济南大学2013——2014高等数学(二)A试卷

济南大学大一上学期高等数学试题1(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ；4、已知3()f x dx x C =+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim xx x -→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。

二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、011lim()ln(1)x x x →-+2、y =，求y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。

三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰3、40⎰4、2201dx a x +四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>- （本题8分）2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。

第1页/共3 页 考试类别[学生填写]（□正考 □补考 □重修 □补修 □缓考 □其它）《高等数学IIB 》期末考试试卷A适用专业：食工、化工 本试卷共六大题， 100分一、单项选择题(每小题3分，共15分)1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y xf x '，),(00y x f y '存在是),(y x f 在该点连续的（ ）(A) 充分条件非必要条件； (B) 必要条件非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件。

2、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，且22(t)x f dt x =⎰，则(2014)f =（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 无法确定。

3、 设简单闭曲线L 所围区域的面积为S ，其中L 的方向取正向，则S =（ ）. (A)12L xdx ydy -⎰Ñ (B) 12L ydy xdx -⎰Ñ (C) 12L ydx xdy -⎰Ñ (D) 12L xdy ydx -⎰Ñ4、、 若∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 收敛，则此级数在2=x 处（ ）(A) 条件收敛 ； (B) 绝对收敛 ； (C) 发散 ； (D) 收敛性不能确定 。

5、已知曲面224yx z --=在点(,,)P x y z 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ）（A ）(1,1,2)-； （B ）(1,1,2)-； （C ）(1,1,2)； （D ）(1,1,2)--．二、填空题(每小题3分，共15分)1、 (x,y)(1,1)lim→= .2、 设函数(,)ln (1)xf x y y xy y e =+-，则(,)x f x y ＝ .3、 设Ω是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=围成的空间立体，则dv Ω⎰⎰⎰＝4、 微分方程0)sin()()(4225333=++xy dx dy y x dxy d y 的阶数为 .5、 设11lim 4n n na a +→∞=，则级数11n n n a x ∞-=∑的收敛半径为 .三、解答题（每小题7分，共49分）1、 已知函数(,)z f xy x y =-，且(),z f u v =可微，求dz .．线 订 装郑州轻工业学 2013 — 2014 学年 第二学期 高等数学 试卷专业年级及班级 姓名 学号第2页/共3 页2、交换积分次序10xydx dy y⎰⎰，并求其值.3、计算曲线积分⎰，其中L 为ln y x =上点(1,0)与点(,1)e 间的弧段.4、计算2 2Ly dx xydy +⎰,其中L ：2y x =从()0,0O 到()1,1A .5． 判定级数2123n n n n ∞=∑的敛散性..6．计算二重积分()22Dx y dxdy +⎰⎰，其中D ：221x y +≤.7．求微分方程56x y y y e '''-+=通解第3页/共3 页四、解答题（本题9分）求幂级数2121n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数五、应用题（本题满分9分）计算由曲面22x y z +=与2z =所围成立体的体积.六、证明题（本题满分3分）设函数()f x 在[0,1]上连续， 证明1112001()()[()]2xdx f x f y dy f x dx =⎰⎰⎰.线订装第4页/共3 页。

2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。

得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。

14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。

高等数学A （二）考试试卷一、 填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。

2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。

3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。

4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。

5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足 。

二、 计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。

(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。

（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。

（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。

6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。

（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。

（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。

答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。

（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、 计算题。

启用前绝密高三巩固训练 理 科 数 学参考公式:统计中2χ的公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，其中21111n n n +=+，22122n n n +=+，12111n n n +=+，22212n n n +=+，22122111n n n n n +++=一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合2{12},{log 2}A x x B x x =-<=<，则A B =A ．(1,3)-B ．(0,4)C .(0,3)D ．(1,4)-2. 若复数iia 213-+（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．4 C .6- D ．63. 函数)22sin(2x y -=π是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数4. 等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为A ．7B ．8C ．9D ．105. 为了解疾病A 是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：A. 95%6.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin C sin C =b sin B ．则B ∠=A.6π B. 4π C. 3π D. 34π7.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为A. 600B. 288C. 480D. 504 8. 设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 9. 函数2ln ||x y x x=+的图象大致为10.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图 所示. 设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为. A -2 B -1 C 0 D 211. 已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为A 15- B15C 65-D 6512. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-. 其中，所有正确结论的序号是A ①③B ①③④C ①②④D ②③④16题图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13.不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为 .14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15. 设dx x )12(20-⎰，则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为 .16.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .三、解答题:(本大题共6小题，共74分)17（本题满分12分）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期 为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 18（本题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，*133()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S .19. （本题满分12分） 某企业计划投资A ，B 两个项目, 根据市场分析，A ，B 两个项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，X 1和X 2的分布列分别为：(1)若在A ，B 两个项目上各投资1000万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求利润的期望()()12,E Y E Y 和方差()()12,D Y D Y ；(2)由于资金限制,企业只能将x (0≤x ≤1000)万元投资A 项目，1000－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．20.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠= 四边形BDEF 是矩形 ，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证 ： 平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060， 求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值21. （本题满分12分）设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值． 22.(本题满分14分)设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++yx 垂直.(1)求a 的值;(2) 若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.（3）求证：*21.().41ni in N i=∈-∑20题图2013.4济南市高三理科数学参考答案一、选择题: ：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13 .8π14. 4163π+ 15. 24 16. 三、解答题:(本大题共6小题，共74分) 17.解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分22sin cos x x x ωωω=-sin 2x x ωω= -----------------------------------------------------------3分2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ -----------------------------------------------------4分2,12T ππωω==∴= -----------------------------------------5分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f ---------------------------------------------------------6分(2)46x ππ-≤≤，22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()12f x -≤≤，-------------------9分当2,36x ππ+=-即4x π=-时，()min 1f x =-，当2,32x ππ+=即12x π=时，()max 2f x =. ---------------------------------12分18.解（1）证明：由3n n n a b =，得1113n n n a b +++=， ∴1111333n n n n n n a a b b +++-=-= ---------------------2分所以数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为13-----------4分 ∴121(1)33n n b n +=+-=------------------------6分（2）13(2)3n n n n a b n -==+⨯ -------------------------7分n n a a a S +++=∴ 2113)2(3413-⨯+++⨯+⨯=n n ----①n n n S 3)2(343332⨯+++⨯+⨯=∴ -------------------②----------9分①-②得n n n n S 3)2(33313212⨯+-++++⨯=--n n n 3)2(3331212⨯+-+++++=-n n n 3)2(233⨯+-+=-----------------------------------11分23)2(433nn n n S +++-=∴------------------------------------------12分19. 解: (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列为--------------2分E (Y 1)＝50×0.8＋100×0.2＝60，----------------------------------3分D (Y 1)＝(50－60)2×0.8＋(100－60)2×0.2＝400，------------------------4分E (Y 2)＝20×0.2＋80×0.5＋120×0.3＝80，---------------------------------------5分 D (Y 2)＝(20－80)2×0.2＋(80－80)2×0.5＋(120－80)2×0.3＝1200.-------------------6分 (2) ()()()()22121261000110001000100010x x f x D Y D Y x D Y x D Y -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭＝4410 [x 2＋3(1000－x )2]＝4410(4x 2－6000x ＋3×106)．--------------------------------10分 当600075024x ==⨯时，f (x )＝300为最小值．-------------------------------12分 20. 解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------------① ---------------1分 连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE ---------② --------------3 分由①②知，平面//AEF 平面BDGH --------------4分 （2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD ----------------------------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON 设2AB BF t ==，,则()()()100,0,10B C F t ，，，，122t H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-----------------------------------------------------------6分 ()11,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z =1101022n OB x tn OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ---------------------------9分121|cos ,|2n n <>==,所以29,3t t == -------------------------------10分所以(1,CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n θ -------------------------------12分 21. 解：（1）∵ OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，--------------------------1分又P 、Q 在抛物线上，故y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，故得 y 122p ·y 222p＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2222212144)(||p py y x x ==∴--------------------------3分 又|x 1x 2|＝4，故得4p 2＝4，p =1．所以抛物线的方程为: 22y x =-------------4分 （2）设直线PQ 过点E (a ,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=xy amy x 22消去x 得y 2－2my －2a ＝0∴ ⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121 ① --------------------------------6分设直线PR 与x 轴交于点M (b ,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b ,并设R (x 3,y 3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131 ② --------------------------7分由①、②可得32y by a= 由题意，Q 为线段RT 的中点，∴ y 3＝2y 2，∴b =2a 分 又由（Ⅰ）知， y 1y 2＝－4，代入①，可得 －2a ＝－4 ∴ a ＝2．故b ＝4．-----------------------9分 ∴831-=y y∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+= 2481222≥+⋅+=n n .当n =0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR |取最小值24--------------------12分 22.解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f -----------------------2分由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a . -------------------------------4分(2) 1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x=--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x-+-'=-+=-------------------------------------6分 ①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.-----------------8分 ②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=- 当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分当102m <<时，方程20m x x m -+-=，其根10x =>，1112x m+=>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥ .------------------------------------------------------------------------10分 (3) 由(2)知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈- 所以221121214ln 212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭， ()()*21[ln 21ln 21],441kk k k N k +--<∈-----------------------11分()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ ---------------------12分 累加可得*211ln(21).().441ni in n N i =+<∈-∑*21.().41ni i n N i =∈-∑------------------------14分。