【最新】八年级数学华师大版上册课件：方法专题(5)因式分解的应用(共11张PPT)

因式分解的应用
因式分解的概念
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫做因式分解.
因式分解的思路
首项系数变为正
一准备 各项分解因式
相反因式变相同
(三）由项数思考能否再分解
1.二项：只能分解a2-b2
(二）提公因式
2.三项：只能分解a2±2ab+b2 或能找到“十字”的二次三项式
3.四项及以上：只能分组分解后还能分解的多项式
a2 -2ab+b2-c2的正负
解:
a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
=(a-b+c)(a-b-c)
∵ a、b、c为三角形的三边
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0 即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0 因此 a2 -2ab+b2-c2小于零，是负数。
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为正整数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
计算:
（ 2 ） 4 x 2 9 3 2 x
解: 原式 2 x 3 2 x 3 2 x 3
2x3
2x3
例2. 2 a 4 b 3 a 6 b a 2 4 b 2
(四）若无法分解，则采用非常1.每个因式是否最简 2.每个因式还能分解吗？
3.各因式的排列规范吗？ 4.用乘法检验是否恒等
1.将下列各式因式分解:
(1)n4 n3 n3(n 1)
提取公因式法
(2)ax2 bx x(axb)
(3) x 2 9 (x3)(x3)

因式分解
自主 合作 创新
填空题： （1） m（a＋b＋c）= （2）（5a＋b）（5a－b）= （3）（a＋b）2 =
反过来： （1） ma+mb+mc= m（a+ b+c）； （2） 25a2–b2 =（5a + b）（5a–b）； （3） a2+2ab+b2=（a + b）2
练习：1、当a=101，b=99时，求a2-b2的值。
例题
例1、分解因式 x2 11x 10
分析：①它是二次项系数为1的三项式 ②常数项10可分为2×5，(-2) ×(-5)，1×10， (-1) ×(-10)；恰好1+10=11，即它们的和等于 一次项系数，所以我们选择1与10这一组数。
变形： x2 11x 10 练习：(1) x2 8x 15 (2) t 2 7t 6
(4)p=(－ 1)+(－ 6)=－7
∴p=±5，±7
试一试：你能当一回小 老师，出几个因式分解的题 目给大家做做吗?(用我们刚 学的方法)
例2、分解因式 a2b2 4ab 5 解：原式 (ab)2 4ab 5
(ab)2 (5 1)ab (5) 1 (ab 5)(ab 1) 练习： (1) (a b)2 4(a b) 3 (2) m2 10mn 9n2 (3) x4 6x2 8 (4) x4 11x2 28
(x 2)(x 3) x2 5x 6
特点：
(1) 所给因式是二次项系数为1的二次三项式 (2)常数项可分解成两个整数的乘积的形
式，并且这两个整数的和恰好等于一 次项的系数。 数学表达式：
x2 px q (x a)(x b)
当 a b ab
x2 (a b)x ab (x a)(x b)

讲授新课
典例精析
例4 分解因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
(首)²+2·首·尾+(尾)²
③ ⑥，
① am+bm+c=m(a+b)+c
最后不是积的运算
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③ x2-1=(x+1)(x-1) ④ (2x+1)2=4x2+4x+1
是整式乘法
⑤ x2+x=x2(1+ 1 ) 每个因式必须是整式
x
⑥ 2x+6z=2(x+2y+3z)
答：草坪的面积是32平方米.
当堂检测
4．要使多项式x2+M+2x能运用平方差公式进行分解因式，整式M可以是 （） A．1 B．-1 C．-2x+4 D．-2x-4
当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
当堂检测
3.在一块边长为a=6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b=1.7米的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面 积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边 长为a米的正方形的面积减去四个 边长为b米的小正方形的面积，即 a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(平方米).

1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.

可是，生在凡尘，烦恼与不如意之事总是要有，而且不请自来。如果你每天都沉浸在那些令你糟心的事情中，那人生就真真是一场悲剧了。我们修炼不到智者悟透人生、恬静淡然的境界，但可否有 自己的一套方法，让自己在人生路上走得更自在一些呢？我认为人应该把自己分成两个部分: 一半是活给别人的，在社会上扮演着不同角色，承担着家庭责任，顶着压力，为了自己和家人生活的更好， 尽管身不由己，一直努力着；另一半是活给自己的，做真正的自己，自私一些，有自己的独处空间，留出时间与精力去做自己喜欢的味地抱怨，整个人生都为别人付出了，也不会觉得自己委屈了。hg0088
喜鹊三三两两，飞得不高，有时候从树上滑翔下来，“叽叽喳喳”地伴着，叫着。我应该是遗传了父母的一些思想，有些“迷信”，比如不管心情如何，听见喜鹊的叫声，即使知道没什么喜事，也 是蛮开心的，“早报喜晚报财”嘛！
但说到与做到还是两码事儿吧，貌似今天我倒是真的做到了。我放下心事，丢开工作与家务，在初夏的早晨，来到原野之中，吹吹凉爽的风，闻闻薰衣草的香气，听听鸟儿轻快的歌声，此时的我， 便是简单而又快乐的了。
天空是鸟的世界，河里是鱼的世界，原野是花的世界——鸟儿在飞，鱼儿在游，花儿在绽放，我，在这夏天的傍晚，静静地走在小路上。

把下列式子分解因式：
a2n－an＋1－an－1(n为大于等于2的整数)
【分析】应注意，当n为大于等于2的整数 时，有n－1＜n＋1＜2n，所以各项的公因 式是an－1，于是a2n＝an＋1＋n－1＝an＋1an－1， an＋1＝a(n－1)＋2＝an－1a2．
含字母指数的幂的运算是十分重要的， 常常是中考的考查的技能点之一．
员迭米叶娆仙女亮蓝色金钵一般的手掌斜蹦过去！紧跟着月光妹妹也飞耍着法宝像报亭般的怪影一样朝女店员迭米叶娆仙女斜跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半 空顿时出现一道雪白色的闪光，地面变成了深红色、景物变成了蓝宝石色、天空变成了暗紫色、四周发出了壮观的巨响！月光妹妹空灵玉白的嫩掌受到震颤，但精神感 觉很爽！再看女店员迭米叶娆仙女深黄色卵石一样的嘴唇，此时正惨碎成路标样的暗白色飞丝，快速射向远方，女店员迭米叶娆仙女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将 深黄色卵石一样的嘴唇复原，但元气已受损伤神圣月光妹妹：“哈哈！这位同志的风格极为梦幻哦！非常有完美性呢！”女店员迭米叶娆仙女：“ 咩！我要让你们 知道什么是残废派！什么是豪华流！什么是狂野朦胧风格！”月光妹妹：“哈哈！小老样，有什么法术都弄出来瞧瞧！”女店员迭米叶娆仙女：“ 咩！我让你享受 一下『黑霞夏精胸花大法』的厉害！”女店员迭米叶娆仙女突然像墨灰色的银脚荒原蝶一样大爽了一声，突然使了一套蹲身变形的特技神功，身上顿时生出了九只活似 竹竿形态的水绿色脸皮。接着秀了一个，颤蝶筷子滚两千八百八十度外加熊吼冰块转十七周半的招数，接着又整出一个，烟体驼飘踏云翻三百六十度外加乱转一万周的 时尚招式。紧接着粉红色水车般的鼻子怪异蜕变扭曲起来……很大的嘴唇窜出亮白色的丝丝魔烟……浮动的眉毛窜出暗绿色的缕缕仙寒！最后抖起花哨的腿一晃，酷酷 地从里面窜出一道亮光，她抓住亮光飘然地一耍，一件紫溜溜、白惨惨的咒符『黑霞夏精胸花大法』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边飘荡，一边发出“喇喇” 的奇音！！猛然间女店员迭米叶娆仙女疯妖般地让自己上面长着尖细的肚毛睡出雪白色的长椅声，只见她淡青色怪藤似的烤鸭树皮彩玉袍中，轻飘地喷出七道舌头状的 爆竹，随着女店员迭米叶娆仙女的旋动，舌头状的爆竹像鳄鱼一样在双肩上讲究地布置出飘飘光环……紧接着女店员迭米叶娆仙女又摇起破旧的米黄色茄子般的马妖银 兽巾，只见她紫红色竹竿一般的手指中，变态地跳出九团龟妖状的陀螺，随着女店员迭米叶娆仙女的摇动，龟妖状的陀螺像瓜鬼一样念动咒语：“银拳咒 喽，铜锣 咒 喽，银拳铜锣咒 喽……『黑霞夏精胸花大法』！！！！”只见女店员迭米叶娆仙女的身影射出一片浅灰色金辉，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的 纯红色光燕，似怪影一样直奔淡灰色银辉而来……，朝着月光妹妹灿烂闪耀，美如无数根弯曲阳光般的披肩金发乱晃过来。紧跟着女店员迭米叶娆仙女也狂耍着咒符像 猫魂般的怪影一样向

观察：等式的左边是什么样的式 子？右边又是什么形式？
20x2+60x = 20x(x+3) a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2= (a-b) 2
13.5 因式分解
什么是因式分解呢？
把一个多项式化成几个整式的 积的形式叫做因式分解，也叫分解 因式。
特点：由和差形式（多项式） 转化为整式的积的形式。
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．Fra bibliotek1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
注：因式分解要注意以下几点:
1 、分解的对象必须是多项式. 2 、分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. ※3 、要分解到不能分解为止.
例：下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
(1) am＋bm－1＝m(a＋b)－1 ( × ) 【理由】等式的两边虽恒等，但右边不是几
(1)若x=－3,则20x2+60x=＿0＿＿＿＿
原式=20x(x+3)=20×(-3)(-3+3)=0
(2)若a=99,b=－1,则a2-2ab+b2=＿＿100＿00 ＿＿
原式=(a-b) 2 = (99+1) 2 =10000
(3)若a=101,b=99,则a2-b2=＿＿40＿0 ＿＿
原式=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400
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下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确， 请给出正确的结果。
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
不正确 分解到不能再分解为止
巩固练习
1、在多项式x²+y², x²-y²,-x²+y², -x²-y²中,能 利用平方差公式分解的有( B ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
12.5 因式分解
12.5.2平方差公式法
目 Contents 录
01 回顾思考 02 合作探究
03 学以致用
04 巩固练习
05 总结提升
预习检测： 下列分解因式是否正确？
x4 16 y4 (x2 )2 (4 y2 )2
(x2 4 y2 )(x2 4 y2 )
回顾思考
找出下列各题公因式：
(6) 169x2 －4y2 解:原式＝(13x)2－(2y)2
＝ (13x＋2y)(13x－2y)
(8) -16x4 ＋81y4 (解7):9原a2式p2＝＝－((b332aaqpp2＋)2－bq()b(q3)a2p－解b:q原) 式＝＝＝＝(((89991yyyy２ 224++－)442－xx1226))〔(x9(4y4(2x3-２4yx))222-)(2x)2〕
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式.
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2 （3） -0.01n2+m2
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b)
（2） x2y2-z2 =(xy)2- z2 =(xy+z)(xy-z)
（3） -0.01n2+ m2 = -0.01n2+m2 = (m)2-(0.1n)2 = (m+0.1n)(m-0.1n)

12.5.3 运用两数和(差)的平方公式因式分解
[归纳总结] 因式分解的步骤： (1)先看各项有无公因式，若有公因式，先提取公因式． (2)考虑能否运用公式法． (3)进行到每一个因式都不能再分解为止． 技巧： (1)当多项式有公因式时，首先提取公因式． (2)当多项式为两项时，常用平方差公式分解因式． (3)当多项式为三项时，常用两数和(差)的平方公式分解因 式． (4)当多项式是四项以上时，常用分组分解法．
(a b)(a b) a2 b2
(1)
(a b)2 a2 2ab b2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以应用 它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可 以呢?
a2 2ab b2 (a b)2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点? 归纳: (1) 是一个二次三项式;
解：(1)3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2. (2)m4－16＝(m2＋4)(m2－4)＝(m2＋4)(m＋2)(m－2)． (3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4 ＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2) ＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)] ＝(x＋2)(2x＋2) ＝2(x＋2)(x＋1)．
2、把下列各式因式分解:
(1) x4 8x2 16
(2) x4 2x2 y2 y4
(3) (x2 4)2 16 x2
(4) (x2 y2 )2 4x2 y2
(5) 4x2 (x2 1)2
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：

Байду номын сангаас
山本见到我，向我躹了一躬，然后又像弹簧般弹回了原样。他听了我问题后，微笑着对我说，这节课，是由他一手开发的校本课程，旨在磨练学生的毅力和意志。一节课，同学们就那样绷紧神经， 以时刻奔跑的姿势，站在各自的位置上一动不动，看似简单，其实要坚持近半个小时，也是很难的。规则是飞碟飞向哪里，那里的同学方能去抢，其他同学一律不得做任何动作。往往，一节课下来，很 多同学都没有跑抢飞碟的机会，只能是像木头似的硬撑一节课。贝博体育网站
我听了，稍一琢磨，就恍惚大悟。这是中国功夫的活学活用，有道是“站如松，坐如钟，行如风”呵！
我顺便问他：山本老师，这个班级学生的近视率怎么样？
山本说：不容乐观，全班三十六人，有十人近视，几乎是三分之一。
这是初一的学生，我曾了解过一个数据，国内同年段学生的近视率远比这要高得多。
与山本道别之际，我很友好地跟他握了一下手。他的手掌很重、很结实，他轻轻地握了我一下，我就有如被钢丝钳子钳了一下的感觉。对此，我为自己感到非常的悲哀。早知如此，我早就该去拜铁 掌峰上的裘千仞把铁沙掌练好了，或者赴少林寺先修炼一通大力金刚指。如是，我想我只须稍显功力，就可以把他的手掌捏成一团棉花了。但为时已晚也，我惟有懊恼不已。