八年级数学课件 因式分解(2)

－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；

专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。

因式分解（用提公因式法分解因式）
学习目标
1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别 和联系. 2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式.（重、难点） 3. 会利用因式分解进行简便计算.
新课导入
知识点 1 因式分解的概念
如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示这
块草坪的面积吗？
方法一：m(a+b+c)
a
b
c
方法二：ma+mb+mc
m
整式乘法
m(a+b+c)=ma+mb+mc
?
变式训练
1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ma+mb+mc ；
(2) (x+1)(x–1)= x2 –1 ； (3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2 . 2.根据等式的性质填空：
整式的乘积.
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=公4因ab式2 ·2：a24+a43ba2b2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc).
如果提出公因式 4ab,另一个因式是 否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c, 它还有公因式是b.
公因式既可以是一个 单项式的形式，也可
（2） 2a(b+c)-3(b+c) =公(b因+c式)(2：a-(3b)+. c)
都比是一多比项，式这化些为式几子 个有整什式么的共积同的点形？式
(1) ma+mb+mc=( m )(a+b+c )
(2) x2 –1 =( x+1 )( x–1 )

因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.

原式＝（x-y）（a2-b2） ＝（x-y）（a+b）（a-b）．
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2

(4)ax2 2a 2 x a3 ;
(5) 3x2 6xy 3y 2.
初中数学
知识拓展
1.若x,y为任意实数,且m x2 y 2 , n 2xy, 则m,n的 大小关系是___m___n_____；
解: m n (x2 y 2 ) 2xy
(x y)2,
x, y 为任意实数, (x y)2 0.
初中数学
例 分解因式：
(1)16 x2 24 x 9;
分析：
16 x 2 (4x)2，9 32，
24x 2 4x 3，
16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
a2 2ab b2.
所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即
初中数学
例 分解因式：
解:(1)16 x2 24 x 9 （4x）2 24x 32 （4x）2 + 2 4x 3 32
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)若多项式x2+mx+9为完全平方式，则m=_______;
完全平方公式： 有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式.
4(m+2)(m-2)
例 利用简便方法计算.
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
若x,y为任意实数,且
则m,n的
Hale Waihona Puke 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，
[x2 − 2 x 2y (2 y)2 ]
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
在括号中填入适当的式子，使等式成立： 例 利用简便方法计算. 有两项是两数的平方和，
（x 2 y）2 ;
问题：因式分解的一般步骤是什么？
初中数学
例 分解因式：

教科书第102页 练习1、2题.
化
2x2 4xy
单项式乘单项式
讨论 尝试归纳单项式乘以多项式的运算法则.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
单项式乘以多项式
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘 多项式的每一项，再把所得的积相加.
转化
单项式乘以多项式
单项式乘以单项式
乘法分配律
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
1.填空： (1) 5(mn5) 5m5n25 . (2) (2a3b)(4ab) 8a2b12ab2 . (3) 2x(4x26x8) 8x312x216x . (4) (a2b)(c) ac2bc .
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 你还能通过别的方法得到等式p(abc)papbpc吗？
p(abc)papbpc 乘法分配律
单项式乘多项式
类比单项式乘单项式， 说说这是什么运算？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 尝试计算：2x(x2y)
解：2x(x2y)
单项式乘多项式
2x·x 2x·2y
乘法分配律 转
式
步解决问题的能力.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
①②
p p p p
p
abc
a
b
c
a
b
c
如果把它看成一个大长方形，
如果把它看成三个小长方形，
那么它的面积可表示为：

第二章 §2.1
分解因式
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
=3.14
2.
20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
３．（随堂练习p４０１、２）
• • 多项式的分解因式与整式乘法是方 向相反的恒等式. • 整式的乘法运算是把几个整式的积 变为多项式的形式，特征是向着积 化和差的形式发展； • 而多项式的分解因式是把一个多项 式化为几个整式乘积的形式，特征 是向着和差化积的形式发展.
练习三
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
7 12
作业：
1. 课本P45习题2.1 / 1～4 2. 预习课本P47～ 48 例、想、练
课后练习
4. 若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 5. 某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三 位工人共同完成，已知甲工人每天加工 23个零件，乙工人每天加工19个零件， 丙工人每天加工18个零件，三人需共同 做12天才能做完，要加工的零件共有多 少？

例2 分解因式： （1）x4－y4； （2）a3b－ab．
分析：（1）x4＝(x2)2，y4＝(y2)2，x4－y4＝(x2)2－(y2)2，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了．
解：（1）x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2)
此时，因式分解彻底了吗？
还可以继续分解： x2－y2＝(x＋y)(x－y)．
解：（2）(x＋p)2－(x＋q)2 ＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q)．
用平方差公式分解因式的一般步骤 第1步：观察多项式的特点，确定a，b； 第2步：把多项式的两项写成两个数（或式子）的平方； 第3步：因式分解成两个数（或式子）的和与两个数（或式子）的差的积的形式； 第4步：因式分解的结果，能化简的要进行化简．
运用平方差公式分解因式
利用平方差公式分解因式时，多项式需具备什么特点？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
另一个数的平方
一个数的平方
－
＝
两个数的和
两个数的差
×
利用平方差公式分解因式时，多项式应满足：
1．含有两部分；
3．每一部分的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方．
2．这两部分的符号相反；
人教版八年级数学上册
因式分解
第2课时
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．
1．什么叫多项式的因式分解？
2．判断下列变形过程，哪些是整式的乘法？哪些是因式分解？ （1）(x＋2)(x－2)＝x2－4； （2）x2－4＋3x＝(x＋4)(x－1)； （3）7m－7n－7＝7(m－n－1)； （4）x2－4＝(x＋2)(x－2)．
例2 分解因式： （1）x4－y4； （2）a3b－ab．

十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7

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[单选]下列哪种反应不属于光致化学作用（）A.光致分解B.光致氧化C.光致聚合D.光致化合E.光致敏化 [问答题,简答题]请说明基孔制与基轴制的定义区别 [单选]男，15岁，渐进性鼻塞1年余，MRI扫描如图所示，最可能的诊断是()A．鼻咽部纤维血管瘤B．鼻咽部脓肿C．脊索瘤D．鼻咽部囊肿E．鼻咽癌 [名词解释]水系沉积物地球化学找矿 [单选]1991年5月7日，国务院发布（）标志着我国产品质量认证进入了法制化、规范化发展的新阶段。A.《中华人民共和国产品质量认证管理条例》B.《中华人民共和国认证认可条例》C.《产品质量法》D.《产品监督监察法》 [单选]现在就读小学四年级的学生，可选择开立（）的教育储蓄，并在支取时凭证明按规定免征利息所得税。A.五年B.三年C.一年D.六年 [单选]电潜泵变频器的输出频率范围是（）HZ。A、30—50B、30—60C、30—80D、30—90 [单选]项目范嗣管理计划应以()为根本目的。A．施工项目目标B．质量标准C．工期D．工程成本 [单选]以下关于合同分析作用的说法，错误的是（）。A.分析合同漏洞，解释争议内容B.分析合同风险，制定风险对策C.分解合同工作并落实合同责任D.进行图纸交底，简化合同管理工作 [单选,A1型题]下列属于《母婴保健法》规定可以申请医学技术鉴定的是（）A.对孕妇、产妇保健服务有异议的B.对婚前医学检查结果有异议的C.对医学指导意见有异议的D.对孕产期保健服务有异议的E.对婚前卫生咨询有异议的 [填空题]从事钢筋加工和焊（连）接的操作人员必须经考试台格，（）。钢筋正式焊（连）接前，应进行（），合格后方能正式生产。 [单选]应当在海上打桩活动开始之目的（）天前向所涉及海区的主管机关递交发布海上航行警告、航行通告的书面申请。A.3B.7C.15D.30 [多选]硅酸盐水泥熟料中矿物水化反应后后期强度增长较少的矿物是下列中的哪几个？（）A、C3SB、C2SC、C3AD、C4AF [问答题,简答题]请写出在离港系统中查看9月18日CA1307航班座位图的操作指令？（两种方式都可以） [单选]碱洗塔水洗段的主要作用是（）。A、洗涤裂解气中二氧化碳B、洗涤裂解气中的硫化氢C、洗涤裂解气中的苯D、涤裂解气中夹带的碱液 [单选]抢救大咯血窒息时患者的体位是()A．仰卧位B．俯卧位C．俯卧头低足高位D．平卧位E．头高足低位 [单选]性病性淋巴肉芽肿的治疗可选用下列哪些药物，除了()A．多西环素B．红霉素C．氯霉素D．大观霉素 [单选]中性粒细胞吞噬时外环境中可不需哪种物质（）A.Ca2+离子B.k+离子C.Mg2+离子D.ATPE.Na+离子 [问答题,简答题]生物进化论研究的对象是什么？ [单选]与鼻咽癌的描述不相符的是()A．颈淋巴结转移有时为首发症B．有时表现为分泌性中耳炎C．放射治疗为首选D．可引起较多颅神经症状E．病变局限者手术切除为首选 [单选]干线货物运输不是（）货物运输。A.大运量B.快速C.短距离D.大范围 [单选]糖尿病引起眼部改变包括以下各种情况，除了（）A.增殖性视网膜病变B.突眼C.白内障发生率增加D.虹膜睫状体炎E.出血性青光眼 [问答题,简答题]我国某沿海城市某建设工程项目承包合同形式为采用工程量清单计价的主体总承包总价合同，其工程量清单某章节中包括如下内容：（1）对安装玻璃幕墙工程之指定分包暂定造价RMB1500000.00元，总承包单位对上述工程提供协调及施工设施的配合费用45000.00元。（2）对外围 [单选]下列项目中，不属于会计核算的具体内容的是（）。A.有价证券的收付B.债权、债务的发生和结算C.资本的增减D.制定下年度管理费用开支计划 [单选]确诊气胸最有价值的项目是（）A.胸部X线或CTB.症状C.体征D.病史E.动脉血气分析 [填空题]提高党的执政能力，关键在于搞好（）。 [单选]民航VHF收发信机的工作方式为（）。A.单工B.双工C.半双工 [填空题]一个完整的广告活动，应该包括（）、（）、（）、（）、（）五个要素。 [问答题,简答题]机车风源系统由哪几部分组成？ [单选,A1型题]静脉注射肝胆显像剂后可被肝内何种细胞摄取（）A.肝巨噬细胞B.胆管细胞C.肝细胞D.转移性肝癌细胞E.血管上皮细胞 [判断题]大多数车辆的碰撞传感器都装在气囊控制模块内，因而在安装气囊控制模块时需要严格按照规定方向固定。（）A.正确B.错误 [单选,A1型题]关于脊髓灰质炎三型混合疫苗接种，错误的是（）A.接种对象是两个月以上的正常小儿B.用热水先将糖丸融化后再服用C.基础免疫需服用三次，每次间隔一个月D.4岁还需要加强免疫一次E.口服后可获得局部免疫和体液免疫 [判断题]气体发生器的作用是，车辆发生碰撞时，将碰撞信号输送给气囊控制单元。（）A.正确B.错误 [单选]测定中性粒细胞的吞噬指数，常采用的方法是（）A.NBT还原试验B.杀菌试验C.斑蝥发泡法D.白色念珠菌吞噬试验E.中性粒细胞计数 [单选]在第一届全国人民代表大会的开幕词中毛泽东说：“我们这次会议具有伟大的历史意义。这次会议是标志着我国人民从1949年建国以来的新胜利和新发展的里程碑„„”此段话的“里程碑”表现在（）。A.社会主义制度的建立B.第一部社会主义宪法的制定C.共产党核心地位的确 [单选]（）是涉烟情报分析的基础的思维方法。A、辩证思维方法B、灵感思维方法C、逻辑思维方法D、数据整合方法 [不定项选择]装置引蒸气时所要进行的操作有：（）。A、排凝B、暖管C、检查保温D、检查流程 [问答题,简答题]在什么情况下需要同时启动两台膨胀机，操作时应该注意什么？ [单选]在我国，高血压病最常见的并发症是（）.A.尿毒症B.高血压危象C.心力衰竭D.主动脉夹层E.脑血管意外 [单选]我国目前的基本建设程序主要包括项目建议书、可行性研究、相关审批或核准、工程勘察与设计、工程施工、竣工验收和交付等阶段。项目立项完成后，（）是建设实施阶段首要和主导的环节。A.项目建议书B.可行性研究C.工程勘察与设计D.工程施工

4
（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2． 双字母型 双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一 单字母型十字相乘法
例 1．分解因式． （1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1． 分组分解法 很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36； （4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解． （1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3； （4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．

因式分解方法（2）1.二次三项式（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：和都是关于x的二次三项式．（2）在多项式中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．2.十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．1.利用十字相乘法分解因式【例1】（2014安徽省中考）分解因式：【解析】将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．【答案】解：练习1.（2014四川凉山一中月考）；练习2.（2014贵州黔南三中周测）__________．2.二次项系数不为1的十字相乘【例2】把下列各式分解因式：（1）；（2）．【解析】我们要把多项式分解成形如的形式，这里，而．另外，二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．【答案】解：（1）；（2）．练习3. (x－3)(__________)．练习4.练习5．练习6.3.把其中一个量看成一个整体【例3】分解因式：【解析】把看作一整体，从而转化为关于的二次三项式；注意，要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．【答案】解：＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．练习7.（2014湖北恩施中考）练习8.（2014青海西宁中考）分解因式：．练习9.（2014内蒙古呼和浩特一中期中）；4. 换元法分解因式【例4】分解因式：．【解析】把看作一个变量，利用换元法解之．【答案】解：设，则原式＝(y－3)(y－24)＋90＝(y－18)(y－9)．注意：本题中将视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．练习10．分解因式．练习11．．练习12.；5.重新分组分解因式【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．【解析】先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．【答案】解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)＝(a－b)(c－a)(c－b)．练习13．；练习14. 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．6.因式分解的综合题【例6】．【解析】仔细观察式子，把这个式子变形为（x2+xy+y2）（x2+xy+y2+y2）-12y4，再把式子乘开，把x2+xy+y2看成一个整体即可因式分解。