勾股定理的逆定理

1 勾股定理的逆定理

知识要点及经典例题解剖

1、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

2.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

3．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

4勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°DCBAADBC

类型一：逆命题与勾股定理逆定理

1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

（1）．原命题：猫有四只脚．（正确）

(2)．原命题：对顶角相等（正确）

（3）．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

（4）．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。 2 解析：（1）. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）

（2）. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）

（3）. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确）

(4). 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）

总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

2、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

∴ a=3，b=4，c=5。 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积【答案】：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可

证明：

所以△ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。

【答案】答：DE⊥EF。证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,

∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。∴ DF2=EF2+DE2,

∴ FE⊥DE。

经典例题精类型二：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 3 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

（3x）2+（4x）2＝202 化简得x2＝16； ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1

在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3

∴AD＝ S△ABC＝BC·AD＝

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由（1）得：x+y＝7，

（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12

∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝4

∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择D，

∵82≠（40+39）×（40－39）， ∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。 【答案】：A

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4， 4 CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

解：连结AC ∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理 ∴AC=5 ∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36

补充：

例1：已知ABCΔ的三边分别a,b,ca=22nm,b=2mn,c=22nm(m>n,m,n是正整数)，ABCΔ是直角三角形吗？说明理由。

分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。

解：2222222222)()2()(cnmmnnmba

ABCΔ是直角三角形

注意事项：

（1） 书写时千万ABCcbaΔ,25247,222222是直角三角形。这里你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。

（2） 分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理

例2：如下图中分别以ABCΔ三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则ABCΔ是直角三角形吗？

例3：已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD的面积.

分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题.本题辅助线作平行线间距离无法求解.创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离.

⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积.

A C

a b c SSSB A B C

a b c SSSA B C

a b c SSS 5 课堂练习

1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.

A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4

2．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________

A 56 B 48 C 40 D 321

3. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（ ）.

A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°

C．△ABC的面积是60 D．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.

A．∠A＝∠B－∠C B．∠A：∠B：∠C ＝1：1：2

C．a：b：c＝4：5：6 D．a2－c2＝b2

二、填空题：

5．写出一组全是偶数的勾股数是 .

6．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为

cm2.

7．如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面

（填“垂直”或“不垂直”）.

8．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm，杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm，则这玻璃杯的形状是 体.

9．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .