2020年上海市普陀区中考数学一模试卷
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第1页，共17页 中考数学一模试卷
题号
一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
1. 已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A. 5x=3y B. x+y=8
C. = D.
=
2. 下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是y轴，那么这个函数是（ ）
A. y=x2+2x B. y=x2+2x+1
C. y=x2+2
D. y=（x-1）22
3. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么下列说法中正确的是（
）
A. cosB= B. cotA= C. tanA= D. cotB=
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 如果k=0，是非零向量，那么k=0
B. 如果是单位向量，那么=1
C. 如果||=||，那么=或=-
D. 已知非零向量，如果向量=-5，那么∥
5. 如果二次函数y=（x-m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y=mx+n的图象经过（
）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限
D. 第二、三、四象限
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果=，AD=9，那么BC的长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 化简：2（+）-（-）=______．
8. 抛物线y=（a-2）x2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是______． 第2页，共17页 9. 已知函数f（x）=3x2-2x-1，如果x=2，那么f（x）=______．
10. 如果抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是______．
11. 将二次函数y=x2-2x+2的图象向下平移m（m＞0）个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m的值等于______．
12. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，cotB=，BC=2，那么AC=______．
13. 如图，△ABC的中线AD、CE交于点G，点F在边AC上，GF∥BC，那么的值是______．
14. 如图，在△ABC与△AED中，=，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可以是______（只需填一个条件）．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是三角形的角平分线，如果AB=3，AC=2，那么点D到直线AB的距离等于______．
16. 如图，斜坡AB长为100米，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡度i=1：5的斜坡BD（A、D、C三点在地面的同一条垂线上），那么由点A到点D下降了______米．（结果保留根号）
17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，CD⊥BD，如果CD=3，BC=5，那么AB=______． 第3页，共17页
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=，点P为边BC上一点，PC=3，将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'（点A、B、C分别与点A'、B'、C'对应），使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G的长等于______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
19. 计算：．
20. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，AD：AB=1：3．
（1）当DE=5时，求FC的长；
（2）设=，=，那么=______，=______（用向量，表示）．
21. 如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，=．
（1）求证：∠APD=∠C；
（2）如果AB=3，DC=2，求AP的长． 第4页，共17页
22. 函数y=与函数y=（m、k为不等于零的常数）的图象有一个公共点A（3，k-2），其中正比例函数y的值随x的值增大而减小，求这两个函数的解析式．
23. 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC．
（1）求证：=；
（2）设△OAB的面积为S，=k，求证：S四边形ABCD=（k+1）2S．
24. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+（a+）x+c（a≠0）经过点A（-3，-2），与y轴交于点B （0，-2），抛物线的顶点为点C，对称轴与x轴第5页，共17页 交于点D．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点E是x轴正半轴上的一点，如果∠AED=∠BCD，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE是以AE为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
25. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．
（1）求BE的长；
（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．
第6页，共17页
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、由比例的性质得到3y=5x，故本选项不符合题意．
B、根据比例的性质得到x+y=8k（k是正整数），故本选项符合题意．
C、根据合比性质得到=，故本选项不符合题意．
D、根据等比性质得到=，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据比例的性质作答．
考查了比例的性质，需要掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．
2.【答案】C
【解析】解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x=0，
即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，
故选：C．
由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA===
A、cosB=sinA=，故本选项符合题意．
B、cotA===2．故本选项不符合题意．
C、tanA===．故本选项不符合题意．
D、cotB=tanA=．故本选项不符合题意．
故选：A．
利用同角三角函数的关系解答．
本题考查同角三角函数关系，（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．
4.【答案】D
【解析】解：A、如果k=0，是非零向量，那么k=0，错误，应该是k=．
B、如果是单位向量，那么=1，错误．应该是||=1．
C、如果||=||，那么=或=-，错误．模相等的向量，不一定平行． 第7页，共17页 D、已知非零向量，如果向量=-5，那么∥，正确．
故选：D．
根据平面向量的性质一一判断即可．
本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．
故选：B．
由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴=，=，
∴=，即=，
解得，CD=6，
∴=，
解得，BD=4，
∴BC===2，
故选：C．
证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7.【答案】+2
【解析】解：2（+）-（-）=2+-+=+2．
故答案为：+2．
直接利用向量加减运算法则去括号合并求出答案．
此题主要考查了平面向量，正确掌握运算法则是解题关键．
