2019-2020学年西藏拉萨中学高二(上)第三次月考数学试卷
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试卷第1页，总14页 2019-2020学年西藏拉萨中学高二（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共12个小题60分）
1. 已知集合𝐴＝{𝑥|−1≤𝑥≤5}，𝐵＝{1, 3, 5, 7, 9}，则𝐴∩𝐵＝（ ）
A.{𝑥|1≤𝑥≤5}
B.{1, 3, 5}
C.{𝑥|1<𝑥<5}
D.{𝑥|−1≤𝑥≤5, 或𝑥7, 或𝑥9}
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
进行交集的运算即可．
【解答】
∵ 𝐴＝{𝑥|−1≤𝑥≤5}，𝐵＝{1, 3, 5, 7, 9}，
∴ 𝐴∩𝐵＝{1, 3, 5}．
2. 设𝑎<𝑏<0，下列不等式一定成立的是（ ）
A.𝑎2<𝑎𝑏<𝑏2 B.𝑏2<𝑎𝑏<𝑎2
C.𝑎2<𝑏2<𝑎𝑏 D.𝑎𝑏<𝑏2<𝑎2
【答案】
B
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】
∵ 𝑎<𝑏<0，
∴ 𝑎2>𝑎𝑏，𝑎𝑏>𝑏2，
即𝑎2>𝑎𝑏>𝑏2，
3. 已知在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎3+𝑎6+𝑎10+𝑎13＝32，则𝑎8＝（ ）
A.12 B.8 C.6 D.4
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的性质易得𝑎3+𝑎13＝𝑎6+𝑎10＝2𝑎8，代入已知求解可得．
【解答】
由等差数列的性质可得𝑎3+𝑎13＝𝑎6+𝑎10＝2𝑎8，
∵ 𝑎3+𝑎6+𝑎10+𝑎13＝32，∴ 4𝑎8＝32
解得𝑎8＝8
4. 有下列四个命题：
①“若𝑥+𝑦＝0，则𝑥，𝑦互为相反数”的逆命题；
试卷第2页，总14页 ②实数𝑥>𝑦是𝑥2>𝑦2成立的充要条件；
③“若𝑞≤1，则𝑥2+2𝑥+𝑞＝0有实根”的逆否命题；
④命题“∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥02+𝑥0+1≥0”的否定是“∀𝑥∈𝑅，使得𝑥2+𝑥+1≥0”
其中的真命题为（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
通过四中命题的逆否关系，充要条件以及命题的否定判断命题的真假即可．
【解答】
①“若𝑥+𝑦＝0，则𝑥，𝑦互为相反数”的逆命题：𝑥，𝑦互为相反数，则𝑥+𝑦＝0；显然逆命题是真命题；正确；
②实数𝑥>𝑦是𝑥2>𝑦2成立的充要条件；反例1>−2，12<(−2)2，所以②是假命题；
③△＝4−4𝑞≥0，所以𝑞≤1，则𝑥2+2𝑥+𝑞＝0有实根，“若𝑞≤1，则𝑥2+2𝑥+𝑞＝0有实根”原命题是真命题，所以逆否命题是真命题；③正确；
④命题“∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥02+𝑥0+1≥0”的否定是“∀𝑥∈𝑅，使得𝑥2+𝑥+1≥0”不满足命题的否定形式，不正确；
5. 等比数列前3项和为54，前6项和为60，则前9项和为（ ）
A.66 B.64 C.6623 D.6023
【答案】
D
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
根据题意，分析可得𝑎4+𝑎5+𝑎6＝6，进而由等比数列的性质可得𝑎7+𝑎8+𝑎9的值，进而计算可得答案．
【解答】
根据题意，等比数列前3项和为54，前6项和为60，
即𝑎1+𝑎2+𝑎3＝54，𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5+𝑎6＝60，
则有𝑎4+𝑎5+𝑎6＝6，
则有𝑎7+𝑎8+𝑎9=6254=23，
则其前9项和𝑆9＝𝑆9+(𝑎7+𝑎8+𝑎9)＝6023；
6. 𝑦＝cos2𝑥−sin2𝑥+2sin𝑥cos𝑥的最小值是（ ）
A.√2 B.−√2 C.2 D.−2
【答案】
B
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
利用二倍角的正弦与余弦公式将𝑦＝cos2𝑥−sin2𝑥+2sin𝑥cos𝑥转化为𝑦＝cos2𝑥+sin2𝑥，
试卷第3页，总14页 再利用辅助角公式将其转化为𝑦=√2sin(2𝑥+𝜋4)，即可求其最小值．
【解答】
∵ 𝑦＝cos2𝑥−sin2𝑥+2sin𝑥cos𝑥
＝cos2𝑥+sin2𝑥
=√2sin(2𝑥+𝜋4)，
∴ 𝑦min=−√2．
7. 设正项等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛(𝑛∈𝑁∗)，且满足𝑎4𝑎6=14，𝑎7=18，则𝑆4的值为（ ）
A.15 B.14 C.12 D.8
【答案】
A
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
设出等比数列的首项和公比，由题意列式求得首项和公比，代入等比数列的前𝑛项和得答案．
【解答】
设等比数列{𝑎𝑛}的首项为𝑎1，公比为𝑞，
由𝑎4𝑎6=14，𝑎7=18，得{(𝑎1𝑞4)2=14𝑎1𝑞6=18 ，解得{𝑎1=8𝑞=12 ．
∴ 𝑆4=8[1−(12)4]1−12=15．
8. 在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是（ ）
A.𝑥2+𝑦2＝4
B.𝑥2+𝑦2＝4 (𝑥>0)
C.𝑦=−√4−𝑥2
D.𝑦=−√4−𝑥2(0<𝑥<2)
【答案】
D
【考点】
轨迹方程
【解析】
根据题意设𝑀的坐标是(𝑥, 𝑦)且𝑥>0、𝑦<0，由两点间的距离公式列出关系式，化简求出𝑀的轨迹方程．
【解答】
设𝑀的坐标是(𝑥, 𝑦)且𝑥>0、𝑦<0，
因为𝑀到原点的距离等于2，所以𝑦=−√4−𝑥2(0<𝑥<2)，
所以𝑀的轨迹方程是𝑦=−√4−𝑥2(0<𝑥<2)，
9. 已知𝑝：(2𝑥−3)2>1，𝑞:1𝑥2+𝑥−6>0，则𝑝是𝑞的（ ）
试卷第4页，总14页 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
求出𝑝，𝑞成立时对应的𝑥的构成的集合，根据两集合之间的包含关系即可得到结论．
【解答】
若𝑝成立，则4(𝑥−2)(𝑥−1)>0，即𝑥<1或𝑥>2，设𝐴＝{𝑥|𝑥<1或𝑥>2}，
若𝑞成立，则(𝑥−2)(𝑥+3)>0，即𝑥<−3或𝑥>2，设𝐵＝{𝑥|𝑥<−3或𝑥>2}，
则𝐵⫋𝐴，
故𝑝是𝑞的必要不充分条件．
10. △𝐴𝐵𝐶中，若𝑎4+𝑏4+𝑐4＝2𝑐2(𝑎2+𝑏2)，则角𝐶的度数是（ ）
A.60∘ B.45∘或135∘ C.120∘ D.30∘
【答案】
B
【考点】
余弦定理
【解析】
把已知等式𝑎4+𝑏4+𝑐4＝2𝑐2(𝑎2+𝑏2)，通过完全平方式、拆分项转化为(𝑎2+𝑏2−𝑐2+√2𝑎𝑏)(𝑎2+𝑏2−𝑐2−√2𝑎𝑏)＝0．分两种情况，根据余弦定理即可求得𝐶的度数．
【解答】
∵ 𝑎4+𝑏4+𝑐4＝2𝑐2(𝑎2+𝑏2)，
∴ (𝑎2+𝑏2)2−2𝑐2(𝑎2+𝑏2)+𝑐4−2𝑎2𝑏2＝0，
∴ (𝑎2+𝑏2−𝑐2)2−2𝑎2𝑏2＝0，
∴ (𝑎2+𝑏2−𝑐2+√2𝑎𝑏)(𝑎2+𝑏2−𝑐2−√2𝑎𝑏)＝0
∴ 𝑎2+𝑏2−𝑐2+√2𝑎𝑏＝0或𝑎2+𝑏2−𝑐2−√2𝑎𝑏＝0
∵ cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏，
∴ cos𝐶=−√22或√22，
∵ 0∘<𝐶<180∘，
∴ 𝐶＝45∘或135∘．
11. 设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎2+1＝2𝑎6，且𝑆7＝𝑆10，则使得𝑆𝑛取得最小值时，𝑛的值是（ ）
A.8 B.9 C.8或9 D.10
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由已知结合等差数列的通项公式可得𝑎9＝0，𝑎10>0，𝑎8<0，即可求解．
【解答】
试卷第5页，总14页 等差数列{𝑎𝑛}中𝑎2+1＝2𝑎6，
∴ 𝑎1+𝑑+1＝2𝑎1+10𝑑，即𝑎1+9𝑑＝𝑎10＝1，
∵ 𝑆7＝𝑆10，
∴ 𝑎8+𝑎9+𝑎10＝3𝑎9＝0，
∴ 𝑎9＝0，
根据等差数列的性质可得，𝑑>0，𝑎8<0，
故当𝑛＝8或𝑛＝9时，𝑆𝑛取得最小值．
12. 若不等式𝑥2+𝑎𝑥+1≥0对一切𝑥∈(0, +∞)成立，则𝑎的最小值为（ ）
A.0 B.−2 C.−52 D.−3
【答案】
B
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
不等式𝑥2+𝑎𝑥+1≥0对一切𝑥∈(0, +∞)成立⇔𝑎≥(−𝑥−1𝑥)max，𝑥∈(0, +∞)，令𝑓(𝑥)＝−𝑥−1𝑥，𝑥∈(0, +∞)利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】
不等式𝑥2+𝑎𝑥+1≥0对一切𝑥∈(0, +∞)成立⇔𝑎≥(−𝑥−1𝑥)max，𝑥∈(0, +∞)，
令𝑓(𝑥)＝−𝑥−1𝑥，𝑥∈(0, +∞)，
𝑓′(𝑥)＝−1+1𝑥2=1−𝑥2𝑥2≥0，
∴ 函数𝑓(𝑥)在𝑥∈(0, 1)上单调递增，𝑥∈(1, +∞)函数是减函数，
∴ 当𝑥＝1时，函数𝑓(𝑥)取得最大值，𝑓(1)＝−1−1＝−2，
∴ 𝑎的最小值为−2．
故选：𝐵．
二、填空题（每小题5分，共4个小题20分）
若△𝐴𝐵𝐶的周长等于20，面积是10√3，𝐴＝60∘，则𝐵𝐶边的长是________．
【答案】
7
【考点】
解三角形
【解析】
设出三角形的三边，根据面积公式表示出三角形的面积，让面积等于10√3化简后得到𝑏𝑐的值，然后根据三角形的周长为20，表示出𝑏+𝑐，两边平方把𝑏𝑐的值代入后得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出𝑎2，把得到的关系式及cos𝐴的值代入得到关于𝑎的方程，求出方程的解即可得到𝑎的值即为𝐵𝐶边的长．
【解答】
设三角形的三边分别为𝑎，𝑏，𝑐，
则12𝑏𝑐sin𝐴=12𝑏𝑐⋅√32=10√3，即𝑏𝑐＝40，
又𝑎+𝑏+𝑐＝20，即𝑏+𝑐＝20−𝑎，
