改进GM(1,1)模型在重力坝位移预测中的应用

改进GM(1,1)模型在重力坝位移预测中的应用

祖安君;黄显峰

【摘 要】针对灰色系统中经典的GM(1,1)模型在大坝位移预测中的缺陷,以某工程为例,提出了一种改进的GM(1,1)模型.实质上是重新生成了序列,即对非负随机振荡序列进行加速指数变换和几何平均生成变换后使用经典的GM(1,1)模型进行建模并预测.对某工程2015年5月29日至6月10日的大坝水平位移进行了预测,并将结果与传统的线性回归模型和经典 GM(1,1)模型的预测结果进行了比较,计算结果显示,改进的GM(1,1)模型预测精度较高,该方法取得了较好的效果.%Taking a

certain project for example,an improved GM(1,1)model is proposed in light

of the de-fects of classical GM(1,1)in predicting dam displacements in the

grey system.The essence of the model is to regenerate a

sequence,namely,the classical GM(1,1)model is used to create a model and

prediction after ac-celerating exponential transformation and geometric

average generation transformation of non-negative ran-dom oscillation

sequences.It is mentioned that dam horizontal displacements of the

project from May 29th to June 10th are forecasted;and the results are

compared with those predicted through traditional linear regres-sion

method and the classical GM(1,1)model.The calculation results show that

the improved GM(1,1)mod-el prediction accuracy is higher;the method

obtains a nice effect.

【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2018(040)003 【总页数】5页(P19-23)

【关键词】灰色模型;改进GM(1,1)模型;大坝位移;预测

【作 者】祖安君;黄显峰

【作者单位】河海大学 水利水电学院,南京 210098;河海大学 水利水电学院,南京

210098

【正文语种】中 文

【中图分类】TV698.1

水库大坝的安全对于国民经济来说非常重要，一旦大坝失事，将会产生严重后果．因此，对大坝进行安全监控，对监测资料进行建模分析尤为重要．常用建模方法有线性回归法，时间序列法等，这些方法均需有连续的长期观测资料，但我国很多大坝施工和蓄水期的监测资料有所欠缺，采用上述方法建模预测精度不高．而灰色系统理论专门针对“小样本、贫信息”进行建模分析[1]，将大坝看作一个灰色系统，对监测得到的较少信息，通过累加、累减生成，逐步使灰色量白化，从而建立预测模型并做出预测[2]，但基于这一理论的经典GM(1，1)模型在预测振荡序列方面有不足，预测精度亦不高．

在现代水利工程对大坝水平位移的监测中，位移数据序列时常呈现出非负随机振荡的趋势，为解决上述问题，本文使用改进GM(1，1)模型对非负振荡序列实施变换再进行预测，这一做法弥补了经典GM(1，1)模型在预测振荡序列方面的缺陷，有效提高了预测精度．运用该模型与经典GM(1，1)模型、线性回归模型对某大坝水平位移预测进行对比，结果也印证这一点．

目前，国内外对改进GM(1，1)模型的研究基本和粮食、人口等预测有关，工程方面涉及较少，因此本文所提改进方法在目前同行业相关问题的研究中有一定借鉴意义．

1 经典GM(1，1)模型的建模机理

设某原始数据序列为：

X0={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(1)

其中：x(0)(k)，k=1，2，…，n．

对该序列进行一次累加(1-AGO)生成，得到序列为：

X1={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(2)

X1的紧邻均值生成序列为：

Z(1)={z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n)}

(3)

如果是参数列，并且满足：

Y={x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)}T

(4)

则GM(1，1)灰色微分方程(又称为灰色方程的差分形式)为：

x(0)(k)=az(1)(k)=b

(5)

此时由最小二乘法得到的估计参数列满足：

(6)

白化微分方程为

(7)

原始序列的模拟预测差分形式为：

(x(0)(1)-b/a)(e-a-1)e-a(k-1)

(8)

在该模型中，a为发展系数，b为灰色作用量．

经典GM(1，1)模型对序列的光滑性有要求，设X={x(1)，x(2)，…，x(n)}是原数据序列，x(k)>0，k=1，2，…，n．称为序列X的光滑比，只有光滑比为递减序列时，序列才可用经典GM(1，1)进行建模[3]，此即经典GM(1，1)模型建模的光滑离散条件．

对非指数增长序列和振荡序列，可以考虑微分、差分混合形态的EGM，即经典GM(1，1)模型[4]，但该模型也暴露出一些问题．经典GM(1，1)模型对单调的序列适用性很强，应用于其他变化趋势时拟合精度不高[5]，而工程中经常遇到非负振荡序列．另外，由于很多工程中的监测序列都不满足光滑离散条件[6]，因此经典的GM(1，1)预测方法存在一定的缺陷，需要改进．

2 改进GM(1，1)模型建模机理及方法

2.1 建模机理

对于非负随机振荡序列的建模，关键问题是选择适当的序列变换方法从而生成新序列．钱吴永使用加速平移生成和加权平均生成操作改进光滑度然后建立了一个随机振荡序列的预测模型[7]．本文通过类比改进提出了一种把原始非负随机振荡序列通过加速指数变换和几何平均生成变换转换为单调增长序列的方法，然后对变换后的序列建立经典GM(1，1)模型进行预测，再把序列还原，即为改进GM(1，1)模型的建模过程． 2.2 加速指数变换和几何平均生成变换

设X={x(1)，x(2)，…，x(n)}为原数据序列，则：

1)若∃k，k′∈{1，2，…，n-1}，有x(k)x(k′+1)，那么称X为随机振荡序列．令

M=max{x(k)|k∈{1，2，…，n}}，

m=min{x(k)|k∈{1，2，…，n}}

(9)

M-m是序列X的振幅．

定义加速指数变换．设X={x(1)，x(2)，…，x(n)}是原数据序列，满足：x(k)>0，k=1，2，…，n，记T=M/m，且有以下定义：

M=max{x(k)|k∈{1，2，…，n}}，

m=min{x(k)|k∈{1，2，…，n}}

它的变换序列为XE1=(x(1)e1，x(2)e1，…，x(n)e1)，式中：

x(k)e1=x(k)Tk-1，k=1，2，…，n

(10)

称E1为加速指数变换．通过简单数学推导可证明非负随机振荡序列经过加速指数变换后得到的序列为单调增长序列．

再定义几何平均生成变换．设X={x(1)，x(2)，…，x(n)}是原数据序列，满足：x(k)>0，k=1，2，…，n．称变换

(11)

是几何平均生成变换，记为E2．同样，容易证明几何平均生成变换不改变原数据序列的单调性，即当原数据为单调增长序列时，变换后的数据序列仍然单调递增．

2.3 改进后的GM(1，1)模型对随机振荡序列的建模 设原始数据序列Y={y(1)，y(2)，…，y(n)}为随机振荡序列，其中y(k)>0，k=1，2，…，n．

那么建立模型的过程如下：

1)对原数据序列Y进行加速指数变换，得

Y′={y′(1)，y′(2)，…，y′(n)}

(12)

2)对序列Y′采用几何平均生成变换，得

X0={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(13)

3)对序列X0进行一次累加生成，得

X1={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(14)

4)建立GM(1，1)模型的白化微分方程：

(15)

其中a和b是该模型的待估参数．

5)GM(1，1)模型的灰色微分方程为：

y(k)+az(1)(k)=b

(16)

式中，背景值的定义和经典GM(1，1)模型中的定义相同，即：

(17)

6)式(17)的解即GM(1，1)模型的时间响应序列为：

(18)

参数a、b的最小二乘估计为：

(19)

式中：

Y={x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)}T

(20)

于是，得到序列X0的预测值为：

7)还原序列

还原序列可得：

式中：

(21)

而

在此基础上进一步对数据进行还原得：

k=2，3，…，n

(22)

且

改进的GM(1，1)模型适用于小样本非负随机振荡序列的建模与预测．对小样本非负随机振荡序列进行加速指数变换和几何平均生成变换，若所得新序列的光滑比为递减序列，则新序列满足经典GM(1，1)模型的光滑离散条件，这时可用改进GM(1，1)模型对原样本进行建模．因此在应用改进GM(1，1)模型进行预测时需先对原序列进行数据变换，再判断其是否在模型的适用范围内．

3 工程实例及分析

3.1 工程概况

某水库是一座以灌溉为主，兼有防洪、生态综合效益的中型水库．水库大坝为浆砌石重力坝，大坝总长274 m，其中主坝长144 m，最大坝高52 m，底宽58 m，顶宽6 m，坝顶高程1 037.62 m，水库的另外组成部分还有溢洪道和放水隧洞．

3.2 重力坝Y向水平位移预测

该水库的重力坝自建成后，安排专门人员对坝顶上下游方向和左右岸方向的水平位移进行观测，并进行了监测数据的记录．受天气、监测仪器精度等条件影响，获取的监测数据不完整．现取2015年5月29日至6月10日这连续13 d的坝顶Y向(左右岸方向)水平位移监测数据进行分析．取前8 d的数据进行建模，然后根据相应模型进行后5 d数据的预测．以下分别采用改进GM(1，1)模型、经典GM(1，1)模型和传统线性回归模型对监测数据进行建模和预测．

3.2.1 改进GM(1，1)模型对坝顶水平位移的预测

用改进GM(1，1)模型对坝顶水平位移进行拟合与预测，由于原序列是非负随机振荡序列，不严格满足光滑离散条件，且不是递增序列，故使用前文所说的加速指数变换和几何平均生成变换对序列进行变换．变换后序列的光滑比分别为：1.288，0.803，0.594，0.528，0.444，0.440，0.418，该序列为递减序列，即变换后的序列严格满足光滑离散条件，由2.3节改进GM(1，1)模型的适用范围知，改进GM(1，1)模型适用于该工程2015年5月29日至6月10日连续13天的水平位移监测序列．于是用前8 d的数据进行建模，后5 d的数据进行预测．由式(12)～(22)可得用改进的GM(1，1)模型得到的拟合值和预测值及其相对误差见表1．