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解读埃舍尔镶嵌图形埃舍尔，全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔(Maurits Cornelius Escher)，一名对现代影响深远，却被史学家遗忘的、世界艺术史上“绝无仅有的”艺术家。
和其他依靠感性进行创作的艺术家不同，埃舍尔的作品是经过复杂的理性思维的产物。
他从事物的精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。
一、埃舍尔的镶嵌图形关于平面规则分割(平面镶嵌图形)，埃舍尔写到：“在领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。
他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。
”埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊。
他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。
这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。
要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形(图像)联想能力。
埃舍尔的图形镶嵌作品，可以将其分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌四种形式。
二、镶嵌图形的构思过程1.几何形状的演变通过对埃舍尔的镶嵌图形的研究发现，其作品都是通过对简单的几何形状的具象思维而逐渐演绎而来的。
如果将其作品中的镶嵌图形作逆向思维，即向简单的几何形状演化，我们会发现——到最后只是一个简单的正方形而已。
由此可见，正方形是镶嵌的最基本图形，一切复杂的可以用作镶嵌的图形都是由其演化而来的(如图1)。
通过对正方形作可镶嵌式分割，会得到很多几何形，如果把这些几何形再作进一步细化分割，就会形成具象的可用于镶嵌的图形。
这样看起来似乎非常简单，其实不然，由简单的几何形状到演化为具象的图形的过程，其实是很复杂的一种思维过程，需要具备特别强的图形思维及联想能力才可能做到。
引言19世纪末20世纪初, 西方艺术出现了轰轰烈烈的艺术革命, 涌现出众多的艺术流派和艺术形式, 彻底打破了陈陈相因的传统美术。
20世纪的欧洲艺术大环境对埃舍尔的影响却是非常的少, 他对现代艺术的某些流派和作品一直具有抵触心理。
在现代艺术全面兴起时, 埃舍尔却在传统透视领域的基础上进行了新的探索和研究, 巧妙地利用透视创造出新奇的构图方式, 建构出充满理性和神秘色彩的不可能的世界, 在西方视觉艺术发展史上独树一帜, 自成一家。
正如德拉克洛瓦(1798-1863 所说:“当我们评价一位伟大的艺术大师的艺术作品的时候, 我们所称颂的创造天才只不过是他们独特的观察、组织和再现自然的方式。
” 我们在欣赏埃舍尔的作品时, 首先会被他作品中奇特的构图形式所吸引。
这种魅力便来自他所构建的不可能的世界, 在这个世界里充满了二维平面与真实的三维空间的相互交融、糅杂, 虽奇特怪异却又无比自然, 通过精雕细琢的构思透射出理性智慧的光芒, 引人深思。
早年的埃舍尔在父亲的期望下进入了一间建筑和装饰艺术学院学习建筑。
学生时代的埃舍尔是个害羞、内向、拘谨的年轻人, 不是很喜欢建筑的他遇到了当时一位著名的版画家萨缪尔・吉西农・德・马斯奎塔教授。
在马斯奎塔的指导下, 埃舍尔学会了版画技术, 并意识到自己爱好的是艺术,而不是建筑。
从这一时期开始他尝试了版画的写生和创作。
毕业后开始了大量的创作, 早期的作品以风景画为主, 在他不断创作的作品中, 已开始显示出了独特的艺术视觉和审美趣味。
如《八个头》、《圣巴佛大教堂》等。
1937年是埃舍尔作品的一个分水岭, 在这之后, 他开始进行全新的、独特的“视觉幻象”创作。
在埃舍尔的作品中, 契合图形占了一半以上, 可见艺术家对这一形式的迷恋。
但从作品来看, 他不只单纯地对这一形式进行描绘, 更多的是在所获得的艺术的理性幻象——浅谈埃舍尔作品中的契合图形文 /谭亚鉴赏是审美的享受,是知识的凝集;收藏是艺术品的保护,是精神财富和物质财富的双重积累。
埃舍尔作品01-瀑布
埃舍尔作品02-观景楼
埃舍尔作品03-昼与夜
埃舍尔作品04-水和天
埃舍尔作品05-上与下
埃舍尔作品06-凸与凹
埃舍尔作品07-相对论
埃舍尔作品08-巴别塔
埃舍尔作品09-递增与递减
埃舍尔作品10-有序和无序
埃舍尔作品11-循环
埃舍尔作品12-蜥蜴
埃舍尔作品13-红蚁
埃舍尔作品14-画手
埃舍尔作品15-画廊
埃舍尔作品16-解放
埃舍尔作品17-旋转的阴阳鱼
埃舍尔作品18-带魔带的立方架
埃舍尔作品19-静止的街道
埃舍尔作品20-另一个世界
埃舍尔作品21-圆极限
埃舍尔作品22-天使与恶魔
埃舍尔作品23-婚姻的联结
埃舍尔作品24-相遇
埃舍尔作品25
埃舍尔作品26
埃舍尔作品27
埃舍尔作品28
埃舍尔作品29
埃舍尔作品30
埃舍尔作品31
埃舍尔作品32
埃舍尔作品33
埃舍尔作品34
埃舍尔作品35
埃舍尔作品36
237、埃舍尔作品37
埃舍尔作品38
埃舍尔作品39
埃舍尔作品40。
埃舍尔的神奇艺术，把数学玩弄于股掌之间的骚年今天秒总来介绍一个大牛M.C.埃舍尔首先他老人家长这样用一句话形容埃舍尔就是【埃舍尔=艺术+数学】这是他的一幅代表作简~直~吊~炸~天这张图从头到尾撸了一遍之后我默默地献出了膝盖以后都要跪着走路了埃舍尔的这种作品叫做“镶嵌画”也就是镶嵌在地板上或墙壁上的那种拼图进行无缝拼接要知道以前的人只想得到用几何图形做镶嵌画家里钱多的话可能会做得更复杂一些：不过埃舍尔企图绘制出超级无敌宇宙第一复杂的镶嵌画譬如他绘制了这幅“羊驼”看着这些天马行空的画面眼花缭乱惊讶于这种巧妙的拼接居然具象的马的造型也能作为拼图我的小心肝受到一百点的暴击其实埃舍尔运用了最基本的数学原理来产生图像看完之后我狗眼已瞎埃舍尔将简单的正方形经过剪切和平移转变成了一个复杂的镶嵌图形“简单”是“复杂”的基础数学与艺术完美结合其实你可以拿一张普通的正方形便条贴亲手做一个诡异的镶嵌画实在太简单了以下是秒总的绝作个人认为美到爆表！！不服来战！！除此之外埃舍尔还创作了更更更复杂的图形“一群猥琐的蜥蜴”使用了正六边形为基础进行旋转运动埃舍尔！感觉你每一个脑细胞都在跳广场舞自嗨地不要不要哈！！不过老铁的智商还没完呢下面这张是用平行四边形为基础通过某种不可描述的数学运动创作而成别问我要GIF动态图别问我怎么作出来的你猜！！然后留言给我哦亲！！还有更加巧妙的结合天衣无缝的一群鸟哦不一~~坨~~鸟别看这图画得很形象背后都是一整套深奥抽象的数学模型譬如这幅由无数条鱼组成的圆利用的是数学里的“分形学”“微积分”“极限”等数学理论具体解释可以看秒总的另一篇文章这幅画里所要表现的是无数条鱼但是因为越往外围鱼越小所以“无限”被锁定在一个圆圈里了否则如果真有无数条鱼埃舍尔估计早就画得累死了下面这一幅画带了些宗教思想天使与恶魔是相辅相成的正邪对立却又融为一体这一幅涉及种族话题黑人与白人这一幅更流弊天上的鸟和水里的鱼渐变过渡反应了当时的物种演化理论达尔文的死忠粉昼夜更替代表二元论老子阴阳学说的完美图式这幅挤满了各种东西看完之后秒总的脑洞闲不住寂寞将它变成了一个游戏一个埃舍尔版的“俄罗斯方块”觉得真是毫无违和感妥妥的其实埃舍尔的很多作品都可以变成游戏这是真的【总结】————————埃舍尔研究的镶嵌画是平面密铺图形他用精密的图形和构造展示数学的严谨但是却又用另一系列作品展示数学的不严谨也就是悖论的一面下一集秒总接着给大家叨叨~~~先别离开允许我厚颜无耻地求你点赞呗然后再厚颜无耻地求你打个评论尺度太大，我有点hold不住达芬奇名作经历540年的真相揭秘，深刻中我被逗乐了。
最“烧脑”的画：埃舍尔创作的5维空间图，看明白的都是天才一维空间是点，二维空间是面，三维空间是长宽高立体物体，四维空间在长宽高的基础上加了时间，那么五维空间是什么呢？我们都知道，我们是三维生物，处于三维空间。
三维生物无论如何是无法感知到四维五维以及更高维度的。
哪怕是顶级的科学家，都难以总结出相应的理论，就像是二维生物永远无法触碰到三维生物一样，四五维空间对我们来说充满着未知。
不过有一个画家却凭着自己的想象力，用巧妙的笔法画出了五维空间，他的画作如黑洞一样吸引着观者的目光。
很多人都无法理解他画作中的奥妙，能看明白的就是天才！现在让我们来一起一探究竟吧。
01埃舍尔的经历这个人名字就是埃舍尔，是荷兰著名的版画家，他出生在一个知识分子的家庭中，他的父亲是土木工程师。
为此从小就受到了建筑装饰艺术的熏陶，他所画的作品大多和建筑空间有关。
他从小的学习不出色。
身体也并不好，上帝在关上一扇门的同时，往往会打开一个窗，他的艺术天分是极高的，可以用不同的视角来展现出奇特的世界。
而后在机缘巧合之下，美术教授沙缪尔觉得他是一个可塑之才，于是教他制作版画。
他也的确没有负老师所望，所创作的作品《八张脸》早早就体现出他独特的艺术理念。
而毕业后，埃舍尔前往西班牙的阿尔罕布拉宫旅行，此时墙壁和地板的密密麻麻的图案让它产生了浓厚的兴趣。
并把这一特色尝试融入到自己的作品里。
他试了很多次，但无一例外都失败了，只是因为他当时的数学思想并不完善，无法将这样的平铺图面变得立体，构成建筑之美。
然后二战到来了，他待在家里经过10年的不懈努力，将毕生所学的知识融合起来，开创了新的流派。
在他的作品里充满的立体的巧妙组合。
也就是说只要换一个角度就可以看见不同的场景，而且这些都和数学相关，令人忍不住好奇他的脑回路究竟是如何的？02优秀画作赏析你一定会说，人类既然无法触碰到五维空间，又怎么能画出五维空间的画作呢？这是个悖论！其实当你在一张纸上用黑白灰三个色调画出一个立方体，从我们的角度来看，它依然是一张二维的白纸，只不过是画面的图变得立体起来。
课题学习“镶嵌”作者：沈利红来源：《读写算》2013年第03期本文以新课程中的课题学习“镶嵌”这节课为例，探究如何构建探究式的教学模式，发挥教师的主观能动性，创造性地使用教材，培养学生的动手操作能力、综合探究能力。
浙教版七册下第二章《图形和变换》的最后一课，教材上安排了课题学习“镶嵌”的内容，教材给出几幅图片与几个问题。
面对新的教学内容“课题学习”，我在深深地思考，如何上好这一节课呢？构建怎样的教学模式，搭造怎样的学习平台，才能上出课题学习的味道。
才能让数学中的“课题”学习真正发挥出它的光点。
教师应如何发挥教学潜能，创造性地使用教材，让全体学生进入探究的角色，积极参与到课题的学习与探究中去，从而更有效地培养学生动手操作能力与探究创新能力呢？为此，我以《新课程目标》为指导，构建下述的教学模式，“问题情境——实验探究——归纳总结——实践与应用”。
一、创设情境引入课题出示图片，请你欣赏美丽的图案：壁砖、壁纸、地砖、图案；让学生观察用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖.从数学角度去分析，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题.（板书课题：平面镶嵌）设计意图：多边形的镶嵌在日常生活中应用很广泛，家庭装修中出现这样图案很多，学生家中也有很多的这样的图案，用这四幅图片来引入，学生即熟悉又亲切，使得知识衔接较为自然，并为下一步探索多边形的镶嵌创设了条件。
二、设置问题动手操作探索结论问题一：你能用正三角形、正方形、正五边形、正六边形中的一种图形镶嵌成平面图形吗？请你想一想，拼一拼，你有什么发现？操作活动：先让学生想一想，然后拿出准备好正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片分小组开展拼图，在边实践、边思考的基础上，同学之间展开交流讨论。
探究1：如果只允许选择一种正多边形进行平面镶嵌，有哪些正多边形可以做到呢？活动1：学生分小组用准备好的正多边形进行拼图试验。
埃舍尔凹面与凸面-概述说明以及解释1.引言1.1 概述埃舍尔是荷兰著名的艺术家，他以其独特的艺术风格和几何学原理闻名于世。
在他的作品中，凹面与凸面是其经典的元素之一，通过对空间和透视的巧妙运用，呈现出了让人眼花缭乱的错觉效果。
本文将从埃舍尔凹面与凸面的特点、艺术表现以及对现代艺术的影响等方面进行探讨，并展望其在未来的发展。
通过对埃舍尔凹凸面的深入研究，我们可以更加深入地了解这一独特艺术形式的魅力和价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为三个部分来探讨埃舍尔的凹面与凸面。
首先，我们将介绍文章的概述，概括性地介绍埃舍尔的艺术作品以及为什么选择研究他的凹面与凸面。
接着，我们将详细分析埃舍尔凹面与凸面的特点，分别从图像构成、视觉效果、以及对观众的心理感受等方面进行比较。
最后，我们将探讨埃舍尔凹凸面作品在艺术创作中的表现以及它们对现代艺术的影响，以及对未来艺术创作的展望。
通过这样的结构，我们将全面深入地探讨埃舍尔的凹凸面在艺术领域中的重要性以及未来的发展趋势。
文章1.3 目的部分:本文旨在深入探讨埃舍尔凹面与凸面的特点和艺术表现，分析其在艺术领域中的重要性和影响。
通过对埃舍尔凹凸面的艺术特点和表现方式进行详细剖析，以及对其在现代艺术中的地位和发展前景进行展望，旨在让读者更深入地了解埃舍尔凹凸面的艺术魅力，以及对当代艺术的启发和影响。
通过本文的阐述，希望能够引发读者对于埃舍尔凹凸面以及艺术的深入思考，促进对于艺术的欣赏和理解。
2.正文2.1 埃舍尔凹面的特点埃舍尔凹面是荷兰艺术家埃舍尔作品中的一个重要元素，它以其特殊的视觉效果和几何构图而闻名于世。
埃舍尔凹面的特点主要包括以下几个方面：1. 视错觉效果：埃舍尔凹面可以给人一种错觉，即平面上的图形看上去具有立体感，但实际上是平面的。
这种视错觉效果常常使人感到震撼和好奇，深受观众喜爱。
2. 几何构图的巧妙应用：埃舍尔凹面的构图通常是基于几何图形的变换和组合，通过巧妙地运用几何学原理和透视法则，使得画面中的几何图形具有了立体的感觉。
圆极限埃舍尔
《圆极限埃舍尔》是荷兰艺术家M.C.埃舍尔的一幅著名作品，它展示了一个无限重复的圆形图案，给人一种深奥的感觉。
在这幅作品中，埃舍尔将圆形图案无限地重复在一个封闭的空间里，这种视觉效果给人一种无限延伸的感觉。
在整个作品中，圆形图案似乎没有开始和结束，给观者带来了一种深深的迷惑感。
除了这种无限延伸的视觉效果外，作品中的圆形图案还带有一种几何美感。
埃舍尔精准地使用了圆形和线条，创造出了一种完美的几何图案，给人一种宁静而和谐的感觉。
通过这幅作品，《圆极限埃舍尔》呈现出了埃舍尔独特的艺术风格，他擅长用几何图案和视错觉来挑战观者的认知。
这幅作品让人感受到了艺术与几何学的奇妙结合，让人陶醉其中。
总的来说，《圆极限埃舍尔》是一幅充满深意的作品，它展现了埃舍尔在艺术和几何领域的独特见解。
这幅作品不仅具有震撼人心的视觉效果，还蕴含着深厚的哲学意味，给人留下了深刻的印象。
解读埃舍尔镶嵌图形
埃舍尔，全名毛里茨·科内流斯·埃舍尔(Maurits Cornelius Escher)，一名对现代影响深远，却被史学家遗忘的、世界艺术史上“绝无仅有的”艺术家。
和其他依靠感性进行创作的艺术家不同，埃舍尔的作品是经过复杂的理性思维的产物。
他从事物的精确、规则、秩序等特性中发现了美，创造了美。
一、埃舍尔的镶嵌图形
关于平面规则分割(平面镶嵌图形)，埃舍尔写到：“在领域，平面规则分割已经从理论上获得了充分的研究……数学家打开了一扇通向无限可能性的大门，但是他们自身并没有进入其中看看。
他们特殊的禀赋使他们对如何打开这扇门的方式更感兴趣，而对隐藏在其后的花园不感兴趣。
”埃舍尔正是从一个艺术家的角度，利用数学家的发现，发掘了美，创造了美。
他的平面规则分割作品令许多数学家吃惊。
他在已知的17种抽象平面分割群组形式上创造了许多具象镶嵌图案。
这种把抽象的几何形状赋予具象的形象其实是一种复杂的图形思维过程。
要完成具象镶嵌图案的创作，对各个图形的思考必须要非常严谨，每个镶嵌图形既要考虑它的镶嵌可能性，又要赋予具体的形象，而且这种镶嵌是四面无限延伸的，这就必须要具备很强的图形(图像)联想能力。
埃舍尔的图形镶嵌作品，可以将其分为单体镶嵌、双体镶嵌、多体镶嵌和渐变镶嵌四种形式。
二、镶嵌图形的构思过程
1.几何形状的演变
通过对埃舍尔的镶嵌图形的研究发现，其作品都是通过对简单的几何形状的具象思维而逐渐演绎而来的。
如果将其作品中的镶嵌图形作逆向思维，即向简单的几何形状演化，我们会发现——到最后只是一个简单的正方形而已。
由此可见，正方形是镶嵌的最基本图形，一切复杂的可以用作镶嵌的图形都是由其演化而来的(如图1)。
通过对正方形作可镶嵌式分割，会得到很多几何形，如果把这些几何形再作进一步细化分割，就会形成具象的可用于镶嵌的图形。
这样看起来似乎非常简单，其实不然，由简单的几何形状到演化为具象的图形的过程，其实是很复杂的一种思维过程，需要具备特别强的图形思维及联想能力才可能做到。
2.几何群组的运用
除了几何形状的演化外，为了便于从整体上把握镶嵌图形镶嵌的可能性，运用几何群组的形式是很有必要的。
迄今为止，数学家共找到17种可用于镶嵌的几何群组，令数学家吃惊的是，埃舍尔的镶嵌图形作品恰巧有目的或无目的地运用了这些几何群组。
如埃舍尔的鱼的镶嵌作品就是采用的几何群组形式而创作的(如图2)。
无疑，这些几何群组的运用加大了镶嵌图形的可行性，也可
以更好地从整体上去把握它，但这些同样需要具备一定的图形思维能力，否则，很难做到。
3.形状的多重思维
即空域形状的多重性具象思维(如图3)。
对于空域形状可以联想到大雁，也可以联想到飞鱼。
4.在镶嵌图形基础上的渐变
在镶嵌图形的基础上作渐变，看起来要比创作镶嵌图形容易得多，但其实这一过程也异常复杂。
我们知道，镶嵌图形是给简单的几何形状赋予复杂的具象图形的一种空域思维，这个空域是固定的，因此是静态的。
而把镶嵌图形作进一步的渐变处理则是动态的，这种动态性表现在对不同空域的连续性思维，它要求我们具备一定的动态性思维才有可能完成。
也就是说，当我们的眼睛盯着一个空域时，要求我们头脑中还要去考虑第二个、第三个、第四个等等。
因此，不具备动态性思维是不可能创造出渐变镶嵌图形的。
三、埃舍尔镶嵌图形对于图形思维能力的培养
通过研究埃舍尔镶嵌图形的构思过程，我们不难发现，要使图形的镶嵌成为可能，需要具有超强的空域图形思维、联想，图形整体把握及图形的动态思维能力。
这些能力是图形思维必须具备的能力，而镶嵌图形的创作过程对于这些能力的培养是很有帮助的。
如果拿一张画面中心画有一个黑点的白纸让学生看，就会发现，几乎100%的同学都会盯住那个黑点，而对黑点周围的大面积白则熟视无睹、视而不见。
这种现象被称为“黑点式黑暗性思维”。
笔者也曾做过一个测验，让学生通过六楼的窗户看楼下的甬道，结果同样，几乎所有人都在注意交错的甬道及甬道上的行人，没有一个人去留意甬道之间形成的空隙的形状。
这种思维的局限性是很可悲的。
而埃舍尔的镶嵌图形恰是训练这些平时熟视无睹、视而不见的思维空白区域。
在把这个空白区域赋予具象的形象的同时，既要考虑其镶嵌的可能性，又要赋予其具象的形象，而且，每个具象形象的边缘线都是两个形状的共用线。
因此，要时刻注意“一线两形”的问题，这就拓展了思维，增强了思维的能动性。
这种思维过程是一种复杂的图形思维过程，它对图形的联想能力、图形的整体把握能力以及图形的动态思维能力的培养是非常有帮助的。
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[1]埃舍尔大师图典(紫图大师图典丛书).陕西师范大学出版社，2003年10月.
[2]布鲁诺·恩斯特著.王蓓，王松译.魔镜：埃舍尔的不可能世界.上海科技出版社，2002年10月.。
