勾股定理的逆定理

《勾股定理逆定理》测试题

班别: 姓名:

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.

A．12，15，17 B．9，16，25 C．5a，12a，13a（a>0） D．2，3，4

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（ ）.

A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°

C．△ABC的面积是60 D．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°

3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a：b：c＝1：3：2，则下列说法错误的是（ ）.

A．∠C＝90° B．c2－a2＝b2 C．c2＝2a2 D．若a＝k，则c＝2k（k>0）

4．下列定理中,没有逆定理的是（ ）.

A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余

C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行

5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.

A．∠A＝∠B－∠C B．∠A：∠B：∠C ＝1：1：2

C．a：b：c＝4：5：6 D．a2－c2＝b2

二、填空题(每小题5分，共25分)

6．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 .

7．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为

cm2.

8．如图1，一根电线杆高8m.为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）.

同学学案

科目： 化学 辅导老师： 杜 辅导时间：2011年 4月 日

课 题

勾股定理及逆定理

中考要求

教

学

过

程 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB222ACBC的值是（ ）

A.2 B.4 C.6 D.8

2. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，

在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），

却踩伤了花草．

3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．

4. 如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？

5. (2008年株洲市)如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.

6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?

7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，

在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上

口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，

所走的最短路线的长度.

8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm

求CD的长.

第5题图

第7题图

第8题图

9. 如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，

求AB的长.

勾股定理逆定理

教学任务分析

教

学

目

标 知识技能 1．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；

2．理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；

3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；

4．会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题．

数学思考 1．通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；

2．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用．

解决问题 通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．

情感态度 1．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系；

2．在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．

重点 勾股定理的逆定理及其应用．

难点 勾股定理的逆定理的证明．

教学流程安排

活动流程图 活动内容和目的

活动1：动手实践，猜想命题．

活动2：探索归纳，证明命题．

活动3：尝试运用，熟悉定理．

活动4：建构模型，拓展应用．

活动5：类比模仿，巩固新知．

活动6：小结梳理，内化新知． 通过摆放、画三角形，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．

通过特殊到一般的探索、归纳过程，得到勾股定理的逆定理证法，并结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，理解互逆命题（定理）的概念．

通过课本例1的求解，掌握勾股定理的逆定理及其运用的步骤．

将实际问题（课本例2）数学化，并利用勾股定理的逆定理去解决实际问题，感受勾股定理的逆定理在日常生活中的广泛应用．

通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其应用．

反思、总结学习内容，内化认知结构．

证明勾股定理逆定理

勾股定理是初中数学中最为基础的定理之一，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。即a²+b²=c²，其中c为斜边，a、b为两腰。

证明勾股定理逆定理需要先了解什么是勾股数。勾股数是指能够满足勾股定理的三个正整数，例如3、4、5就是勾股数。

逆定理即为：如果一个正整数n可以表示成两个正整数的平方和，则n一定不是勾股数。

首先我们需要证明一个引理：一个自然数n可以表示成两个正整数的平方和当且仅当n的所有形如4k+3（k为任意自然数）因子的幂次均为偶数。

证明如下：

1. 如果n可以表示成两个正整数的平方和，则n有以下几种情况：

① n=1+1

② n=4+9

③ n=16+25

④ n=36+49

……

可见，每个能够表示成两个正整数平方和的自然数都可以由若干个完全平方数组成。而完全平方数组成的自然数都只包含形如4k或4k+1（k为任意自然数）这样的因子，因此我们可以得出结论：如果n可以表示成两个正整数的平方和，则n的所有形如4k+3因子的幂次均为偶数。

2. 如果n所有形如4k+3（k为任意自然数）因子的幂次均为偶数，则n可以表示成两个正整数的平方和。

这一点需要用到费马定理，即如果p是一个素数且p不能被4整除，则p可以表示成两个正整数的平方和当且仅当p的幂次均为偶数。由于任何自然数都可以唯一分解为若干个素数乘积，因此我们只需要证明任何一个形如4k+1（k为任意自然数）的素数都可以表示成两个正整数的平方和即可。

设p=4m+1，其中m为任意自然数。由于p是素数，所以它有一个最小非零剩余r使得r²≡-1(mod p)。那么我们就有：

(r²)²≡(-1)²(mod p)

r⁴≡1(mod p)

由于r是最小非零剩余，所以r⁴≠1，而又有r⁴≡1(mod p)，所以p必须是奇素数。那么我们就可以将p唯一分解为以下形式：

p=a²+b²

其中a、b均为正整数。由于p是素数，所以a、b中必有一个为1。如果a=1，则b²=p-1，由于p≡1(mod 4)，所以p-1≡0(mod 4)，那么b²一定可以表示成两个正整数的平方和。如果b=1，则a²=p-1，同样可以表示成两个正整数的平方和。