小学五年级数学因数与倍数讲义 非常经典的讲义

五年级因数和倍数知识点一、因数和倍数的基本概念。

1. 因数。

- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数。

例如3×4 = 12，3和4就是12的因数。

- 找一个数因数的方法：- 列乘法算式找，从1开始，一对一对地找。

如找18的因数，1×18 = 18，2×9=18，3×6 = 18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。

- 列除法算式找，想这个数除以哪些数能整除，这些除数和商就是这个数的因数。

2. 倍数。

- 定义：如果a× b = c（a、b、c都是非0自然数），那么c就是a和b的倍数。

例如3×4 = 12，12就是3和4的倍数。

- 找一个数倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。

如3的倍数有3、6、9、12……3. 因数和倍数的关系。

- 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

例如，不能说3是因数，应该说3是6的因数；不能说12是倍数，应该说12是3的倍数。

二、2、5、3的倍数的特征。

1. 2的倍数的特征。

- 个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

例如10、12、14等都是2的倍数。

2的倍数也叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。

2. 5的倍数的特征。

- 个位上是0或5的数都是5的倍数。

如5、10、15等都是5的倍数。

3. 3的倍数的特征。

- 一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

例如123，各位数字之和1 + 2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。

三、质数与合数。

1. 质数。

- 定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

例如2、3、5、7等都是质数，2只有1和2两个因数，3只有1和3两个因数。

2. 合数。

- 定义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

因数和倍数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容奇数与偶数、因数与倍数、2,3,5的倍数特征、质数与合数课型一对一/一对N教学目标1、理解因数与倍数概念，能举例说明；2、了解奇数与偶数，能准确判断奇数与偶数，通过探索奇数、偶数相加的结果是奇数还是偶数（奇偶性）；3、了解质数与合数，在1～100的自然数中，能找出质数与合数，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数。

重、难点2,3,5的倍数特征、质数与合数知识导图导学一：因数与倍数知识点讲解 1：因数与倍数1、自然数的个数是（）的，最小的自然数是（），（）最大的自然数。

2、在自然数中，是（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。

3、因数和倍数的意义：如果整数a（a≠0）乘整数b（b≠0）得到整数c，那么a和b都是（）的因数，c是（）的倍数， c也是（）的倍数。

因数和倍数是相互（）的，不能说哪个数是因数，哪个数是倍数。

例 1. 判断（对的打“√”，错的打“×”）（1）18是倍数，2是因数。

（）（2）因为1.4÷0.2＝7，所以1.4是0.2的倍数，0.2是1.4的因数。

（）（3）一个非零自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。

（）例 2. [单选题] 属于因数和倍数关系的等式是（）。

A、2×0.25=0.5B、2×25=50C、2×0=0例 3. 在12、6、3、4中，（）是（）的倍数，（）是（）的因数。

例 4. [单选题] 15的最大因数是（），最小倍数是（）。

A、1B、3C、5D、15 我爱展示1. 10×3＝30，（）是（）的因数，（）是（）的倍数。

60÷5＝12，60是（）的倍数，（）是（）的因数。

1.一个数既是20的因数，又是20的倍数，这个数是（）。

2.[单选题] 一个数既是4的因数，又是2的倍数，这个数是（）。

A、2B、4C、2或43.[单选题] a是b的倍数，c是b的因数，则a是c的（）。

因数和倍数五年级知识点小朋友们，咱们来唠唠因数和倍数这个五年级的知识点哈。

一、因数1. 啥是因数呢- 假如有个乘法算式，像3×4 = 12，那3和4就是12的因数。

简单说呢，因数就是能够相乘得到一个数的那些数。

就好比盖房子，因数就是那些小砖头，它们凑一块儿就能盖出一个大数字来。

比如说18，1×18 = 18，2×9=18，3×6 = 18，所以1、2、3、6、9、18都是18的因数。

2. 找因数的小窍门- 找一个数的因数呀，就从1开始，一对一对地找。

比如找24的因数，先有1×24，然后2×12，3×8，4×6，这样24的因数就是1、2、3、4、6、8、12、24啦。

3. 因数的特点- 一个数的因数的个数是有限的。

最小的因数呢，肯定是1，最大的因数就是这个数自己。

就像5的因数，最小是1，最大就是5，总共就1和5这两个因数。

二、倍数1. 倍数是啥玩意儿- 如果说因数是盖房子的小砖头，那倍数就是盖好的大房子。

还是拿3×4 = 12来说，12就是3的倍数，也是4的倍数。

一个数乘以整数得到的结果就是这个数的倍数。

比如5的倍数有5×1 = 5，5×2=10，5×3 = 15等等，那5、10、15就是5的倍数。

2. 找倍数的方法- 找一个数的倍数很简单，就用这个数去乘1、2、3、4……一直乘下去就有好多倍数了。

比如找7的倍数，7×1 = 7，7×2 = 14，7×3=21，这样7、14、21都是7的倍数。

3. 倍数的特点- 一个数的倍数的个数是无限的。

最小的倍数就是这个数自己，没有最大的倍数。

就像3的倍数，最小就是3，然后有6、9、12……一直到无穷大呢。

三、因数和倍数的关系1. 相互依存- 因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或者倍数。

得说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

倍数与因数【第一部分】知识点分布1对整数 、自然数、倍数、 因数、 偶数、 奇数、质数、 合数的掌握 （重点）2、找倍数、找因数的方法（难点）3、倍数与因数(考点)【第二部分】知识点精讲一、整数的意义像……、-2、-1、0、1、2、3、4……这样的数都是整数。

2、整数的分类正整数：1、2、3、4、5……整数 0负整数：……-4、-3、-2、-13、自然数的定义用来表示物体个数的1、2、3、4……叫做自然数。

一个物体也没有，就用0表示。

0也是自然数。

自然数的基本单位是1。

二、因数与倍数的意义如果自然数a 乘自然数b 等于c ，即a ×b=c ，我们就说a 和b 是c 的因数，c 是a 和b 的倍数。

但要注意我们在研究因数和倍数的时候，所说的数是指自然数（一般不包括0）。

如果a 和b 是c 的因数，c 是a 和b 的倍数，我们有时也说a 和b 能整除c ，或者说c 能被a 和b 整除。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

倍数和因数是相互依存的。

0是任何整数的倍数。

三、找因数的方法 1、根据一个数的因数的定义，列出一个乘法算式，就可以找出这个数的一对因数，所以要有序的写出两个数的乘积是这个数的所有乘法算式，就可以找出它的全部因数。

当两个因数相等时，就算一个因数。

练习题：写出18的所有因数。

2、要找出一个数的全部因数，用除法考虑，把这个数固定为被除数，改变除数，按照顺序，依次用1、2、3、4、5……去除这个数，看除的商是不是整数，如果是整数，则除自然数数和商都是被除数的因数，当除数和商相等时，就算一个因数；如果不是整数，除数和商都不是被除数的因数。

这样一直初到除数比商大时为止。

练习题：写出24的所有因数。

四、找倍数的方法根据一个数的倍数定义，我们可知这个数和任意非零自然数的积都是这个数的倍数。

在限定范围内找出一个数的倍数，可先写出这个自然数本身，然后用这个自然数分别乘2、3、4、5……直到所乘得的积接近规定的极限为止。

第二讲因数和倍数一、基础知识1.因数和倍数：如果整数a能被b整除（b≠0），整数b就是a的因数。

整数a就是整数b的倍数。

2.公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，a与b的最大公因数记作（a，b）.例如：8的公因数有（），12的公因数有（）8和12公有的因数有（），8和12的最大公因数是（）练习：⑴24的因数有（），18的因数有（）24和18的公因数是（），24和18的最大公因数是（）⑵写出15废话18的因数、公因数，再找出它们的最大公因数3.求几个数最大公因数的方法：①分解质因数法把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公因数例如：把24,36分解质因数练习：求156和192的最大公因数②短除法短除法求最大公因数，先用各数中的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数举例： 24和36的最大公因数练习：求252和150的最大公因数4.公倍数与最小公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，a与b的最小公倍数记作【a,b】例如： 4的倍数有4、8、12、16...。

6的倍数有6、12、18、24...，4和6的公倍数有12，24，...，其中最小的是12，记为【4,6】=12例如：（1）求24和60的最小公倍数；（2）求12,15,18的最小公倍数5.常用结论（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

例如：8而后14分别除以它们的最大公因数2，所得商分别为4和7，那么4和7互质（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数（3）两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积即：（a,b）×【a,b】=a×b例如：12和16，（12,16）=4，【12,16】=48，有4×48=12×16 即：（12,16）×【12,16】=12×16（4）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积例如：8和9，它们是互质数，所以（8,9）=1，,【8,9】=72二、例题讲解例1：（1）105的因数有个，它们是：（2）90与315的最大公因数是，最小公倍数是（3）35,98,112的最大公因数是，最小公倍数（4）一个数除158余8，这个数可能是（5）56,28,42的公因数有，最大的公因数例2：（1）把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，最多有个小朋友。

人教版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义第二章因数与倍数【知识点归纳总结】1. 因数和倍数的意义假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子．需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立．反过来说，我们称n为m的倍数．【经典例题】1．4和8都是32的（）A．因数B．倍数C．奇数D．偶数【分析】整数a除以整数b得到的商c是整数，并且没有余数，我们就说a是b和c的倍数，b和c都是a的因数，因为32÷4＝8，所以说4和8都是32的因数，32是4和8的倍数．【解答】解：因为32÷4＝8 所以4和8都是32的因数，32是4、8的倍数．故选：A．【点评】此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系．2. 找一个数的因数的方法1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．2．找配对．例如：24=1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．【经典例题】2．在18的所有因数中，最大的因数是（）A．1B．3C．66D．18【分析】根据一个数的因数是有限的，其中最大的因数是它本身，据此解答．【解答】解：在18的所有因数中，最大的因数是它本身，即是18．故选：D．【点评】本题主要考查因数、倍数的意义，理解一个数的最大的因数和最小的倍数都是它本身．3. 找一个数的倍数的方法找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．1．末尾是偶数的数就是2的倍数．2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．4．最后一位是5或0的数是5的倍数．5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．【经典例题】3．如果一个数是9的倍数，那么它也一定是（）的倍数．A．6B．3C．18D．27【分析】因为9是3的倍数，所以一个数是9的倍数，那么它一定是3的倍数，举例证明．【解答】解：18是9的倍数也是3的倍数，54是9的倍数也是3的倍数，所以一个数是9的倍数，那么它一定是3的倍数．故选：B．【点评】本题主要考查3和9的倍数特征，注意9是3的倍数．4. 2、3、5的倍数特征2、3、5的倍数特征：被2整除特征：偶数被3整除特征：每一位上数字之和能被3整除被5整除特征：个位上是0或5的数同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除．【经典例题】4．一个数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3，这个数最小是30．【分析】由于这个数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3，要使这个数最小，就是求2、3、5的最小公倍数．根据最小公倍数的含义，这三个数如果两两互质，那么这几个数的最小公倍数就是这几个数的乘积．【解答】解：2、3、5两两互质，它们的最小公倍数是；2×3×5＝6×5＝30故答案为：30．【点评】2、3、5的倍数特征是一个常考的知识点，应熟练掌握．5. 合数与质数合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）【经典例题】5．30以内的正整数中，最大的素数和最小的合数的积是116．【分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；据此可知，在30以内的自然数中，最大的质数是29，最小的合数是4，用29×4计算得解．【解答】解：30以内的自然数中，最大的质数是29，最小的合数是4；29×4＝116答：30以内的正整数中，最大的素数和最小的合数的积是116．故答案为：116．【点评】解答此题应明确：自然数中，质数与合数是根据因数的多少进行定义的．6. 合数分解质因数任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式．其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数．【经典例题】6．把36分解质因数是36＝1×2×2×3×3．×（判断对错）【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解．【解答】解：把36分解质因数是：36＝2×2×3×3；故判断为：×．【点评】此题主要考查分解质因数的方法及运用．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共10小题）1．下面的说法中．正确的是（）A．8是48的倍数B．27是9的因数C．一个数的倍数的个数是有限的D．15是60的因数，也是5的倍数2．2和3是12的（）A．因数B．公因数C．最大公因数D．质数3．既是6的倍数，又是24的因数的数有（）个．A．1B．2C．3D．44．A是合数，A有（）个因数．A．2B．3C．至少3D．无数5．7的倍数有（）个．A．1B．2C．无数6．一个数是9的倍数，这个数一定是（）的倍数．A．3B．2C．5D．67．一本30页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数．想一想翻开的页码可能是（）A．14、15B．10、11C．24、258．在横线上填上合适的质数：20＝___+____，可以填的两个数分别是（）A．1和19B．10和10C．3和179．把6分解质因数，正确的是（）A．6＝1×2×3B．2×3＝6C．6＝2×3D．1×2×3＝610．89389767至少加上（）就同时是2、3、5的倍数．A．2B．3C．5二．填空题（共8小题）11．既含有因数3又含有因数5的最小三位数是．12．最小的质数是，既不是质数也不是合数的是．13．40以内6的倍数有，50以内9的倍数有．14．自然数（0除外）按因数的个数分，包括、和．15．由48÷12＝4，我们可以说是的倍数．16．因为5×8＝40，所以40是5和8的，5和8是40的．17．一个数的因数一共有9个，按从小到大的顺序排列第5个因数是6，这个数是，把这个数分解质因数是．18．有一个三位数，它的十位上的数字是最小的质数，如果这个三位数能同时被2、3、5整除，这个三位数最大是．三．判断题（共5小题）19．1230同时是2、3、5的倍数．（判断对错）20．因为21×3＝63，所以3和21是因数，63是倍数．（判断对错）21．32的全部因数是2、4、8、16和32，共有5个．（判断对错）22．一个自然数（0除外）的倍数的个数是无限的．（判断对错）23．两个不同数相乘的积一定是合数．（判断对错）四．计算题（共1小题）24．把下面各数分解质因数．（1）30（2）91（3）24五．应用题（共6小题）25．小丽家有两种塑料油桶，分别是3千克装，2千克装．小丽妈妈买回26千克油，选哪种塑料桶装能正好把油装完？为什么？26．人85个面包，如果每2个装成一袋，能正好装完吗？如果每5个装成一袋，能正好装完吗？如果每3个装成一袋，能正好装完吗？为什么？27．五年级同学48人排队做操，要求每行的人数相同（至少排成2行），有几种不同的排法？请你将他写出来．28．水果店有85个苹果，每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要加上几个就能正好装完？29．有642盒牛奶，分别用6盒装和8盒装的箱子去装，选哪种箱子才能正好装完呢？30．相同的字母表示相同的数字，现在老师在黑板上写了21BBB这么一个五位数，它是不是3的倍数呢？先判断，再说明你的理由是什么？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论．【解答】解：A、因为48÷8＝6，所以48是8的倍数，8是48的因数，所以本选项说法错误；B、因为27÷9＝3，所以27是9的倍数，9是27的因数，所以本选项说法错误；C、根据一个数的倍数的个数是无限的，所以本选项说法错误；D、因为60÷15＝4，15÷5＝3，所以l5是60的因数，也是5的倍数，说法正确；故选：D．【点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答．2．【分析】2、3都能整除12，即2、3都是12的因数；依此即可求解．【解答】解：2和3是12的因数．故选：A．【点评】本题主要考查因数、公因数、最大公因数、质数的概念．3．【分析】先找出24的因数，然后找出24以内（包括24）的6的倍数，进而结合题意，得出结论．【解答】解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；24以内的6的倍数有：6，12，24；所以既是24的因数，又是6的倍数的数有：6，12，24共3个．故选：C．【点评】解题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答．4．【分析】根据质数、合数的特征：在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，可得合数A至少有3个因数，据此解答即可．【解答】解：根据分析，可得：A是合数，A至少有3个因数．故选：C．【点评】此题主要考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个质数有且只有两个因数，一个合数至少有3个因数．5．【分析】求一个数的因数、倍数的方法，一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，只有最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；由此解答．【解答】解：根据分析可得：7的倍数有无数个．故选：C．【点评】此题的决定主要掌握求一个数的因数的个数和求一个数的倍数的方法．6．【分析】因为9是3倍数，所以一个数是9的倍数，这个数一定是3的倍数．据此判断．【解答】解：因为9是3倍数，所以一个数是9的倍数，这个数一定是3的倍数．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法．7．【分析】根据2、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0；由此可知，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数，所以翻开的页码可能是10页、11页，据此解答即可．【解答】解：因为同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0，所以翻开的页码可能是10页、11页．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握2、5的倍数的特征及应用．8．【分析】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19．据此解答即可．【解答】解：20＝3+17，故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用．9．【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此把6分解质因数．【解答】解：把6分解质因数，正确的是：6＝2×3故选：C．【点评】本题主要考查分解质因数的方法．10．【分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数，同时是2、3、和5的倍数的数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．据此解答即可．【解答】解：因为同时是2、3、和5的倍数的数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．所以89389767至少加上3就同时是2、3、5的倍数．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据3、5倍数的特征可知：既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数，要满足个位上是0或5，然后满足3的倍数的条件，即百位、十位和个位数字上的数的和是3的倍数即可，要想最小百位应为非0自然数中最小的数1，个位数字是0或5，1+0+5＝6，十位数字是5或0，要想这个数字最小，只能是105；据此写出即可．【解答】解：由分析可知：1+0+5＝6，是3的倍数，既是3又是5的倍数，最小三位数是105．故答案为：105．【点评】本题主要根据2、3、5倍数的特征可知，要先确定个位满足是2和5的倍数，再确定百位、十位是3的倍数．12．【分析】根据质数、合数的意义，一个自然数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数．据此解答即可．【解答】解：最小的质数是2，既不是质数也不是合数的是1．故答案为：2、1．【点评】此题考查的目的是理解掌握质数、合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数．13．【分析】求一个数的倍数的方法用这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数．由此解答．【解答】解：40以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36；50以内9的倍数有：9，18，27，36，45．故答案为：6，12，18，24，30，36；9，18，27，36，45．【点评】此题考查的目的是使学生理解和掌握公倍数的意义，掌握求公倍数的方法．14．【分析】一个自然数（0除外），只有1个因数的数是1，除了1和它本身以外不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外还含有其它因数的数是合数；据此解答即可．【解答】解：由分析知：自然数（0除外）按它的因数的个数可以分为：质数、合数和1；故答案为：质数，合数，1．【点评】解答此题的关键：结合题意，并根据质数和合数的含义进行分析、解答．15．【分析】在除法算式中，被除数是商与除数的倍数，商与除数是被除数的因数，然后再进一步解答．【解答】解：因为48÷12＝4，所以48是12的倍数．故答案为：48，12．【点评】考查了因数与倍数之间的关系，然后再进一步解答．16．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．【解答】解：因为5×8＝40，所以40是5和8的倍数，5和8是40的因数．故答案为：倍数，因数．【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要记住，因数和倍数是相互依存的，不能单独存在．17．【分析】根据一个数的因数的个数是奇数个，中间数的平方等于这个数，依此可求该数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．【解答】解：6×6＝3636＝2×2×3×3答：这个数是，36，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3．故答案为：36，36＝2×2×3×3．【点评】此题主要考查分解质因数的方法以及如何求一个数的约数和约数的个数．关键是由因数的中间数求出这个数．18．【分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2、3和5的倍数的数个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数；最小的质数是2，十位上的数字是2，个位上的数0，要使这个三位数最大，由3的倍数的特征可知，百位上的数字最大是7．据此解答．【解答】解：最小的质数是2，也就是这个三位数的十位上的数字是2，同时是2、3和5的倍数的数个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数，所以要使这个三位数最大，也就是百位上的数字是7，即这个三位数是720．答；这个三位数最大是720．故答案为：720．【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．三．判断题（共5小题）19．【分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8、的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2、5、3的倍数的特征是个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．据此解答．【解答】解：因为1+3+2＝0＝6，6是3的倍数；所以1320是3的倍数，又因为1320的个位是0，所以1320是2和5的倍数，即1320同时是2、3、5的倍数．所以“1320同时是2、3、5的倍数”的说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．20．【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．【解答】解：因为21×3＝63，则：63÷21＝3，63÷3＝21，即21和3是63的因数，63是21和3的倍数，不能单独说一个数是因数或倍数；所以原题说法错误；故答案为：×．【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意因数和倍数是相互依存的．21．【分析】根据找一个数因数的方法，列举出32的所有因数，然后判断即可．【解答】解：32的全部因数是1、2、4、8、16和32，共有6个，所以本题说法错误；故答案为：×．【点评】明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键．22．【分析】根据倍数的含义和找一个数的倍数的方法，可得一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，据此解答即可．【解答】解：因为一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，所以题中说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查了倍数的含义和找一个数的倍数的方法，要熟练掌握．23．【分析】两个自然数（0除外）相乘，积不一定是合数，可以举出反例证明．【解答】解；1和2是大于零的自然数，它们的积1×2＝2，2是质数，1和5是大于零的自然数，它们的积1×5＝5，5是质数，所以两个不同数相乘的积一定是合数的说法是错误的；故答案为：×．【点评】解答本题关键是找出反例进行推翻结论．四．计算题（共1小题）24．【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．【解答】解：（1）30＝2×3×5；（2）91＝7×13；（3）24＝2×2×2×3．【点评】此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法．五．应用题（共6小题）25．【分析】因为买回来26千克豆油，26的个位数字是偶数，得出能被2整除，所以选用2千克装，根据进而得出结论．【解答】解：由分析知：选用2千克装，26÷2＝13（个）答：选用2千克装，需这样的桶13个；因为26是2的倍数．【点评】解答此题的关键：根据能被2整除的数的特征，进行解答即可．26．【分析】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；（2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可；（3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可．【解答】解：（1）85个位上是5，不能被2整除，所以每2个装一袋，不能正好装完；答：不能正好装完；（2）85个位上是5，能被5整除，所以每5个装一袋，能正好装完；答：能正好装完；（3）8+5＝13，不能被3整除，所以每3个装一袋，不能正好装完；答：不能正好装完．【点评】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题．27．【分析】要求每行的人数相同，可以排成几行？即求48的因数，有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；因为至少排2排，如果每行2人，可以排24行；如果每行3人，可以排16行；如果每行4人，可以排12行；如果每行6人，可以排8行；如果每行8人，可以排6行；如果每行12人，可以排4行；如果每行16人，可以排3行，如果每行24人，可以排2行；共8种情况．【解答】解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；要求每行的人数相同（至少排成2行），如果每行2人，可以排24行；如果每行3人，可以排16行；如果每行4人，可以排12行；如果每行6人，可以排8行；如果每行8人，可以排6行；如果每行12人，可以排4行；如果每行16人，可以排3行，如果每行24人，可以排2行；共8种情况．答：共有8种情况．【点评】解答此题的关键：先根据找一个数的因数的方法，求出48的因数，进而根据题意，列举出所有的排法．28．【分析】先计算一下85能不能被3整除，如果能，就能正好装完，反之，则不能；求至少还需几个，先求出余数，然后用除数减去余数，即至少买的个数．【解答】解：85÷3＝28（袋）…1（个），至少增加：3﹣1＝2（个）；答：不能正好装完，如果每3个装一袋，至少还需要加上2个苹果．【点评】此题主要考查根据能被3整除的数的特征解决问题．29．【分析】选哪个箱子能正好装完，只要依据整除的意义，谁能整除642，就选那种包装箱，据此解答即可．【解答】解：因为642÷6＝107642÷8＝80.25所以每箱装6盒能正好把642盒牛奶装完；【点评】此题主要依据整除的意义解决问题，掌握整数除法的计算方法是解答本题的关键．30．【分析】这个五位数的最高两位数字之和是2+1＝3，3是3的倍数，如果后三位的数字之和也是3的倍数，那么这个数就是3的倍数．任何一个由相同数字组成的三位数都是3的倍数，如111、222、333……999，即3个1、3个2、3个3……3个9都是3个倍数，因此，21BBB这个五位数不论B为任何一位自然数，这个数都是3的倍数．【解答】解：21BBB是3的倍数．理由：最高两位数字之是2+1＝3，3÷3＝1，即21是3的倍数111、222、333……999都是3的倍数因此，21BBB无论B为任何自然数（包括0），这个数都是3的倍数．【点评】此题是考查3的倍数特征．一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数．。

专题3：因数与倍数（小升初复习讲义）2024年小升初数学复习专题：第一章数的认识（高频考点梳理+重难点讲解+同步练习+答案）【知识梳理】1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。

例如：12÷2＝6 → 2是12的因数，12是2的倍数。

2×6＝12 → 2和6是12的因数，12是2和6的倍数。

2、因数和倍数是相互依存的，不能单独存在，不能说谁是因数，也不能说谁是倍数，应该说谁是谁的因数或谁是谁的倍数。

倍数和因数都是自然数（一般不包括0），不能是小数或分数。

3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

4、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个非0自然数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

5、表示一个数的因数和倍数的方法：列举法；集合表示法。

【例1】如果一个数的最大因数和它的最小倍数的积是49，那么这个数是（）。

【解题分析】因为一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知这个数的最大因数和最小倍数的积是49，而7×7＝49，则这个数是7。

【答案】7；【例2】把24个玻璃杯分别装在盒子里，要使每个盒子中玻璃杯的数量同样多，且刚好可以全部装完，一共有（）种不同的装法。

【解题分析】24的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18，36；装法有：（1）24＝1×24，①每盒24个，装1盒，因为这个装法不能体现每个盒子装得同样多，所以不可以这样装；②每盒装1个，装24盒；（2）24＝2×12，③每盒装12个，装2盒；④每盒装2个，装12盒；（3）24＝3×8，⑤每盒装8个，装3盒；⑥每盒装3个，装8盒；（4）24＝4×6，⑦每盒装6个，装4盒；⑧每盒装4个，装6盒；所以一共有7种装法。

【答案】7；【例3】古希腊的毕达哥拉斯学派在研究自然数时发现了一些珍贵的数字。

中小学 1 对 1 课外辅导专家龙文教育学科讲义教师 : 学生 : 日期 :2013-03-09 星期 :六时段 :08:00—10:00课题学习目标与考点分析学习重点学习方法因数、倍数年级五年级1、掌握因数、倍数、质数、合数、公因数、公倍数的概念2、掌握 2、3、5 倍数的特征3、会找最大公因数和最小公倍数重点： 2、3、5 倍数的特征难点：找公因数、公倍数的特征讲练结合学习内容与过程一、倍数与因数的关系【知识点 1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。

例如： 6 是倍数、 3 和 2 是因数。

（×）改正： 6 是 3 和 2 的倍数， 3 和 2 是 6 的因数。

练习：（1） 8×5=40 ，（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。

（2）因为 36÷ 9=4 ，所以（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因数。

（3）在 18÷ 6=3 中， 18 是 6 的（），3和6是（）的（）。

（4）在 14 ÷ 7=2 中，（）能被（）整除，（）能整除（），（）是（）的倍数，（）是（）的因数。

（5）若 A÷ B=C （ A、 B、 C 都是非零自然数），则 A 是 B 的（）数，B是A的（）数。

（6）如果 A 、 B 是两个整数（B≠ 0），且 A ÷B ＝ 2，那么 A 是 B 的，B是A的。

（7）判断并改正：因为7× 6=42，所以 42 是倍数， 7 是因数。

（）因为 15÷ 5=3 ，所以 15 和 5 是 3 的因数， 5 和 3 是 15 的倍数。

（）5 是因数， 15 是倍数。

（）甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。

（）（8）甲数× 3=乙数，乙数是甲数的（）。

A 、倍数B、因数C、自然数【知识点 2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。

五年级下册第二单元因数和倍数的讲解。

因数和倍数是数学中两个重要的概念，尤其在五年级下册的数学课本中，它们是重要的知识点。

以下是关于这两个概念的详细讲解：
1. 因数：因数是数学中一个数被另一个数整除的因数。

例如，如果10可以被2和5整除，那么2和5就是10的因数。

需要注意的是，因数必须是可以整除给定数的数，而且必须是一个非零整数。

2. 倍数：倍数是数学中的一个数被另一个数整除的结果。

例如，如果5是
10的一半，那么我们说10是5的倍数。

倍数的概念是基于整数的除法的，而且倍数必须是整数。

这两个概念在数学中有着广泛的应用，不仅在算术中有重要的地位，而且在代数、几何等领域也有着广泛的应用。

通过理解和掌握因数和倍数的概念，学生可以更好地理解和掌握这些数学领域的知识。

在学习这两个概念时，学生需要注意以下几点：
1. 理解概念：学生需要深入理解因数和倍数的概念，掌握它们的定义和性质。

2. 掌握方法：学生需要掌握寻找一个数的因数和倍数的方法，可以通过列举、观察、归纳等方法来寻找。

3. 灵活运用：学生需要能够灵活运用因数和倍数的概念来解决实际问题，培养自己的数学思维和解决问题的能力。

总之，因数和倍数是五年级下册数学中的重要知识点，学生需要认真学习、掌握和应用。

通过深入理解概念、掌握方法和灵活运用，学生可以更好地掌握这两个概念，为将来的数学学习打下坚实的基础。

五年级数学讲义第一讲讲义因数和倍数一、学习目标1、理解因数与倍数的概念，建立因数与倍数概念的联系和区别。

2、掌握2、3和5的倍数的特征，能准确判断2、3和5的倍数，促进数感的发展。

二、知识提炼1、因数和倍数的定义2×6=12，2和6是12的（），12是2的（），12也是6的（）18的因数有（）18的倍数有（）我发现：一个数的因数个数是（）的，它的最大因数是（）最小因数是（）一个数的倍数有（）个，其中最小倍数是（），（）最大的倍数。

2、2、3和5的倍数的特征按要求分类45 67 78 34 23 24 15 128 76 85 90 89 49 79 3197 8777 37 0 123 552的倍数有（）5的倍数有（）同时是2和5的倍数（）。

偶数有（）奇数有（）我发现：个位上是（）是2的倍数，是2的倍数的数叫（）。

不是2的倍数的数叫（）。

5的倍数的数特征是个位上是（）。

同时是2和5的倍数个位上是（）。

三、夯实基础⒈填空①.自然数中，（）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。

②.个位上是（）或（）的数，是5的倍数。

③.既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是（）。

④. 6既是（）的倍数，又是（）的倍数，还是（）的倍数。

⑤. 奇数与偶数的和是（）数；奇数与奇数的和是（）数；偶数与偶数的和是（）数。

⑥. 在自然数范围内，最小的奇数是（），最小的偶数是（）。

⑦. 一个两位数，它既是5的倍数，而且是偶数，这个数最小是（）。

⑧.30的因数有：（）。

20的因数有：（）。

既是30的因数，又是20的因数有：（）。

⑨. 100以内4最大的倍数是（）。

⑩. 30以内5的倍数有：30以内既是4的倍数，又是5的倍数有：（）。

2、判断（对的打“T”，错的打“F”）1. 在自然数中，除了奇数就是偶数。

（）2. 一个数越大，那么它的因数的个数就越多（）3. 1是任何自然数（0除外）的因数。

（）4. 2既是最小的偶数。

（）5. 10是倍数，5是因数。

因数与倍数知识点一、因数与倍数的概念思考：观察以下两组式子，它们分别有什么特征？10÷5=2 15÷2=7 (1)16÷2=8 15÷10=1 (5)28÷7=4 15÷10=1.5第一组第二组1、在整数除法中，有两个非0整数a、b，如果a÷b的商是整数而且没有余数，那么我们就说a能被b（），也可以说b能（）a 。

例1、10÷5=2 。

则（）能被（）整除，或者可以说（）能整除（）。

2、在整数除法中，如果两个数的商是整数而且没有余数，我们就说除数和商是被除数的（）。

因数又叫（）；被除数是除数和商的（）。

例2、10÷5=2 。

则5和2都是10的（），10是5和2的（）。

3、因数和倍数是互相依存的。

也就是说：①如果a是b的因数，那么b就是a的（）。

②如果a是b的倍数，那么b就是a的（）。

例3、2是10的因数，则10是2的倍数。

4、饮料厂要把70瓶纯净水包装起来批发给超市,厂里只有下面三种包装盒。

选哪种包装盒能正好把纯净水包完?为什么?知识点二、找因数的方法1、找一个数的因数的方法是列举法：用这个数依次除以1、2、3、4、5…，如果该算式没有（），那么算式中除数和商都是这个数的因数。

例1、18的因数有（）。

例2、20的因数有（）。

分析：分析：18÷1=18 20÷1=2018÷2=9 20÷2=1018÷3=6 20÷4=518÷6=3 20÷5=418÷9=2 20÷10=218÷18=1 20÷20=1思考：上述方法得一个一个数来试，那如果我们要求100的因数，岂不是很麻烦？怎么改进我们的算法呢？2、找一个数的因数的改进方法：用这个数依次除以1、2、3、4、5…，直到（）在（）中出现，我们就可以停止了。

第三讲因数和倍数基础班1．两个三位数的最大公因数是29，它们的最小公倍数是4959。

那么这两个三位数的差是多少？2．两个自然数的和是60，它们的最小公倍数与最大公因数的和是84，则这两个数分别是多少？3．三根铁丝，长度分别是120 厘米、 180 厘米、 300 厘米，此刻要把它们截成相等的小段，每段都不可以有节余，那么每小段最长多少厘米？一共可截成多少段？ 4． 1155 的两位因数中最大的一个是多少？5．假如甲乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是 90，假如甲数是 18，那么乙数是多少？ 6．写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个因数的数。

答案1 分析 ：4959 29 9 19 ，因此这两个三位数分别为29 9 、 29 19 ，因此这两个三位数的差是 29 (19 9) 290 。

2 分析 ：设这两个自然数的最大公因数是m ，这两个自然数分别为 ma 、 mb （ a 与 b 互质，且不如假定 a ＞ b ），那么这两个自然数的最小公倍数是 mab ，依照题意有：ma mb 60 m(a b) 60m mab 即ab) 8484m(1说明 m 是 60 和 84 的公因数，可能为 12、6、 4、 3、2、 1。

当 m =12 时，a b5a 3ma 361 ab ，解得，因此mb 。

7b224当 m =6 时，a b 10时，a b 15 a b 201 ab ；当 m =41 ab ；当 m =3 时，ab；当1421 1 24a b 30a b60m =2 时，ab；当 m =1 时，ab；上述方程组都没有整数解，舍去。

1 421 84因此，这两个数分别是36 和 24。

3 分析 ：每小段的长度是120、180、300 的因数， 也是 120、180 和 300 的公因数。

120、180 和 300 的最大公因数是60 ，因此每小段的长度最大是60 厘米，一共可截成 120 ÷60+180 ÷60+300 ÷60=10 段。

重点整理1因数和倍数1.一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数，另一个整数就是这个整数的因数。

范例一（因数和倍数）(1)18÷6=2这个式子中,_______是_______的倍数，_______是_______的因数。

学生练习（1）在3×5=15式子中,_______是_______的倍数，也是_______的倍数；_______是_______的因数，_______也是_______的因数。

（2）12的因数有________________________________，24的因数有______________________________________.（3）30以内的自然数中，6的倍数有__________________________.重点整理21.一个数的因数有有限个，最小是1，最大是他本身；2.一个数的倍数有无限个，最小是他本身。

重点整理32、3、5的倍数的特点1.个位数是0、2、4、6、8的整数是2的倍数；2.个位数是0和5的整数是5的倍数；3.如果一个数是3的倍数，那它的各个位的数加起来也是3的倍数。

范例二(1）举出5个两位数的2的倍数______________________________________。

(2)举出5个两位数的3的倍数______________________________________. （3）举出5个两位数的5的倍数______________________________________。

学生练习（) （1）既是2的倍数，又是5的倍数的数是_______。

（A）42 （B）30 (C）55 （D）107( ) (2)既是3的倍数,又是5的倍数的数是_______。

(A)42 （B)30 (C）55 (D）107( ) (3）既是2的倍数，又是3的倍数的数是_______。

（A）42 （B)30 (C)55 （D)107（) （4）_____是3的倍数。