[五年级数学]五年级数学提高讲义——数论综合

小学五年级数学申请提高学生在数论中的解题技巧在小学五年级数学教学中，数论作为一个重要的内容模块，对于学生们培养数学思维、提高解题能力至关重要。

然而，很多学生在数论中遇到了各种问题，解题技巧不够熟练，对于数论知识的应用不够灵活。

因此，本文将提出一些方法和建议，帮助学生提高在数论中的解题技巧。

一、巩固基础知识数论是建立在基础数学知识上的，要想在数论中取得进步，首先要巩固好基础知识。

这包括对数学四则运算的掌握，对整数、分数、小数等数的基本概念的理解，以及对于各类数学公式和定理的熟悉。

只有基础知识打牢了，才能更好地应对数论题目的挑战。

二、培养逻辑思维能力解决数论问题需要良好的逻辑思维能力。

数论中的题目往往涉及到数的性质和规律，需要学生通过观察、归纳、推理等方法找出其中的规律，然后据此进行证明或求解。

因此，培养学生的逻辑思维能力对于在数论中的解题技巧提高至关重要。

可以通过进行逻辑思维训练、解析问题和讨论解题思路等方式来锻炼学生的逻辑思维能力。

三、注重实际问题的应用数论作为一门学科，不仅仅是为了解决某些理论问题，更多的是为了解决实际问题。

因此，在教学过程中，要注重将数论知识与实际问题相结合，让学生能够把数论技巧应用到实际生活中去。

比如，可以选取一些生活中的实际问题，引导学生通过数论的知识去解决这些问题，这样能够更好地激发学生学习数论的兴趣，提高解题技巧。

四、启发学生解题思路在数论中，很多问题需要学生具备一定的解题思路。

因此，教师在教学过程中应该注重培养学生的解题思路。

可以通过解题示范、解题方法的讲解、激发学生思维的问题设置等手段来锻炼学生的解题思路。

同时，也要鼓励学生自主思考，启发学生多样化的解题思路，在解决问题的过程中不断完善自己的思考方式。

五、进行针对性的训练提高学生在数论中的解题技巧，需要进行有针对性的训练。

可以根据学生的巩固情况和能力水平，安排相应的练习和试题，包括选择题、填空题、解答题等。

通过反复练习，让学生熟悉各类数论题型，掌握解题技巧，提高解题速度和准确度。

五年级数学提高班讲义0511、东风商场文具用品柜里有一些物品的单价如下：钢笔6.2元；圆规3.7元；文具盒5.9元；三角板3.6元。

给你10元，有多少种购物方案？每种方案各需要多少钱？2、在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是46,已知差是13.6,那么减数是多少？3、两个数的和是 5.8,如果一个加数增加 2.4,另一个加数增加1.2,那么和是多少？4、两个数的差是5.8,如果被减数增加2.4,减数增加1.2,那么差是多少？五年级数学提高班讲义0521、在□填上合适的数，使组成的算式能进行简便计算，并计算。

8.93—（□＋□） 9.61＋□＋□ 22.06－□－□2、用0,2,5,7,8这五个数组成两个整数部分都是两位小数（每一个数字在每个小数中只能各出现一次），使这两个小数和的108.098这两个小数是多少？3、用6、0、7、2,能摆成多少不同的三位小数，最大的是多少？最小的是多少？4、一瓶油连瓶重3.8千克，用去一半后，连瓶还重2.2千克，原来有油多少千克？5、把一张大白纸厚0.1毫米，将它对折4次，厚多少毫米？已知A＝0.0……032,B＝0.0……01,求A＋B，A×B。

五年级数学提高班讲义0531、一个三位小数四舍五入后是6.52,这个三位小数最大是多少？最小是多少？2、用一根铁丝恰好围成一个长方形，已知长方形的宽是2.2米，长是宽的1.5倍，这根铁丝长多少米？围成的长方形的面积是多少平方米？3、简便计算。

42.5×0.99＋0.425 25.6×0.72＋0.744×72 132.72＋232.72＋332.72＋432.72＋532.72＋632.72五年级数学提高班讲义0541、一桶油，连桶共重40千克，用去一半后连桶共重20.99千克。

问这桶油重多少千克？桶重多少千克？2、简便计算0.99×0.81+0.11×9×0.19 0.75×0.79-0.25×3×0.39请你根据所学知识，把下面这张发票赶写完整。

数论2积形式）2b 是的约数，当且仅当b 的素数分解式中素因子出现的个数不超过的素数分解式中拓展与提高【例1】将小于36的11个质数分别填入下式的方格内，使得A 是质数，那么A 最小是 ．A ++++++++=+【例2】一个自然数包括1和它自身有8个约数，其中两个约数是21和35．这个自然数是 ． 【例3】如果你写出12的所有约数，1和12除外，你会发现最大的约数是最小约数的3倍．现有一个整数n ，除掉它的约数1和n 外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的15倍，那么满足条件的整数n 有 ． 【例4】若六位数abcabc 恰有16个正约数，请问这样的abcabc 的最小值是什么？【例5】整数8可以写成1，1，2，4这4个整数的和，也可写成这4个整数的乘积．那么最少有 个一些数学家将素数称为构成了数学大厦的砖头。

不等于2008的整数，使得它们的和等于2008，它们的乘积也等于2008．【例6】在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？ 【例7】将95写成若干个（至少两个）连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案． 【例8】黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个自然数可能的最大值和最小值的差是 ．【例9】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形可以拼接成一个长方形，则这个长方形的长= ，宽= ．【例10】如图所示在方格中放有正整数，并使得横向、纵向及对角线方向上的数的乘积相等．一些方格中已填有数字．那么，N 至多有 个不同的取值．A ．4B ．15C ．9D ．6E ．12计算达标1． 2(61)1347(32)x x x --=-- 解： 1221342114x x x --=-+124211421x x x-+=++ 2929x = 1x =2． 35(1)62(11)x x x +-=-- 解：3556222x x x +-=-+3526225x x x ++=++1033x = 3.3x =3． 17(52)5x x --=+ 解：135145x x -+=+145135x x -=-+ 1339x = 3x =4． 4(5)72(32)16x x x +-=-+ 解：42076416x x x +-=-+47461620x x x -+=+-2x =练习1． 将20以内的八个质数分别填入下式的方格内，使得A 是整数，那么A = ．A +++++=+【知识点】质数 【难度】★★【提示】235711131719(25)11+++++++=+⨯，所经分母是25+．2． 二十多位小朋友围成一圈做游戏．他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有 人． 【知识点】约数N24126【难度】★★【解】根据游戏规则，小明第一次报数报19而19以后一直到91共有24个数不能报，要跳过去，那么小明报91时，应是报19以后的第91-19-24=48个数，这时以小明为起点刚好报了完整的若干圈，而48的二十多的约数只有24，所以这群小朋友有24人． 3． 一个六位数ABABAB 乘以4080的结果恰是六个连续自然数的积，这六个连续自然数的和是 ．【知识点】约数与分解质因数 【难度】★★★【解】424080101012357131737⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以六个连续自然数中必有37，又因为有因子17和13，所以必有34和39，由此得到六个自然数为34、35、36、37、38和39．343536373839219+++++= （本题中57AB =）4． 一个合数恰有12个约数，且比1000大，满足这样条件的最小数是多少？ 【知识点】约数个数 【难度】★★★【解】恰有12个约数的合数应具有下列形式之一：11a ，5ab ，23a b ，2abc其中a 、b 、c 均为质数．11a 大于1000的最小数是1122048=；5ab 大于1000的最小数是52371184⨯=；23a b 大于1000的最小数是23351125⨯=；2abc 大于1000的最小数是2211231012⨯⨯=． 所以，满足条件的最小数是1012．5． 将(123)2002n +++⋅⋅⋅++表示(1)n n >个连续自然数的和，共有 种不同的表示方法． 【知识点】自然数的分解 【难度】★★★★【解】当n 为2002的约数时(123)2002n +++⋅⋅⋅++才能表示为n 个连续自然数的和： 20022002200212n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭200227111=⨯⨯⨯，不同的区数有4(11)16+=（个），其中除去约数1，因此共有16115-=（种）不同的表示方法．。

第一节定义新运算【知识要点】说起运算，同学们马上就会想到我们课堂上学过的加、减、乘、除四则运算，并且还能熟练地说出这些运算的一些运算性质和运算定律。

当然，对于什么样的问题该用加法或减法、乘法还是除法计算更是烂熟于胸。

其实，在加、减、乘、除四则运算之外，还有其他多种法则的运算。

我们这一讲里将要学习的“新运算”，就是用*、△、☆、⊙等多种符号，按照一定的关系，临时规定的一种新的运算程序（新运算）。

学习“定义新运算”，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。

【典型例题】例1 设a，b都表示数，规定是a△b表示a的3倍减去b的2倍，a△b=a×3-b×2。

试计算：5△6；（7△6）△4的值。

例2 有两个数是A 、B ，A △B 表A 与B 的平均数。

、（1）已知A △6=17，求A 。

（2）如果已知4△B=2，求B 。

例3 规定△=x+，那么3△4= 。

例4 如果2*3=2+3+4，5*4=5+6+7+8，按此规律计算：3*5；5*3x y 32y x yx ⨯+【小试锋芒】1.设a,b都表示数，规定a△b=6×a-2×b。

试计算3△42.设a,b都表示数，规定a△b=3×a+2×b 试计算：（5△6）△7；5△（6△7）3. 规定：6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。

求：7*54.如果2*4=24÷（2+4），按此规律计算3*6；6*3；历届竞赛中的定义新运算：1．观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推知9*5的值是？（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级　第1试）2．规定：A*B＝3A＋2B，如4*5＝3×4＋2×5，那么，B*A＝________。

（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级　第1试）3．“△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。

数论综合一知识要点一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；常见数的整除问题【例 1】 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【例 2】 173□是个四位数字。

数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？【例 3】 在六位数11□□11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例 5】 （2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）a ，b ，c ，d 各代表一个不同的非零数字，如果abcd 是13的倍数，bcda 是11的倍数，cdab 是9的倍数，dabc 是7的倍数，那么abcd是______。

第四讲数论综合一、教学目标1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、8、9、11等数整除的自然数的特征；2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）；二、知识体系奇数与偶数（四年级暑假）数论一（四年级秋季）约数与倍数（四升五暑假）数论综合（五年级秋季、寒假）数论（整除）质数与合数（四升五暑假）数阵图（四、五年级春季、寒假）同余定理（五年级秋季）数字迷（四、五年级春季、寒假）考点：①被2、3、4、5、6、7、8、9、11整除的数的特征②分解因式三、知识要点b≠），a被b除的余数为0时（商为整数），则称a被b整除或当两个整数a和b（0b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为0，则称a 不能被b整除，或b不整除a数的整除特征①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个就能被11整除。

④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；=⨯⨯⨯⨯⨯；⑤部分特殊数的分解：111337; 1001=71113; 11111=41271; 10001=73137=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯199535719; 1998=233337; 2007=33223; 2008=2222512=⨯⨯⨯⨯2011是质数。

10101371337, 2009=741,求一个数所有约数的个数：用分解质因数形式表示：312123n p p p p nN a a a a =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯（12n a a a N ⋅⋅⋅、、为合数的不同质因数） 那么所求的约数个数为()()()()1231111;n A p p p p =+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅+()()()32504237,31211124=⨯⨯+⨯+⨯+=例如：那么它有个约数完全平方数有奇数个约数。

第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：，方框教学目标分析：因为36=4×9，所以C6能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值.[拓展]要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C分别是多少？分析：先取A=9，则3+B+C是9的倍数，B=8，C=7时，取得最大值.【例4】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例5】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以.应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998. [拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.Ⅱ、整除与数字组合【例6】（★★★2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 .分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★）用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除，这个六位数是 .分析：168=2×2×2×3×7，由于这个六位数被8整队，后三位只能是688，768或者776三种情况，分别验证这个6位数被7除的情况可知，只有768768满足要求.[拓展]：用数字4、5、6各两个，组成一个六位数，使它们能被165整除，这样的六位数有多少个？分析：165=3×5×11，所以，这样的六位数的个位数为5，且各位数数字之和为3的倍数（已满足），奇偶数位之和的差为11的倍数，4+4+5+5+6+6=30，30拆成两个差为11的倍数的数和有两种方法：30=15+15或4+26，显然后一种是无法达到的，而15只能等于4+5+6，所以，万位数和百位数上一个是4，一个是6，十万位、千位、十位上是4、5、6的某个排列，所以一共有2×3×2×1=12个.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B －A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，×[；③×Ⅲ、多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.【例11】（★★）200820082008200808n 个能被11整除，那么，n 的最小值为多少 分析：200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.[巩固]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★）应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被7整除？（其中数码2和7都重复了50次）222...22?77 (777)分析：事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“22?77”．从中减去21077，并除以100，即得“1?”．此时不难验证，具有此种形式的二位数中，只有14可被7整除．所以？上填4.专题展望数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被99整除，□□是 .72×是0的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.5、（★★★例9）已知ABABAB 是154的倍数，求AB 的最小值.分析：事实上ABABAB =AB ×10101，而10101=3×7×13×37，所以只要保证AB 能被22整除，所以AB 的最小值为22.练习三数学知识时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.。

数论专题讲义数论专题数论主要分以下几个模块：1、数的整除问题2、质数合数与分解质因数3、约数与倍数4、余数问题5、奇数与偶数6、位值原理7、完全平方数8、数字谜问题一、整除问题1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c��a，c��b，那么c��(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b�Oa，c�Ob，那么c�Oa．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc�Oa，那么b�Oa，c�Oa．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b1 / 10与c的乘积整除．即如果b�Oa，c�Oa，且(b，c)=1，那么bc�Oa．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；性质6 如果数a能整除数b，且数c能被数d整除，那么ac也能整除bd，如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；1、整除判定特征如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？2、数的整除性质应用要使15abc6能被36整除，而且所得的商最小，那么a,b,c分别是多少？3、整除综合性问题已知：23!?258D20C67388849766AB000．则DCB?A?？二、质数合数与分解质因数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.a3aka2何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n?p1a1?p2其中为?p3???pk质数，a1?a2????ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.1、质数合数的基本概念的应用如果a，b均为质数，且3a?7b?41，则a?b?______.2、分解质因数在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?3、质数合数综合型题目P是质数，P?10，P?14，P?102都是质数．求P是多少？2 / 10三、约数与倍数0被排除在约数与倍数之外①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以(231,252)?3?7?21；21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)?2?3?6；32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．?315例如，求600和1515的最大公约数：1515?600?2；600?315?1?285；315?285?1?30；285?30?9?15；30?15?2?0；所以1515和600的最大公约数是15．①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各b个分数的分子的最大公约数b；即为所求．a①分解质因数的方法；例如：231?3?7?11，252?22?32?7，所以?231,252??22?32?7?11?2772；②短除法求最小公倍数；21812例如：396 ，所以?18,12??2?3?3?2?36；32a?b．(a,b)③[a,b]?①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的35[3,5]15b?最大公约数b；即为所求．例如：[,]?412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

第四讲数论综合基础班1.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。

如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？2.五（2）班部分学生参加学校举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。

评分标准是：答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。

试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？3.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。

是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？试讲出理由。

4.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。

问：原来写的三个整数能否是1，3，5？5.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…问：最右边的一个数是奇数还是偶数？6.如下图所示，将1～12顺次排成一圈。

如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置。

例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置。

问：a是多少时，可以走到7的位置？7.一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见下图）。

守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋。

可以做到吗？答案1.解析：至少3次。

例如：↑↑↑↓↓↓↑↓↓↑↑↑↓↓↑↓↓↓↑↑↑↑↑↑2.解析：本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。

因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。

因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。

3.解析：假设在同一条直线上的红圈数都是奇数，5条直线上的红圈总数就会是奇数（奇数乘以奇数仍是奇数）。

- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：五年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作：m n A (m ≤n)．m n A = n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m 项从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的组合总数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C (m ≤n)．()()().1...1.1...3.2.1m n n n n m C m m --+=-或 ()!!!m n n C n m m =-.【例1】★7个人排成一排照相，其中甲不站在两边，乙不站在中间，共有多少种排法？【解析】(分类讨论) (1)甲不站在两边，因此有5种站法．如果甲站中间，其余6个人有 6×5×4×3×2×1=720种排法．（2）如果甲不在中间，甲有4种站法，这时乙有5种站法，其余的5个人有5!种站法,共有4×5×5!=2400种排法．因此共有720+2400=3120（种）【小试牛刀】有A 、B 、C 、D 、E 五人排成一队，A 不许站排头，B 不许站排尾，共有多少种不同排法？5【解析】先讨论A 的站位：（1）A 站在5号位置上，则A 只有一种站法，B 有4个不同位置可站，C 有3个不同位典型例题 知识梳理置可站，D有两个不同位置可站，E只有1个位置可站，由乘法原理，在这种站位方式下有1×4×3×2×1=24（种）不同的排队方法。

（2）A站在2、3、4号3个位置之一。

五年级数学提高班讲义（四）主讲人：张老师小数除法巩固课教学目标：1.让学生自主地对小数除法的知识回顾整理，梳理成知识网络。

2.通过多种形式的学习活动与多层次的练习，使学生熟练掌握小数乘除法的计算方法与技巧，提高学生计算的正确率与灵活性。

3.通过学生的自我评价，自我反思，进一步完善学生的认知结构，培养学生的创新意识与解决实际问题的能力。

重点、难点：重点：熟练掌握小数除法及其简便计算的计算方法，提高学生计算能力及计算的准确率。

难点：提高学生计算的正确率及运用所学知识计算的灵活性。

教学过程一、回顾整理、建构网络（一）问题创设、导入复习接下来我们一起来说一说，这单元我们主要学习了哪些知识？小数乘除法的计算法则计算：运用运算律计算积或商的近似值应用：解决实际问题二、练习应用：版块一：小数乘除法的计算法则1. 先把小数看成整数，算出结果后，数一数因数中有几位小数，积就有几位小数。

2.根据商不变的规律，被除数和除数同时缩小10倍，商不变。

3.(运用商不变的规律，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。

)过渡：刚刚我们运用小数乘除法的计算法则解决了一些问题（√），接下来我们看看同学们数学规律学得怎么样？版块二：运用运算律计算乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a＋b)×c=a×c＋b×c版块三：积或商的近明确用什么方法取近似值！（四舍五入）小结：求积或商的近似值，我们要注意什么?乘法末尾对齐，末尾划0，数位不够用0补足，≈，除法中商的小数点要和被除数的小数点对齐，数位不够用0占位。

过渡：求积或商的近似值不仅用于计算中，（√）还用于我们的生活中。

除了进一法和去尾法，生活中还有是什么方法？能举例吗？因此，在实际应用中应该怎样取近似值？（√）（根据实际情况）也就是：结合实际，具体问题具体对待！课堂巩固一、口算：（5分）直接计算①2.7÷0.3= ②0.35×4= ③0.5÷2= ④8÷0.8= ⑤0.4×0.8= ⑥3.5+0.65= ⑦0.48÷0.8= ⑧6.6 -0.6= ⑨10÷4= ⑩0.3÷0.15=二、“认真细致”填一填：15分1、36分=（）时 3.75千米=（）米 560千克=（）吨1.2小时=（）分2、一辆汽车0.5小时行驶40千米，这辆汽车平均每小时行驶（）千米，每行驶1千米需要（）小时。

五年级数学提高班讲义一1.如果○×○=16 （○+○）×△=40.那么（△+△+△）×○= .2.一个梯形的装饰板，上底6分米，下底10分米，高1米，两面都要涂油漆，涂油漆的面积是（ ）平方分米。

3.一个梯形的面积是550平方厘米，它的上底是37厘米，下底是13厘米，则它的高是（ ）厘米。

4.右图是一个平行四边形，图中未知的高是（ ）分米。

5.在三角形ABC 中，BD 的长度相当于CD 长度的3倍，那么三角形ABD 的面积是三角形ACD 面积的（ ）倍。

6.一个梯形的上底与下底的平均长度是40厘米，高是12厘米，这个梯形的面积是（ ）平方厘米。

7.一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等。

如果三角形的高是8厘米，那么平行四边形的高是（ ）厘米；如果平行四边形的高是8厘米，那么三角形的高是（ ）厘米。

8.在一个长8厘米，周长是22厘米的长方形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。

五年级数学提高班讲义002计算下图的面积。

1已知直角梯形高30厘米，∠1＝∠2＝45°。

求梯形ABCD 的面积。

C8dm18dm dm9dm2. 在三角形ABC中，EC =2BE，CD =2AD，三角形BDE的面积是14平方厘米，求三角形ABC的面积。

3.下图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长。

五年级数学提高班讲义0031、用一张长108厘米，宽80厘米的红纸，做一些直角边分别是27厘米和16厘米的三角形小旗，最多能做多少面？2、一个三角形的底是48分米，高是底的一半，这个三角形的面积是多少平方分米？3、一张正方形彩纸边长66厘米，要用它做成底是33厘米、高是22厘米的三角形彩旗，最多可以做多少面？),这个花坛的面积有多少平方米?0041、一堆钢管，最上层12根，最下层23根，从上到下每层多1根，共堆了12层。

解锁五年级下册的数论助你攻克数学难题数学一直以来都是许多学生头疼的问题，尤其当面对数学难题时更是感到无从下手。

然而，在五年级下册中，数论作为数学的一个重要分支，能够帮助学生解决难题，提升数学水平。

本文将探讨数论在五年级下册中的应用，帮助读者更好地攻克数学难题。

一、什么是数论数论是研究整数性质和整数运算的一门数学学科，它关注整数之间的关系、性质和规律。

在五年级下册中，数论主要涉及以下几个重要的概念和定理。

1.1 素数素数是指只能被1和自身整除的整数，例如2、3、5、7等。

理解什么是素数，并能够识别素数的特点，对于解决一些与素数相关的数学难题非常重要。

1.2 最大公因数和最小公倍数最大公因数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

最小公倍数则是指两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。

在解决求解分数、约分以及寻找公倍数等问题时，最大公因数和最小公倍数是必不可少的工具。

1.3 质因数分解质因数分解是将一个数分解成几个质数相乘的表示方式。

通过质因数分解，我们可以更好地理解一个数的因数结构，对于解决分数运算、约分等问题非常有帮助。

二、数论在解决数学难题中的应用2.1 分数运算的简化在五年级下册中，我们需要进行分数运算，并将结果以最简形式呈现。

数论中的最大公因数和最小公倍数可以帮助我们简化分数。

比如，在分数加减乘除中，我们可以通过求解最大公因数来约分，使结果更加简洁明了。

2.2 寻找质数和合数在应用数论解决数学难题时，我们常常需要寻找质数和合数。

通过判断是否能被其他数整除，我们可以轻松识别质数。

例如，求解最大公因数或最小公倍数时，我们需要寻找两个数的质因数分解，从而更好地理解数的因数结构。

2.3 探索除法规律在数论中，我们可以通过观察整数们的除法规律，解决一些数学难题。

例如，数字根规律、奇偶性规律和尾数规律等，都可以通过数论的方法得以解释和推理。

三、学习数论的有效方法3.1 勤于实践数论是一门非常实践性强的学科，只有通过实际的练习，才能更好地理解和掌握其中的概念和定理。

美国大联盟五年级讲义数论和代数1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。

如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和的简便运算。

计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的.右边起数出几位点上小数点。

2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。

如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少。

注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

4、求近似数的方法一般有三种：⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。

保留一位小数，表示计算到角。

6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。

7、运算定律和性质：加法：加法交换律：a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c)a-(b-c)=a-b+c乘法：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)。