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导数与零点专题(一)PPT课件

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2025届高中数学一轮复习课件《利用导数研究函数的零点》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《利用导数研究函数的零点》ppt


高考一轮总复习•数学
第14页
所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当 a ＞0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． (2)由(1)知 f′(x)＝ex－a. 当 a≤1 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增且 f′(x)＞0 恒成立，从而 f(x)单调递增． f(0)＝0，所以函数 f(x)在区间(0,1)上不存在零点． 当 a≥e 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减且 f′(x)＝ex－a＜0，从而 f(x)单调递减． f(0)＝0，所以函数 f(x)在区间(0,1)上不存在零点． 当 1＜a＜e 时，函数 f(x)在区间(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，
第23页
高考一轮总复习•数学
第24页
∴存在 m∈12，1，使得 f′(m)＝0，得 em＝m1 ，故 m＝－ln m，当 x∈(0，m)时，f′(x)<0， f(x)单调递减，
当 x∈(m，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(m)＝em－ln m＋2sin α＝m1 ＋m＋2sin α＞2＋2sin α≥0， ∴函数 f(x)无零点．
高考一轮总复习•数学
第12页
又 hπ2＝π2＞0，hπ4＝
22·π4－
22·eπ4
＝
22π4－eπ4
＜0，
由零点存在定理及 h(x)的单调性，得 h(x)在π4，π2上存在一个零点．
综上，h(x)在－π2，0∪0，π2内的零点个数为 2，即 F(x)在－π2，0∪0，π2内的零点
利用导数探究函数的零点问题专题讲座-PPT

利用导数探究函数的零点问题专题讲座-PPT


函数 f (x) 的图象与 g(x) 的图象有且只有三个不同的交点，
等价于函数 h(x) 的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
h(x) 2x 8 6 2(x 1)(x 3) ，由 h(x) 0 得 x 1或 x 3.
x
x
当 x 变化时， h(x) ， h(x) 的变化情况如下表：
(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 y＝f(x)相切，求 t 的取值
范围.
解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.
令
f′(x)＝0，得
x＝－
22或
x＝
2 2.
因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，f
22＝－
2，f(1)＝－1，
所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值为 f
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：
x
(0， k)
k
f′(x)
－
0
k（1－ln k）
f(x)
2
( k，＋∞) ＋
所以，f(x)的单调递减区间是(0， k).单调递增区间是( k，＋∞)，
f(x)在 x＝
k处取得极小值 f(
k)＝k（1－2ln
k） .
(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为 f( k)＝
k（1－ln k）
2
.
因为 f(x)存在零点，所以k（1－2ln k）≤0，从而 k≥e， 当 k＝e 时，f(x)在区间(1， e)上单调递减，且 f( e)＝0， 所以 x＝ e是 f(x)在区间(1， e]上的唯一零点. 当 k>e 时，f(x)在区间(0， e)上单调递减，且 f(1)＝12>0，f( e)＝e－2 k <0， 所以 f(x)在区间(1， e]上仅有一个零点.
2019届二轮复习 导数与函数的零点及参数范围 课件(35张)(全国通用)

2019届二轮复习 导数与函数的零点及参数范围 课件(35张)(全国通用)


1
5
单调递减,在
- ,1 单调递增,故
3
������
在(0,1)中,当 x= - 时,f(x)取得最小值,最小值为 f
当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.
5
5
5
-9考向一 考向二 考向三
(ⅰ)若a≤-3或a≥0,则f'(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.
时,f(x)在(0,1)没有零点.
而 f(0)=4,f(1)=a+4,所以当 a≤-3 时,f(x)在(0,1)有一个零点;当 a≥0 (ⅱ)若-3<a<0,则 f(x)在 0, ������ 3 ������ 3
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
-5考向一 考向二 考向三
对点训练1已知函数f(x)=(x2-3x+3)ex. (1)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t](t>-2)上为单调函数;
(2)当 x∈[-2,t],且 1<t<4 时,求满足
������ '( ������ 0 ) e ������ 0
= (t-1)2 的 x0 的个数.
= (t-1)2,
2
1<t<4 时,
求方程 g(x)=x -x-3(t-1) =0 在[-2,t]上的解的个数.
∵g(-2)=6-3(t-1)2=-3(t+2)· (t-4),
g(t)=t(t-1)-3(t-1)2=3(t+2)· (t-1),
2 1
2
2
∴当 1<t<4 时,g(-2)>0 且 g(t)>0, 2 ∵g(0)=-3(t-1)2<0,∴当 1<t<4 时,g(x)=0 在[-2,t]上有两解,
【数学】利用导数研究函数的零点问题讲评课件

【数学】利用导数研究函数的零点问题讲评课件


答案见解析
【分析】将函数 的零点转个数化为 =
−
与

=

图像交点个

数，利用导数求得 的单调性和极值，进而求得函数 的零点个
数.
【详解】令 = ，得 = − ，
当 = 时， = − 无解，∴ 无零点，
当 ≠

时，
第10讲 利用导数研究函数零点问题
知识点一 讨论函数的零点问题
知识点二 根据函数的零点求参数的取值
知识点一 讨论函数的零点问题
例1
已知函数f x = ex + 2f ′ 0 x − cosx.
(1)求f x 的解析式；
【答案】 = − −
【分析】对函数求导后令 = 可得 ′ = −，即可求得
2e
a =______

【分析】常数分离得

=


= 有唯一的解，求出 的单调性与


极值，由 有且仅有一个零点可得 = .
【详解】当 = 时， = ≥ 恒成立， 在[, ]上无零点.


当 ≠ 时，即有 = = 在[, ]上有且仅有一个解.
即 ′ 在 , +∞ 上单调递增.
又 ′ = −＜， ′ = + − ＞，
根据零点存在定理可知∃ ∈ , ，使得 ′ = .
当��＜＜ 时， ′ ＜，所以 在 , 上单调递减；
当＞ 时， ′ ＞，所以 在 , +∞ 上单调递增.

上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为 、 ，且 ＜ ，

−
由图可知，当 ＜＜ 或 ＜＜时，＞ ，此时，
高考数学一轮复习导数与函数的零点课件

高考数学一轮复习导数与函数的零点课件


【训练2】 (2020·北京通州区一模)已知函数f(x)＝xex，g(x)＝a(ex－1).a∈R. (1)当a＝1时，求证：f(x)≥g(x)； (2)当a>1时，求关于x的方程f(x)＝g(x)的实根个数. 解 设函数F(x)＝f(x)－g(x)＝xex－aex＋a. (1)证明 当a＝1时，F(x)＝xex－ex＋1，所以F′(x)＝xex. 所以x∈(－∞，0)时，F′(x)<0；x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0. 所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. 所以当x＝0时，F(x)取得最小值F(0)＝0. 所以F(x)≥0，即f(x)≥g(x).
(ⅰ)若 h(2)>0，即 a<e42，h(x)在(0，＋∞)没有零点； (ⅱ)若 h(2)＝0，即 a＝e42，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点； (ⅲ)若 h(2)<0，即 a>e42，由于 h(0)＝1，所以 h(x)在(0，2)有一个零点.
由(1)知，当 x>0 时，ex>x2，所以 h(4a)＝1－1e64aa3＝1－（1e62aa）3 2>1－（126aa）3 4＝1－1a>0.
＋∞)，故 m>1；当 x≤1 时，f(x)＝2x2－mx＋m2 ＋58，要使得 g(x)＝f(x)－m 有两个零
Δ＝m2－858－m2 >0，
点，需满足m4 <1，
解得 m<－5 或 1<m≤74，综上可得1，74.
g（1）＝2－m－m2 ＋58≥0，
答案 1，74
5.已知函数 f(x)＝x＋ln x－2e，g(x)＝mx ，其中 e 为自然对数的底数，若函数 f(x)与 g(x) 的图象恰有一个公共点，则实数 m 的取值范围是________. 解析 因为 f′(x)＝1＋1x>0，所以函数在(0，＋∞)上为增函数且 f1e＝－1－1e<0，所以 当 m≥0 时，与 g(x)＝mx 有一个公共点，当 m<0 时，令 f(x)＝g(x)，∴x2＋xln x－2ex＝ m 有一解即可，设 h(x)＝x2＋xln x－2ex，令 h′(x)＝2x＋ln x＋1－2e＝0 得 x＝1e，即当 x ＝1e时，h(x)有极小值－e＋e21，故当 m＝－e＋e21时有一公共点，故填 m≥0 或 m＝－e＋e21. 答案 m≥0 或 m＝－e＋e21
2-11-4 导数与函数的零点问题 课件

2-11-4 导数与函数的零点问题 课件


令 k(x)＝x－lnx，则 k′(x)＝1－1x＝x－x 1，所以当 x∈1e，1时， k′(x)<0，所以 k(x)在1e，1上递减；
当 x∈(1，e]时，k′(x)>0，所以 k(x)在(1，e]上递增， 故 k(x)min＝k(1)＝1，又 k1e＝1e＋1，k(e)＝e－1. 因为 k1e－k(e)＝2－e＋1e<0， 所以 k1e<k(e)，所以 k(1)<t≤k1e，即 t∈1，1＋1e.
令 φ(x)＝lnxx，则 φ′(x)＝1－x2lnx，
所以 φ(x)＝lnxx在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以当 x＝e 时，φ(x)＝lnxx取得最大值1e， 由 φ(1)＝0，得当 x∈(0,1)时，φ(x)<0；当 x∈(1，＋∞)，φ(x)>0， φ(x)的大致图象如图所示，
1涉及函数的零点方程的根问题，主要利用导数确定函数 的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间 的极值以及区间端点的函数值与 0 的关系，从而求得参数的取值 范围.
2解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点 相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.
已知函数 f(x)＝x2－lnx. (1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设 g(x)＝x2－x＋t，若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在1e，e上(这里 e≈2.718)恰有两个不同的零点，求实数 t 的取值范围．
温馨 提 示
请 做：课时作业 17
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请 做：第一、二章阶段测试题
（点击进入）
考点二 构造法研究函数的零点问题 【例 2】 设函数 f(x)＝12x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 m≥1 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数．
导数及其应用讲导数与函数的零点

导数及其应用讲导数与函数的零点

汇报人：日期:•导数概念•导数与函数零点•导数在几何中的应用目•导数在物理中的应用•导数的实际应用录导数概念函数f在x=x0点的导数是指当h趋近于0时，f(x0+h)与f(x0)之差与h的商的极限。

函数在某一点的导数描述了函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的定义导数的几何意义函数在某一点的导数1 2 3若函数f和g可导，则其和、差、积、商的导数等于各自导数的和、差、积、商。

线性性质若函数f和g可导，则f乘以g的导数为f的导数乘以g加上g的导数乘以f。

乘积法则幂函数的导数是幂函数的系数与自然对数的和。

幂函数的导数导数的运算性质导数与函数零点函数图像与x轴交点的横坐标称为函数的零点。

零点函数的零点实际上就是对应方程的根。

函数的零点与方程的根函数在零点两侧的函数值异号。

零点存在的条件函数零点的定义利用导数找函数零点导数与单调性函数的导数可以判断函数的单调性，如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0，函数单调递减。

找零点的步骤第一步，求函数的导数；第二步，根据导数判断函数的单调性；第三步，求出函数与x轴的交点，即函数的零点。

定理内容如果函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)上有导数，那么函数在(a,b)上至少有一个零点。

定理证明利用中值定理，当f'(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)上有导数时，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0，从而证明了定理。

函数零点存在性定理导数在几何中的应用导数可以用来表示函数图像在某一点的切线斜率。

当函数在某一点处可导时，函数图像在该点的切线斜率等于该点的导数值。

切线斜率给定曲线上的一个点以及该点的切线斜率，可以得出该点的切线方程。

切线方程在几何上描述了曲线在这一点处的切线。

切线方程切线斜率与曲线在某点的切线方程导数小于0的区间，函数值单调递减；导数大于0的区间，函数值单调递增。

极值点是导数为0的点。

最值在一定区间内，函数值有最大值和最小值。

最值点可能是区间的端点或是极值点。

2025高考数学一轮复习-17.3-导数与函数零点【课件】

2025高考数学一轮复习-17.3-导数与函数零点【课件】


2 已知函数f(x)＝aex－cos x－x(a∈R). (2) 若f(x)在(0，π)上有两个极值点，求实数a的取值范围．
【解答】f(x)在(0，π)上有两个极值点等价于 f′(x)＝aex＋sin x－1＝0 在(0，π)上有两个
不同的实数根，f′(x)＝0
等价于
a＝1－esxin
x .
设
h(x)＝1－esxin
或
5
t＝92e－2时，G(x)有两个零点，当
t∈0，92e－25时，G(x)有三个零点．
变式 已知函数 f(x)＝aexx ＋12x2－x(a＞0).讨论 f(x)的零点个数．
【解答】令 f(x)＝0，得aexx ＋12x2－x＝0，所以 xeax＋12x－1＝0，解得 x＝0 或 a＝ex1－12x， 令 h(x)＝ex1－12x，则 h′(x)＝12ex(1－x)，当 x＜1 时，h′(x)＞0， 当 x＞1 时，h′(x)＜0，所以函数 h(x)在(－∞，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减，所以 h(x)max＝h(1)＝2e，又当 x→－∞ 时，h(x)＞0 且 h(x)→0，当 x→＋∞时，h(x)→－∞，如图，函数 f(x)＝x ln x－k，其中 k＞0，则 f(x)的零点个数是
x
(A )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】f(x)＝0 ⇔ k＝x2ln x，设 g(x)＝x2ln x，则 g′(x)＝x(2ln x＋1)，令 g′(x)＞0，得 x
＞
1 ，此时 e
g(x)单调递增，令
x，x∈(0，π)，h′(x)＝sin
x－cos ex
x－1＝
2sin xe－x π4－1，令 h′(x)＝0，得
导数与零点课件高三数学二轮复习

导数与零点课件高三数学二轮复习

求函数的零点：通过导数求解函数的零点，即解方程
求函数的图像：通过导数绘制函数的图像，了解函数的变化趋势
03
零点的概念与求解方法
零点的定义
零点是函数与x轴的交点
零点的存在性：如果函数在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数在(a, b)内至少有一个零点
零点的求解方法：二分法、牛顿法等
导数与零点综合练习题及答案解析
单击添加项标题
题目：求函数f(x)在区间[a, b]上的导数
单击添加项标题
答案解析：首先，我们需要知道导数的定义，然后根据定义求导。
单击添加项标题
题目：求函数f(x)在点x0处的零点
单击添加项标题
答案解析：首先，我们需要知道零点的定义，然后根据定义求零点。
单击添加项标题
零点的应用：求解方程、优化问题等
零点的求解方法
直接求解法：通过解方程直接找到零点
迭代法：通过不断迭代逼近零点
牛顿法：利用牛顿迭代法求解零点
割线法：通过割线逼近零点
插值法：通过插值逼近零点
图像法：通过图像观察零点的位置
零点与函数图像的关系
零点是函数图像与x轴的交点
零点的个数决定了函数图像与x轴的交点数量
答案：x=1, x=2解析：使用导数的基本公式和法则，对函数进行求导，然后根据零点定理，找出函数的零点
答案：i'(2)=8+4-6+0=6解析：将x=2代入函数，使用导数的基本公式和法则，对函数进行求导
零点练习题及答案解析
题目：求函数g(x)=x^3+2x^2-5x+3的零点
题目：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的零点
例题4：求函数k(x)=x^3+2x^2-3x-1的导数
教版数学ppt课件利用导数研究函数零点专题部编版语文ppt课件

教版数学ppt课件利用导数研究函数零点专题部编版语文ppt课件

利用导数研究函数零点专题

【典例】(12分)(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1), …………………………2分 (ⅰ)若a≤0,则f′(x)<0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. …………………………………3分 (ⅱ)若a>0,则由f′(x)=0得x=-ln a. 当x∈(-∞,-ln a)时,f′(x)<0; 当x∈(-ln a,+∞)时,f′(x)>0, ……………………………………5分 所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. 6分
＝
4－e2ln 2e2
2
＝
ln
e4－ln 2e2
2e2
＜
ln
81－ln 2e2
27＜0，
所以 φ(e)＜φ( 2)．
所以 φ(x)min＝φ(e)，
如图可知 φ(x)＝a 有两个不相等的解时，需ln22≤a＜1e.
即 f(x)＝g(x)在[ 2，e]上有两个不相等的解时 a 的取值范围为
[ln22，1e)．
F ( 2 ) 0, F (
ln 2 a 1
2
e
1 ) 0, F (e) 0 a
变式一：
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.若方程f(x)＝g(x)在区间 [ 2，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
由 φ(e) － φ(
导数及其应用讲导数与函数的零点课件pptx

导数及其应用讲导数与函数的零点课件pptx

多重根问题
当函数存在多重根时，导数可能不存在，需要采用特殊的方法进行求解。
导数在多学科的交叉应用
物理应用
经济应用
计算机科学
导数在物理学中有广泛的应用，如速 度、加速度、电磁场等物理量的计算 都涉及到导数的概念。
导数在经济分析中也有重要应用，如 边际分析、弹性分析等都需要用到导 数的概念。
导数在计算机图形学、机器学习等领 域也有广泛的应用，如梯度下降算法 等涉及到导数的计算。
导数的未来发展趋势与挑战
高维导数
随着高维数据的不断增加，高维导数的计算成为了一 个重要的研究方向，需要研究有效的算法和软件实现 。
人工智能与导数
人工智能的发展也为导数的发展提供了新的机遇和挑 战，如采用神经网络等方法进行导数的计算等。
06
复习与思考题
导数的定义与性质方面的题目
01
02
总结词：掌握导数的定 义和性质
详细描述
03
04
05
1. 导数的定义：导数是 函数在某一点的变化率 ，反映了函数在这一点 附近的局部变化趋势。
2. 导数的性质：导数具 有一些重要性质，如单 调性、奇偶性、周期性 等，这些性质在研究函 数的性质和优化问题中 具有重要作用。
3. 导数的几何意义：导 数在几何上可以表示函 数曲线在某一点的切线 斜率，切线斜率的变化 趋势反映了曲线在该点 的变化趋势。
导数在寻找函数零点中的应用
导数在寻找单调递增区间内的零点中的应用
利用导数判断函数的单调性，从而确定零点所在的区间，再通过求导数来确定零点的具体位置。
导数在寻找单调递减区间内的零点中的应用
同样利用导数判断函数的单调性，从而确定零点所在的区间，再通过求导数来确定零点的具体位置。

2025年高考数学一轮复习-4.4.2-导数的函数零点问题【课件】

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)ex,
令f'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
1
- 2

单调递增
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,-2),单调递增区间是(-2,+∞).
e
1 1
当0< < 3,即a>e3时,f(x)有两个零点;
e
1
当 <0,即a<0时,f(x)有一个零点.

综上所述,当a∈(0,e3)时,f(x)无零点;当a∈(-∞,0)∪{e3}时,f(x)有一个零点;
当a∈(e3,+∞)时,f(x)有两个零点.
【加练备选】
已知函数f(x)=xex+ex.
[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
2 ( 2 +2+3)
3
设g(x)= 2
-3a,则g'(x)= 2
≥0,当且仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)
2
++1
( ++1)
上单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
3
又f(x)=
−1+1−3(
) (−1−3)(=Biblioteka 2 ++1

人教版导数背景下的零点问题(共21张PPT)教育课件


心
安
；
书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
，
浮
华
三
千
，
只
做
自
己
；
人
间
有
情
，
心
中
有
爱
，
携
一
米
阳
光
，
微
笑
向
暖
。
口
罗
不
是
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那
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候
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我
不
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。
你
可
以
说
我
之前有个网友说自己现在紧张得不得了，获得了一个大公司的面试机会，很不想失去这个机会，一天只吃一顿饭在恶补基础知识。不禁要问，之前做什么去了？机会当真就那么少？在我看来到处都是机会，关键看你是否能抓住。运气并非偶然，运气都是留给那些时刻准备着的人的。只有不断的积累知识，不断的进步。当机会真的到来的时候，一把抓住。相信学习真的可以改变一个人的运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙，比房子、比车子、比票子、比小孩的教育、比工作，往往被压得喘不过气来。而另外总有一些人会运用自己的心智去分辨哪些快乐或者幸福是必须建立在比较的基础上的，而哪些快乐和幸福是无需比较同样可以获得的，然后把时间花在寻找甚至制造那些无需比较就可以获得的幸福和快乐，然后无怨无悔地生活，尽情欢乐。一位清洁阿姨感觉到快乐和幸福，因为她刚刚通过自己的双手还给路人一条清洁的街道；一位幼儿园老师感觉到快乐和幸福，因为他刚给一群孩子讲清楚了吃饭前要洗手的道理；一位外科医生感觉到幸福和快乐，因为他刚刚从死神手里抢回了一条人命；一位母亲感觉到幸福和快乐，因为他正坐在孩子的床边，孩子睡梦中的脸庞是那么的安静美丽，那么令人爱怜。。。。。。

导数在零点中的应用 ppt课件


3x 2
.
判断命题①②的真假并说明理由.
(2)求证: x2 0,1
x 10 解 (1) 命 题 ① 是 假 命 题 , 反 例 :
, 则 x x1 , 但 是
1 10 2
1024,3 102
1 x 300
,2
3x 2
不成立.----3 分
命 题 ② 是 真 命 题 , 因 为
方程 f (x)2、0 有零实点数是根不是f(0)？ 函数 y f (x)的图象与 x 轴有交点
函数 y f (x)有零点．
一 、知识回顾与巩固训练
函数零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续 曲线,并且有 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在 区间(a, b)内至少有一个零点．
a 6 时有 1 个交点.
二、能力提升
方法 2：构造函数 f (x) x3 6x2 9x 10 与 g(x) a ，利用前 面的方法可得到函数 y f (x) 的图象，从两个函数图象的 位置关系，可得：
当 a (,10)仅有 1 个零点； Y
y f (x)
当 a 10有 2 个零点；
x (,1)
1
(1,3) 3
(3,)
y/
+
0
-
0
+
Y 极大值
Y 极小
y 增函数
减函数
增函数
-6
值-10
变想式一想一，（下引面入的参题数如a）何解？
试讨论函数 f (x) x3 6x2 9x 10 a ( a R )零点的 个数。
二、能力提升
变式一：试讨论函数 f (x) x3 6x2 9x 10 a ( a R )
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训练3：
13
解 (1)由题知ff′ee＝＝－－22e，， 得ab＝ ＝1e，， 所以 f(x)＝x2－(e＋1)xlnx－e。 (2)x2－(e＋1)xlnx－e＝0⇒x－(e＋1)lnx－ex＝0，x∈(0，e4]。 设 g(x)＝x－(e＋1)lnx－ex，x∈(0，e4]， 则 g′(x)＝1－e＋x 1＋xe2＝x－1x2x－e。 由 g′(x)＝0 得 x1＝1，x2＝e， 当 x∈(0,1)时，g′(x)>0， 当 x∈(1，e)时，g′(x)<0， 当 x∈(e，e4]时，g′(x)>0， 所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e，e4]上单调递增。
函数零点专题（一）
1
目标： （1）判断简单函数的零点个数 （2）判断含参函数的零点个数
2
知识回顾
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使方程__f(x)＝0__成立 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．
注：1.函数的零点不是点，是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标； 2．并不是所有的函数都有零点； 3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
注：1.由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． 2.定理成立的条件：一是函数 y f (x) 在区间[a,b] 上的图象是连续
不断的一条曲线；二是 f (a) f (b) 0
5
类型一、判断零点个数（结合单调性，极值，最值，端点值）
6
C
7
【训练 1】若函数 f (x) x3 9 x2 6x a 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是 2
8
利用导数判断零点的个数（主要考虑极值与0的大小关 系或者转换为两个函数的交点个数）
例 23 函数 f (x) 1 x ln x 的零点个数为（ C ） 3
A.0
B.1
C.2
D.3
9
【训练 2】函数 f (x) ln x 的零点个数为（ B ） x
A.0
B.1
C.2
D.3
10
3
11
12
个零点
24
25
26
个人观点供参考，欢迎讨论
f (x) 1 a 1 ax (x 0) ．
x
x
（区间为（0，1a ）；
令 f (x) ＜0 得减区间为（1a ，﹢∞）．
当 x→0 时，f（x）→﹣∞；当 x→﹢∞时，f（x）→﹣∞；
当 x＝1a 时，f（1a ）＝﹣lna－1≥0，当且仅当 a ＝1e 时取等号．
当 x→0 时，f（x）→﹣∞；当 x→﹢∞时，f（x）→﹢∞． 此时，f（x）有 1 个零点．
综上所述：当 a ＝1e 或 a＜0 时，f（x）有 1 个零点；当 0＜ a ＜1e 时，f（x）有 2 个零点．
23
【训练 3】已知函数 f (x) 1 x2 a ln x (a 1)x(其中a 1) ，则函数 f (x) 有 2
16
判断含参函数零点的个数
例3
17
18
19
20
例 4、设函数 f (x) ln x ax ， g(x) ex ax ，其中 a 为实数．若 g(x) 在 (1,) 上是 单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论．
21
解： g(x) e x a ≥0 在 (1,) 上恒成立，则 a ≤ex，故： a ≤1e ．
15
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对 称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象， 看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
故：当 a ＝1e 时，f（x）有 1 个零点；当 0＜ a ＜1e 时，f（x）有 2 个零点．
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（ⅱ）若 a＝0，则 f（x）＝﹣lnx，易得 f（x）有 1 个零点．
（ⅲ）若 a＜0，则 f (x) 1 a 0 在 (0， ) 上恒成立， x
即： f (x) ln x ax 在 (0， ) 上是单调增函数，
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极大值 g(1)＝1－e<0，极小值 g(e)＝－2<0，g(e4)＝e4－4(e＋1)－e13， 因为 4(e＋1)＋e13<4×4＋1＝17，e4>2.74>2.54>62＝36， 所以 g(e4)>0。 综上，g(x)在(0，e4]内有唯一零点， 因此，f(x)在(0，e4]内有唯一零点。
重要的转化关系
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(3)零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有__f(a)∙f(b)＜0__，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点， 即存在 c (a,b) ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f (x) 0 的根．
3
（2）重要的转化关系
函数 y＝f(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝0 有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝0(即 x 轴)有交点．
函数 y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)－g(x)＝0 有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)－g(x)的图象与 y＝0(即 x 轴)有交点．
函数 y＝f(x)－g(x)有零点 ⇔ 方程 f(x)＝g(x)有实数根 ⇔ 函数 y＝f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．