高考数学总复习------排列组合与概率统计

2024高考数学排列组合与概率计算二〇二四年高考数学排列组合与概率计算数学是高中学科中的一门重要学科，也是高考科目中的核心科目之一。

在高考数学中，排列组合与概率计算是一个重要的章节。

下面将详细介绍2024年高考数学排列组合与概率计算的相关内容。

一、排列组合排列组合是数学中的一种基本概念，主要用于计算对象的不同排列与组合方式。

在排列组合中，排列指的是从若干不同的元素中选择出若干元素按一定顺序排列的方式，而组合则指的是从若干不同的元素中选择出若干元素不考虑顺序的方式。

在高考数学中，排列组合通常涉及计算不同的方式。

其中，乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。

在计算过程中，可以根据问题的特点选择适当的方法。

二、概率计算概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。

在高考数学中，概率计算是一个重点考查内容。

概率计算常常涉及到样本空间、事件和概率等概念。

在概率计算中，常用的方法包括古典概型、几何概型和统计概型等。

通过合理选择适当的概率计算方法，可以解决各种高考数学中的概率计算问题。

三、排列组合与概率计算的应用排列组合与概率计算不仅仅是高考数学中的理论知识，更是有着广泛的应用。

在现实生活中，排列组合与概率计算常常涉及到选班委、抽奖、生日问题等。

例如，在选班委的过程中，有10个候选人，其中需要选出4个担任班委的职务。

此时，就需要利用排列组合的知识来计算不同的选班委方式数量。

再例如，在抽奖的过程中，有50个人参与抽奖，其中有5个一等奖，10个二等奖，35个三等奖。

此时，就可以利用概率计算的知识来计算获得不同奖项的概率。

四、总结综上所述，2024年高考数学排列组合与概率计算是一个重要的考点。

通过深入理解排列组合与概率计算的基本原理和方法，掌握其在解决实际问题中的应用，将有助于提高数学解题能力。

希望广大考生在备考过程中能够加强对排列组合与概率计算的学习和理解，为取得好成绩打下坚实基础。

高中数学排列组合二项式定理与概率统计其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。

例4、设88018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例5、组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r C r -1n -1.例6、在的展开式中，含的项的系数是 （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274例7、若(x +12x)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 (A)6(B)7(C)8(D)9考点三：概率【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。

掌握古典概型和几何概型的概率求法。

【命题规律】（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。

（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

例8、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。

例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(A)184(B)121(C)25(D)35例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 4x。

高考数学排列组合与概率计算重点清单一、背景介绍在高考数学中，排列组合和概率计算是不可忽视的重要内容。

掌握了这两个知识点，可以帮助学生在考试中获得更好的成绩。

本文将为大家列出高考数学排列组合与概率计算的重点清单，帮助大家快速掌握这些知识点。

二、排列组合的重点1. 排列的定义和运算法则- 不重复元素的全排列：n!- 重复元素的全排列：n!/(n1!×n2!×...)- 部分相同元素的排列：n!/(n1!×n2!×...)，其中n1、n2等表示重复出现的元素个数2. 组合的定义和运算法则- 不重复元素的组合：C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)- 重复元素的组合：C(n+k-1, k-1)- 全部选或全不选的方案数：2^n3. 排列组合的应用- 在几何问题中，通过排列组合可以确定数量关系、判断位置关系等- 在概率问题中，通过排列组合可以计算事件发生的概率- 在工程问题中，通过排列组合可以计算不重复的方案数三、概率计算的重点1. 事件的概率定义- 事件发生的概率：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A发生的可能性，n(S)为样本空间中的所有可能性数- 事件的对立事件：P(A') = 1-P(A)- 事件的必然事件：P(S) = 1，其中S为样本空间2. 概率的运算性质- 事件的和事件概率：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)- 事件的积事件概率：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率3. 条件概率与独立事件- 条件概率的计算：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)- 事件的独立性：如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则事件A与事件B 相互独立4. 一些常见的概率问题- 排列组合与概率计算相结合的问题- 球与盒子问题、扑克牌问题等四、总结通过本文的介绍，我们了解到高考数学中排列组合与概率计算的重点知识点，这些内容对于考生来说至关重要。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的计数与事件高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率的计数与事件数学作为一门基础学科，对于高中学生来说，无疑是学习过程中必不可少的一部分。

在高中阶段，学习数学的内容相当繁杂，其中涉及的知识点众多。

本文将对高中数学的排列组合与概率的计数与事件进行系统的总结，并提供相关公式大全供参考。

一、排列组合基础知识排列与组合是数学中的两个基本概念，具有广泛的应用。

在学习排列组合的过程中，有几个核心的概念需要掌握。

1. 排列排列是从若干元素中按照一定的顺序选取出一部分元素，形成一个有序的序列。

常见的排列可以分为全排列和局部排列两种。

- 全排列：将若干元素按照不同的顺序进行排列，所得的不同排列数称为全排列。

全排列的公式为：A(n, n) = n!，其中 n 表示元素的个数。

- 局部排列：从若干元素中选取出其中的一部分元素，按照一定的顺序进行排列，所得的不同排列数称为局部排列。

局部排列的公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

2. 组合组合是从若干元素中选取出一部分元素，不考虑其顺序，形成一个无序的集合。

常见的组合有全组合和局部组合两种。

- 全组合：将若干元素选取出所有可能的组合，所得的不同组合数称为全组合。

全组合的公式为：C(n) = 2^n，其中 n 表示元素的个数。

- 局部组合：从若干元素中选取出其中的一部分元素，不考虑其顺序，所得的不同组合数称为局部组合。

局部组合的公式为：C(n, m) =n!/[m!(n-m)!]，其中 n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

二、概率与事件概率和事件是数学中研究随机事件发生可能性的重要内容。

在学习概率与事件的过程中，有几个核心的概念需要了解。

1. 概率概率是对随机事件发生可能性的量化描述。

以事件 A 在随机试验中发生为例，事件 A 发生的概率记为 P(A)。

概率的计算公式为：P(A) =N(A)/N(S)，其中 N(A) 表示事件 A 中有利的试验结果的个数，N(S) 表示样本空间 S 中的所有可能结果的个数。

高三数学排列组合和概率统计2009届高三数学二轮复习资料--排列组合和概率统计一、高考考试内容：1、分类计数原理与分步计数原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式；组合数的两个性质；二项式定理；二项展开式的性质2、随机事件的概率；等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率；独立重复试验．3、离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的期望值和方差；抽样方法；总体分布的估计；正态分布；线性回归．二、高考考试要求：1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．2、理解排列的意义。

掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．5、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．6、了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．7、了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．8、会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．9、了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．10、了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差．11、会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．12、会用样本频率分布去估计总体分布．13、了解正态分布的意义及主要性质．14、了解线性回归的方法和简单应用．三、考试类型及数学思想：纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见。

排列组合复习一、 知识回顾1.分类计数原理和分步计数原理 （1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法。

那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

2.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 .3.排列数定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示.4.排列数公式：!()()().()!n m n nn m n m A n An n n n m A n m --=---+==-1215.全排列：n 个不同元素全部取出的排列。

6.阶乘：从自然数1到n 的连乘积，记为!n n A n = ，规定：0！=17.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

8.组合与排列的区别：组合无序，排列有序。

9.组合数：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有组合的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的组合数，用符号mn C 表示.10.组合数公式：()()()!.!!()!m m n n mm A n n n n m n C A m m n m ---+===-121()n m m n ≤∈*,,N11.两个性质：m n n m n C C -=；11-++=m nm n m n C C C ． 规定：01.n C =12.几个常用公式：⑴ !)!1(!n n n n -+=⋅ ⑵)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ⑶ 111+++=+++m n m n m m m m C C C C⑷m mm m m n A A A ++++=1m m A ()m mm m m m m n m n C C C A C ++++++=⋅111概率统计复习分布列、数学期望和方差1、 分布列:ξx 1x 2 … x i … PP 1 P 2… P i…2、分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)3、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ x 1 x 2 … x n … Pp 1p 2…p n…则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 性质: b aE b a E +=+ξξ)(4、方差：ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；5、二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn kkn qp C -＝b (k ；n ，p )．ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n nE ξ=np, =ξD np (1-p )排列组合试题1、不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有A、12种B、20种C、24种D、48种2、有6个座位连成一排，安排3人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有A、36种B、48种C、72种D、96种3、从0，1，2，3，4每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位数字之和为A、80B、90C、110D、1204、以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是B、C、-6D、5、5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为A、48B、54C、60D、666、由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有A、72B、60C、48D、527、用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（）个数。

高考数学知识点总结：排列组合和概率.解排列组合标题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

解排列组合标题的纪律是：相邻标题捆绑法;不邻标题插空法;多排标题单排法;定位标题优先法;定序标题倍缩法;多元标题分类法;有序分派标题法;选取标题先排后排法;至多至少标题间接法。

.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。

二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.
.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个产生的概率公式;③相互独立事件同时产生的概率公式。

)
.二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A 产生k次的概率易记混。

通项公式：它是第r+1项而不是第r项;
事件A产生k次的概率：。

此中k=0，1，2，3，…，n，且0
.求漫衍列的解答题你能把步骤写全吗?
怎样对总体漫衍举行预计?(用样本预计总体，是研究统计标题的一个基本思想要领，一般地，样本容量越大，这种预
计就越准确，要求能画出频率漫衍表和频率漫衍直方图;理解频率漫衍直方图矩形面积的几多意义。

)
.你还记得一般正态总体怎样化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，此中表示标准正态总体取值小于的概率)。

一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。

专题六 排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点聚焦】考点1：排列、组合的概念，排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；考点2：二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题；考点3：利用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，利用互拆事件的加法公式一些事件的概率，利用独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【自我检测】1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做从n 个不同元素中取出个元素的一个排列，排列数m n A ＝_____________________________=_________.2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个排列，组合数m n C ＝______________________=_______________.3、 组合数的性质：（1）m n C ＝＿＿＿＿＿＿＿，（2）m n C ＋1-m n C ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4、 二项式定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.其通项为1+r T ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、 二项式系数的性质是（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、 在大量重复进行同一试验时，事件A 发生＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做事件A 的概率，记作＿＿＿＿.7、 如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的＿＿＿＿＿＿，那么每一个基本事件的概率都是＿＿＿，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P （A ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿.8、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做互斥事件，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿对立事件.设A ，B 是互斥事件，P （A ＋B ）＝＿＿＿＿＿.P （A ）＝＿＿＿＿＿.9、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是相互独立事件，则P （A ·B ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿.10、若n 次独立重复试验中，每次试验结果的概率＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿则称这n次试验是独立的.在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)=_________.【重点∙难点∙热点】问题1：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.例1：在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212111121212121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m mn n m m n n m +++++++++思路分析：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合 解法一 第一类办法 从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角形，有C 1m C 2n 个； 第二类办法 从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C 2m C 1n 个；第三类办法 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1n 个三角形 解法二 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个 所以，个数为N =C 31++n m －C 31+m －C 31+n 个 答案 C点评：本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法例2：四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 思路分析 解法一，采用处理分堆问题的方法 解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的解：（法一）分两步 先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全排列，有A 33种 依乘法原理，共有N =C 2433A =36(种) （法二）分两步 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；而后，再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因此，共有N =21A 34·3=36(种) 点评：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A 34种 忽略此种办法是 将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序要求的演变1：四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为 （ ）A ．96 B.48 C.24 D.0点拨与提示：本题考查了排列组合综合运用问题，可以画出四棱锥标出8个数字帮助直观分析，注意分类要全面准确,抓住问题实质.演变2：4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18点拨与提示：注意对甲进行分类讨论.问题2：求展开式中的系数二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理.例3：n x )21(-展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.思路分析：先求出n 的值，再由二项式系数的最大项是“最中间”的项，求出二项式系数的最大项.利用不等式组求系数绝对值最大项.解：66165515)2(,)2(x C T x C T n n -=-=++，依题意有665522n n C C =，∴n=8.则nx )21(-展开式中二项式系数最大的项为x x C T 1120)2(4485=-=. 设第r+1项系数的绝对值最大，则有65,,65222211881188==∴∈≤≤⇒⎩⎨⎧≥≥++--r r Z r r C C C C r r r r r r r r 或又 . 则系数绝对值最大项为67561792,1792x T x T ==.点评：求展开式中某一项或某一项的系数问题是高考题型之一，复习时要给予重视. 演变3：如果(3n x -的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 A.7 B.7- C.21 D.21-点拨与提示：本题考查二项展开式的性质.演变4：已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos ．点拨与提示：分别求出x 2和x 3的系数.问题3：求复合事件的概率对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率. 例4：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和3.4假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解：(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A 1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故)(1)(11A P A P -==.8165)32(14=- 答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：.8165 （2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B 2，则 P 278)321()32()(22242=-⋅⋅=C A ， 6427)431()43()(13342=-⋅⋅=C B P 由于甲乙射击相互独立，故 .816427278)()()(2222=⨯==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.81（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3“乙第i 次射击末中”为事件Di （I=1,2,3,4,5）,则A 3=12345D D D D D ⋅⋅⋅ ，且41)(=i D P 由于各事件相互独立，故 )()()()()(123453D D P D P D P D P A P ⋅⋅⋅=.102445)41411(434141=⨯-⨯⨯⨯ 答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.102445 点评：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.演变5：甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.点拨与提示：对于（Ⅰ）分甲中乙未中和乙中甲未中两类；对于（Ⅱ）可考虑其对立事件. 问题四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）例5：在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .思路分析：随机取出2张奖券奖品总价值的可能情况有：0，10，20，50，60，求出ξ取每一个值时的概率，列出分布列，根据离散型随机变量的期望与方差的概念、公式及性质解答.解：（法一）（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32. （Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）. .151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二： （Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.点评：在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要准确运用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度. 演变6：袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I ）求袋中所有的白球的个数；（II ）求随机变量ξ的概率分布；（III ）求甲取到白球的概率.点拨与提示：对于（II ）ξ的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出它们的概率，得到分布列. 专题小结1、解决排列组合应用问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件.2、二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理3、对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率.4、求分布列，首先要确定随机变量的取值，其次求其取某个值的概率，在这里，一般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征，求期望和方差的步骤是：（1）写出随机变量的分布列；（2）正确应用期望和方差的公式计算（同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等）【临阵磨枪】一．选择题1．6个人并排站成一排，B 站在A 的右边，C 站在B 的右边，则不同的排法总数为（ ）A 4433A AB 44A C 3366A A ÷ D 3544A A 2．某人射击8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，则不同的结果有（ ）A 20种B 240种C 480种D 720种3．两人掷一枚硬币，掷出正面者为胜，但这枚硬币不均匀，以致出现正面的概率P 1与出现反面的概率P 2不相等.已知出现正面与出现反面是对立事件.设两人各掷一次成平局的概率为P ，则P 与0.5的大小关系为（ ）A P ＜0.5B P ＞0.5C P ＝0.5D 不确定4．三边长均为整数，且最长边长为11的三角形的个数为（ ）A 25B 26C 36D 375．某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号，组成一注，则这人把这种特征的号买全，至少要花（ ）A 3360元B 6720元C 4320元D 8640元6．在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )A −14B 14C −28 D287．若,)1()1()1()21(1001002210100-++-+-+=+x a x a x a a x 则10021a a a +++ ＝（ ）A 10010035-B 1005C 1003D 13100-8．若二项式61(x x x -展开式中的第5项是5，则111(lim 123-∞→+++n n xx x 等于 A 21 B 83 C 1 D 89 9．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．4201 10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为（ ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,83二．填充题 11 从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示)12．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球.若从左口袋里取出1个球 装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的概率为＿＿13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有＿＿＿（用数字作答）14．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为_____.三、解答题15．假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是相互独立，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，问对于多大的P 而言，四引擎飞机比二引擎更安全？16．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而每个保护区每个季度发现的违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区 乙保护区试评定这两个保护区的管理水平. 17 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？ 18 二次函数y =ax 2+bx +c 的系数a 、b 、c ，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？19．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.20．设函数)2,()(22432≥∈++++=-n N n xC x C x C C x f n n n n n n n ，当x>－1且x ≠0时，试证明：0)(>x f n 恒成立. ζ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 ζ 0 1 2 P 0.1 0.50.4参考答案1． C 提示：6个人的全排列中，A 、B 、C 三人的顺序已定.2． A 提示：将3次和1次命中看着2个元素插入四次未命中的空中，有25A 种.3． B 提示：因为P 1≠P 2，P 1＋P 2＝1，P ＝2221P P +，又因为41)2(22212221=+>+P P P P ，2221P P +＞0.5 4． C 提示：另两边边长用x, y 表示，且不妨设1≤x ≤y ≤11,构成三角形必须x+y ≥12.当y 取11时，x=1,2，3，…,11，可能有11个三角形；当y 取10时，x=2，3，…,10，可能有9个三角形；……；当y 取6时，x=6，有1个三角形；所以所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36个.5． D 提示：这种特殊要求的号共有432061098+⨯⨯⨯（注）.6． B7． A 提示：令x-1=0,即x=1时得到10003=a ，再令x-1=1即x=2时得1001002105=++++a a a a ，∴1001001002135-=+++a a a .8． B 提示：51515==-x T ，x=3,原式＝8391131=- 9．A 提示：将1,2，3，…，9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为4,所以答案为B10．A 提示：由图象可知，前4组的公比为3，最大频率40.130.10.27a =⨯⨯=，设后六组公差为d ，则560.010.030.090.27612d ⨯+++⨯+=，解得：0.05d =-， 后四组公差为－0.05， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）.选A.11．30 提示 因为直线过原点，所以C =0，从1，2，3，5，7，11这6个数中任取2个作为A 、B 两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A 26=3012．154 提示：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是6253⨯；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取出的是红球，其概率是6152⨯，相加得所求概率. 13．7214．50 提示：设不到40岁的教师中应抽取的人数为x 人，则xx -=70140350，则x ＝50 15．解：四引擎飞机成功飞行的概率为4443342224)1()1(P C P P C P P C +-+-；二引擎飞机成功飞行的概率为22212)1(P C P P C +-，要使四引擎的飞机比二引擎的飞机更安全，则4443342224)1()1(P C P P C P P C +-+-≥22212)1(P C P P C +-，解得P ≥32 16．解：甲保护区的违规次数的数学期望与方差分别为1.3和1.21；乙保护区违规次数的数学期望与方差分别为1.3和0.41.两保护区每季度发生的违规平均次数相等，但乙保护区的违规事件次数更集中和稳，而甲保护区的违规事件数相对分散和波动. 17 解 出牌的方法可分为以下几类(1)5张牌全部分开出，有A 55种方法；(2)2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法；(3)2张2一起出，3张A 一起出，有A 45种方法；(4)2张2一起出，3张A 分两次出，有C 23A 35种方法；(5)2张2分开出，3张A 一起出，有A 35种方法；(6)2张2分开出，3张A 分两次出，有C 23A 45种方法因此，共有不同的出牌方法A 55+A 25+A 45+A 23A 35+A 35+C 23A 45=860种 18 解 由图形特征分析，a ＞0,开口向上，坐标原点在内部⇔f (0)=c ＜0;a ＜0,开口向下，原点在内部⇔f (0)=c ＞0,所以对于抛物线y =ax 2+bx +c 来讲，原点在其内部⇔af (0)=ac ＜0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a 和c ，再确定b ,故满足题设的抛物线共有C 13C 14A 22A 16=144条19．解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C - （II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p20．解：1)1()(2--+=nx x x f x n n ，要证0)(>x f n 由于x>－1且x ≠0所以只要用数学归纳法证明01)1()(2>--+=nx x x f x n n 即可.【挑战自我】已知数列｛a n ｝满足a n ＝n2n-1(n>0,n ∈Z),是否存在等差数列｛b n ｝,使a n ＝n nn n n C b C b C b +++ 2211对一切自然数n 成立，证明你的结论. 解：n=1时b 1=1，当n=2时b 2=2，因为｛b n ｝是等差数列，∴b n =n.当b n =n 时，n nn n n C b C b C b +++ 2211=n n n n nC C C +++ 212. 令x n =112211--+++n n n n n C b C b C b =121)1(2--+++n nn n C n C C =121)2()1(nn n n n C C n C n ++-+--- . 2x n ＝)22()(121-=+++-n n n n n n C C C n∴x n ＝)12(1--n n .n nn n n C b C b C b +++ 2211＝x n ＋n n n C b ＝)12(1--n n ＋n n n C b ＝12-n n ∴ a n ＝n nn n n C b C b C b +++ 2211对一切自然数n 成立【答案及点拨】演变1：由题意分析，如图,先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有2444=A 种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放:7放入①，8放入②，5放入③，6放入④;或者6放入①，7放入②，8放入③， 5放入④两种放法.综上所述:共有48244=⨯A 种放法.故选B.演变2：设四个人为A ，B ，C ，D.（1）设A 选甲且回答对，则选B 、C 、D 回答错有C 13种；余下两人答乙，一个答对，一个答错共有：C 13.A 622=种. A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 P（2）设A 选甲且回答错，同（1）有6种.同理B ，C ，D 再同样讨论，则共有12+12+12+12=48种.除去其中有12种重复的情况. 综合得4位同学不同的得分情况为36种.故选B 演变3：n x x )13(32-的展开式中各项系数之和为128，所以n =7，展开式中第7项为616617321(3)(T C x x+=⋅=，∴ 31x 的系数是21. [答案] C 演变4：解：4)45(+x 的通项为r r rr x C T )45(441⋅⋅=-+，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R R x C T -+⋅=551)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ. 演变5：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=12,P(B)=25,P(A )=12,P(B )=35甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为A B B A ⋅+⋅ P(A B B A ⋅+⋅)=P(A B ⋅)+P(A B ⋅)=1321125522⨯+⋅= 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为12(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是113392255100P =⨯⨯⨯= ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-P =1-991100100= 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为91100演变6：解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯ 可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,53(1);7P ξ== ()4322;767P ξ⨯===⨯ 4326(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯43233(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 432131(5);7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯所以ξ的分布列为:(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则()()()22()13535P A P P P ξξξ==+=+==。