2020年上海市嘉定区中考数学一模试卷

第1页，共16页

2020年上海市嘉定区中考数学一模试卷

（满分150分，考试时间100分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题（本大题共6小题，共24分）

1. 下列选项中的两个图形一定相似的是( )

A. 两个等腰三角形 B. 两个矩形

C. 两个菱形 D. 两个正五边形．

2. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8.下列四个选项，不正确的是( )

A. 𝑠𝑖𝑛𝐴=45

B.

𝑐𝑜𝑠𝐴=45

C.

𝑡𝑎𝑛𝐴=34 D. 𝑐𝑜𝑡𝐴=43

3. 如果𝐴(−2,𝑛)，𝐵(2,𝑛)，𝐶(4,𝑛+12)这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是( )

A. 𝑦=2𝑥 B. 𝑦=−2𝑥 C. 𝑦=−𝑥2 D. 𝑦=𝑥2

4. 如图，在平行四边形ABCD中，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 ，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗ ，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为( )

A. 12𝑎 +12𝑏⃗ B. 12𝑎 −12𝑏⃗ C. −12𝑎 +12𝑏⃗ D. −12𝑎 −12𝑏⃗

5. 三角形的重心是( )

A. 三角形三边的高所在直线的交点 B. 三角形的三条中线的交点

C. 三角形的三条内角平分线的交点 D. 三角形三边中垂线的交点

6. 下列四个选项中的表述，正确的是( )

A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

二、填空题（本大题共12小题，共48分）

7. 如果2𝑎=3𝑏，那么𝑎𝑏=______． 第2页，共16页 8. 如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的______倍．

9. 在某一时刻测得一根高为1.8𝑚的竹竿的影长为0.9𝑚，如果同时同地测得一栋楼的影长为27m，那么这栋楼的高度为______𝑚.

10. 在△𝐴𝐵𝐶中，D、E分别是边AB、AC上的点，如果𝐴𝐷=2，𝐷𝐵=1，𝐴𝐸=4，𝐸𝐶=2，那么𝐷𝐸𝐵𝐶的值为______．

11. 抛物线𝑦=12(𝑥+1)2的顶点坐标为______．

12. 如果抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥的对称轴为y轴，那么实数b的值为______．

13. 将抛物线𝑦=𝑥2+4𝑥+5向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为______．

14. 已知抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥+𝑐经过点𝐴(−1,𝑦1)和𝐵(1,𝑦2)，那么𝑦1______𝑦2(从“>”或“<”或“=”选择)．

15. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的坡度𝑖=1：2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为______𝑚.

16. 如果正多边形的边数是𝑛(𝑛≥3)，它的中心角是𝛼°，那么𝛼关于n的函数解析式为______．

17. 如图，⊙𝑂的半径长为5cm，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，圆心O在△𝐴𝐵𝐶的内部．如果𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐶=8𝑐𝑚，那么△𝐴𝐵𝐶的面积为______𝑐𝑚2．

18. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐵=10，𝑐𝑜𝑠𝐴=35(如图)，把△𝐴𝐵𝐶绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点、如果恰好经过点A，那么点A与点的距离为______．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. （本题满分10分）

计算：2𝑐𝑜𝑠30°+𝑡𝑎𝑛45°−2𝑠𝑖𝑛30°−𝑐𝑜𝑡30°．

第3页，共16页 20. （本题满分10分）

已知不等臂跷跷板AB长为3米．跷跷板AB的支撑点O到地面的点H的距离𝑂𝐻=0.6米．当跷跷板AB的一个端点A碰到地面时(如图1)，AB与直线AH的夹角∠𝑂𝐴𝐻的度数为30°．

(1)当AB的另一个端点B碰到地面时(如图2)，跷跷板AB与直线BH的夹角∠𝐴𝐵𝐻的正弦值是多少？

(2)当AB的另一个端点B碰到地面时(如图2)，点A到直线BH的距离是多少米？

21. （本题满分10分）

如图，在⊙𝑂中，AB、CD是两条弦，⊙𝑂的半径长为rcm，弧AB的长度为𝑙1𝑐𝑚，弧CD的长度为𝑙2𝑐𝑚(温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别).当𝑙1=𝑙2时，求证：𝐴𝐵=𝐶𝐷．

第4页，共16页 22. （本题满分10分）

如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行．到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明．

23. （本题满分12分）

已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D、E分别在边AB、AC上，𝐷𝐸//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶．

(1)求证：𝐵𝐸2=𝐷𝐸⋅𝐵𝐶；

(2)当BE平分∠𝐴𝐵𝐶时，求证：𝐵𝐷𝐵𝐸=𝐴𝐸𝐴𝐵．

第5页，共16页 24. （本题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，将点𝑃1(𝑎,𝑏−𝑎)定义为点𝑃(𝑎,𝑏)的“关联点”．已知：点𝐴(𝑥,𝑦)在函数𝑦=𝑥2的图象上(如图所示)，点A的“关联点”是点𝐴1．

(1)请在如图的基础上画出函数𝑦=𝑥2−2的图象，简要说明画图方法；

(2)如果点𝐴1在函数𝑦=𝑥2−2的图象上，求点𝐴1的坐标；

(3)将点𝑃2(𝑎,𝑏−𝑛𝑎)称为点𝑃(𝑎,𝑏)的“待定关联点”(其中，𝑛≠0).如果点𝐴(𝑥,𝑦)的“待定关联点”𝐴2在函数𝑦=𝑥2−𝑛的图象上，试用含n的代数式表示点𝐴2的坐标．

第6页，共16页 25. （本题满分10分）

已知：点P在△𝐴𝐵𝐶内，且满足∠𝐴𝑃𝐵=∠𝐴𝑃𝐶(如图)，∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=180°．

(1)求证：△𝑃𝐴𝐵∽△𝑃𝐶𝐴；

(2)如果∠𝐴𝑃𝐵=120°，∠𝐴𝐵𝐶=90°，求𝑃𝐶𝑃𝐵的值；

(3)如果∠𝐵𝐴𝐶=45°，且△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，试求tan∠𝑃𝐵𝐶的值．

第7页，共16页 答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：𝐴.任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；

B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；

C.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；

D.任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；

故选：D．

形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．

本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．

2.【答案】A

【解析】解：∵在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=10，𝐴𝐶=8，

∴𝐵𝐶=6，

∴𝑠𝑖𝑛𝐴=35，𝑐𝑜𝑠𝐴=45，𝑡𝑎𝑛𝐴=34，𝑐𝑜𝑡𝐴=43．

故不正确的是选项A．

故选：A．

先根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义解答．

本题考查锐角三角函数的定义，即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3.【答案】D

【解析】解：∵𝐴(−2,𝑛)，𝐵(2,𝑛)，𝐶(4,𝑛+12)这三个点都在同一个函数的图象上，

∴𝐴、B关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，

A、对于函数𝑦=2𝑥，y随x的增大而增大，故不可能；

B、对于函数𝑦=−2𝑥，图象位于二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，故不可能；

C、对于函数𝑦=−𝑥2，对称轴为y轴，当𝑥>0时，y随x的增大而减小，故不可能；

D、对于函数𝑦=𝑥2，对称轴为y轴，当𝑥>0时，y随x的增大而增大，故有可能；

故选：D．

由𝐴(−2,𝑛)，𝐵(2,𝑛)，𝐶(4,𝑛+12)可知，图象关于y轴对称，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，据此判断即可．

本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．

4.【答案】A

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 ，𝑂𝐴=𝑂𝐶，

∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 +𝑏⃗ ，

∴𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =12𝑎 +12𝑏⃗ ，

故选：A．

利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．

本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于