专题学习--一次方程与一次方程组的综合应用

• A．x－y＝20
B．x＋y＝20
C．5x－2y＝60
D．5x＋2y＝60
• (2)[2018·绍兴] 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比 竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为 尺,竿子长为 尺.
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解析：
• 【练】(1)(2018·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得＋5分，每答错一题得 －2分，不答的题得0分．已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题， 则( C )
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∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，
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∴－10a＋18 000≤[25a＋45(1 200－a)]×30%，∴a≥450.
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∵y＝－10a＋18 000，k＝－10＜0，∴y随a的增大而减小，
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∴a＝450时，y最大＝13 500元．
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∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13 500元
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解析：
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考点二：利用一元一次方程解决实际问题
• 【练】(原创题)如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连结而成．闲 置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示)：使用时，可将 鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示)．图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下 的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，以此类推，每一节套管均比 前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连结并固定，每相邻两节套管间均有 相同长度的重叠，设其长度为x cm.
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考点二：利用一元一次方程解决实际问题

【点评】 (1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按 去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时， 不要漏乘没有分母的项(特别是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个 整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复 出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使 运算简便．
5x＋4y＝148 4x＋5y＝148 A.2x＋5y＝100 B.2x＋5y＝100
5x＋4y＝148 4x＋5y＝148 C.5x＋2y＝100 D.5x＋2y＝100
4．(2016·贺州)解方程：x6－304－x＝5.
解：x＝30
5．(2016·柳州)小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中， 某规格童装每件以60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．
3x－y＝2， 【例 2】 (2016·百色)解方程组：9x＋8y＝17.
解：39xx－＋y8＝y＝2，17①，②①×8＋②得：33xFra bibliotek33，即 x＝1，
x＝1， 把 x＝1 代入①得：y＝1，则方程组的解为y＝1
【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中 一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两 个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方 程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方 程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选 用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值 的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．

初中数学知识归纳一次方程与一元一次方程组初中数学知识归纳：一次方程与一元一次方程组数学作为一门基础学科，对我们的学习和生活中都起着至关重要的作用。

而初中数学作为学生接触到的第一门具体的数学学科，其中的一次方程与一元一次方程组是我们学习的重点内容之一。

本文将对这两个知识点进行归纳和总结，帮助初中学生更好地理解和掌握这部分知识。

1. 一次方程一次方程是一个变量的一次多项式等于常数的等式。

它的一般形式可以表示为：ax + b = c，其中a、b和c都是已知常数，x是未知数。

在解一次方程时，我们的目标是找到x的数值，使得等式成立。

例子：2x + 3 = 7解一次方程的步骤如下：a) 首先，将方程转化为等式的标准形式，即将未知数的系数系数调整为1，例如将例子中的2x转化为x。

2x + 3 = 7x + 3/2 = 7/2b) 接下来，通过运算将常数项移到方程的另一边。

x = 7/2 - 3/2x = 4/2x = 2因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2.一次方程的解有可能是实数，也有可能是没有实数解。

如果我们在解方程的过程中出现了推导错误，最后得到的方程无法满足等式成立，那么我们就可以得出一次方程没有实数解的结论。

2. 一元一次方程组一元一次方程组是由一个或多个一次方程组成的集合。

它的一般形式可以表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂都是已知常数，x和y是未知数。

解一元一次方程组的方法主要有两种：代入法和消元法。

a) 代入法在代入法中，我们通过将方程一的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，再将其代入方程二，从而求得另一个未知数的值。

例子：2x + y = 10x + 3y = 16首先，我们可以从方程一中解得x的值：x = 10 - y然后，将其代入方程二：10 - y + 3y = 16-2y = 6y = -3最后，将y的值代入x=10-y中，解得x的值：x = 10 - (-3)x = 10 + 3x = 13所以，这个一元一次方程组的解为x = 13，y = -3.b) 消元法在消元法中，我们通过适当的运算，将方程组中的一个未知数的系数调整为相同或相反数，以实现相互抵消的效果，最终求解出未知数的值。

2019中考数学专题练习-一次函数与二元一次方程（组）的综合应用（含解析）一、单选题1.如图，一次函数y1=ax+b和y2=﹣bx+a（a≠0，b≠0）在同一坐标系的图象．则的解中（）A. m＞0，n＞0B. m＞0，n＜0C. m＜0，n＞0D. m＜0，n＜02.二元一次方程的图象如图所示，则这个二元一次方程为（）A. x﹣3y=3B. x+3y=3C. 3x﹣y=1D. 3x+y=13.已知和是二元一次方程ax+by+3＝0的两个解，则一次函数y＝ax+b （a≠0）的解析式为（）A. B. C.D.4.已知方程组的解也是方程kx﹣y=0的解，则k的值为（）A. -4B. 4C. -D.5.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A. B. C. D.6.如图，已知函数y=ax+y和y=kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是( )A. B. C. D.7.已知P（x，y）是平面直角坐标系上的一个点，且它的横、纵坐标是一次方程组（a为任意实数）的解，则当a变化时，点P一定不会经过（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限8.已知和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为（）A. y=﹣2x﹣3B. y=x+C. y=﹣9x+3D. y=-x-9.函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有（）A. 无数解B. 无解C. 唯一解D. 不能确定10.如果直线y=3x+6与y=2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（）A. B. C.D.11.方程组没有解，因此直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中的位置关系是（）A. 重合B. 平行C. 相交D. 以上三种情况都有可能12.方程组没有解，说明一次函数y=ax+2与y=x+的图象必定（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不能确定13.如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（）A. B. C.D.二、填空题14.如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），则二元一次方程组的解是________15.若一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点坐标满足二元一次方程﹣2x+my=18，则m的值为________ ．16.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解为________．17.用图象法解方程组．18.如图中的两条直线l1，l2可以看作方程组________的解．19.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是________．三、解答题20.若正比例函数y=﹣x的图象与一次函数y=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的解析式；（2）直接写出方程组的解．21.利用一次函数的图象解二元一次方程组：．22.已知：一次函数y=3x﹣5与y=2x+b的图象的交点的坐标为P（1，﹣2）．求：方程组的解和b的值．四、综合题23.已知二元一次方程2x﹣y=2．（1）请任意写出此方程的三组解；（2）若为此方程的一组解，我们规定（x0，y0）为某一点的坐标，请根据你在（1）中写出的三组解，对应写出三个点的坐标，并将这三个点描在平面直角坐标系中；（3）观察这三个点的位置，你发现了什么？24.在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）．（1）求a的值；（2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？（3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？25.如图，直线PA是一次函数y=x+1的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+2的图象．（1）求A、B、P三点坐标．（2）求△PAB的面积．答案解析部分一、单选题1.如图，一次函数y1=ax+b和y2=﹣bx+a（a≠0，b≠0）在同一坐标系的图象．则的解中（）A. m＞0，n＞0B. m＞0，n＜0C. m＜0，n＞0D. m＜0，n＜0 【答案】A【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：方程组的解就是一次函数y1=ax+b和y2=﹣bx+a（a≠0，b≠0）图象的交点，∵两函数图象交点在第一象限，∴m＞0，n＞0，故选：A．【分析】方程组的解就是一次函数y1=ax+b和y2=﹣bx+a（a≠0，b≠0）图象的交点，根据交点所在象限确定m、n的取值范围．2.二元一次方程的图象如图所示，则这个二元一次方程为（）A. x﹣3y=3B. x+3y=3C. 3x﹣y=1D. 3x+y=1【答案】A【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴二元一次方程为y=，移向，并将系数化为1得到x﹣3y=3．故选A．【分析】两点确定一条直线，找到直线上的任意两点代入函数关系式y=kx+b，解出k，b，就是直线的方程．3.已知和是二元一次方程ax+by+3＝0的两个解，则一次函数y＝ax+b （a≠0）的解析式为（）A. B. C.D.【答案】D【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】∵和是二元一次方程ax+by+3＝0的两个解，∴，解得：，∴一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式为：．故选：D．【分析】由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a ，b的二元一次方程，联立方程组求解，从而可以求出a ，b的值，进一步得出解析式即可．4.已知方程组的解也是方程kx﹣y=0的解，则k的值为（）A. -4B. 4C. -D.【答案】C【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：解方程组，得：；将x、y的值代入kx﹣y=0中，得4k+1=0，解得k=﹣．故选C．【分析】先解方程组，求出x、y的值，然后代入kx﹣y=0中，即可求出k的值．5.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x-1，y=-x+2，因此所解的二元一次方程组是.故选D．6.如图，已知函数y=ax+y和y=kx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是( )A. B. C. D.【答案】B【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】根据一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象可知，点P就是一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的交点，即二元一次方程组的解．【解答】根据题意可知，二元一次方程组的解就是一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象的交点P的坐标，由一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象，得二元一次方程组的解是．故选B．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组)的关系，比较简单，解题的关键是熟知方程组的解与一次函数y=ax+b和正比例函数y=kx的图象交点P之间的联系，考查了学生对题意的理解能力．7.已知P（x，y）是平面直角坐标系上的一个点，且它的横、纵坐标是一次方程组（a为任意实数）的解，则当a变化时，点P一定不会经过（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：解方程组得：，∵当x=3a+2＜0时，解得：a＜﹣，∴此时y=﹣2a+4＞0，∴当x＜0时y＞0，∴点P一定不会经过第三象限，故选C．【分析】首先用含有a的代数式表示出x、y的值，然后分析x、y不能同时为负数得到其不会经过第三象限．8.已知和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为（）A. y=﹣2x﹣3B. y=x+C. y=﹣9x+3D. y=-x-【答案】D【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：∵和是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，∴，解得：，∴一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式为y=-x-故选：D．【分析】由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a，b的二元一次方程，联立方程组求解，从而可以求出a，b的值，进一步得出解析式即可．9.函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组有（）A. 无数解B. 无解C. 唯一解D. 不能确定【答案】C【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：因为函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，则y=ax+b和y=cx+d是两个二元一次方程．它们有一个交点，即二元一次方程组有唯一解，故选C．【分析】函数的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．10.如果直线y=3x+6与y=2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（）A. B. C.D.【答案】D【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：∵直线y=3x+6与y=2x﹣4交点坐标为（a，b），∴解为的方程组是，即，故选D．【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．那么所求方程组的解即为两函数的交点坐标．11.方程组没有解，因此直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中的位置关系是（）A. 重合B. 平行C. 相交D. 以上三种情况都有可能【答案】B【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：∵方程组没有解，∴直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中没有交点，∴直线y=﹣x+2和直线y=﹣x+在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行．故选B．【分析】根据平行线的定义解答．12.方程组没有解，说明一次函数y=ax+2与y=x+的图象必定（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不能确定【答案】B【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：∵方程组没有解，∴一次函数y=ax+2与y=x+的图象必定平行．故选B．【分析】两个方程组成的方程组无解，那么这两个方程表示的两条直线平行．13.如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（）A. B. C.D.【答案】A【考点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用【解析】【解答】由于直线l1经过点（0，-1），（3，-2）；因此直线l1的解析式为y=- x-1；同理可求得直线l2的解析式为y=-2x+4；因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解．故答案为：A．【分析】先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两直线解析式所组成的方程组，即可．二、填空题14.如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），则二元一次方程组的解是________【答案】【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：∵一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），∴点P（4，﹣6）满足二元一次方程组；∴方程组的解是．故答案为．【分析】两个一次函数的交点坐标为P（4，﹣6），那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．15.若一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点坐标满足二元一次方程﹣2x+my=18，则m的值为________ ．【答案】【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：一次函数y=3x+7中，令x=0，则y=7，即一次函数与y轴的交点是（0，7）；把x=0，y=7代入﹣2x+my=18，得：7m=18，即m=，故答案为：【分析】本题可先求出直线y=3x+7与y轴的交点坐标，然后将其代入二元一次方程中，可求出m的值．16.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则关于x、y的方程组的解为________．【答案】【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：由图象得：一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象的交点坐标为（3，1.6），∴关于x、y的方程组的解为；故答案为：．【分析】由函数图象可知，两函数的交点坐标就是方程组的解．17.用图象法解方程组．【答案】解：由题意得，两函数图象如下图：由图象可知两函数的图象交于点（3，﹣2），∴方程组的解为．【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】由题意将函数y=﹣2x+4与函数y=﹣x﹣1的图象分别在坐标轴上画出来，其交点就是方程组的解．18.如图中的两条直线l1，l2可以看作方程组________的解．【答案】【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：设l1的解析式为y=kx+b，把（1，3），（0，1）代入得，解得：，所以直线l1的解析式为：y=2x+1，同样方法得到直线l2的解析式为：y=﹣x+4，所以两条直线l1，l2的交点可以看作方程组的解．故答案为．【分析】先利用待定系数法求出两直线的解析式，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行求解．19.如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是________．【答案】【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【解答】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），即x=﹣4，y=﹣2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故答案为：．【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．三、解答题20.若正比例函数y=﹣x的图象与一次函数y=x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的解析式；（2）直接写出方程组的解．【答案】解：（1）将x=﹣1代入y=﹣x，得y=1，则点A坐标为（﹣1，1）．将A（﹣1，1）代入y=x+m，得﹣1+m=1，解得m=2，所以一次函数的解析式为y=x+2；（2）方程组的解为．【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】（1）先将x=﹣1代入y=﹣x，求出y的值，得到点A坐标，再将点A坐标代入y=x+m，利用待定系数法可得一次函数的解析式；（2）方程组的解就是正比例函数y=﹣x的图象与一次函数y=x+m的交点，根据交点坐标即可写出方程组的解．21.利用一次函数的图象解二元一次方程组：．【答案】解：如图，两个一次函数y=﹣x+ 与y=3x﹣2的交点坐标为（1，1）；因此方程组的解．【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．22.已知：一次函数y=3x﹣5与y=2x+b的图象的交点的坐标为P（1，﹣2）．求：方程组的解和b的值．【答案】解：∵一次函与y=3x﹣5与y=2x+的图象的交点的坐标为P（1，﹣2）∴方程组的解是，将点P（1，﹣2）的坐标代y=2x+b，得b=﹣4．【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．四、综合题23.已知二元一次方程2x﹣y=2．（1）请任意写出此方程的三组解；（2）若为此方程的一组解，我们规定（x0，y0）为某一点的坐标，请根据你在（1）中写出的三组解，对应写出三个点的坐标，并将这三个点描在平面直角坐标系中；（3）观察这三个点的位置，你发现了什么？【答案】（1）解：，，（2）解：（0，﹣2）；（1，0）；（2，2）（3）解：这三个点在一条直线上．【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】本题中实际求的是直线y=2x﹣2．求出方程的三组解实际上是求直线y=2x ﹣2上的三个点的坐标．求出的这三个点自然都在直线y=2x﹣2上．24.在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）．（1）求a的值；（2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？（3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？【答案】（1）解：∵直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），∴解得：，∴直线l1的解析式为：y=2x﹣1，把P（﹣2，a）代入y=2x﹣1得：a=2×（﹣2）﹣1=﹣5（2）解：设l2的解析式为y=kx，把P（﹣2，﹣5）代入得﹣5=﹣2k，解得k= ，所以l2的解析式为y= x，所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得（3）解：对于y=2x﹣1，令x=0，解得y=﹣1，则A点坐标为（0，﹣1），所以S△APO= ×2×1=1【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】（1）首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后直接把P点坐标代入可求出a的值；（2）利用待定系数法确定l2得解析式，由于P（﹣2，a）是l1与l2的交点，所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得；（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式计算．25.如图，直线PA是一次函数y=x+1的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+2的图象．（1）求A、B、P三点坐标．（2）求△PAB的面积．【答案】（1）解：把y=0代入y=x+1得x+1=0，解得x=﹣1，则A点坐标为（﹣1，0）；把y=0代入y=﹣2x+2得﹣2x+2=0，解得x=1，则B点坐标为（1，0）；解方程组得，所以P点坐标为（，）（2）解：S△PAB= ×（1+1）× =【考点】一次函数与二元一次方程（组）【解析】【分析】（1）A，B两点在x轴上，因此纵坐标为0，代入解析式可得横坐标；C点坐标为两个函数解析式连列方程组的解。

题
3.解方程
步 骤
4.检验，作答
常见类型及等 量关系式
打折销售问题：利润＝售价-本钱价，售价＝原价×折扣〔打几折，
折扣就是百分之几十〕利润率＝ ×100％
工程问题：任务量＝任务效率×⑩_______
行程问题
利润
分配类问题
进价
任务时间
路程＝速度×时间
相遇问题：
甲、乙分别以A、B为起点，同时相向而行，经过一段时间在C处
〔3〕该物流公司4月承接的A种货物和B种货物的分量与3月份一样，3月份共 收取运费19000元，4月份共收取运费26000元，求该物流公司4月份运输A、B 两种货物各多少吨？ 自主作答：
设该物流公司4月运输A货物x吨，运输B货物y吨，根据题意得：
解得 x=100 y=150，
100x+60y=19000 140x+80y=26000,
设3月份B货物的运费单价为m元/吨，根据题意得： 2m-20=100, 解得m=60. 答：3月份B货物的运费单价是60元/吨；
〔2〕4月份由于工人工资上涨，A、B货物运费单价上调的百分率分别为x％和 1.25x％，且共上调了70元/吨，求4月份A、B货物的运费单价； 自主作答：
根据题意得：100·x％+60×1.25x％＝70， 解得x=40，那么1.25x=50. 100×〔1+40％〕＝140， 60×〔1+50％〕＝90， 答：4月份A货物的运费单价为140元/吨，B货物的运费单价为90元/吨.
2.等式两边乘以同一个数〔或除以同一个不为0的数〕，结果仍是等式，即假
等
设a=b,那么ac=bc, (c≠0)
式
的 3.假设a=b,那么b=a〔对称性〕

模块二 方程（组）与不等式（组）第一讲 一次方程（组）及其应用知识梳理 夯实基础知识点1：方程的相关概念及等式的性质1、方程的相关概念含有未知数的 叫做方程;使方程左右两边的值相等的 的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程;只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的 。

2、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.性质3：如果a b =，那么b a =（对称性）性质4：如果a b =，b c =，那么a c =（传递性）知识点2：一元一次方程及其解法1、一元一次方程:只含有 个未知数(元)，并且未知数的次数都是 ，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0（a ，b 是常数，且a ≠0）的形式。

温馨提示形如0ax b +=(其中a ，b 为常数，且0a ≠)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。

2、解一元一次方程的一般步骤例： 141123x x --=-解：去分母： ()()312416x x -=--去括号： 33826x x -=--移项：83263x x --=---合并同类项： 1111x -=-系数化为1： 1x =知识点3：二元一次方程（组）及其解法去分母若未知数的系数有分母，则要去分母。

注意要在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。

去括号若方程含有括号，则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

若去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项均要 。

移项把含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。

一般把含 的项移到等式左边。

移项要改变符号。

合并同类项把方程化成 ax b =（0a ≠）的形式。

列一元一次方程解实际问题的一般方法【学习目标】1、使同学们知道形积问题的意义，能分析题中已知数与未知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题；2、使同学们了解列出一元一次方程解应用题的方法。

3、通过对实际问题的解决，体会方程模型的作用，发展分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.【学习方法】自主探究与合作交流相结合．【学习重难点】重点：列出一元一次方程解有关形积变化问题；难点：依题意准确把握形积问题中的相等关系。

【学习过程】模块一预习反馈一、预习准备1、长方形的周长= ；面积=2、长方体的体积= ；正方体的体积=3、圆的周长= ；面积 =4、圆柱的体积=5、阅读教材：二、课堂学习6、理解解应用题的关键是找等量关系列方程将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：(值不用写出，在计算过程中可根据等式基本性质2约去.3、根据锻压前后体积不变这个等量关系来建立方程！)解：根据等量关系，列出方程: 解得x=因此，“矮胖”形圆柱，高变成了 m.归纳：本节主要研究形积变化问题.对于这类问题，虽然形状和体积都可能发生变化，但应用题中任然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的相等关系找出来，然后根据这个相等关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：1、 形状发生了变化，而体积没变.此时，相等关系为变化前后体积相等.2、 形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，相等关系为变化前后周长相等.3、 形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为相等关系.实践练习：用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2（π-2）米，求两个等长铁丝长度，并通过计算比较说明谁的面积大.(分析：正方形周长=圆的周长)解：设归纳：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；（4）列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）检：检查所求解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）.三、教材拓展7、例1 制造一个长5cm ，宽3cm 的无盖水箱，箱底的造价每平方米为60元，箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的32，若整个水箱共花去1860元，求水箱的高度. 分析：本题已知箱底和箱壁每平方米的造价，所以应分两部分分别计算出箱底和箱壁的面积，相等关 系是箱底的造价+箱壁的造价＝1860元，可直接设未知数来解.实践练习：有一个底面直径为0.2m的圆柱形水桶，把936g重的钢球（球形）全部浸没在水中，如果取出钢球，那么液面下降多少？（1cm³钢重7.8g，π取3.14，结果精确到0.01）模块二合作探究用一根长20m的铁丝围成一个长方形. （1）使得长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？（分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：20×½=10m.在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系.）解：（1）设此时长方形的宽为 m，则根据题意，得解这个方程，得此时长方形的长为，宽为，面积为（2）设此时长方形的宽为，则根据题意，得解这个方程，得此时长方形的长为，宽为，面积为此时长方形的面积比（1）中面积 m².（3）设根据题意，得解这个方程，得此时正方形的长为，面积为 __ 的面积比（2）中面积 __ m².实践练习：用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，问：需要截取多长的圆钢？分析：本题是等积变形问题，其相等关系是：铸造前圆钢的体积＝底面积×高.设所需圆钢的长为xcm，则铸造前圆钢的体积为x⎪⎭⎫⎝⎛•24π，铸造后3个圆柱的体积为16×22××32⎪⎭⎫⎝⎛π.模块三形成提升1、把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长。

一次方程组的应用（精选16篇）一次方程组的应用篇1（第一课时）一、素质教育目标（一）知识教学点会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理.（二）能力训练点培养学生分析问题、解决问题的能力.（三）德育渗透点1.体会代数方法的优越性.2.向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想.3.向学生进行理论联系实际的教育.（四）美育渗透点学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美.二、学法引导1.教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法.2.学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解.三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点与难点根据简单应用题的题意列出二元一次方程组.（二）疑点正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程.（三）解决办法通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键.四、课时安排一课时.五、教学具学具准备投影仪、自制胶片.六、师生互动活动设计1.通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题.2.师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤.3.通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺.七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习列二元一次方程组解应用题.（二）整体感知列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组.（三）教学过程1.创设情境、导入新课（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程.①甲、乙两数的和是10.②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70.③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元.（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件.已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？①列出一元一次方程和二元一次方程组解题.②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成.【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣.2.探索新知，讲授新课例1 小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？（2）题中有几个相等关系？分别是什么？学生活动：观察、分析后回答.未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数.相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数.（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价.学生活动：设未知数、根据相等关系列方程.解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得解这个方程组，得答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚.强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义.（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成.（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句.反馈练习：P35 1，2.（只列不解）例2 小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分.平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？仿照刚才分析例1的方法，分析问题.学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答.教师根据学生的拟题板书.两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分解题过程由学生完成，一个学生板演.解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得解这个方程组，得答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分.【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力.反馈练习：P35 3，4.学生活动：口答、设未知数、列方程组.3.变式训练，培养能力用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系.相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张.（2）盒底总数＝2×盒身总数.解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒.根据题意，得（四）总结、扩展我们这节课学习了二元，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？学生发言后，老师适当补充、纠正.八、布置作业（一）必做题：P39 1，2，3.（二）选做题：P41 B组2.（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数.参考答案（一）1.到甲地130人，到乙地70人.2.有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛.3.长38㎝，宽16㎝.（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得解得∴4×3＋2.5×5＝24.5（吨）九、板书设计投影幕例1 例2 练习小结：一次方程组的应用篇2教师王命勇学科数学年段初一年课题时间年月日教学目标使学生会掌握待定系数法，并能运用解题教学重点待定系数法教学难点解方程组教学步骤（体现教学内容、教学问题设计、时间安排、板书设计、作业布置和预习等）教学方法教学手段学法指导一、复习1、什么是方程？2、什么是方程的解？二、新课学习（一）启发指导1、y=ax2+bx+c是不是方程，如是，它是怎样的方程？什么是未知数？什么是系数？2、对于这个方程，如果当x=－1时，y=3，它是什么意思？3、对于系数a、b、c能不能求出，若能求出要几个条件？（二）学生思考、讨论（三）小结、归纳学生的意见1、可以明确y=ax2+bx+c是一个二元二次方程，未知数是x、y；系数是a、b、c；2、当x＝-1,y=3时，也就是x=-1y=3要满足这个等式（方程）即： 3＝a-b+c3、从2式可以看出此时的系数a、b、c都是未知即2式是一个三元一次方程，我们可知三个未知数，需要一个三元一次方程组才可解出，即还需两组x与y的值；教学步骤教学方法教学手段4、现在再加上两条件：x=2,y=3；x=5,y=60，同学们思考下，现在能否求出a、b、c，如能怎么求？现在我们来看一下完整的解题过程在以往的作业中，我们做的都是解方程，即先给出一已知的方程（当然此时的系数是已知的）去求未知数的值，而这道题目，却是相反过来，给出一方程系数是未知的，而是给出x、y的值，要我们通过方程的解（结果）来求系数，这种方法，我们称之为待定系数法，它在数学上是一个很重要也是很常用的一种解题方法，而且在今后大家在理、化的学习上也是很常用的。

行程问题
追及问题 快者路程＝慢者先走路程(或
相距路程)＋慢者后走路程
工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
单击此处编辑母版S标长方形题＝a样b(a，式b 分别表示长和
面积问题 宽)；S 正方形＝a2(a 表示边长)； • 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
几何•图第形四级
• 第五级
S 圆＝πr2(r 表示圆的半径)
• 第四级
位，已知第•一第、五级二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为 (A )
A．14 元 B．15 元 C．16 元 D．17 元
单击此处编辑母版标题样式 2．有一根 40 cm 的金属棒，欲将其截成 x 根 7 cm 的小段和 y 根
• 单9 c击m 此的小处段编，辑剩母余版部文分本作样废式料处理，若使废料最少，则正整数 x，y
V 长方体＝abh(a，b，h 分别表
问题
示长、宽、高)；V 正方体＝a3(a
体积问题 表示边长)；V 圆锥＝13πr2h(r 表
示底面圆的半径，h 表示高)
单击此处编辑母版标题样式
利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(1x0)
• 单击此处编辑母版文本样式
•利第•润二第级问三级题 －进货价(x 表示打 x 折)；利润率＝
奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品
•
在钢笔和笔记本中选择．如果买
单击此处编辑母版文本样式
4
本笔记本和
2
支钢笔，则需
86
元；
•如第果二买级3 本笔记本和 1 支钢笔，则需 57 元．
• (1第)•求 三第级购四买级每本笔记本和每支钢笔分别为多少元？
(2)售货• 员第提五级示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过 10

一次方程与一次方程组一次方程是一种最简单的代数方程，表达了两个量之间的线性关系。

一次方程的一般形式为ax + b = 0, 其中a和b为已知的实数，x为未知数。

一次方程的解即为能满足该等式的x值。

解一次方程的方法可以通过以下步骤来完成：1. 整理方程形式，将x项移至等式的一侧，并将常数项移至另一侧，使得方程变为ax = -b。

2. 如果方程中x的系数a不为零，则可通过两边同时除以a的方式，得到等式x = -b/a。

3. 当方程中x系数为零时，若常数项b也为零，则方程有无穷多解，代表所有实数均为解；若常数项b不为零，则方程无解。

除了单个一次方程以外，我们还可以考虑一次方程组。

一次方程组是一组同时满足多个一次方程的解，其中每个方程都包含相同的未知数。

解一次方程组的方法可以通过以下步骤来完成：1. 将方程组中的各个方程进行整理，将未知数移至等式的一侧，将常数项移至另一侧。

2. 通过消元法或代入法来求解未知数的值。

消元法是通过对方程组进行适当的加减乘除操作，消除某些未知数的系数，从而得到更简化的方程组，再通过代入法求解。

代入法则是将方程组中的某一个方程的解代入到其他方程中，进而求得其他方程的解。

3. 若方程组中的方程数与未知数个数相等，且方程组是非矛盾的（即不会出现矛盾的等式），则方程组有唯一解。

4. 若方程组中的方程数大于未知数个数，则方程组有无穷多解。

5. 若方程组中的方程数小于未知数个数，则方程组无解。

一次方程与一次方程组是数学中最基础的方程概念，常常出现在实际问题中。

解方程可以帮助我们确定未知数的取值范围，从而解决一些实际应用问题。

掌握了解一次方程与一次方程组的方法，可以更好地理解代数学的基础，为进一步学习和应用提供了基础。

通过以上介绍，我们可以发现一次方程与一次方程组是数学中的基础知识。

解一次方程与一次方程组的方法简单明了，而且可以通过代数的方式解决实际问题。

对于我们平时的生活和工作来说，掌握这些方法非常实用，能够帮助我们更好地解决问题。

一次方程组的几处应用一次方程组除了用来解应用题之外，还可以应用于解下列一些简单的问题。

一、求字母的值例1 对于任意实数m ，等式()(),m x m y m x y -++--=2170，求的值。

解： m m 为任意实数，故可设=0例2 关于x 的代数式y ax bx c =++2，当x 分别取1,2,-1时，y 的值分别是4，7，10，求a,b,c 的值。

解：根据题意，得解之得，，a b c ==-=235例3 已知x y x y ==⎧⎨⎪⎩⎪==-⎧⎨⎪⎩⎪21112和都是关于x,y 的某个二元一次方程的解，求这个二元一次方程。

解：设这个二元一次方程为y ax b a b a b =++=+=-⎧⎨⎪⎩⎪，根据题意得2112 解之，得，这个二元一次方程为a b y x ==-∴=-322322例4 已知等式2871122x x a x b x c a b c -+=-+-+()(),,，求的值。

解：由已知条件得287112222x x a x b x c a x b a x a b c -+=-+-+=+-+-+()()()() 比较对应项的系数，得 解之得，，，a b c ==-=241二、求算式的值例 5 对应实数x,y ，设x y a x b y c ⨯=++，等式右边是通常的加法和乘法，且3515472811⨯=⨯=⨯=，，则。

解：由题意，得35154728a b c a b c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪变形，得()()()()a b c a b a b c a b ++++=++++=⎧⎨⎪⎩⎪22153228解关于与的方程组，得()()a b c a b a b c +++++=-∴⨯=-2111111三、用于解方格问题例6 如图，在33⨯方格内已填好了两个数19和95，可以在其余的方格中填上适当的数，使每一行、每一列、以及每一条对角线上的三个数的和都相等，（1）求x ；（2解：（1）设每一行、每一列、每一条对角线的三个数都相等的数是k∴++=++=++=++=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+=++=⨯=a c x k a b k a a kc b kx x 112212121192953954123419295171()()()()()()()()得，（2）中间填上100，从而不难求每行、每列、每条对角线的三个数的和为300，则其余空格上数字如图。