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高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)

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第六节__旋转曲面和二次曲面

第六节__旋转曲面和二次曲面
2 2
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面: ( p, q 同号)
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
z
L

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z 2 a2 ( x2 y2 )
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
机动
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
o x
y
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:

考研高数：常见的旋转曲面求法

考研高数：常见的旋转曲面求法

考研高数：常见的旋转曲面求法我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。

考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。

而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。

因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。

这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。

常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。

那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。

1. 概念一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。

这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。

2. 旋转曲面求法求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。

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(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析

(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.

《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

例1、求直线 x y z 1
2 1 0
绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。 解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴 通过原点，所以过M1的纬圆方程是：
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
xOz面上的射影柱面，曲线
为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线
x2 z 2 4z y0
从方程组
2 x2 z 2 4 y 4z L: 2 2 x 3 z 8 y 12 z
消去z，得 ，这就是空间曲线L在 2 x xOy面上的射影柱面，曲线 4 y 0
F 1 ( x, y ) 0 z 0
称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。 同理，曲面 F2 ( x, z) 0 与曲面 F3 ( y, z) 0 分别叫做 方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面
而曲线
F2 ( x, z ) 0 y0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,

x 2 z 2 0.

规律：
当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标 轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在 坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其 它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐 标。
2
2
2

高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)

高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)

虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3 )
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
截痕图
o x
y
（3）用坐标面 yoz ( x 0) 或 x x1 去截曲面
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
2. 双叶双曲面
该方程就是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理， yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f
y,
x z
2
2
0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
方程可写为
（二）双曲面 1. 单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
z
o x
y
与平面 z z1 的交线为椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
2
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2
x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c
如方程
x 2 y 2 2 z 2 1 表示旋转椭球面
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
x2 y2 2 2 1 a z1 b z1 z z 1

二次曲面【高等数学PPT课件】

二次曲面【高等数学PPT课件】

（一）椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：

x
2

a
2

y2 b2

1,
z 0
z

x2 a2
y
0
z2 c2

1,
z

y2 b2

z2 c2

1.
x 0
z

o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z

高等数学-几种常见的二次曲面

高等数学-几种常见的二次曲面

母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:

高等数学 二次曲面

高等数学 二次曲面

（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .

柱面锥面旋转曲面与二次曲面

柱面锥面旋转曲面与二次曲面

例 2 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程． z
解
yoz 面上直线方程为 z y cot

z
x 2y
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
平面方程：
抛物柱面方程：
x 2y2ຫໍສະໝຸດ y x只含 x , y 而缺 z 的方程F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x , y ) 0 .
（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征： 实 例
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
§4.1
柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫 柱面的准线， 动直线叫柱面 的母线. 观察柱面的形 成过程:
母线
准 线
柱面举例：
z
M ( x, y, z ) M1 ( x, y,0)
y2 z2 2 1 椭圆柱面， 母线// x 轴 2 b c 2 2 x y z轴 母线 // 双曲柱面 ， 1 a 2 b2 抛物柱面， 母线// y 轴 x 2 2 pz
1. 椭圆柱面
2. 双曲柱面
x y 2 1 2 a b
z
2
2
x2 y2 2 2 1 a b
1
Z
且有 F1 ( x1, y1, z1 ) 0, F2 ( x2 , y2 , z2 ) 0 故x1,y1,z1满足四个等式，消去x1,y1,z1得一个三元方程 F(x,y,z)=0就是所求的柱面方程

7-6旋转曲面和二次曲面解析

7-6旋转曲面和二次曲面解析

旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
x
y
d
x y | y1 |
2 2
将 z1 z , y1 x y 代入 f ( y1 , z1 ) 0
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上两例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面的形状,求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2 2
得方程
f x 2 y 2 , z 0,


yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,

x 2 z 2 0.

例 3 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为 的圆锥面方程． z
x

柱面锥面旋转曲面与二次曲面

柱面锥面旋转曲面与二次曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋 转曲面的旋转轴，简称为轴。 如图4-5，旋转曲面的母线 上的任意点 M 1 在旋转时形成一个圆，这个圆 就是通过点 M 1 且垂直于轴 l 的平面与旋转曲面的交线，我们把它叫做 纬圆或纬线。在通过旋转轴l 的平面上，以l 为界的每个半平面都与曲面 交成一条曲线，这些曲线显然在旋转中都能彼此重合，这曲线叫作旋转 曲面的经线。 现在，来球旋转曲面的方程。 在空间直角坐标系下，设旋转曲面的母线为：
x0
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x 2 y 2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ： 将圆
( y b) 2 z 2 a 2 : , (b a 0) x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。 解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b) 2 z 2 a 2 中保留 z 不变，而 y 用 x 2 y 2 代，就得将圆（20）绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
x0
绕虚轴旋转的旋转曲面的方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
z
绕实轴旋转的旋转曲面方程为
y2 x2 z 2 1 b2 c 2 c2
x
y
曲面（4.3-3）叫做单叶旋转双曲面（图4-9），曲面 （4.3-4）叫做双叶旋转双曲面（图4-10）。 2 y 例4 将抛物线 2 pz
X ( x x1 ) Y ( y y1 ) Z ( z z1 ) 0 ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2 0 0 0 ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2 1 0 1 0 1 0

同济第三版-高数-(7.6) 第六节 旋转曲面与二次曲面

同济第三版-高数-(7.6) 第六节 旋转曲面与二次曲面
应的母线及旋转轴。
(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程
f y, z 0 , C : x0.
f y, z 0 , C: x0.
• 母线为 yoz 平面上的曲线
绕 y 轴旋转，y 不变
z
y
x2 z2
x2 y2
: f y, x 2 z 2 0 .
旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0
的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基
本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。
对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为
令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相
y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面 上。
由上讨论求得旋转曲面 的方程为：
: f y, x 2 z 2 0
z
C : f y , z 0 , x 0.
方程转化规 则

O
y
x
: f y,
x2 z2 0
绕轴 y 旋转一周，y 不变，z
于是可写出其方程为

O
: z x y cot 令 cot 2 = a，则有
y
x
:z2 a x2 y2
2 2 z x 例：将 xOz 平面上的曲线 2 2 1 分别绕 x 轴、z 轴 a b 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。
按方程转化规则写出按旋转曲面方程
(2) 二次曲面的一般概念
曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而

高数讲义第五节 曲面及其方程(一)

高数讲义第五节 曲面及其方程(一)

o
y
或 x2 y2 a2z2 , a tan
例6 将下列各平面曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a y
2 2
0
z c
2 2
1
分别绕 x轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋转双叶双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
一、1、z2 2 x 6 y 2z 11 0；
2、 x2 y2 z2 4 x 4 y 2z 0；3、(1,-2,2),4；
4、 x2 a2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
x2 y2 R2 移动而形成的 该曲面称为圆柱面
x
zHale Waihona Puke M( x, y, z)L 准线
o
y
M( x, y,0)
母线
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R

解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面共68页文档

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41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法 洛克

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解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然— —莎士 比
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
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二、1.
z
2.
z
o x o x
y
y
z
三、
1.
o x
1
2
y
z
R
2.
o x
R
R
y
2 2 2
曲面 z 2 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z
2 x 2 y 2 2 为_____________
2 2 2 2
6.曲面 z 2 x y 为_____________ 曲面 z 2 x y 为_____________ 曲面 z 2 2 x y 为_____________
曲面 z
2 x 2 y 2 2 为_____________
二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1. ； 3 4 9 2.16 x 2 4 y 2 z 2 64 .
三、 画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1. x 0 , z 0 , x 1 , y 2 , z ； 4 2. x 0 , y 0 , z 0 , x 2 y 2 R 2 , y 2 z 2 R 2 (在第一卦限内) .
2 2
曲面 z 2 x y 2 为_____________ 2 2 2 7.曲面 z 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z 2 x y 为_____________
2 2 2
曲面 z 2 2 x y 为_____________
2 2 2
2 2
x2 y2 z2 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
旋 转 椭 球 面
y 2 2 pz （3）抛物线 绕 z 轴； x 0
z
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
o x
y
例 2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所 得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶 点，两直线的夹角 （锐角）叫圆锥面的半角．试 建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
x
o
y
（3）用平行 x x1 截取的截痕为 2 x2 y1 2 2 pz 2 抛物线 b a y y 1
z
x
o
y
特殊地：当 a b 时，方程变为
x2 y2 z 2 2 a a
旋转抛物面
x2 （由 xoz 面上的抛物线 z 2 绕 z 轴旋 a 转而成的）
曲面 z x y 为_____________
2 2 2
曲面 z 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z
x 2 y 2 2 为_____________
5.曲面 z 2 x y 为_____________
2 2
曲面 z 2 x y 为_____________
解
yoz 面上直线方程为 z y cot
z
圆锥面方程


M 1 (0, y1 , z1 )
y
z x 2 y 2 cot
x 2 y 2 z 2 tan 2
x
o
M ( x, y, z )
填空题：
x2 y2 z2 1. 曲 面 + + =1 可 看 成 由 xoy 面 上 的 曲 线 2 4 2
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
2
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2
x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c
如方程
x 2 y 2 2 z 2 1 表示旋转椭球面
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
z
o x
y
椭球面与平面 z z1 (0 z1 c ) 的交线为椭圆
x2 y2 2 1 a2 b 2 2 2 2 (c z1 ) (c z1 ) 2 2 c c z z1 | z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
o
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d x 2 y 2 | y1 |
将 z1 z , y1 x y
2
x
2
代入
曲线C 的方程 f ( y1 , z1 ) 0
得旋转曲面的方程为 f

x 2 y 2 , z 0,

o
x
y
与平面 y y1 ( y1 b ) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
(1 ) ( 2 )
2 y1 b 2 , 实轴与 x 轴平行, 2 y1 b 2 , 实轴与 z 轴平行,
________________绕_______轴旋转面成，或由 yoz 面上的曲线 _______________ 绕 ________ 轴 旋 转 面 成 。 它 表 示 _______________曲面。 y2 2 2 2.曲面 x z 1 是由_______绕_________轴放置一周所形 4 成的，它表示_______________曲面。 3.曲面 ( z a )2 x 2 y 2 是由______________绕_____轴旋转一 周所形成的，它表示_______________曲面。 2 2 2 4.曲面 z x y 为_____________面 曲面 z 曲面 z
第六节 旋转曲面与二次曲面
一、旋转曲面 二、二次曲面 三、小结 思考题
一、旋转曲面
由一条平面曲
线绕其平面上的一
条定直线旋转一周
所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
播放
设在 yOz 面上的一条已知曲线C ，C 绕 z 轴旋转一周， 得旋转曲面
2 a2 2 2 2 x y 2 (c z1 ) . 截面上圆的方程 c z z 1
如
x2 y2 4 . z 2
( 2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
x2 y2 z2 a2 .
该方程就是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理， yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f
y,
x z
2
2
0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3 )
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
截痕图
o x
y
（3）用坐标面 yoz ( x 0) 或 x x1 去截曲面
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
2. 双叶双曲面
椭圆抛物面的图形如下：
z x z
o
y
x
o
y
x2 y2 z 2 2 a b
x2 y2 z 2 2 a b
2. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z 2 2 a b
x2 y2 可写成： z 2 p 2q
p 0, q 0
z o x
用截痕法讨论： 图形如下：
y
三、小结
2 x2 y2 z1 2 2 1 2 b c a z z 1
当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上. z
o x
y
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截 截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
实轴为 x 轴， 虚轴为 z 轴. z
x2 z2 （1）双曲线 a 2 c 2 1 , 分别绕 z 轴和 x 轴； y0
x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 1 绕 x 轴旋转 2 2 a c
旋 转 双 曲 面
y z 2 2 1 （2）椭圆 a 分别绕 y 轴和 z 轴； c x 0 2 2 2 y x z 绕 y 轴旋转 1 2 2 a c
x 2 y 2 为_____________面 2 x 2 y 2 为_____________面
二、二次曲面
三元二次方程表示的曲面称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
z
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
o
y
旋转过程如图
x
设 M1 (0, y1 , z1 ) 是曲线C 上任一点，
M ( x , y , z ) 是点 M1 绕 z 轴旋转所得的任一点，
则
z
(1) z z1
（2）点 M ( x , y , z ) 到 z 轴 的距离
与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆.
x 2 y 2 a 2 z1 z z1
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.半 径随之增加.