考研数学二(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)
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考研数学二（填空题）模拟试卷99 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A，B为3阶方阵，A可相似于对角矩阵，且A2－A=D，B2+B=E，r(AB)=1．则｜A+2E｜=_________.
正确答案：12
解析：本题考查求抽象矩阵的特征值和由矩阵的秩确定特征值以及行列式与其特征值的关系．由A2—A=D知A的特征值为1，0，再由B2+E=E知B可逆，从而由r(AB)=1知r(A)=1，又A可对角化，所以A的特征值为1，0，0，因此A+2E的特征值为3，2，2，故｜A+2E｜=3×2×2=12． 知识模块：行列式
2． 设=__________。
正确答案：
解析：令x一1=t， 知识模块：一元函数积分学
3． 设矩阵，B=A2+5A+6E，则=___________.
正确答案：
解析： 知识模块：矩阵
4． 已知矩阵X满足A*X=A一1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=_________．
正确答案：
解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜AE一2A)-1．已知｜A｜=4，所以 知识模块：矩阵
5． 设f(x)为偶函数，且’(-1)=2，则=________
正确答案：-8
解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(1)=-2， 知识模块：一元函数微分学
6． 曲线y=的过原点的切线是_________。
正确答案：x+25y=0与x+y=0
解析：显然原点(0，0)不在曲线上，需首先求出切点坐标。设切点为，则y’=，因此切线方程为把(0，0)代入上式，得x0=一3或x0=一15。则斜率分别为所以
切线方程为x+25y=0与x+y=0。 知识模块：一元函数微分学
7． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
8． 已知矩阵A=和对角矩阵相似，则a=________。
正确答案：—2
解析：因为 ｜λE—A｜==(λ—2)(λ—3)2，所以矩阵A的特征值为2，3，3。因为矩阵A的特征值有重根，所以有A～Λλ=3有两个线性无关的特征向量(3E—A)x=0有两个线性无关的解(3E—A)=1。那么3E—A=，可见a= —2。
知识模块：矩阵的特征值和特征向量
9． =________．
正确答案：
解析：因(xex)’=ex(x+1)，令xex=t，则dt=ex(x+1)dx，于是 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
10． 在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A，是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线t=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取____________时，A=A1+A2取最小值．
正确答案：
解析：如图3—12所示．A1=∫0t(t2一x2)dx，A2=∫t1(x2一t2)dx， 知识模块：一元函数积分学
11． 设封闭曲线L的极坐标方程为r=，则L所围平面图形的面积是________。
正确答案：
解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得 知识模块：一元函数积分学
12． 设方程有无穷多个解，则a＝________．
正确答案：-2 涉及知识点：线性方程组
13． 微分方程xy’+2y=sinx满足条件的特解为____________．
正确答案：
解析：将已知方程变形整理得， 知识模块：常微分方程
14． 设A=(α1，α2，α3，β)，B=(α1，α2，α3，γ)，｜A｜=0，｜B｜=6，则｜A+B｜=______。
正确答案：2(a+b)
解析：由题意A+B=(α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ)，即有｜A+B｜=｜α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ｜，将该行列式的第一列的一1倍加到第二列得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，α3+α1，β+γ｜，再将新的行列式的第二列加到第三列可得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，2α3，β+γ｜=2｜α1+α2，一α1，α3，β+γ｜=一2｜α1+α2，α1，α3，β+γ｜=一2 ｜α2，α1，α3，β+γ｜=一2(｜α2，α1，α3，β｜+｜α2，α1，α3，γ｜)，其中 ｜α2，α1，α3，β｜=一｜A｜=一a，｜α2，α1，α3，γ｜=一｜B｜=一b，故 ｜A+B｜=2(a+b)。 知识模块：行列式
15． 微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_________。
正确答案：y=
解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即y=。 知识模块：常微分方程
16． 已知齐次线性方程组有非零解，则a=___________。
正确答案：2
解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于因此有r(A)＜3→a=2。 知识模块：线性方程组
17． 二重积分ln(x2+y2)dxdy的符号为____________．
正确答案：负号
解析：二重积分的积的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定．积分域D：｜x｜+｜y｜≤1． 因0≤x2+y2≤(｜x｜+｜y｜)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln
1=0，但又不恒等于零，故 ln(x2+y2)dxdy＜0． 知识模块：二重积分
18． 微分方程2y”=3y2满足初始条件y(-2)=1，y’(-2)=1的特解为_______．
正确答案：
解析：令y’=p，则y”=p，则原方程化为2p=3y2，解得p2=y3+C1，由y(-2)=1，y’(-2)=1，得C1=0，所以y’=，从而有=x+C2，再由y(-2)=1，得C2=0，所求特解为x= 知识模块：高等数学部分
19． 设B=，则B-1=______．
正确答案：
解析： 知识模块：线性代数
20． 行列式的第4行元素的余子式之和的值为________．
正确答案：一28．
解析：可以直接计算．亦可利用行列式按第4行展开的方法，得所求值等于下列行列式(它的前4行与给定行列式的前4行完全相同)的值： 知识模块：线性代数
21． 微分方程yy〞－2(y′)2＝0的通解为_______．
正确答案：y＝C或者－＝C1χ＋C2 涉及知识点：常微分方程
22． 设A为，2阶矩阵，且｜A｜＝0，Aki≠0，则AX＝0的通解为_______．
正确答案：C(Ak1，Ak2…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)
解析：因为｜A｜＝0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)＝n－1，AX＝0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*＝｜A｜E＝O，所以A*的列向量为方程组AX＝0的解向量，故AX—O的通解为C(Ak1，Ak2…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)． 知识模块：线性方程组
23． 若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______
正确答案：1
解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．由A=得t=1．
24． 设y=y(x)是由=____________。
正确答案：
解析：由隐函数求导法则 知识模块：一元函数微分学
25．
正确答案： 涉及知识点：综合
