济南大学1516高等数学 二BW参考解答

广东海洋大学2015—2016学年第二学期《高等数学Ⅱ》课程试题（答案）课程号： 19221102×2□√ 考试□√ A 卷□√ 闭卷□ 考查 □ B 卷 □ 开卷一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 若⎰+=c x dx x f sin )(，则x x f cos )(= ；2. =⎰x tdt e dxd ln 0 1 ； 3. 二元函数229y x z --=的极大值是 3 ；4. 设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f ll )(arctan 0 ； 5. 二次积分⎰⎰=ππθ201dr rd 1 ；6. 方程02=+'-''y y y 的通解xe x c c y )(21+=；7．若),(y x f z =在点),(000y x P 处y zx z ∂∂∂∂,存在，则下列结论成立的是 （2） ；（1）),(),(lim 000y x f y x f P P =→； （2）),(),(lim 0000y x f y x f xx =→. 8．设xz z xy z x 21,)ln(==且已知，则yz z y 21=；9．已知2)(10=⎰dx x f ，则=-⎰dx x xf 12)1( 1 ； 班级：姓名：学号：试题共 4页加白纸2张密封线GDOU-B-11-30210．如果说导数是商的形式的推广，那么积分是 积 的形式的推广。

二、计算下列积分（每小题6分，共30分）1. dx x x x⎰+ln ln 1 2. dx x ⎰sin 解：原式=)ln (ln 1x x d xx ⎰（3分） 解：设x u =，则 c x x +=ln ln （6分） 原式=du u u ⎰sin 2 （2分）=)(cos 2⎰-u ud=⎰+-udu u u cos 2cos 2 （4分） =c u u u ++-sin 2cos 2=c x x x +-cos 2sin 2（6分） 3.dx x x ⎰--+11211 4. dx x⎰+∞121解：原式=dx x⎰-12112（3分） 解：原式=dx xbb ⎰+∞→121lim（3分） =π=10arcsin 2x （6分） )11(lim )1(lim 1bx b bb -=-=+∞→+∞→ =1 （6分）5. dx x xe x⎰+102)1( 解法一：原式=⎰⎰+-+10210)1(1x dx e x dx e x x （2分） 解法二：原式=)11(10+-⎰x d xe x12)1()1(110210210-=+-+++=⎰⎰ex dx e x dx e x e xx x（6分） =…=12-e三、计算下列各题（每小题6分，共12分）. 1.求函数x y e y x f xy ln )1(),(-+=在点（1，1）处的全微分.解：yx e y f e x f ==),1(,)1,( （2分）yy x x ey f e x f ==∴),1(,)1,(e f e f y x ==∴)1,1(,)1,1( （4分）)(dy dx e dz +=∴ （6分）2.)ln(xy y xzx+=，求yx z∂∂∂2.解：xyx x z x +'=∂∂)(（3分） ))((2xyx y y x z x +'∂∂=∂∂∂∴ x1= （6分）四、计算重积分(每小题7分，共14分).1. ⎰⎰Dxydxdy 4，其中{}x y x x y x D 2,10),(≤≤≤≤=.解：⎰⎰⎰⎰=10244x xDxydy dx xydxdy （3分）⎰=10222dx xy x x⎰=1026dx x2= （6分）2. dxdy y x D)(22⎰⎰+，其中D 是由圆122=+y x 所围成的区域.解：10,20:≤≤≤≤r D πθ （2分）⎰⎰⎰⎰=+132022)(dr r d dxdy y x Dπθ （4分） 24214ππ==r （6分）五、求微分方程xe y dxdy -=+在初始条件10==x y 下的特解.（7分）. 解：⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=--⎰dx dx x e c dx e e y （2分） x e c x -+=)( （4分）把10==x y代入上式得1=c所求方程的特解为xex y -+=)1( （6分）六、质点以速度)(4)(2s m t t v -=作变速直线运动，用定积分中值定理证明：质点在时刻)(16212s t π-=处达到时间段][2,0上的平均速度。

第一章 矩阵与行列式习题解答练习1.1 矩阵及其运算1. 已知线性变换x y y y x y y y x y y y 1123212331232235323=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪①②③， 求从变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换。

解：由3x (1)–2×(2)得：4y 2–7y 3=3x 1–2x 2 ④ (3)–(2)得：y 2–2y 3=x 3–x 2 ⑤ (4)–4×(5)得：y 3=3x 1+2x 2–4x 3类似运算可得：y 1=–7x 1–4x 2+9x 3， y 2=6x 1+3x 2–7x 3 故由变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换为y x x x y x x x y x x x112321233123749637324=--+=+-=+-⎧⎨⎪⎩⎪ 2. 已知两个线性变换x y y x y y y x y y y11321233123223245=+=-++=++⎧⎨⎪⎩⎪ y z z y z z y z z112213323323=-+=+=-+⎧⎨⎪⎩⎪ 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换。

解：将变换2代入变换1可得：x z z z x z z z x z z z1123212331236312491016=-++=-+=--+⎧⎨⎪⎩⎪3. 设A =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B =123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求3AB –2A 及A T B 解：3AB –2A =3111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ =3058056290-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪21322217204292 A T B =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=058056290-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 4. 解：(1) (35, 6, 49)T ， (2) (10) (3) ---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪241236 (4) 6782056---⎛⎝ ⎫⎭⎪ (5) a x a x a x a x x a x x a x x 111222223332121213132323222+++++5. 设A =1213⎛⎝⎫⎭⎪，B =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪，问 (1) AB =BA 吗？ (2) (A +B )2=A 2+2AB +B 2吗？ (3) (A +B )(A –B )=A 2–B 2吗？ 解：AB =1213⎛⎝⎫⎭⎪1012⎛⎝ ⎫⎭⎪=3446⎛⎝ ⎫⎭⎪， BA =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪1213⎛⎝ ⎫⎭⎪=1238⎛⎝ ⎫⎭⎪故 AB ≠BA 。

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元σd 上的压力微元σρg x d dF =，所以，该平面薄片一侧所受的水压力⎰⎰=Dgxd F σρ2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M y yDσ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy（2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=xx y ydy y x f dx dx y x f dy 2/4022),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=1121222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=eexey dx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 06、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y xxxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ （3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dyx σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以ar ≤≤≤≤-0,22πθπ，故()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(432022022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y dx x d yx x x D σ （2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21a r c2121)1(41121211211************21010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr rr r d r dr dr r r dr r rrdr rr rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示， 故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y xbaD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在x o y平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz xxy 另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。

2016年文数高考真题全国Ⅱ卷答案组题人：李明辉未命名1．已知集合A ={1,2,3}, B ={x|x 2<9}，则A ∩B =A ．{−2,−1,0,1,2,3}B ．{−2,−1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2} 【答案】D 【解析】试题分析：由x 2<9得−3<x <3，所以B ={x|−3<x <3}，因为A ={1,2,3}，所以A ∩B ={1,2}，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.2．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 【答案】C【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C. 【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频3．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为2、2a和2.5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.6．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，所以1=，解得43a =-，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．710B．58C．38D．310【答案】B【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B.【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．9．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，，依次输入的为2，2，5，则输出的（）A．7 B．12 C．17 D．34第一次循环：a =2,s =2,k =1 ；第二次循环：a =2,s =6,k =2 ；第三次循环：a =5,s =17,k =3>2 ；结束循环，输出s =17 ，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y【答案】D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B. 【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值.12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m试题分析：因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.13．已知向量a=（m,4），b=（3,−2），且a ∥b ，则m="___________." 【答案】6- 【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 【考点】平面向量的坐标运算 ，平行向量【名师点睛】如果a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）（b≠0），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.14．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.【答案】5- 【解析】 【详解】 试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得3x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； 所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是1和3.17．等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==. 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点】等差数列的通项公式，数列的求和【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错.18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P （A ）的估计值；（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P （B ）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 【答案】（I ）1120；（Ⅱ）310；（Ⅲ）1.1925a ． 【解析】 【分析】（I ）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P （A ）的估计值；（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P （B ）的估计值；（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 【详解】解：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保， P （A ）的估计值为：1101120020=； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人数为：30+30＝60，P （B ）的估计值为：60320010=； （Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.7520210200a a a a a a x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==1.1925a ．【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E,F 分别在AD,CD 上，AE =CF,EF 交BD 于点H ，将ΔDEF 沿EF 折起到ΔD′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ)若AB =5,AC =6,AE =54,OD′=2√2，求五棱锥D′−ABCFE 的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）23√22.【解析】试题分析：（1）由已知得，AC ⊥BD,AD =CD ，AE =CF ⇒AE AD=CF CD⇒ AC//EF ⇒EF ⊥HD,EF ⊥HD ′ ⇒ AC ⊥HD ′；（2）由EF//AC ⇒ OHDO =AEAD =14，由AB =5,AC =6 ⇒DO =BO =√AB 2−AO 2=4 ⇒ OH =1,D ′H =DH =3 ⇒ OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2 ⇒ OD ′⊥OH ，可证OD ′⊥平面ABC ．又由EFAC =DHDO 得EF =92 ⇒五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694⇒以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22． 试题解析： （1）由已知得，AC ⊥BD,AD =CD ， 又由AE =CF 得AE AD=CF CD，故AC//EF ，由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′． （2）由EF//AC 得OH DO=AE AD=14，由AB =5,AC =6得DO =BO =√AB 2−AO 2=4， 所以OH =1,D ′H =DH =3，于是OD ′2+OH =(2√2)2+12=9=D ′H 2，故OD ′⊥OH ， 由（1）知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD,BD ∩HD ′=H ， 所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH,AC ∩OH =O ，所以，OD ′⊥平面ABC ． 又由EFAC =DHDO 得EF =92．五边形ABCFE 的面积S =12×6×8−12×92×3=694．所以五棱锥D ′−ABCEF 体积V =13×694×2√2=23√22． 考点：1、线线垂直；2、锥体的体积.20．已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.【答案】（1）220.x y +-=（2）(],2.-∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()f x 的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程的点斜式可求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)()ln 1a x g x x x -=-+，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4a =时，1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x=+--=+-'，(1)2,(1)0.f f =-=' 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （II ）当(1,)x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 0.1a x x x -->+ 设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则 222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=， （i ）当2a ≤，(1,)x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故()0,()g x g x >'在(1,)+∞上单调递增，因此()0g x >； （ii ）当2a >时，令()0g x '=得1211x a x a =-=-+由21x >和121=x x 得11x <，故当2(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(1,)x 单调递减，因此()0g x <.综上，a 的取值范围是(],2.-∞【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： （1）确定函数y ＝f （x ）的定义域； （2）求导数y′＝f′（x ）；（3）解不等式f′（x ）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式f′（x ）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．21．已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN V 的面积（Ⅱ） 当2AM AN =2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示AM ，同理用k 表示AN ，再由2AM AN =求k 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故1234AM x k =+=+. 由题设，直线AN 的方程为，故同理可得2121k k AN +=.由2AM AN =得222343+4kk k =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t +=-'=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又260,(2)60f f ==，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.【解析】试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF △∽△再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明Rt Rt ,BCG BFG △△≌四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCB S △的2倍.试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF △△∽则有,,DF DE DGGDF DEF FCB CF CD CB ∠=∠=∠==所以,DGF CBF △△∽由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此180,CGF CBF ∠+∠=︒所以,,,B C G F 四点共圆. （II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥.连结GB .由G 为Rt DFC △斜边CD 的中点，知GF GC =,故Rt Rt ,BCG BFG △△≌因此四边形BCGF 的面积S 是GCB △面积GCBS △的2倍，即111221.222GCB S S ==⨯⨯⨯=△【考点】 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，还可间接证明线段相等．23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.()221212124144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-由AB =23cos 8α=，tan α=. 所以l或.24．选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法： （1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．。

第七章 微分方程的解1 求曲线族122=+Cy x 满足的微分方程，其中C 为任意常数.解 在等式122=+Cy x 两端对x 求导,得.022='+y Cy x再从122=+Cy x 解出,122y x C -=代入上式得 ,012222='⋅-⋅+y y yx x 化简即得到所求的微分方程 .0)1(2='-+y x xy 2验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程 0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 .将函数求一阶导数,得 dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π 即 .42π-=C 从而所求特解为 .sin 422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π可分离变量的微分方程 1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx ydy 2 → 12||ln C x y +=从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1Ce C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =2 求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=-两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. . 齐次方程 1求解微分方程x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 解 题设方程为齐次方程,设,x y u =则,dxdux u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx du xu +=+分离变量得.1cot dx xudu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u += → ,sin Cx u =将x y u =回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx xy= 利用初始条件,6/|1π==x y 得到.21=C 从而所求题设方程的特解为.21sin x x y =2 求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 解 原方程变形为=-=22x xy y dx dy ,12-⎪⎭⎫⎝⎛xy x y （齐次方程） 令,x y u =则,ux y =,dx dux u dx dy +=故原方程变为,12-=+u u dx du x u 即.1-=u u dx du x 分离变量得⎪⎭⎫⎝⎛-u 11.x dx du =两边积分得||ln ||ln x C u u =+-或.||ln C u xu +=回代,x y u =便得所给方程的通解为 .||ln C xyy += 一阶线性微分方程1 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==ex y解 将方程标准化为,1ln 1x y x x y =+'于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰-C dx e x e y x x dxx x dxln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e xe x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y ＊2 求解方程,)(dxd x dx d y dx dy ϕϕϕ=+ )(x ϕ是x 的已知函数.解 原方程实际上是标准的线性方程，其中,)(dx d x P ϕ=,)()(dxd x x Q ϕϕ= 直接代入通解公式，得通解⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 伯努利方程 1 求y x y xdx dy 24=-的通解. 解 两端除以,y 得,412x y xdx dy y =- 令,y z =得,422x z x dx dz =-解得,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 故所求通解为.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y2（E03）求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解. 解 以2y 除方程的两端,得,ln 112x a y xdx dy y =+--即 ,ln 1)(11x a y x dx y d =+--- 令,1-=y z 则上述方程变为 .ln 1x a z xdx dz -=-解此线性微分方程得 x z =.)(ln 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C以1-y 代,z 得所求通解为 yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(ln 2x a C .1=全微分方程1 (E01) 求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解,6xQ xy y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y dx xy xy x u 03023)3(),(,42344224y y x x +-=原方程的通解为.42344224C y y x x =+- 2 求解.0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x 解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236，所以题设方程是全微分方程. 可取,00=x ,00=y 由全微分求积公式得:⎰⎰+-+=yxdy y dx y xy x y x u 020324)35(),(.312333225y xy y x x +-+=于是，方程的通解为 .312333225C y xy y x x =+-+3（E02）求方程0324223=-+dy yx y dx y x的通解. 解,64x Qyx y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, 将左端重新组合 +dy y21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dy y x dx y x 42332d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y 1d +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32y x d=,132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-y x y 原方程的通解为.132C yx y =+-)(x f y =''型1 求方程0)3()4(=-y xy 的通解.解 设),(x P y ='''代入题设方程,得),0(0≠=-'P P P x 解线性方程,得x C P 1=1(C 为任意常数)，即,1x C y =''' 两端积分,得,21221C x C y +='',63231C x C x C y ++='再积分得到所求题设方程的通解为,224432241C x C x C x C y +++=其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.进一步通解可改写为.432241d x d x d x d y +++=其中)4,3,2,1(=i d i 为任意常数.),(y x f y '=''型2 (E02) 求方程02)1(222=-+dx dyx dxy d x 的通解. 解 这是一个不显含有未知函数y 的方程.令),(x p dxdy=则,22dx dp dx y d =于是题设方程降阶为,02)1(2=-+px dxdpx 即.122dx x x p dp +=两边积分,得 |,|ln )1ln(||ln 12C x p ++=即)1(21x C p +=或).1(21x C dxdy+= 再积分得原方程的通解 .3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=3 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.解法 1 所给方程不显含,y 属),(y x f y '=''型,令,p y ='则,p y '=''代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2 因为,)(2'+'='+''y y x y y x 即,111xC y x y +=+'这是一阶线性微分方程，解得 ,221xC C xy ++=因为0→x 时，y 有界,得,02=C 故,21C x y +=由此得21='y 及,21)1(1C y += 又由已知条件),1(2)1(y y '=得,211=C 从而所求特解为.212+=x y ),(y y f y '=''型4（E03）求方程02='-''y y y 的通解. 解 设),(y p y ='则,dy dp py =''代入原方程得,02=-⋅p dy dp p y 即.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅p dy dp y p 由,0=-⋅p dy dp y 可得,1y C p =所以,1y C dxdy = 原方程通解为 .12x C e C y = 5已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ① 所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-'' (3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得 ,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 1求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y (2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -== 通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (2)特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++2（E05) 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解 由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1= 由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±= 所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r 它所对应的微分方程为,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y 其通解为.2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=x m e x P x f λ)()(=型1 (E02) 求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解.解 题设方程右端的自由项为x m e x P x f λ)()(=型，其中,13)(+=x x P m .0=λ 对应的齐次方程的特征方程为,0322=--r r 特征根为,11-=r .32=r 由于0=λ不是特征方程的根，所以就设特解为.10*b x b y += 把它代入题设方程,得 ,13323100+=---x b b x b 比较系数得,13233100⎩⎨⎧=--=-b b b 解得.31110⎩⎨⎧=-=b b于是，所求特解为.31*+-=x y2 (E03) 求方程x xe y y y 223=+'-''的通解.解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y += 代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为 .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=3 求方程x e y y y y =+'+''+'''33的通解.解 对应的齐次方程的特征方程为,013323=+++r r r 特征根1r 2r =3r =.1-= 所求齐次方程的通解 .)(2321x e x C x C x C Y -++=由于1=λ不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为,0*x e b y =代入题设方程易解得 ,810=b 故所求方程的通解为 y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-x e x P x f x m ωλcos )()(=或x e x P x m ωλsin )(型 4 求方程x y y sin 4=+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解.sin cos 21x C x C Y +=作辅助方程.4ix e y y =+''i =λ 是单根,故设.*ix Axe y =代入上式得42=Ai ⇒,2i A -=∴*y ix ixe 2-=),cos 2(sin 2x x i x x -=取虚部得所求非齐次方程特解为.cos 2*x x y -=从而题设方程的通解为 .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+= 5 (E04) 求方程x x y y 2cos =+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解x C x C Y sin cos 21+=作辅助方程.2ix xe y y =+''i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*ix e B Ax y +=代入辅助方程得,034=-B Ai 13=-A ⇒,31-=A i B 94-=∴*y =⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431ix e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431)2sin 2(cos x i x +ix x x -+-=2sin 942cos 31⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 2sin 312cos 94取实部得到所求非齐次方程的一个特解: .2sin 942cos 31x x x y +-=所求非齐次方程的通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=6(E01) 求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解.解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dtyd --=两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=7 (E02) 求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dydty d dt y d =-- (1)方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r 求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C xC C ++= 设特解*y tbe2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为y .2123321x x C x C C -++=第8章 向量及其线性运算1 (E04) 已知两点)5,0,4(A 和)3,1,7(B ，求与向量B A 平行的向量的单位向量c.解 所求向量有两个，一个与B A 同向,一个与B A 反向.因为B A ,}2,1,3{}53,01,47{-=---= 所以B A,14)2(13222=-++=故所求向量为}.2,1,3{141-±=±=BA B A c2(E05)已知两点)2,2,2(1M 和)0,3,1(2M , 计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解 21M M };2,1,1{}20,23,21{--=---=222)2(1)1(-++-=;24211==++=,21cos -=α,21cos =β;22cos -=γ,32πα=,3πβ=.43πγ= 3 设有向量21P P , 已知,2||21=P P 它与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π, 如果1P 的坐标为(1, 0, 3), 求2P 的坐标.解 设向量21P P 的方向角为，、、γβα,3πα=,21cos =α,4πβ=,22cos =β ,1cos cos cos 222=++γβα 21cos ±=∴γ⇒3πγ=或.32πγ=设2P 的坐标为,),,(z y x 211cos P P -=x α⇒2121=-x ⇒,2=x 210cos P P -=y β⇒2220=-y ⇒,2=y 213cos P P -=z γ⇒2123±=-z ⇒,24==z z 或 2P 的坐标为.)2,2,2(,)4,2,2(4点A 位于第I 卦限, 向径OA 与x 轴、y 轴的夹角依次为3π和4π，,6= 求A 的坐标.解 ,3πα=.4πβ=由关系式,1cos cos cos 222=++γβα得,41)22()21(1cos 222=--=γ因为A 在第I 卦限，知,0cos >γ故.21cos =γ于是A O A O =,}3,23,3{21,22,216=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−→−=OAe 点A 的坐标为.)3,23,3(两向量的数量积1试用向量方法证明三角形的余弦定理. 证 (作简图).设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB =现要证.cos 2222θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c-=从而c c c ⋅=2||)()(b a b a -⋅-=b a b b a a⋅-⋅+⋅=2.cos ||||2||||22θb a b a ⋅-+= 由,||a a = ,||b b = ,||c c =即得.cos 2222θab b a c -+=同理…… 2 (E04) 求与k j i b k j i a2,423-+=+-=都垂直的单位向量.解 b a c+=z y x z y xb b b a a a k j i=211423--=kj i ,510k j+= ||c 22510+=,55= ∴||c c c±=.5152⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=k j 3在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD .解 {},3,4,0-=C A {},0,5,4-=B A三角形ABC 的面积为 ||21B A C A S ⨯=22216121521++=,225=又|,|||21BD C A S ⋅= ,5)3(4||22=-+=C A所以|,|521225BD ⋅⋅=从而.5||=BD 4 利用向量积证明三角形正弦定理.证 设ABC ∆的三个内角为,,,γβα三边长为c b a ,,, (作简图).因为B C C A B A+=，所以B A B C C A AB B A ⨯+=⨯)(,B A B C B A C A ⨯+⨯=故,0=⨯+⨯B A B C B A C A 即.B A B C B A C A⨯-=⨯ 两边取模,B A B C B A C A⨯=⨯即,sin sin βαac bc =故.sin sin βαba = 同理可证 .sin sin γβcb = 因此,sin sin sin γβαcb a ==三角形正弦定理得证. 平面的截距式方程1 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.解 设平面方程为,1=++c z b y a x ,1=V .12131=⋅∴abc 由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==(向量平行的充要条件) 令t c b a ===61161⇒.61,1,61t c t b t a === 由tt t 61161611⋅⋅⋅=⇒.61=t∴.1,6,1===c b a所求平面方程为,1161=++zy x 即.666=++z y x 2 求平面II, 使其满足:(1) 过z 轴;(2) II 与平面052=-+z y x 夹角为3π.解 因为平面∏过z 轴，可设其方程为.0=+By Ax 又因为∏与已知平面夹角为.3π故3cosπ222222)5(120|0)5(2|-++++⋅-++=B A B A 21=⇒A B 3=或A B 31-= ⇒03:=+∏y x 或.03:=-∏y x3求经过两点)9,2,3(1-M 和)4,0,6(2--M 且与平面0842=-+-z y x 垂直的平面的方程. 解 设所求的平面方程为.0=+++D Cz By Ax 由于点1M 和2M 在平面上，故 ,0923=++-D C B A .046=+--D C A又由于所求平面与平面0842=-+-z y x 垂直,由两平面垂直条件有.042=+-C B A从上面三个方程中解出,C B A 、、得 ,2/D A =,D B -=,2/D C -= 代入所设方程，并约去因子,2/D 得所求的平面方程.022=+--z y x 点到平面的距离4(E06) 求两平行平面1∏：052210=--+z y x 和2∏：x 5 01=--+z y 之间的距离d . 解 可在平面2∏上任取一点，该点到平面1∏的距离即为这两平行平面间的距离.为此，在平面2∏上取点),0,1,0(则 d 222)2(210|50)2(12010|-++-⨯-+⨯+⨯=1083=.63= 5求平行于平面0432:0=+++∏z y x , 且与球面9:222=++∑z y x相切的平面∏方程.解 可利用条件,//0∏∏写出平面∏的一般式方程,再利用球心到平面的距离3=d 来确定一般式方程中的特定系数.由,//0∏∏可设平面∏的方程为.032=+++D z y x因为平面∏与球面∑相切，故球心)0,0,0(到平面∏的距离d )0,0,0(),,(22321|22|=+++++=z y x D z y x ,3= 得,143||=D故所求平面∏的方程为014332=+++z y x 或.014332=-++z y x 空间直线的对称式方程与参数方程1 求过点)5,2,3(-且与两个平面152=--z y x 和34=-z x 的交线平行的直线的方程. 解 先求过点)5,2,3(-且与已知平面平行的平面,0)5(5)2()3(21=----+∏z y x : ,0)5(4)3(2=--+∏z x :即 ,033521=+--∏z y x : .:02342=+-∏z x 所求直线的一般方程为:.⎩⎨⎧=+-=+--023403352z x z y x 2 (E01) 一直线过点),4,3,2(-A 且与y 轴垂直相交, 求其方程.解 因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B ,}4,0,2{==A B s所求直线方程.440322-=+=-z y x 3 用对称式方程及参数方程表示直线 .043201⎩⎨⎧=++-=+++z y x z y x 解 在直线上任取一点),,,(000z y x 例如,取10=x ⇒⎩⎨⎧=--=++063020000z y z y ⇒,00=y ,20-=z得点坐标),2,0,1(-因所求直线与两平面的法向量都垂直,可取21n n s⨯=},3,1,4{312111--=-=kj i对称式方程 ,321041-+=--=-z y x 参数方程 .⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx 3241 4求过点M (2, 1, 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线方程. 解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面,∏,0)3()1(2)2(3=---+-z y x再求已知直线与该平面的交点,N令t z y x =-=-=+12131 → .1213⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=tz t y t x 代入平面方程得,73=t 交点,73,713,72⎪⎭⎫⎝⎛-N 取所求直线得方向向量为,MN ,724767123731713272⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，－，－，－－，－MN所求直线方程为.431122－－－z y x =-= 5 (E04) 过直线⎩⎨⎧=+-=--+02062:z y x z y x L 作平面∏, 使它垂直于平面.02:1=++∏z y x解 设过直线L 的平面束)(λ∏的方程为,0)2()62(=+-+--+z y x z y x λ即.06)1()1(2)1(=--+-++z y x λλλ现要在上述平面束中找出一个平面图,∏使它垂直于题设平面,1∏因平面垂直于平面,1∏故平面∏的法向量)(λn垂直于平面1∏的法向量}.1,2,1{1=n 于是,0)(1=⋅n nλ即.0)1()1(4)1(1=-+-++⋅λλλx解得,2=λ故所求平面方程为.:0623=-+-z y x π容易验证，平面02=+-z y x 不是所求平面.6在一切过直线L : ⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出平面∏, 使原点到它的距离最长.解 设通过直线L 的平面束方程为,0)2()4(=++++++z y x z y x λ即.04)1()21()1(=++++++z y x λλλ要使2222)1()21()1(16)(λλλλ+++++=d 为最大,即使31)32(6)1()21()1(2222++=+++++λλλλ为最小，得,32-=λ故所求平面∏的方程为.012=++-z y x易知，原点到平面02=++z y x 的距离为.0故平面02=++z y x 非所求平面.第9章 多元函数微分法及其应用1 (E01) 求二元函数222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x 即⎩⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=2求极限 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→. 解 令,22y x u +=则 u u y x y x u y x 1sin lim 1sin)(lim 0222200→→→=++=0. 3证明 220limyx xyy x +→→ 不存在. 证 取k kx y (=为常数),则 ,1lim lim222202200k kx k x kx x y x xy kxy x y x +=+⋅=+=→→→易见题设极限的值随k 的变化而变化,故题设极限不存在.4讨论二元函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.解 由),(y x f 表达式的特征，利用极坐标变换：令,sin ,cos θρθρ==y x 则)cos (sin lim ),(lim330)0,0(),(θθρρ+=→→y x f y x ),0,0(0f ==所以函数在)0,0(点处连续.5 试证函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 的偏导数)0,0(),0,0(y x f f 存在，但),(y x f 在)0,0(点不连续.证 )0,0(x f xf x f x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim0x x ∆-=→∆00lim0,1= yf y f f y y ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0y y ∆-=→∆00lim 0.0=即偏导数),0,0(x f )0,0(y f 存在.但由上节的例 8知道,极限2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续.6设 ,cos by e u ax = 求二阶偏导数. 解xu∂∂,cos by ae ax =y u ∂∂;sin by be ax -=22x u ∂∂,cos 2by e a ax =22yu ∂∂;cos 2by e b ax -= y x u ∂∂∂2,sin by abe ax-=x y u ∂∂∂2.sin by abe ax -= 7 验证函数 22ln ),(y x y x u +=满足方程 02222=∂∂+∂∂y ux u .证 22ln y x +),ln(2122y x +=∴x u ∂∂,22y x x +=y u ∂∂,22yx y += ∴22x u ∂∂22222)(2)(y x x x y x +⋅-+=,)(22222y x x y +-=22y u ∂∂22222)(2)(y x y y y x +⋅-+=.)(22222y x y x +-= ∴2222y ux u ∂∂+∂∂2222222222)()(y x y x y x x y +-++-=.0= 8证明函数r u 1=满足拉普拉斯方程 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ,其中 222z y x r ++=. 证 x u ∂∂x r r ∂∂-=21r x r ⋅-=21,3r x-= 22x u ∂∂xr r x r ∂∂⋅+-=4331.31523r x r +-= 由函数关于自变量的对称性,得22y u∂∂,31523r y r +-=22z u ∂∂.52331r z r +-=222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂52223)(33r z y x r +++-=52333r r r +-=.0= 9设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0),(,00,0),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f , 试求 ()0,0xy f 及().0,0xy f 解 因)0,0(x f x f x f x )0,0()0,(lim-=→xx 00lim0-=→.0= 当0≠y 时，),0(y f x xy f y x f x ),0(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x y x +-=→,y -= 所以 )0,0(xy f y f y f x x y )0,0(),0(lim-=→y y y 0lim0--=→,1-= 同理 )0,0(y f yf y f y )0,0(),0(lim-=→,0=当0≠x 时，)0,(x f y yx f y x f y )0,(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x x y +-=→,x =所以 )0,0(yx f xf x f y y x )0,0()0,(lim-=→xx x 0lim0-=→.1=10求 y x y x z 2422)3(++=的偏导数. 解 设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得 ,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u v z v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 11 设函数),(y x u u =可微，在极坐标变换,cos θr x = θsin r y =下，证明.122222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u y u x u 证 为方便起见,我们从欲证等式的右端出发来证明.把函数u 视为θ,r 的复合函数,即),sin ,cos (θθr r u u = 则r u ∂∂ry y u r x x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=,sin cos θθy u x u∂∂+∂∂=θ∂∂u θθ∂∂∂∂+∂∂∂∂=y y u x x u ,cos )sin (θθr y u r x u∂∂+-∂∂=所以2221⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u 2sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=θθy u x u 22cos )sin (1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂+θθr y u r x u r .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y u x u ＊12 求由a a xyz z (333=-是常数）所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂和.y z ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂z x F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -= y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=12求出曲线32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x解 设所求切点为),,,(000z y x 则曲线在该点的切线向量为},3,2,1{200x x s -= 由于切线平行于已知平面,42=++z y z 因而s垂直于已知平面的法线向量},1,2,1{=n 故有n s ⋅132)2(11200⋅+⋅-+⋅=x x ,0=即10=x 或,31将它代入曲线方程,求得切点为)1,1,1(1-M 和.271,91,312⎪⎭⎫⎝⎛-M13求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解 令),,(z y x F ,32-+-=xy e z z ,2y F x =',2x F y='z z e F -='1 → )0,2,1(n)0,2,1(}1,2,2{z e x y -=},0,2,4{=切平面方程为 ,0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-+-z y x 即,042=-+y x 法线方程为.01221-=-=-z y x 14 求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程.解 设),,(000z y x 为曲面上的切点,则切平面方程为,0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x依题意,切平面方程平行于已知平面,得664412000z y x == → .2000z y x == ),,(000z y x 是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得,10±=x故所求切点为),2,2,1(),2,2,1(---切平面方程(1),0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 即;2164=++z y x 切平面方程(2),0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 即.2164-=++z y x15（E02）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x 上的最大值和最小值.解 先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值. 如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上), ,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f16求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解 先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y=' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0).由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以,在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f17(E03）某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小 18（E04）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1)下,求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ由..,0)(20)(20)(2z y x z x yx z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ 代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =第10章 重积分1 不作计算，估计σd eI Dy x ⎰⎰+=)(22的值，其中D 是椭圆闭区域：12222≤+b y a x )0(a b <<. 解 区域D 的面积,πσab =在D 上,0222a y x ≤+≤∴,12220a y xe e e ≤≤=+由性质 6 知,222)(a Dy xe d e ⋅≤≤⎰⎰+σσσ.222)(a Dy xe ab d e ab πσπ≤≤⎰⎰+2 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x)1(<r 的符号.解 当1||||≤+≤y x r 时，,1|)||(|0222≤+≤+<y x y x 故 ;0)ln(22≤+y x 又当1||||<+y x 时，,0)ln(22<+y x 于是 .0)ln(1||||22<+⎰⎰≤+≤y x r dxdy y x3（E01）计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为—X 型,dx xydy xyd x D⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211σdx y x x12122⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=.81148222124213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰x x dx x x解二 将积分区域视为—Y 型, ⎰⎰Dxyd σdy x y dy xydx y y22122122⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2142213822⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y y .811=4计算σd y x y D⎰⎰-+221, 其中D 是由直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域.解 如图,D 既是—X 型,又是—Y 型.若视为—X 型,则 原积分dx dy y x y x ⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=111221[]dx y xx1112/322)1(31⎰--+-=.21)1(32)1|(|31103113=--=--=⎰⎰-dx x dx x若视为—Y 型，则,111221122dy dx y x y d y x y yD⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+⎰⎰⎰⎰--σ其中关于x 的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要. 5 计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x . 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21222()(||D D Ddxdy x y dxdy y x dxdy xy ）⎰⎰⎰⎰-+-=--1211021122)()(xx dy x y dx dy y x dx.15112121211142114-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰⎰--dx x x dx x 6 计算,dxdy eDyx ⎰⎰+ 其中区域D 是由0,1,0===y x x , 1=y 所围成的矩形.解 如图，因为D 是矩形区域,且,y x y x e e e ⋅=+所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰+1010dy e dx e dxdy e y Dx y x .)1())((21010-==e e e y x7 交换二次积分⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(的积分次序.解 题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰--=yxdx y x f dydy y x f dx 101110.),(),(8（E06）证明 ⎰⎰⎰---=aa xb ya xb adx x f e x a dx x f edy 0)(0)(0)()()(其中a 、b 均为常数, 且0>a .证 等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0所以dx x f e dyaya xb ⎰⎰-0)()(dx dy x f e dy x f e dxa a x a xb aaxa xb ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--0)(0)()()(.)()(0)(dx x f ex a aa xb ⎰--=9（E08）计算,22⎰⎰Ddxdy y x其中区域:D .1||||≤+y x解 因为D 关于x 轴和y 轴对称，且,),(22y x y x f =关于x 或关于y 为偶函数→dxdy y x I D ⎰⎰=1224⎰⎰-=1010224xdy y x dx .451)1(34132=-=⎰dx x x 10 证明不等式 ,2)sin (cos 122⎰⎰≤+≤Ddxdy x y其中.10,10:≤≤≤≤y x D证 因为D 关于y x =对称，所以dxdy y dxdy x DD ⎰⎰⎰⎰=22cos cos ，故dxdy x x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=+)sin (cos )sin (cos 2222又由于)4sin(2sin cos 222π+=+x x x 及102≤≤x 而D 的面积为 1. 由二重积分性质,有.2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰dxdy x y D11求⎰⎰⎰Ω,xdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 如图9-4-3，将区域Ω向xOy 面投影得投影区域D 为三角形闭区域.10,10:x y x OAB -≤≤≤≤ 在D 内任取一点),,(y x 过此点作平行于z 轴的直线，该直线由平面0=z 穿入，由平面y x z --=1穿出，即有.10y x z --≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------Ω--===xyx xyx Ddy y x xdx xdz dy dx xdz dxdy xdxdydz 101010101010)1(.241)2(21)1(211032102⎰⎰=+-=-=dx x x x dx x x 12 求⎰⎰⎰Ω,zdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 (1)⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰=zD dxdy zdz,1截面:z D ,10z y x -≤+≤故⎰⎰zD dxdy ),1)(1(21z z --=∴原式dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=(2) 根据例1所确定的积分限,有⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰---=zy z dx dyzdz 101010⎰⎰---=zdy z y zdz 1010)1(dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=第12章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1（E04）求级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++1)1(321n n n n 的和. 解 根据等比级数的结论,知∑∞=121n n 21121-=.1= 而由前例,知∑∞=+1)1(1n n n ,1=所以∑∞=⎪⎪⎭⎫++ ⎝⎛1)1(121n n n n ∑∑∞=∞=++=11)1(321n n n n n .4=2 判别级数++++⨯+++n n 10121102121101212是否收敛. 解 将所给级数每相邻两项加括号得到新级数.)10121(1∑∞=+n nn因为∑∞=121n n 收敛，而级数∑∞=1101n n ∑∞==11101n n 发散，所以级数∑∞=+1)10121(n nn 发散，根据性质3的推论1，去括号后的级数 (101)21...102121101212++++⨯+++n n 也发散. 3（E06）利用柯西审敛原理判定级数∑∞=121n n的收敛性. 解 因为对任何自然数,p22221)(1)2(1)1(1||p n n n u u u p n n n ++++++=++++++ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p n p n n n n n 1112111111,111np n n <+-=故对任意给定的正数,ε取自然数],1[ε≥N 则当N n >时，对任何自然数,p 恒有.||21ε<++++++p n n n u u u根据柯西审敛原理，所证级数收敛.第二节 正项级数的判别法1（E02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证)1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散，∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.2（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性. 解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.。

2016年山东省济南市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．（5分）设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25 B．10 C．5 D．24．（5分）“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0 B．﹣3 C．﹣10 D．﹣256．（5分）已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．47．（5分）在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S=．9．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2 D．210．（5分）设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为件．12．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是cm213．（5分）过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B 两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于．14．（5分）已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是．15．（5分）若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f （﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）2016年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A﹣PBD的体积．19．（12分）已知在等比数列{a n}中，a n+1＞a n对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，，求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．2016年山东省济南市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z=（i为虚数单位），则z=（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i【解答】解：复数z=（i为虚数单位），则z===﹣i．故选：B．2．（5分）设N是自然数集，P={x|y=，则集合P∩N中元素个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由P中y=，得到3x﹣x2≥0，整理得：x（x﹣3）≤0，解得：0≤x≤3，即P=[0，3]，∵N为自然数集，∴P∩N={0，1，2，3}，则集合P∩N中元素个数是4，故选：C．3．（5分）如果log5a+log5b=2，则a+b的最小值是（）A．25 B．10 C．5 D．2【解答】解：∵a，b＞0，log5a+log5b=2=log5（ab），∴ab=52=25≤，解得a+b≥10，当且仅当a=b=5时取等号．则a+b的最小值是10．故选：B．4．（5分）“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞2且b＞2，则ab＞4成立，故充分性易证若ab＞4，如a=8，b=1，此时ab＞4成立，但不能得出a＞2且b＞2，故必要性不成立由上证明知“a＞2且b＞2”是“ab＞4”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S等于（）A．0 B．﹣3 C．﹣10 D．﹣25【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，s=1满足条件k＜5，执行循环体，s=1，k=2满足条件k＜5，执行循环体，s=0，k=3满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣3，k=4满足条件k＜5，执行循环体，s=﹣10，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出s的值为﹣10．故选：C．6．（5分）已知不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．4【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，﹣3≤y≤5，0≤|x|≤3；∵y=|x|+m，∴m=y﹣|x|，故当y=﹣3，|x|=3，即过点A（﹣3，﹣3）时，m有最小值为﹣6；故选：A．7．（5分）在区间[0，]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由sinx+cosx≥1得sin（x+）≥1，即sin（x+）≥，∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z∵0≤x≤π，∴当k=0时，x的取值范围是0≤x≤，则“sinx+cosx≥1”发生的概率P==，故选：D．8．（5分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵a=，c=，C=，∴由正弦定理可得：sinA===，又∵a＜c，A为锐角．∴A=，B=π﹣A﹣C=，=acsinB==．∴S△ABC故答案为：．9．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a=0，f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log3（8+1）=﹣2．故选：C．10．（5分）设F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．+1【解答】解：∵双曲线右支上存在一点P，使•=0，∴⊥，∵|PF1|=|PF2|，∴|F1F2|=2|PF2|=4c，即|PF2|=2c∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|=2a，∵|PF2|=2c∴2（﹣1）c=2a，e==，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程=﹣2x+a，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为10件．【解答】解：∵=（17+13+8+2）=10，=（24+33+40+55）=38，a=58∴=﹣2x+58，∴=﹣2×24+58=10，故答案为：10．12．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积是12+4cm2【解答】解：由三视图可知：该几何体是正方体沿对角面截取一半所得几何体，∴该几何体的表面积=22×2++2×2=12+4cm2．故答案为：12+4．13．（5分）过点P（3，1）的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B 两点，当弦AB的长取最小值时，直线l的倾斜角等于45°．【解答】解：∵（3﹣2）2+（1﹣2）2=2＜4，∴点P在圆C内部，当弦AB的长取最小值时，直线l过P且与PC垂直，由斜率公式可得k PC==﹣1，故直线l的斜率为1，倾斜角为45°，故答案为：45°14．（5分）已知△ABC中，AB=AC=1，且|+|=|﹣|，=3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是[，] ．【解答】解：△ABC中，AB=AC=1，|+|=|﹣|，∴•=0，∴⊥；以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A（0，0），C（1，0），B（0，1），∵=3，∴E（，）；直线BC方程为x+y=1，即x+y﹣1=0；设P（x，y），则0≤x≤1，则=（x，y），=（，），∴•=x+y=x+（1﹣x）=x+；∵0≤x≤1，∴≤x+≤；即•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．15．（5分）若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f （﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是＜a＜．【解答】解：由“n度局部偶函数”的定义可知，函数存在关于y对称的点有n个，当x＜0时，函数g（x）=sin（x）﹣1，关于y轴对称的函数为y=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，x＞0，作出函数g（x）和函数y=h（x）=﹣sin（x）﹣1，x＞0的图象如图：若g（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则等价为函数g（x）和函数y=﹣sin（x）﹣1，x＞0的图象有且只有3个交点，若a＞1，则两个函数只有一个交点，不满足条件；当0＜a＜1时，则满足，即，则，即＜a＜，故答案为：＜a＜三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）2016年2月，国务院发布的《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》中提到“原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步打开”，济南某新闻媒体对某一小区100名不同年龄段的居民进行调查，如图是各年龄段支持以上做法的人数的频率分布直方图．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取20人到演播大厅进行现场交流．（i）求年龄在35～55岁之间的人数；（ii）在55～75岁之间任意找两个人发言（不考虑先后顺序），至少一人再65～75岁之间的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，m=0.1﹣（0.015+0.035+0.015+0.01）=0.025，（Ⅱ）依题意，各小组的人数为比0.015：0.035：0.025：0.015：0.010=3：7：5：3：2，（i）年龄在35～55岁之间的人数20×=12人，（ii）年龄在55～65岁之间的人数为20×=3人，记为A，B，C，年龄在65～75岁之间的人数为20×=2人，记为D，E，从55～75岁之间任意找两个人发言，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中少一人再65～75岁之间的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE共7种，所以至少一人再65～75岁之间的概率为．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+2sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数g（x）的图象，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域．【解答】解：f（x）=sin2x+2sin2x==．（Ⅰ）由，解得．∴函数f（x）的单调增区间为[]，k∈Z；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得y=2sin[2（x）﹣]+1=2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．由x∈[﹣，]，得2x∈[]，∴sin2x∈[﹣]，则函数g（x）的值域为[﹣]．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°平面ABE与直线PA，PD分别交于点E，F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，试求三棱锥A﹣PBD的体积．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF．（2）过P作PG⊥AD于G，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD．∵△PAD为正三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，==．∴PG=，S△ABD=V P﹣ABD===1．∴V A﹣PBD19．（12分）已知在等比数列{a n}中，a n+1＞a n对n∈N*恒成立，且a1a4=8，a2+a3=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1a4=8，a2+a3=6．∴=8，a1（q+q2）=6，且a n+1＞a n对n∈N*恒成立，解得q=2，a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵，∴++…+=n﹣1，相减可得：=1，可得b n=（2n﹣1）•2n﹣1．n=1时，=1，解得b1=1．上式对于n=1时也成立．∴b n=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和S n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1．∴2S n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣S n=1+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=1+2×﹣（2n﹣1）•2n，∴S n=（2n﹣3）•2n+3．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l1的直线l1，l2交椭圆C于另一点Q，当直线l1的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，∴a=2b，直线y=x代入椭圆C，可得+=1，∴x=b，∵直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=﹣x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为，∴（b）2=，∴b=1，∴a=2，∴椭圆C的方程为=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2）把它代入椭圆的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0由韦达定理得﹣2+x1=﹣，∴x1=，∴y 1=k（x1+2）=，∴P（，），以﹣代入，可得Q（，﹣），则k PQ=﹣∴PQ的直线方程为y﹣=﹣（x﹣），令y=0，则x=+=﹣．∴直线PQ过x轴上的一定点（﹣，0）．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣e x+mx，其中m∈R，函数g（x）=f（x）+e x+1．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当m=﹣e时，（i）求函数g（x）的最大值；（ii）记函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣，证明：函数φ（x）没有零点．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，函数f（x）=lnx﹣e x+x的导数为f′（x）=﹣e x+1，可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为2﹣e，切点为（1，1﹣e），即有函数f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（2﹣e）（x﹣1），即为y=（2﹣e）x﹣1；（Ⅱ）（i）当m=﹣e时，g（x）=f（x）+e x+1=lnx﹣ex+1，g′（x）=﹣e，当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递增．可得g（x）在x=处取得极大值，且为最大值﹣1；（ii）证明：函数φ（x）=|g（x）|﹣﹣=|lnx﹣ex+1|﹣（+），令φ（x）=0，可得|lnx﹣ex+1|=+，（*）由h（x）=+的导数为h′（x）=，当x＞e时，h′（x）＜0，函数y递减；当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）递增．即有函数h（x）=+的最大值为h（e）=+＜1；由（i）可得g（x）≤﹣1，即有|g（x）|≥1，则方程（*）无解．即有函数φ（x）没有零点．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

大专高等数学第二版教材答案第一章: 函数及其图形1.根据题意可得到函数 f(x) 的表达式为：f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 52.函数 f(x) = |2x - 1| 在区间 [-1, 2] 上的图像如下：图像描述：在 x = 1/2 处有唯一一个极小值点，其函数值为 0。

在x < 1/2 和 x > 3/2 的区间上，函数值为正；在 1/2 < x < 3/2 的区间上，函数值为负。

（插入函数图像）第二章: 一元函数求导1. 求以下函数的导数：a. f(x) = 3x^2 - 2x + 1(简述求导过程)b. f(x) = sin(x) + cos(x)(简述求导过程)c. f(x) = ln(x^2 + 1)(简述求导过程)第三章: 函数的极限和连续性1. 计算以下极限:a. lim(x->3) (2x + 1)(简述计算过程)b. lim(x->0) (sinx / x)(简述计算过程)c. lim(x->∞) (e^x / x)(简述计算过程)第四章: 函数的导数与微分1. 计算下列函数的微分:a. f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 (简述计算过程)b. f(x) = e^(-2x)(简述计算过程)c. f(x) = ln(3x^2 + 2)(简述计算过程)第五章: 不定积分1. 求以下函数的不定积分:a. ∫(x^3 - 2x^2 + 3x - 4)dx (简述求积分过程)b. ∫(sin^3(x) + cos^2(x))dx (简述求积分过程)c. ∫(ln(2x + 1))dx(简述求积分过程)第六章: 定积分1. 计算以下定积分值:a. ∫(0 to π/2) sin(x)dx(简述计算过程)b. ∫(1 to 2) x^2dx(简述计算过程)c. ∫(0 to 1) e^x dx(简述计算过程)第七章: 微分方程1. 解以下微分方程:a. y' + y = 2x(简述求解过程)b. y' = 3y^2(简述求解过程)c. y' + 2xy = x^2(简述求解过程)以上是《大专高等数学第二版教材》中的部分题目答案，希望对你的学习有所帮助。

高等数学2课后习题答案高等数学2课后习题答案高等数学2作为大学数学课程的一部分，是一门相对较难的课程。

在学习过程中，课后习题是巩固和深化知识的重要手段。

然而，对于许多学生来说，课后习题往往是一个难以逾越的障碍。

因此，为了帮助大家更好地学习和掌握高等数学2，本文将提供一些常见习题的答案及解析。

一、极限与连续1. 计算极限这类题目主要考察对极限的计算能力。

在计算过程中，我们需要运用一些基本的极限性质和运算法则。

例如，当求解形如lim(x→a) (f(x) + g(x))时，我们可以利用极限的加法法则，将其拆分为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

2. 判断函数的连续性对于连续性的判断，我们需要掌握连续函数的定义和连续函数的性质。

例如，根据连续函数的定义，如果一个函数在某个点a处连续，那么lim(x→a) f(x) = f(a)，这是判断函数连续性的一个重要条件。

二、导数与微分1. 求导函数求导函数是导数与微分章节的重点内容之一。

在求导函数时，我们需要掌握导数的基本定义和运算法则。

例如，当求解f(x) = x^n的导数时，我们可以利用幂函数的导数公式，即f'(x) = n*x^(n-1)。

2. 利用导数求解问题在实际问题中，我们常常需要利用导数来求解一些相关的问题。

例如，求解函数的极值点、判断函数的单调性等。

在这类题目中，我们需要将问题转化为数学模型，然后利用导数的性质来求解。

三、定积分1. 计算定积分计算定积分是定积分章节的核心内容之一。

在计算过程中，我们需要掌握定积分的基本定义和运算法则。

例如，当计算∫[a,b] f(x)dx时，我们可以利用定积分的性质，将其转化为求解不定积分的问题。

2. 利用定积分解决几何问题定积分在解决几何问题中有着广泛的应用。

例如，我们可以利用定积分来计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算曲线的弧长等。

在这类题目中，我们需要将几何问题转化为数学模型，然后利用定积分的性质来求解。

习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D（2）{y y x y x D ,10),(22<+<=（3）⎫⎩⎨⎧++=),(22222b y a x yx D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限： （1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim0020==-+→→=→y yy x y x y y x yx所以极限不存在。

2022-2023学年山东省济南市成考专升本高等数学二自考预测试题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.A.-2ycos(x+y2)B.-2ysin(x+y2)C.2ycos(x+y2)D.2ysin(x+y2)2.A.-2B.-1/2C.1/2D.23.4.当x→2时，下列函数中不是无穷小量的是（）。

A.B.C.D.5.积分等于【】A.-1B.0C.1D.26.A.-1B.-1/2C.0D.17.设函数f(x-1)=x2+e-x，则fˊ(x)等于（）．A.A.2x-exB.C.D.8.9.（）。

A.B.C.D.10.11.12.13.14.设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是（）．A.A.B.C.当x→x0时, f(x)- f(x0)不是无穷小量D.当x→x0时, f(x)- f(X0)必为无穷小量15.曲线：y=ex和直线y=1，x=1围成的图形面积等于【】A.2-eB.e-2C.e-1D.e+116.（）。

A.B.C.D.17.18.19.已知f'(x+1)=xe x+1，则f'(x)=A.A.xe xB.(x-1)e xC.(x+1)e xD.(x+1)e x+4120.21.已知函数y=f(x)在点处可导，且,则f’(x0)等于【】A.-4B.-2C.2D.422.A.A.-1B.-2C.1D.223.24.25.26.27.事件满足AB=A，则A与B的关系为【】28.（）。

A.0B.1C.nD.n!29.设事件A，B的P(B)=0.5，P(AB)=0.4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)=（）.A.A.0.1B.0.2C.0.8D.0.930.二、填空题(30题)31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.曲线的铅直渐近线方程是________.42.43.44.45.46.47.48.49.________.50.51.52.53.54..55.56.57.58.59.60. 函数曲线y=xe-x的凸区间是_________。

2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i2．一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）A．20米/秒B．28米/秒C．14米/秒D．16米/秒3．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1 a 22 71x2 4 25 29总计 b 47 100则a﹣b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．34．若（3x2﹣2mx）dx=34，则m等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣35．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（﹣1＜X≤2）=0.35，则P（X≥5）等于（）A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.17．已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）X ﹣1 0 1 2P a b cA．B．C．D．8．已知函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）9．在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]二、填空题11．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为．12．（1+x）8的展开式中x6的系数是．13．观察下面一组等式：S1=1，S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S 5=11+12+13+14+15=65，…根据上面等式猜测S 2n ﹣1=（2n ﹣1）（an 2+bn +c ），则a •b •c= ． 14．将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=7且4S n =n （a n +a n+1），则S n ﹣8a n 的最小值为 ．三、解答题16．（1）用分析法证明： +；（2）用反证法证明：，，不可能成等差数列．17．设函数f （x ）=x 2﹣8lnx +3．（1）求曲线y=f （x ）在点（1，4）处的切线方程；（2）求f （x ）的单调区间．18．5位大学生站在一排照相．（1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？（2）若上述5位大学生中有3位女大学生和2位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？ 19．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄 [5，15） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65）频数5 10 15 10 5 5 支持“生育二胎” 45 12 8 2 1 （1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计支持a= c= 不支持 b=d= 合计参考数据：P （K 2≥k ） 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K 2=．21．已知f （x ）=e x lnx ．（1）求y=f （x ）﹣f ′（x ）的单调区间与极值；（2）证明：f ′（x ）＞1．2015-2016学年山东省济南市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知复数z满足（3+i）z=4﹣2i，则复数z=（）A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：∵（3+i）z=4﹣2i，∴z====1﹣i，故选：A．2．一个物体的运动方程为s=（2t+3）2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在第2秒末的瞬时速度是（）A．20米/秒B．28米/秒C．14米/秒D．16米/秒【考点】导数的几何意义．【分析】求函数的导数，利用导数的物理意义即可得到结论．【解答】解：∵s=s（t）=（2t+3）2，∴s′（t）=4（2t+3），则物体在2秒末的瞬时速度s′（2）=28米/秒，故选：B．3．下面是一个2×2列联表y1y2总计x1 a 22 71x2 4 25 29总计 b 47 100则a﹣b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【考点】独立性检验的应用．【分析】由列联表中数据的关系，直接求得答案．【解答】解：由列联表中数据的关系，可知：a+22=71，a+4=b解得：a=49，b=53，∴a﹣b=﹣4．故选：A．4．若（3x2﹣2mx）dx=34，则m等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（3x2﹣2mx）dx=（x3﹣mx2）|=19﹣5m=34，∴m=﹣3，故选：D．5．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D．6．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（﹣1＜X≤2）=0.35，则P（X≥5）等于（）A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量X服从正态分布N（2，σ2），得到曲线关于x=2对称，根据曲线的对称性得到结论．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴曲线关于x=2对称，∵P（﹣1＜X≤2）=0.35，∴P（2＜X≤5）=0.35，∴P（X≥5）=0.5﹣0.35=0.15．故选：C．7．已知离散型随机变量X的分布列如表：若E（X）=0，D（X）=1，则P（X＜1）等于（）X ﹣1 0 1 2P a b cA．B．C．D．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由E（X）=0，D（X）=1，结合离散型随机变量X的分布列性质列出方程组，求出a，b，c，由此能求出P（X＜1）的值．【解答】解：∵E（X）=0，D（X）=1，∴由离散型随机变量X的分布列，得：，且a≥0，b≥0，c≥0，解得a=，b=，c=，∴P（X＜1）=P（X=﹣1）+P（X=0）=+=．故选：D．8．已知函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可．【解答】解：由f（x）=x3lnx+m=0得x3lnx=﹣m，设g（x）=x3lnx，函数的定义域为（0，+∞），则g′（x）=x2（3lnx+1），由g′（x）＞0得x＞，由g′（x）＜0得0＜x＜，即当x=时，函数g（x）取得极小值同时也是最小值g（）=﹣，要使函数f（x）=x3lnx+m有2个零点，等价为方程x3lnx=﹣m有两个根，则﹣m＞﹣，即m＜，故实数m的取值范围是（﹣∞，），故选：C9．在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设抽到红球的个数为X，则X服从超几何分布，中奖的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3），由此能求出结果．【解答】解：设抽到红球的个数为X，则X服从超几何分布，∴中奖的概率为P（X≥2）=P（X=2）+P（X=3）=+=．故选：B．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1]C．[1，3]D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．二、填空题11．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数a+，又已知复数a+（a∈R）是纯虚数，得实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案．【解答】解：复数a+=，由复数a+（a∈R）是纯虚数，得，即a=．故答案为：．12．（1+x）8的展开式中x6的系数是28．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为6，求出对应的系数即可．【解答】解：（1+x）8的展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=6，得展开式中x6的系数是==28．故答案为：28．13．观察下面一组等式：S1=1，S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S5=11+12+13+14+15=65，…=（2n﹣1）（an2+bn+c），则a•b•c=﹣160．根据上面等式猜测S2n﹣1【考点】归纳推理．=（2n﹣1）（an2+bn+c），进行赋值，即可得到结论．【分析】利用所给等式，对猜测S2n﹣1【解答】解：由题意，，∴a=4，b=﹣8，c=5，∴abc=﹣160故答案为：﹣160．14．将两名男生、两名女生分到三个不同的班去做经验交流，每个班至少分到一名学生，且两名女生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意可以分两类，两名男生一组，两名女生各一组，或1名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题意可知，4人只能分为；两名男生一组，两名女生各一组，或1名男生和一名女生一组，另外的一男一女各一组，故有A33（1+C21C21）=30种，故答案为：3015．已知数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则S n﹣8a n的最小值为﹣56．【考点】数列的求和．【分析】4S3=3（a3+a4）=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，解得：a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，…，可得a n=2n﹣1，S n．代入4S n=n（a n+a n+1）验证成立，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵4S3=3（a3+a4）=3（a3+7），4S2=2（a2+a3），4S1=4a1=a1+a2，解得：a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，…，∴a n=2n﹣1．可得S n==n2．代入4S n=n（a n+a n+1）验证成立，∴S n﹣8a n=n2﹣8（2n﹣1）=（n﹣8）2﹣56，∴当n=8时，S n﹣8a n取得最小值﹣56．故答案为：﹣56．三、解答题16．（1）用分析法证明： +；（2）用反证法证明：，，不可能成等差数列．【考点】反证法与放缩法；综合法与分析法(选修）．【分析】（1）寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要11+2•＞11+2，只要证＞，即证30＞24；（2）假设，，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2=+，能推出6=12（矛盾）．【解答】证明：（1）要证+，只要证11+2•＞11+2，只要证＞，即证30＞24．而30＞24显然成立，故原不等式成立．（2）假设：，，这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2=+，∴20=2+6+2，∴12=2，∴6=12（矛盾），故假设不成立，∴，，这三个数不可能成等差数列．17．设函数f（x）=x2﹣8lnx+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意，可求得f′（1），从而由直线的点斜式可得函数所对应曲线在点（1，4）处的切线方程；（2）通过f′（x）＞0可求其递增区间，通过f′（x）＜0可求其单调减区间．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣8lnx+3，∴f′（x）=（x＞0），∴f′（1）=﹣6，∴曲线y=f（x）在点（1，4）处的切线方程为y﹣4=﹣6（x﹣1），即6x+y﹣10=0；（2）令f′（x）＞0，可得x＞2，f′（x）＜0，可得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．18．5位大学生站在一排照相．（1）若其中的甲乙两位同学必须相等，问有多少种不同的排法？（2）若上述5位大学生中有3位女大学生和2位男大学生，则这两位男大学生不相邻的排法有多少种？【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．（2）先排3位女大学生，然后把2位男大学生插空，由分步计数原理可得．【解答】解：（1）∵5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外3个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A44A22=48；（2）先排3位女大学生的排法有A33=6种，然后把2位男大学生插空，有A42=12种，由分步计数原理可得，共有6×12=72种方法．19．某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据数据求出样本平均数以及对应的系数即可求y关于t的线性回归方程；（2）根据条件进行估计预测即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得=4，==4.3，b==0.5．a=4.3﹣0.5×4=2.3即y关于t的线性回归方程为y=0.5t+2.3；（2）∵线性回归方程为y=0.5t+2.3；斜率k=0.5＞0，可知2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加，平均增加0.5千元，当t=8时，y=0.5×8+2.3=6.3；预测该地区2016年农村家庭人均纯收入为6.3千元．20．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a= c=不支持b= d=合计参考数据：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a=3 c=29 32不支持b=7 d=11 18合计10 40 50…＜6.635…所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…，，，，…所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3P所以ξ的期望值是．…21．已知f（x）=e x lnx．（1）求y=f（x）﹣f′（x）的单调区间与极值；（2）证明：f′（x）＞1．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出f（x）的导数，代入y=f（x）﹣f′（x）得出函数表达式，再去研究单调性与极值，（2）f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，构造函数，求最值，即可证明结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（lnx+1）的定义域为（0，+∞），f′（x）=e x lnx+，则y=f（x）﹣f′（x）=﹣，∴y′=，由y′=0可得x=1．当x＞1时，y′＜0；当x＜1时，y′＞0；∴y=f（x）﹣f′（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），∴当x=1时，y取极大值﹣e，函数无极小值；（2）证明：f′（x）=e x lnx+，从而f′（x）＞1等价于xlnx+1＞，设h（x）=xlnx+1，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（）=﹣+1．设F（x）=，则F′（x）=x∈（0，1），F′（x）＞0，x∈（1，+∞），F′（x）＜0∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数F（x）的最大值为F（1）=，∴F（x）≤，∵﹣+1﹣=1﹣＞0，∴h（x）＞F（x），∴f′（x）＞1．2016年8月21日。