CBA垂直平分线和角平分线作图专训（分类整理）
专题 作图应用专训
1、为了方便淄博居民的生活,计划在三个小区ABC之间建一个购物广场,试问购物广场应建于何处才能使它到三个小区的距离相等?
变式：如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
2、在平坦的草原上，一辆越野吉普车需从A地到B地，但中途需到河边l加一次水，为了使行程最短，请在图
1中画出加水地点 .
变式：（最短路径问题）下图小河边有两个村庄，要在河边l某处建一自来水厂向A村与B村供水，若要使厂部到A、B的距离相等，则应建在哪儿？
拓展提升：某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
3、如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短
八年级数学：角平分线的尺规作图练习
一．选择题（共2小题）
1．（秋•永定县期末）用尺规作角平分线的依据是（ ）
A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS
2．作△ABC的高AD、中线AE、角平分线AF，三者中有可能在△ABC的外部是（ ）
A． AD B． AE C． AF D． 都有可能
二．填空题（共1小题）
3．用直尺和圆规作一个角的角平分线示意图如图所示，则说明∠AOC=∠BOC的依据是
．
三．解答题（共4小题）
4．作图题：
作∠AOB的角平分线（要求：写出作法，作出图形）
5．已知：如图△ABC．
求作：①AC边上的高BD；②△ABC的角平分线CE．
6．已知∠α，求作一个角∠β，使得∠β=∠α，并作∠β的角平分线．
7．如图所示，已知△ABC：
（1）过A画出中线AD；（2）画出角平分线CE；（3）作AC边上的高BF．
“角平分线遇见平行线”
例1.如图，AD∥BC；且BD平分∠ABC，求证AB=AD?
例2.如图，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F. 试说明BE+CF=EF．
例题3.如图所示，已知ABC中的的ACB外角平分线CD与ABC的平分线BD交于点D，过D作DE//BC交AB于E，交AC于F，则有EF=BE-CF；试说明理由。
例题4.已知四边形ABCD为平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交AB于G，求证：AF=BG
例题5.如图，已知AD是△ABC的角平分线，四边形MBEF是平行四边形．求证：AF=BM
例题6.如图,在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角∠AOG平分线于点F，求证：EO=FO
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页尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线
尺规作图步骤：
（以作∠ABC的角平分线为例）
①任意选取半径，以角的顶点点B为圆心画圆弧，与∠ABC的两边分别交于点M、N；
②取一半径满足r>
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MN，分别以M、N为圆心，画等半径的圆弧，交于点O；
③以B为端点，过O作射线BO，射线BO就是∠ABC的角平分线.
为何射线BO是∠ABC的角平分线？
如图，连接MO、NO，根据作图步骤①知：BM=BN（同圆内半
径相等）
根据作图步骤②知：MO=NO（等圆中半径相等）
在△BMO与△BNO中，有
BOBONOMOBNBM
，所以△BMO≌△BNO（SSS
从而有∠MBO=∠NBO，即BO为∠ABC的角平分线
所以射线BO是∠ABC的角平分线
相关性质与结论：
（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上
垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
尺规作图步骤：
（以作线段AB的垂直平分线为例）
①选一半径满足r>
21
AB，分别以A、B为圆心，在线段AB的上方画圆弧交于点P；
②选一半径满足r>
21
AB
（可与①中的半径一致），分别以A、B为圆心，在线段AB的下方画
圆弧交于点Q；
③过P、Q作直线PQ，直线PQ即为线段AB的垂直平分线.
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页为何直线PQ是线段AB的垂直平分线？
如图，根据作图步骤①知：AP=BP（等圆中半径相等）
根据作图步骤②知：AQ=BQ（等圆中半径相等）
在△APQ与△BPQ中，有
PQPQBQAQBPAP
，所以△APQ≌△BPQ（SSS）
则可说明△APQ与△BPQ关于直线PQ对称
而A、B为一组对应点，且与对称轴PQ交于点O，则AB⊥PQ且AO=BO
（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）
