④⑤⑥⑦ D ．①②【分析】根据代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式进行分析即可．【解析】③a ，④1a ，⑤0，⑥a +b ，⑦a+b ab 是代数式，选：C ．【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的定义．变式2： 在式子0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【分析】直接利用代数式的定义，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式，进而判断即可．【解析】0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有0.5xy ﹣2，12（a +b ）共2个．选：B ．【小结】此题主要考查了代数式，正确把握定义是解题关键．变式3： 进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“•”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为 ．【分析】根据代数式的写法表示即可．【解析】代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为：4ac−b 24，故答案为：4ac−b 24．【小结】此题主要考查了代数式，关键是掌握代数式的表示要求．考点2： 列代数式（和差倍问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范. 例题2： 学校举行国庆画展，七（1）班交m 件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是 件．【分析】根据“2倍”即乘以2，“少6件”即再减去6即可得．【解析】根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m ﹣6）件，故答案为：2m ﹣6．【小结】本题主要考查列代数式，列代数式应该注意格式.变式4： 某校报数学兴趣小组的有m 人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有 人．【分析】数学兴趣小组的人数的一半是：12m ，则根据“报书法兴趣小组的人比数学兴趣小组的人数的一半多3人”列出代数式．【解析】依题意知，美术兴趣小组的人数是：12m +3．故答案是：（12m +3）． 【小结】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．变式5： 某学校七年级有m 人，八年级人数比七年级人数的23多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m 的式子表示七八九三个年级的总人数为（ ）A ．3mB ．113m ﹣40C ．3m ﹣40D ．3m ﹣20【分析】根据题意分别表示出各年级的人数，进而利用整式的加减运算法则得出答案．【解析】由题意可得，八年级的人数为：23m +10，九年级人数为：2（23m +10）﹣50， 故七八九三个年级的总人数为：m +23m +10+2（23m +10）﹣50＝3m ﹣20．选：D ． 【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出各年级人数是解题关键．变式6： 我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x 元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的34，用含x 的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．【分析】分别表示出乙、丙同学捐款总数进而得出答案．【解析】由题意可得，乙同学捐款（3x ﹣8）元，丙同学的捐款金额是：34（x +3x ﹣8）＝3x ﹣6（元）， 故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x +3x ﹣8+3x ﹣6＝7x ﹣14（元）．【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙、丙同学捐款总数是解题关键．考点3： 列代数式（数字问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范. 例题3： 一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（ ）A ．11a ﹣20B ．11a +20C ．11a ﹣2D ．11a +2【分析】根据一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，可知个位数字为a ﹣2，然后即可用含a 的代数式表示出这个两位数．【解析】由题意可得，这个两位数为：10a +（a ﹣2）＝11a ﹣2，选：C ．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式7： 设a 是一个三位数，b 是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a 在左，b 在右），则这个五位数可以表示为 ．【分析】相当于把三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，相加即可．【解析】∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，∴这个五位数可以表示为100a +b ．故答案是100a +b ．【小结】考查列代数式，得到新数中的a ，b 与原数中的a ，b 的关系是解决本题的关键．变式8：一个三位数为x，一个两位数为y，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，则M﹣N＝（结果用含x，y的式子表示）．【分析】由于一个两位数为y，一个三位数为x，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，由此得到M＝100x+y，又把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，由此得到N＝1000y+x，然后就可以求出M﹣N的值．【解析】依题意得，M＝100x+y，N＝1000y+x，∴M﹣N＝（100x+y）﹣（1000y+x）＝99x﹣999y．【小结】此题主要考查了列代数式，解决此类题目的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出代数式，同时计算时熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．变式9：用式子表示十位上的数是x，个位上的数是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？【分析】由十位上的数字乘10加上个位上的数字表示出两位数，再由个位与十位交换表示出新数，新数减去原来的数即可得到结果．【解析】依题意有（10y+x）﹣（10x+y）＝10y+x﹣10x﹣y＝9y﹣9x．【小结】本题主要考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系．考点4：列代数式（销售问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题4：一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x元，那么售价可表示为．【分析】直接利用成本与原价以及售价与打折的关系进而得出答案．【解析】由题意可得：（1+50%）x×0.8＝1.2x（元）．【小结】此题主要考查了列代数式，正确理解打折与售价的关系是解题关键．变式10： 某商店有一种商品每件成本a 元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？【分析】（1）根据一种商品每件成本a 元，按成本价增加20%定为售价，后来由于存积压降价，打八五折出售，可以用含a 的代数式表示出该商品减价后每件的售价为多少元；（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出售完200件这种商品共盈利多少元．【解析】（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a （1+20%）×0.85＝1.02a （元），（2）20%a ×80+（1.02a ﹣a ）×（200﹣80）＝16a +0.02a ×120＝16a +2.4a ＝18.4a （元），【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式11： 小明经销一种服装，进货价为每件a 元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（ ）A ．比进货价便宜了0.52a 元B ．比进货价高了0.2a 元C ．比进货价高了0.8a 元D ．与进货价相同【分析】直接利用标价以及打折之间的关系得出关系式即可．【解析】由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a ×40%＝1.2a 元．则1.2a ﹣a ＝0.2a （元）比进货价高了0.2a 元．选：B ．【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出标价是解题关键．变式12： 张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a 元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b 元的价格购进了30件乙种小商品（a ＞b ）．根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b 2元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（ ）A ．赚了（25a +25b ）元B ．亏了（20a +30b ）元C ．赚了（5a ﹣5b ）元D ．亏了（5a ﹣5b ）元 【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b ，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚．【解析】根据题意可知：总进价为20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b∴25a +25b ﹣（20a +30b ）＝5a ﹣5b ，∵a ＞b ，∴5a ﹣5b ＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．选：C ．【小结】此题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价．考点5： 列代数式（增长率问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范. 例题5： 某校去年初一招收新生a 人，今年比去年增加x %，今年该校初一学生人数用式子表示为（ ）A ．（a +x %）人B ．ax %人C ．a(1+x)100人D ．a （1+x %）人 【分析】根据今年招收的新生人数＝去年初一招收的新生人数+x %×去年初一招收新生人数，即可得出答案．【解析】∵去年初一招收新生a 人，∴今年该校初一学生人数为：a （1+x %）人．选：D ．【小结】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意今年比去年增加x %和今年是去年的x %的区别．变式13： 某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a 亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（ ）A ．a •（1+20%）B ．a •（1+2×20%）C ．a •（1+20%）2D ．2a •（1+20%）【分析】根据题意，可以用含a 的代数式表示出2021年应植树的面积，本题得以解决．【解析】由题意可得，2021应植树的面积为：a （1+20%）2，选：C ．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式14： 某企业今年1月份产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（ ）A ．x +（1﹣10%）x 万元B ．x +（1+10%）x 万元C ．（1﹣10%）x 万元D ．（1+10%）x 万元【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．【解析】∵今年1月份产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%，∴2月份的产量为：（1﹣10%）x ，故1月份和2月份的产值和是：[x +（1﹣10%）x ]万元．选：A ．【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出2月份的产值是解题关键．变式15：裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（）A．50（1+m）万元B．50（1+m）2万元C．[50+50（1+m）]万元D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元【分析】根据裕丰商店一月份的利润及二、三月份的利润平均增长率，即可用含m的代数式表示出二、三月份的利润，再将三个月的利润相加即可得出结论．【解析】∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．选：D．【小结】本题考查了列代数式，根据前三个月利润间的关系，用含m的代数式表示出二、三月份的利润是解题的关键．考点6：列代数式（分段计费问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题6：东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（）A．（10﹣0.7m）元B．（11.4+0.7m）元C．（8.6+0.7m）元D．（10+0.7m）元【分析】根据题意，可以用含m的代数式表示出需要付的车费，本题得以解决．【解析】由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，选：C．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式16：为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是月份，实际用电量为度；（2）小刚家一月份应交纳电费元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．【解析】（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），故答案为：五，236；（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），故答案为：85；（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式17：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）价目表每月用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3请根据上表的内容解答下列问题：（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费元；3月份用水8m3，则应收水费元；（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据题意，可以计算出该居民二月份和三月份的水费；（2）根据题意，可以用a的代数式表示出4月份的水费；（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以解答本题．【解析】（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），故答案为：10，20；（2）由表格可得，该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．【小结】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、利用分类讨论的的方法解答．变式18：滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.45元/分钟0.4元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费元；（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元；（用含a、b 的代数式表示，并化简）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；（2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；（3）根据题意计算出相差的车费即可．【解析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；（2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元；当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元；（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、（a﹣24）分钟，1.8×9.5+0.45a﹣[1.8×14.5+0.45（a﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0，因此，小王和小张付费相同．【小结】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．考点7： 代数式求值（整体代入法）例题7： 已知代数式x ﹣2y 的值是3，则代数式4y +1﹣2x 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．﹣1D ．0【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．【解析】∵x ﹣2y ＝3，∴4y +1﹣2x ＝﹣2（x +2y ）+1＝﹣6+1＝﹣5．选：A ．【小结】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．变式19： 当x ＝2时，代数式px 3+qx +1的值为﹣2019，求当x ＝﹣2时，代数式的px 3+qx +1值是（） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021【分析】根据整体思想将已知条件用含p 和q 的代数式表示，再整体代入即可求解．【解析】当x ＝2时，代数式px 3+qx +1的值为﹣2019，即8p +2q ＝﹣2020．当x ＝﹣2时，代数式的px 3+qx +1＝﹣8p ﹣2q +1＝﹣（8p +2q ）+1＝2020+1＝2021．选：D ．【小结】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是利用整体思想．变式20： 已知1﹣a 2+2a ＝0，则14a 2−12a +54的值为（ ）A ．32B ．14C ．1D ．5【分析】1﹣a 2+2a ＝0经过整理得：a 2﹣2a ＝1，14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54，把a 2﹣2a ＝1代入代数式14（a 2﹣2a ）+54，计算求值即可．【解析】∵1﹣a 2+2a ＝0，∴a 2﹣2a ＝1，∴14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54=14×1+54=32，选：A ．【小结】本题考查了代数式求值，正确掌握代数式变形，代入法，有理数混合运算法则是解题的关键．变式21：（1）【探究】若a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（）+4＝2×（）+4＝．【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5的值为．（2）【应用】当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，px3+qx+1的值；（3）【推广】当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5的值为（含m的式子表示）【分析】（1）把代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算x2﹣3x﹣5的值；（2）先用已知条件得到p+q＝4，而当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1，然后利用整体代入的方法计算；（3）利用当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m得到20205a+20203b+2020c＝m+5，而当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【解析】（1）∵a2+2a＝1，∴2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×（1）+4＝6；【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5＝2﹣5＝﹣3；故答案为a2+2a，1，6；﹣3；、（2）∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3；（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，∴20205a+20203b+2020c﹣5＝m，即20205a+20203b+2020c＝m+5，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝（﹣2020）5a+（﹣2020）3b+（﹣2020）c﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5＝﹣（20205a+20203b+2020c）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣5﹣5＝﹣m﹣10．故答案为﹣m﹣10．【小结】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．也考查了整体代入的方法．考点8：代数式求值（程序框图）例题8：根据以下程序，当输入x＝﹣2时，输出结果为（）A．﹣5B．﹣16C．5D．16【分析】首先求出当x＝﹣2时，9﹣x2的值是多少，然后把所得的结果和1比较大小，判断是否输出结果即可．【解析】当x＝﹣2时，9﹣x2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1，当x＝5时，9﹣x2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1，∴当输入x＝﹣2时，输出结果为﹣16．选：B．【小结】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简变式22：根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（）A．4B．2C．1D．﹣1【分析】把x＝﹣1代入程序中计算即可得到结论．【解析】当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，选：D．【小结】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式23：按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（）A．x＝5，y＝﹣1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝﹣1D．x＝﹣2，y＝3【分析】把x与y的值代入检验即可．【解析】A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，选：A．【小结】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式24：如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（）A．1，2B．﹣1，0C．﹣1，2D．0，﹣1【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果．【解析】A．当a＝1，b＝2时，输出结果为3，不符合题意；B．当a＝﹣1，b＝0时，输出结果为1，不符合题意；C．当a＝﹣1，b＝2时，输出结果为﹣1，符合题意；根据筛选法C选项正确．选：C．【小结】本题考查了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序．考点9： 单项式的系数与次数解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数例题9： 4πx 2y 4z 9的系数是 ，次数是 ．【分析】直接利用单项式的系数与次数确定方法得出答案．【解析】4πx 2y 4z 9的系数是：4π9，次数是：7【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．变式25： 单项式﹣3πx a +1y 2与−102x 2y 39的次数相同，则a 的值为 ． 【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a 的一元一次方程，求解即可．【解析】因为−102x 2y 39的次数是5，又因为单项式﹣3πx a +1+y 2与−102x 2y 39的次数相同 所以a +1+2＝5解得a ＝2【小结】本题考查了单项式次数的定义及一元一次方程的解法．通过单项式的次数相等列出关于a 的方程是解决本题的关键．注意单项式的次数不包含数字和π的次数变式26： 若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ．【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可．【解析】根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9，解得：m ＝﹣1，n ＝1，则m +n ＝﹣1+1＝0【小结】本题主要考查的是单项式的定义，掌握单项式的系数和次数的概念是概念是解题的关键．变式27： 已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ．【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【解析】∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0，解得：m ＝﹣3， ∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．考点10： 多项式的项与次数解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．例题10： 关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ）A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【解析】A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；选：B ．【小结】本题考查了多项式的有关概念，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键．变式28： 多项式 是一个关于x 的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是34，一次项的系数是﹣2，常数项是4．【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．【解析】由题意可得，此多项式可以为：﹣5x 3+34x 2﹣2x +4．【小结】此题主要考查了多项式，正确把握相关定义是解题关键．变式29： 已知关于x 的整式（|k |﹣3）x 3+（k ﹣3）x 2﹣k ． （1）若整式是单项式，求k 的值；（2）若整式是二次多项式，求k 的值；（3）若整式是二项式，求k 的值【分析】（1）由整式为单项式，根据定义得到|k |﹣3＝0且k ﹣3＝0，求出k 的值；（2）由整式为二次式，根据定义得到|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，求出k 的值；（3）由整式为二项式，得到①|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0；②k ＝0；依此即可求解．【解析】（1）∵关于x 的整式是单项式，∴|k |﹣3＝0且k ﹣3＝0，解得k ＝3，∴k 的值是3；（2）∵关于x 的整式是二次多项式，∴|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，解得k ＝﹣3，∴k 的值是﹣3；（3）∵关于x 的整式是二项式，∴①|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，解得k ＝﹣3；②k ＝0．∴k 的值是﹣3或0．【小结】此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．。

中考数学知识点总结 代数式 （5大知识点+例题） 新人教版基础知识点：一、代数式1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。

单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。

3、代数式的分类：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算1、概念（1）单项式：像x 、7、y x 22，这种数与字母的积叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。

一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

2、运算（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。

整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

（2）整式的乘除：幂的运算法则：其中m 、n 都是正整数同底数幂相乘：n m n m a a a +=⋅；同底数幂相除：n m n m a a a -=÷；幂的乘方：mn n m a a =)(积的乘方：n n n b a ab =)(。

2020年初三中考数学复习：代数式一、单选题1.“a与b的的差”，用代数式表示为( )A. B. C. D.2.a+1的相反数是（）A. -a+1B. -（a+1）C. a-1D.3.每100千克小麦可出x千克面粉，y千克小麦可出面粉的千克数为（）A. B. C. D.4.若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）A. 4B. ﹣4C. 16D. ﹣165.设，则代数式的值为( ).A. -6B. 24C.D.6.某冰箱降价30%后，每台售价a元，则该冰箱每台原价应为（）A. 0.3a元B. 0.7a元C. 元D. 元7.x的2倍加上y的和乘以x的2倍减去y的差，所得的积写成代数式为（）A. （2x+y）·2x-yB. 2x+y·（2x-y）C. 2x+y·2x-yD. （2x+y）（2x-y）8.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第10个图中所贴剪纸“○”的个数为（）A. 32个B. 33个C. 34个D. 35个9.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可得出数2017应标在（）A. 第504个正方形的左下角B. 第504个正方形的右上角C. 第505个正方形的左下角D. 第505个正方形的右上角10.下列代数式中符合书写要求的是（）A. ab2×4B. xyC. 2a2bD. 6xy2÷311.有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 212.如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A. 231πB. 210πC. 190πD. 171π13.已知：，则的值是（）A. B. C. 3 D. -314.若正整数按如图所示的规律排列，则第8行第5列的数字是（）A. 64B. 56C. 58D. 6015.图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P n，则P2018﹣P2017的值为（）A. B. C. D.二、填空题16.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2 017个图共有________枚棋子．17.已知a—2b的值是2018，则1—2a+4b的值等于________．18.如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…，依此规律，第n个图案有1499个黑棋子，则n=________．19.如果定义新运算“※”，满足a※b=a×b﹣a÷b，那么1※2=________．20.已知的值为，则代数式的值为________．三、计算题21.当x=3，y= –2时，求下列代数式的值．（1）（2）22.计算：已知|x|= ，|y|= ，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．23.观察下列等式：，，，……（1）按此规律写出第5个等式；（2）猜想第n个等式，并说明等式成立的理由．24.已知a2+b2=5，ab=-2，求代数式2(4a2+2ab-b2)-3(5a2-3ab+2b2)+b2的值．25.如果有理数、满足，试求…… 的值．四、解答题26.如图，试用字母，表示阴影部分的面积，并求出当a=12cm，b=4cm，π≈3时各自阴影部分的面积.27.根据你的生活与学习经验，对代数式2（x+y）表示的实际意义作出两种不同的解释．28.说出下列代数式的意义：（1）2a﹣3c；（2）；（3）ab；（4）a2﹣b2．五、综合题29.观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：① 1× =1-② 2× =2-③ 3× =3-……（1）在下面给出的四个正方形中画出第四个图形，并在右边写出与之对应的等式；________；________（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式：________。

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆内容提要☆一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，=x, =│x│等。

4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);⑵算术平方根与绝对值①联系：都是非负数，=│a│②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数⑴ ( —幂，乘方运算)① a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0(n是偶数)，＜0(n是奇数)⑵零指数：=1(a≠0)负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)二、运算定律、性质、法则1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2.分式的性质⑴基本性质：= (m≠0)⑵符号法则：⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)3.整式运算法则(去括号、添括号法则)4.幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤技巧：5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

第二讲代数式专项一列代数式知识清单1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或__________连接起来的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式:（1）关键是理解并找出问题中的数量关系及公式；（2）要掌握一些常见的数量关系，如:路程＝速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，售价＝标价×折扣等；（3）要善于抓住一些关键词语，如:多、少、大、小、增长、下降等.特别地，探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数字及图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律.3. 代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式给出的运算计算出的结果，叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.考点例析例1 将x克含糖10％的糖水与y克含糖30％的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20％B．+100%2x y⨯C．+3100%20x y⨯D．+3100%10+10x yx y⨯分析：根据题意，可知混合后糖水中糖的质量为（10%x+30%y）克，糖水的质量为（x+y）克，则混合后的糖水含糖为混合后的糖的质量除以糖水的质量再乘100%．例2将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．分析：先根据已知图形中黑色圆点的个数得到第n个图形中黑色圆点的个数为()12n n+；然后判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除；再计算出第33个能被3整除的数在原数列中的序数，代入计算即可．归纳：解决数、式或图形规律探索题，通常从给出的一列数、一列式子或一组图形入手去探索研究，通过观察、分析、类比、归纳、猜想，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，并用含字母的代数式进行表示.跟踪训练1.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50％，再打六折C．先提价30％，再降价30％D．先提价25％，再降价25％2.（2021·达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出的y值为___________.第2题图3.一组按规律排列的式子：a+2b，a2-2b3，a3+2b5，a4-2b7，…，则第n个式子是___________．4.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_______.第4题图专项二整式知识清单一、整式的加减1．相关概念：表示数或字母的_________的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；________与______统称为整式.所含字母_________，并且相同字母的_________也相同的项叫做同类项.2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，且字母连同它的指数________.3. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______.4. 整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就_______，然后再____________.二、幂的运算1. 同底数幂的乘法：a m·a n=________(m，n是整数).2. 同底数幂的除法：a m÷a n=________ (a≠0,m，n是整数).3. 幂的乘方：（a m）n=_______ (m，n是整数).4. 积的乘方：（ab）n=_______(n是整数).三、整式的乘法1. 单项式乘单项式：把它们的__________、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的___________作为积的一个因式.2. 单项式乘多项式：p(a+b+c)=pa+pb+pc.3. 多项式乘多项式：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.4. 乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=_________ ;②完全平方公式：(a±b)2 =a2±2ab+b2.四、整式的除法1. 单项式相除，把__________与__________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________作为商的一个因式.2. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商相加. 考点例析例1 下列运算正确的是（）A．2x2 +3x3=5x5B．(-2x)3=-6x3C．(x+y)2=x2+y2D．(3x+2)(2-3x)=4-9x2分析：依次根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断.例2已知10a=20，100b=50，则1322a b++的值是（）A．2B．52C．3D．92分析：将100b变形为102b，根据同底数幂的乘法，将已知的两个式子相乘可得a+2b=3，整体代入求值．例3已知单项式2a4b-2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n=__________.分析：根据同类项的定义，分别列出关于m，n的方程，求出m，n的值，再代入代数式计算.例4（2021·金华）已知x=16，求(3x-1)2+(1+3x)(1-3x)的值.分析：直接运用完全平方公式、平方差公式将式子展开，然后合并同类项化简，再将x=16代入求值.解：归纳：整式化简求值的关键是把原式化简，然后代入题目中的已知条件求值，其大致步骤可以简记为：一化，二代，三计算．需注意：①无论题目是否指定解题步骤，都应先化简后代入求值；①代入求值时，若代入的是负数或求分数的乘方时要注意添加括号；①当条件给定字母之间的关系时，代入则需要运用整体代入法.跟踪训练1.下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．2a2b3C．a2b D．ab32.下列计算中，正确的是（ ） A ．a 5·a 3=a 15 B ．a 5÷a 3=a C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+3.计算：()23a b -=（ ）A ．621a b B ．62a bC ．521a b D ．32a b -4.下列运算正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．5a 2-2b 2=3C ．7a+a=7a 2D ．（x -1）2=x 2+1-2x 5.计算：（x+2y ）2+(x -2y)(x+2y)+x(x -4y).6.先化简，再求值：（x ﹣3）2+（x +3）（x ﹣3）+2x （2﹣x ），其中x ＝﹣12．专项三 因式分解知识清单1. 定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2. 因式分解的基本方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc = _____________.:::⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数公因式的确定字母取各项相同的字母指数取各项相同字母的最低次数 （2）公式法：①平方差公式：a 2-b 2=_____________; ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2 =___________.3. 因式分解的一般步骤：一提（公因式）；二套（公式）；三检验（是否彻底分解）. 考点例析例1 因式分解：1-4y 2=（ ）A .（1-2y ）(1+2y)B . (2-y)(2+y)C . (1-2y)(2+y)D . (2-y)(1+2y) 分析：先将4y 2化为(2y)2，然后用平方差公式分解因式. 例2 已知xy =2，x -3y =3，则2x 3y -12x 2y 2+18xy 3= ______.分析：先提取多项式中的公因式2xy ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，最后将xy =2，x -3y =3代入其中求值.归纳：若一个多项式有公因式，应先提取公因式，多项式是二项式优先考虑用平方差公式继续分解，多项式是三项式优先考虑用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止.跟踪训练1.因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）2.多项式2x3-4x2+2x因式分解为（）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x-1） 2 D．x（2x+1） 23.因式分解：m2﹣2m=________．4.计算：20212-20202=________．5.因式分解：24ax+ax+a= ___________．6.若m+2n=1，则3m2+6mn+6n的值为___________．7.先因式分解，再计算求值：2x3-8x，其中x=3．专项四分式知识清单一、分式的相关概念1. 定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有_________，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.2. 分式有意义和值为0的条件（1）分式AB有意义⇔_________;（2）分式AB的值为0⇔_________.二、分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个_____________，分式的值不变.2. 约分：把一个分式的分子与分母的____________约去，叫做分式的约分. 约分的结果必须是最简分式或整式，最简分式是分子、分母没有公因式的分式.3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的____________的分式，叫做分式的通分.通分的关键是确定各分式的____________.三、分式的运算1. 分式的加减同分母分式相加减:a bc c±=____________；异分母分式相加减:a c ad bcb d bd bd±=±=____________.2. 分式的乘除乘法法则：a c b d ⋅=___________；除法法则：a c a d b d b c÷=⋅=___________.3. 分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方，如na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=___________. 4. 分式的混合运算:先算___________，再算___________，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 考点例析例1 不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．x+1 B ．x 2-1C ．11x + D ．（x+1）2分析：选项A ，B ，D 中都能得到代数式的值为0时x 的值，而选项C 中，分式的分子是1，所以11x +不可能为0．归纳：分式值为0要关注两个条件:（1）分子为0；（2）分母不为0.例2 化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．a +1 B ．1a a+ C ．-1a aD ．21a a +分析：根据分式的混合运算法则，先将括号内的两项通分合并，同时将除式中多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分化简即可．归纳：分式的化简中，应注意以下几点:（1）若分子、分母为多项式，则应先分解因式，能约分的先约分，再计算；（2）化简过程中要特别注意常见的符号变化，如ｘ-ｙ＝-(ｙ-ｘ)，-ｘ-ｙ＝-(ｘ+ｙ)等；ꎻ （3）在分式和整式加减运算中，通常把整式看成分母为“１”的“分式”，再进行计算； （4）分式运算的最终结果应是最简分式或整式．例3 先化简，再求值：22121121x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x-2=0．分析：先把原式化简，然后求出方程x 2-x-2=0的解，根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可． 解：跟踪训练 1.要使分式12x +有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x≠0B ．x≠-2C ．x ≥-2D ．x ＞-22.计算24541a a a a a --⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+3.已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy -+的值等于_________．4.已知()()261212ABx x x x x --=----，求A ，B 的值．5.先化简22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．专项五 二次根式知识清单一、二次根式的有关概念1. 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．2. 最简二次根式：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二、二次根式的性质 （1）2＝ （a ≥0） ；（2a＝（3= （a ≥0，b ≥0）； （4= （a ≥0，b ＞0）．三、二次根式的运算1. 二次根式的加减：先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 二次根式的乘除：（1＝ （a≥0，b≥0）． （2= （a≥0，b ＞0）． 考点例析 例1 函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-1 B ．x ＞2 C ．x ＞-1且x ≠2 D ．x ≠-1且x ≠2分析：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的概念列不等式组求解．（a ≥0）， （a <0）；归纳：（1）被开方数ａ≥０；ꎻ（2）观察参数是否在分母位置，分母不能为０；ꎻ （3）观察参数是否有在０次幂的底数位置，底数不能为０. 例2 下列运算正确的是（ ）A 3B ．4=C =D 4=分析：根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐个计算后判断．例3 计算：222122122⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---．分析：先利用绝对值的性质去掉绝对值符号，同时将后面两个完全平方式展开或利用平方差公式计算，最后再进行加减运算． 解：归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算． 跟踪训练1.0x 的取值范围是（ ）A ．x ＞-1B ．x ≥-1且x ≠0C ．x ＞-1且x ≠0D ．x ≠02.2，5，m ）A ．2m-10B ．10-2mC ．10D ．43.设6a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．4.计算=____________．5.的结果是 _____．6.这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a b =则ab=1，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++，则1210S S S +++=__________．专项六 代数式中的数学思想1.整体思想整体思想是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.本讲中求代数式的值时，将某一已知代数式的值作为整体代入计算，就运用了整体思想.例1 已知x-y=2，111x y-=，求x2y-xy2的值．11y=变形后得到y-x=xy，再将x2y-xy2因式分解后，整体代入计算．解：2.从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想是指在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，从解决特殊问题的规律中，寻找解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决. 例2 观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9-Y4=（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24分析：根据前几个图中的树枝数，可发现树枝分杈的规律为Y n=2n-1①从而可求出Y9-Y4．跟踪训练1.已知x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5的值是（）A．31 B．-31 C．41 D．-412.按一定规律排列的单项式：a2①4a3①9a4①16a5①25a6①…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n3.若1136xx+=，且0＜x＜1，则221xx-=_______．4.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点.第4题图参考答案专项一 列代数式例1 D 例2 1275 1．B 2．2 3．()12112n nn a b +-+-⋅ 4．n 2+n -1专项二 整 式例1 D 例2 C 例3 3例4 解：原式=9x 2-6x+1+1-9x 2=-6x+2.当x=16时，原式=-6×16+2=1.1．B 2．C 3．A 4．D5．解：原式=x 2+4xy+4y 2+x 2-4y 2+x 2-4xy=3x 2．6．解：原式＝x 2﹣6x +9+x 2﹣9+4x ﹣2x 2＝﹣2x ．当x ＝﹣12时，原式＝﹣2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1． 专项三 因式分解例1 A 例2 361．C 2．A 3．m （m-2） 4．4041 5．()224a x + 6．37. 解:原式=2x(x 2-4)=2x(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=2×3×（3+2）（3-2）=30.专项四 分 式例1 C 例2 B例3 解：原式=2221+12121x x x x x x +-+÷+++=()()2+2+112x x x x x ⋅++=x （x +1）=x 2+x ． 解方程x 2-x-2=0，得x 1=2,x 2=-1． 因为x+1≠0①所以x≠-1． 当x=2时，原式=22+2=6． 1．B 2．A 3．44．解：因为12A B x x ---=()()()()2112A x B x x x -+---=()()()212A+B x A B x x ----=()()2612x x x ---，所以22 6.A B A B +=⎧⎨--=-⎩，解得42.A B =⎧⎨=-⎩，5．原式＝()()()22113331a a a a a a --+--⋅-+＝()()()2113331a a a a a a +--+-⋅-+＝()()221331a a a a +-⋅-+=2a ﹣6． 因为a ＝-1或a ＝3时，原式无意义，所以a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2﹣6＝﹣4．（当a ＝0时，原式＝﹣6）专项五 二次根式例1 C 例2 C例3 解：原式112-=441．C 2．D 3．A 4．3 5．6．10专项六代数式中的数学思想例11-=，所以y-x=xy．因为x-y=2，所以y-x=xy=-2．y所以原式=xy(x-y)=-2×2=-4．例2 B1．B 2．A 3．-654．19036。

第二章代数式考点一、整式的有关概念（3分）1.代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意:单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如,这种表示就是错误的,应写成。

一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如是6次单项式。

考点二、多项式（11分）1.多项式几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数, 叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母, 按照代数式指明的运算, 计算出结果, 叫做代数式的值。

注意: （1）求代数式的值, 一般是先将代数式化简, 然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值, 有时求不出其字母的值, 需要利用技巧, “整体”代入。

2.同类项所有字母相同, 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

3.去括号法则（1）括号前是“+”, 把括号和它前面的“+”号一起去掉, 括号里各项都不变号。

（2）括号前是“﹣”, 把括号和它前面的“﹣”号一起去掉, 括号里各项都变号。

4.整式的运算法则整式的加减法: （1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法:),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+2222)(b ab a b a +-=-整式的除法:注意: （1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘, 结果是一个多项式, 其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题, 多项式的每一项都包括它前面的符号, 同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中, 有同类项的要合并同类项。

专题02 代数式考点1：代数式的概念与求值1．（2021·四川自贡市·中考真题）已知23120x x --=，则代数式2395x x -++的值是（ ） A ．31 B ．31-C ．41D ．41-【答案】B 【分析】根据题意，可先求出x 2-3x 的值，再化简()22395=3+53x x x x -++--，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵23120x x --=， ∴23=12x x -，∴()223395=3+5=312+5=31x x x x -++---⨯-． 故选：B ．2．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）A ．20a 元B ．()2024a +元C ．()17 3.6a +元D ．元【答案】D 【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可． 【详解】解：∵20立方米中，前17立方米单价为a 元，后面3立方米单价为（a +1.2）元， ∴应缴水费为17a +3（a +1.2）=20a +3.6（元）， 故选：D ．3．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．【答案】．()20 3.6a +22110=-22321=-22532=-n 21n -=()221n n --【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【详解】解：∵，， ，…∴第个等式为：故答案是：．4．（2021·浙江台州市·中考真题）将x 克含糖10的糖水与y 克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ） A ．20 B ．C ．D ．【答案】D 【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解． 【详解】解：混合之后糖的含量：， 故选：D ．5．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________．【答案】【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号． 【详解】解：∵当n 为奇数时，；当n 为偶数时，，∴第n 个式子是：．22110=-22321=-22532=-n ()22211n n n -=--()221n n --%%%+100%2x y⨯+3100%20x y⨯+3100%10+10x yx y⨯10%30%3100%1010x y x yx y x y++=⨯++2335472,2,2,2a b a b a b a b +-+-n ()12112n nn a b +-+-⋅()111n +-=()111n +-=-()1211·2n n n a b +-+-故答案为：考点2：整式相关概念6．多项式 是一个关于x 的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是34，一次项的系数是﹣2，常数项是4．【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【解答】解：由题意可得，此多项式可以为： ﹣5x 3+34x 2﹣2x +4． 故答案为：﹣5x 3+34x 2﹣2x +4．7．若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ．【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9， 解得：m ＝﹣1，n ＝1， 则m +n ＝﹣1+1＝0． 故答案为：0． 考点3：整式的运算8．（2021·广西来宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解． 【详解】解：A. ，原选项计算正确，符合题意； B. ，原选项计算错误，不合题意； C. ，原选项计算错误，不合题意；D. ，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意． 故选：A9．（2021·四川达州市·中考真题）已知，满足等式，则___________．【答案】-3()1211·2n n n a b +-+-235a a a ⋅=623a a a ÷=()325a a =2232a a a -=235a a a ⋅=624a a a ÷=()326a a =232a a -ab 2690a a ++=20212020a b =【分析】先将原式变形，求出a 、b ，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】解：由，变形得， ∴， ∴， ∴．故答案为：-310．（2021·广东中考真题）若且，则_____． 【答案】 【分析】 根据，利用完全平方公式可得，根据x 的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∴==， 故答案为： 考点4：整式化简求值2690a a ++=()230a +=130,03a b +=-=13,3a b =-=()()()()20202020202020212020202120201113=33=33=3333a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1136x x +=01x <<221x x-=6536-1136x x +=2125(36x x -=1x x-1136x x +=2211125()(436x x x xxx -=+-⋅=01x <<1x x <1x x -56-221x x -=11()(x x x x +-135(66⨯-6536-6536-11．（2021·吉林长春市·中考真题）先化简，再求值：(2)(2)(1)a a a a +-+-，其中4a =+．【答案】a - 【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a 的值代入化简后的式子，即可解答本题． 【详解】()()()221a a a a +-+-224a a a =-+-当时，原式．12．（2021·贵州安顺市·中考真题）（1）有三个不等式，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集： （2）小红在计算时，解答过程如下：第一步第二步 第三步小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）x ＜-3；（2）第一步，正确过程见详解 【分析】（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可；（2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可． 【详解】解：（1）挑选第一和第二个不等式，得，由①得：x ＜-2， 由②得：x ＜-3，∴不等式组的解为：x ＜-3；4a =-4a =44-=()231,515,316x x x +--->()()211a a a +--2(1)(1)a a a +--22(1)a a a =+--221a a a =+--1a =-231515x x +<-⎧⎨->⎩①②（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：．故答案是：第一步 考点5：因式分解13．（2021·四川成都市·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解：=； 故答案为14．（2021·云南中考真题）分解因式：=______． 【答案】x （x +2）（x ﹣2）． 【详解】试题分析：==x （x+2）（x ﹣2）． 故答案为x （x+2）（x ﹣2）．15．（2021·江苏盐城市·中考真题）分解因式：a 2+2a +1＝_____． 【答案】（a +1）2 【分析】直接利用完全平方公式分解. 【详解】a 2+2a +1＝（a +1）2． 故答案为.考点6：分式有意义及分式为零的条件 16．（2021·浙江宁波市·中考真题）要使分式有意义，x 的取值应满足（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】2(1)(1)a a a +--22(21)a a a a =+--+2221a a a a =+-+-31a =-24x -=(x+2)(x-2)24x -=222x -(2)(2)x x +-(2)(2)x x +-34x x -34x x -2(4)x x -()21+a 12x +0x ≠2x ≠-2x ≥-2x >-解： 分式有意义，故选： 考点7：分式性质17．（2021·四川自贡市·中考真题）化简：_________． 【答案】 【分析】利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 考点8：分式化简与运算18．（2021·四川南充市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据分式的加减乘除的运算法则进行计算即可得出答案 【详解】12x +20,x ∴+≠2.x ∴≠-.B 22824a a -=--22a +22824a a ---()()28222a a a =--+-()()()()()2282222a a a a a +=-+-+-()()()2222a a a -=+-22a =+22a +232496b a b a b ⋅=2312332b b ab a ÷=11223a a a +=2112111a a a -=-+-解：A.，计算错误，不符合题意； B. ，计算错误，不符合题意；C.，计算错误，不符合题意； D.，计算正确，符合题意； 故选：D19．（2021·江苏盐城市·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可． 【详解】 解：原式．∵∴原式．20．（2021·山东威海市·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【答案】2（a -3），当a =0时，原式=-6；当a =1时，原式=-4． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a 的值，继而代入计算可得答案． 【详解】= 2324916b a a b b⋅=2231213=333221b a ab a ab b b÷=⨯23111=2222a a a a a+=++--=--+---22211112=11111a a a a a a a 21111m m m-⎛⎫+ ⎪-⎝⎭2m =1m +11(1)(1)1m m m m m-+-+=⋅-(1)(1)1m m m m m-+=⋅-1m =+2m =213=+=2211(1)369a a a a a a -+--÷--+1-2211(1)369a a a a a a -+--÷--+()()()221311333a a a a a a a +-⎡⎤-+-÷⎢⎥---⎣⎦= = = =2（a -3）， ∵a ≠3且a ≠-1， ∴a =0，a =1，当a =0时，原式=2×（0-3）=-6； 当a =1时，原式=2×（1-3）=-4．21．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）先化简，再求值：，其中x 满足． 【答案】x （x +1）；6 【分析】先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴x =2或x =-1 ∴ = = ==x （x +1）∵x =-1分式无意义，∴x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6．()2223123331a a a a a a a -⎛⎫----⋅⎪--+⎝⎭()222312331a a a a a a ---++⋅-+()()221331a a a a +-⋅-+2212(1)121x x x x x x +++-÷+++220x x --=220x x --=220x x --=2212(1)121x x x x x x +++-÷+++()221212()111x x x x x x +++÷+++-()2222()11x x x x x ++÷++()()22112x x x x x ++⨯++22．（2021·四川遂宁市·中考真题）先化简，再求值：，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数． 【答案】； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴3-2＜m ＜3+2，即1＜m ＜5， ∵m 为整数， ∴m =2、3、4， 又∵m ≠0、2、3 ∴m =4， ∴原式=． 23．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J ．Npler ，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler ．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地．若x a N =（且），那么x 叫做以a 为底N 的对数， 记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭32m m --12322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭222(2)99(2)33m m m m m m ⎛⎫--÷+ ⎪---⎝⎭=2223m m m m ÷--=2232m m m m-⋅-=32m m --=431422-=-0a >1a ≠log a x N =4216=24log 16=32log 9=239=，理由如下：设，则．．由对数的定义得又．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①___________；②_______，③________； （2）求证：； （3）拓展运用：计算．【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；（3）根据公式：log a （M •N ）=log a M +log a N 和log a=log a M -log a N 的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论． 【详解】解：（1）①∵，∴5，②∵，∴3，③∵，∴0；（2）设log a M =m ，log a N =n ，∴，，∴， ∴， ∴； （3）= log ()log log (0,1,0,0)a a a M N M N a a M N ⋅=+>≠>>log ,log a a M m N n ==,n m M a N a ==m n m n M N a a a +∴⋅=⋅=log ()a m n M N +=⋅log log a a m n M N +=+ log ()log log a a a M N M N ∴⋅=+2log 32=3log 27=7log l =log log log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=->≠>>555log 125log 6log 30+-M N 5125630log ⨯5232=2log 32=3327=3log 27=071=7log 1=m a M =n a N =m n m n M a a a N-÷==log aM m n N =-log log log a a a M M N N=-555log 125log 6log 30+-5125630log ⨯==2．25．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；（2）若一条这样的人行道一共有n （n 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n 的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块【分析】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 故答案为：2 ；（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖； 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；所以当地砖有n 块时，等腰直角三角形地砖有（）块；故答案为：；（3）令 则5log25 24n +24n +24n +242021n +=1008.5n =当时，此时，剩下一块等腰直角三角形地砖 需要正方形地砖1008块1008n =242020n +=∴。