【新】版高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性学业分层测评新人教B版必修1

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

第二章 函数测评(B 卷)【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题答案填入答题栏内，第二卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．第一卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1．函数y ＝1－x ＋x 定义域为A ．{x|x≤1}B ．{x|x≥0}C ．{x|x≥1或x≤0}D ．{x|0≤x≤1}2．f (1－x 1＋x)＝x ，那么f (x )表达式为 A.x ＋1x －1 B.1－x 1＋x C.1＋x 1－x D.2x x ＋13．客车从甲地以60 km/h 速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 速度行驶1小时到达丙地，以下描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过路程s 与时间t 之间关系图象中，正确是4．函数y ＝f (x )图象如右图所示，那么函数y ＝f (x )解析式为A ．f (x )＝(x －a )2(b －x )B ．f (x )＝(x －a )2(x ＋b )C ．f (x )＝－(x －a )2(x ＋b )D ．f (x )＝(x －a )2(x －b )5．函数y ＝x －2x －1图象是 6．函数f (x )对于任意x∈R 都有f(x ＋1)＝2f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，那么f(－1.5)值是A.116B.18C.14 D ．－1547．假设函数f(x)是偶函数，且定义域为R ，当x<0时，f(x)是增函数，对于x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，那么A ．f(－x 1)>f(－x 2)B ．f(－x 1)<f(－x 2)C ．f(－x 1)＝f(－x 2)D ．f(－x 1)≥f(－x 2)8．设函数f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上增函数，且f(－12)·f(12)<0，那么方程f(x)＝0在[－1,1]内 A ．可能有三个实数根 B ．可能有两个实数根C ．有唯一实数根D ．无实数根9．函数f(x)＝mx 2＋(m －3)x ＋1图象与x 轴交点至少有一个在原点右侧，那么实数m 取值范围是A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]10．函数f(x)＝－(x －a)2＋4|x －a|＋5在[1,2]上是减函数，那么实数a 取值范围是A ．[－1，＋∞) B．(－∞，－2]∪[2,3] C．[2,3] D ．(－∞，－1]∪[2,3]第二卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x≤－1，x 2，－1<x<2，2x ，x≥2，假设f(x)＝3，那么x ＝__________.12．函数f(x)＝x 2－|x|，假设f(－m 2－1)<f(2)，那么实数m 取值范围是__________．13．假设方程7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2＝0有两个不等实根x 1，x 2且0<x 1<1<x 2<2，那么实数k 取值范围是__________．14．以下命题中：①假设函数f(x)定义域为R ，那么g(x)＝f(x)＋f(－x)一定是偶函数；②假设f(x)是定义域为R 奇函数，对于任意x∈R 都有f(x)＋f(2－x)＝0，那么函数f(x)图象关于直线x ＝1对称；③x 1，x 2是函数f(x)定义域内两个值，且x 1<x 2，假设f(x 1)>f(x 2)，那么f(x)是减函数；④假设f(x)是定义在R 上奇函数，且f(x ＋2)也为奇函数，那么f(x)是以4为周期周期函数．其中正确命题序号是__________．三、解答题(本大题共5小题，共54分．解容许写出必要文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题总分值10分)假设函数y ＝f(x)定义域为[－1,1]，求函数y ＝f(x ＋14)＋f(x －14)定义域． 16．(本小题总分值10分)如下图，有一块半径为R 半圆形钢板，方案剪裁成等腰梯形ABCD 形状，它下底AB 是⊙O 直径，上底CD 端点在圆周上，写出这个梯形周长y 与腰长x 间函数式，并求出它定义域．17．(本小题总分值10分)二次函数f(x)二次项系数为a ，且不等式f(x)>－2x 解集为(1,3)．(1)假设方程f(x)＋6a ＝0有两个相等实根，求f(x)解析式．(2)假设f(x)最大值为正数，求实数a 取值范围．18．(本小题总分值12分)某商场经营一批进价是30元/台小商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x 元与日销售量y 台之间有如下关系：(1)(x ，y)对应点，并确定x 与y 一个函数关系式y ＝f(x)；(2)设经营此商品日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 函数关系式，并指出当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？19．(本小题总分值12分)函数f(x)＝x 2＋2x ＋a x，x∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f(x)最小值； (2)假设对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 取值范围．答案与解析1．D 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x≥0x≥0⇒0≤x≤1. ∴y＝1－x ＋x 定义域为{0|0≤x≤1}．2．B 作为选择题，首先特值检验法：令x ＝1，那么f(0)＝1.排除A ，D ；令x ＝0，那么f(1)＝0排除C ，∴选B.一般解法：设1－x 1＋x ＝t ，那么x ＝1－t 1＋t. ∴f(t)＝1－t 1＋t. ∴f(x)＝1－x 1＋x. 3．C 当0≤t≤1时，s ＝60t ；当1<t≤1.5时，s ＝60；当1.5<t≤2.5时，s ＝60＋80(t －1.5)＝80t －60.4．A 此题取特殊值．x ＝b 时，f(x)＝0，∴排除B ，C 项． 由题中图象a<0，b>0，x ＝0时，f(x)>0，排除D 项．5．B 先对y ＝x －2x －1变形得到y ＝1－1x －1，再由y ＝－1x图象平移得到．6．A 2f(－1.5)＝f(－1.5＋1)＝f(－0.5)，2f(－0.5)＝f(－0.5＋1)＝f(0.5)，f(0.5)＝12×12＝14， ∴f(－0.5)＝18，2f(－1.5)＝18， 即f(－1.5)＝116. 7．A 由f(x)为偶函数，且当x<0时f(x)为增函数，可得函数图象上点离对称轴越远，函数值越小，所以f(－x 1)>f(－x 2)．8．C f(x)在[－1,1]上是增函数且f(－12)·f(12)<0，故f(x)在[－12，12]上有唯一实根，所以f(x)在[－1,1]上有唯一实根． 9．D 取m ＝0有f(x)＝－3x ＋1根x ＝13>0，即m ＝0应符合题设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，它根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D.10．D f(x)＝－(x －a)2＋4(x －a)＋5＝－(|x －a|)2＋4|x －a|＋5，令|x －a|＝t ，得g(t)＝－t 2＋4t ＋5，对称轴为x ＝2，结合图形可得a∈(－∞，－1]∪[2,3]．11．－1或 3 由－x ＋2＝3，得x ＝－1；由x 2＝3，得x ＝3(－1<x<2)．12．(－1,1) f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|，f(2)＝2；f(－m 2－1)＝|1＋m 2|2－|1＋m 2|，由题意|1＋m|2－|1＋m 2|－2<0，得－1<|1＋m 2|<2，即|1＋m 2|<2，解得－1<m<1.13．－2<k<－1或3<k<4 设f(x)＝7x 2－(k ＋13)x ＋k 2－k －2，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧ f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ k<－1或k>2，－2<k<4，k<0或k>3.∴－2<k<－1或3<k<4.14．①④ 对②由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(2－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)．∴周期为2.而不能判断其关于直线x ＝1对称；对③没有说明x 1，x 2为定义域内任意两个值．15．解：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x＋14≤1，－1≤x－14≤1，∴－34≤x≤34.∴函数f(x)定义域为{x|－34≤x≤34}． 16．解：如下图，AB ＝2R ，C 、D 在⊙O 半圆周上．设腰长AD ＝BC ＝x ，作DE⊥AB，垂足为E ，连结BD ，那么∠ADB 是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.∴AD 2＝AE·AB，即AE ＝x 22R. ∴CD＝AB －2AE ＝2R －x 2R. ∴y＝2R ＋2x ＋(2R －x 2R)， 即y ＝－x 2R＋2x ＋4R. 再由⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，x 22R>0，2R －x 2R >0，解得0＜x ＜2R.∴周长y 与腰长x 函数式为y ＝－x 2R＋2x ＋4R ，定义域为(0，2R)．17．解：(1)∵f(x)＋2x>0解集为(1,3)，∴f(x)＋2x ＝a(x －1)(x －3)，且a<0.∴f(x)＝a(x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a)x ＋3a.又由方程f(x)＋6a ＝0有两个相等实根可得方程ax 2－(2＋4a)x＋9a ＝0有两个相等根，∴Δ＝5a 2－4a －1＝0，∴a＝1或a ＝－15. 又a<0，∴a＝－15. ∴f(x)＝－15(x 2＋6x ＋3)．(2)由f(x)＝ax 2－2(1＋2a)x ＋3a ＝a(x －1＋2a a )2－a 2＋4a ＋1a，及a<0，可得f(x)最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a<0，解得a<－2－3或－2＋3<a<0.∴a 取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．18．解：(1)如以下图，从图象发现：(35,57)，(40,42)，(45,27)，(50,12)似乎在同一直线上，为此假设它们共线于直线l ：y ＝kx ＋b ，先由(50,12)，(40,42)确定出l 解析式y ＝162－3x ，再通过检验知道，点(45,27)，(35,57)也在此直线上，∴x 与y 一个函数关系式为y ＝162－3x.(2)依题意有：P ＝xy －30y ＝x(162－3x)－30(162－3x)＝－3(x －42)2＋432，∴当x ＝42时，P 有最大值432.即销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润．19．解：(1)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2. 设任意x 1<x 2∈[1，＋∞)，那么f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋12x 1＋2－x 2－12x 2－2＝x 1－x 2＋x 2－x 12x 1x 2＝(1－2x 1x 2)(x 2－x 1)2x 1x 2. ∵x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，∴1－2x 1x 2<0，x 2－x 1>0.∴f(x 1)－f(x 2)<0.∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．∴f(x)在区间[1，＋∞)上最小值为f(1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x∈[1，＋∞)，∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a.于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，f(x)>0恒成立，故a>－3.。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）２.１.３函数的单调性【目标要求】1．理解函数的单调性的概念．2．掌握判断和证明函数单调性的方法． 3．会求某些函数的单调区间．【巩固教材——稳扎马步】 1．下列命题正确的是 （ ） Ａ．2x y =在Ｒ上是单调递增函数 Ｂ．ｙ＝x1在()()+∞⋃∞-,00,上是减函数 Ｃ．函数ｙ＝ｘ２和ｙ＝｜ｘ｜的单调性相同 Ｄ．ｙ＝ａｘ＋１（ａ≠０）是单调递增函数2．下列函数中,在()0,∞-上为减函数的是 ( ) A ．ｙ＝3x Ｂ．3x y = Ｃ．ｙ＝321x Ｄ．2x y =3．设函数b x a x f +-=)12()(在Ｒ上是减函数，则有 （ ） Ａ．21≥a Ｂ．21≤a Ｃ．21.->a Ｄ．21<a 4．若3=y 42+-x 的最大值和最小值分别分别为Ｍ和ｍ，则Ｍ＋ｍ＝ （ ） Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．33【重难突破——重拳出击】 5．关于ｙ＝11-x 的单调性的说法，正确的是 （ ）Ａ．在定义域内单调递减Ｂ．在()0,∞-上递减，在()+∞,0上递增 Ｃ．在()0,∞-上递减，在()+∞,0上也递减 Ｄ．除ｘ＝１外在()+∞∞-,上递减6．函数)(x f 在定义域[]4,3-内是增函数，且有>---)1()12(m f m f ０，则ｍ的取值范围是 （ ） Ａ．ｍ＞32 Ｂ．ｍ＜32 Ｃ．2532≤<m Ｄ．321m <- 7．已知函数)(x f 在Ｒ上是递减函数，b a , R ∈且0≤+b a ，则有 （ ） Ａ．)()(b f a f + ≤０ Ｂ．)()(b f a f +≥０Ｃ．)()(b f a f +≤)()(b f a f -+- Ｄ．)()(b f a f +≥)()(b f a f -+-8．已知函数)(x f 在区间[]5,1-上具有单调性，且有)5()1(f f -＜０，则方程0)(=x f 在区间[]5,1-上 （ ） Ａ．至少有一个实根 Ｂ．至多有一个实根Ｃ．没有实根 Ｄ．必有唯一实根9．已知函数ｙ＝)(x f 在(,)-∞+∞上单调递减，则函数(|2|)y f x =+的单调递减区间是 （ ）Ａ．(,)-∞+∞ Ｂ．(],2-∞- Ｃ．[)2,+∞ Ｄ．[)2,-+∞ 10．设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下４个命题：①．若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f －)(x g 单调递增； ②．若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f －)(x g 单调递增； ③．若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f －)(x g 单调递减； ④．若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f －)(x g 单调递减．其中，正确的命题是 （ ） Ａ．①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④11．函数||)(x x f =和)(x g ＝)2(x x -的递减区间依次是 （ ） Ａ．(][)+∞∞-,1,0, Ｂ．(](]1,,0,∞-∞-Ｃ．[)(]1,,,0∞-+∞ Ｄ．[)[)+∞+∞,1,,012．若函数)(x f ＝b b x a +-||在[)+∞,0上为增函数，则 （ ）Ａ．0,0≥<b a Ｂ．0,0≤>b a Ｃ．0,0<≥b a Ｄ．0,0≤<b a【巩固提高——登峰揽月】 13．给出下列命题：①．若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数； ②．若)(x f 为减函数，则2)]([x f 为增函数； ③．若)(x f 为增函数，则2)]([x f 为增函数；④．若)(x f 为增函数，)(x g 为减函数，且g ［)(x f ］和f ［)(x g ］都有意义，则g ［)(x f ］和ｆ［)(x g ］都为减函数．其中正确命题的序号是 ． 14．讨论函数)(x f ＝xax +（ａ＞０）的单调性．【课外拓展——超越自我】15．求函数)(x f ＝30|10|--x a （0≠a ）单调区间．16．已知函数ｙ＝)(x f 的定义域是()+∞,0，满足)2(f ＝１，且对任意正实数ｘ，ｙ都有)()()(y f x f xy f ==：（１）．求)4(),1(),0(f f f ；（２）．求不等式2)3()(>--x f x f 的解集．２.１.３函数的单调性题号 1 234 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ＣＤ DＢCＣDDＤCAＢ13．④14．先讨论)(x f 在()+∞,0上的单调性，设021>>x x ，则)()(21x f x f -＝（11x a x +）－（22x ax +）＝（21x x -）（211x x a-）． 当a x x >>21时， 1021<<x x a ，且021>-x x ，∴0)()(21>-x f x f ，故)(x f 在()+∞,a上是增函数；同理：)(x f 在[)+∞-,a 上也是增函数，在[)(]a a ,0,0,-上是减函数．15．)(x f ＝⎩⎨⎧<-+-≥--)10(3010)10(3010x a ax x a ax ，所以当ａ＞０时，)(x f 在[)+∞,10单调递增，在()10,∞-单调递减；当ａ＜０时，)(x f 在[)+∞,10单调递减，在()10,∞-单调递增．16．（１）由)()()(y f x f xy f +=，令ｘ＝ｙ＝０，则)0()0()0(f f f +=所以)0(f ＝０，令ｘ＝ｙ＝１，则)1()1()1(f f f +=，所以0)1(=f ，令ｘ＝ｙ＝２，则212)2(2)22()4(=⨯==⨯=f f f ；（２）由)(x f －)3(-x f ＞２，)4(f ＝２得)(x f ＞)3(-x f ＋)4(f ，所以)(x f ＞))3(4(-x f ．又)(x f 在()+∞,0上是增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧->>->)3(4030x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧<>>430x x x 所以３＜ｘ＜４即不等式解集为{}43|<<x x。

一、选择题1．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[]0,1D ．[]1,22．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤< B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <3．若函数()f x =在[]1,3-上具有单调性，则实数a 的可能取值是（ ）A ．4-B ．5C ．14D ．234．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．52B ．1C ．0D ．-15．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （ ） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值83，最小值1 C ．有最大值3，无最小值D ．有最大值83，无最小值 6．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（ ） A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-7．已知函数()3221x f x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<8．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞9．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（ ） A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞10．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11x -≤≤时，()13131x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）A ．()2018fB ．()2019fC ．()2020fD ．()2021f11．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-二、填空题13．关于函数21()11x f x x -=+-的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.14．若函数f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(,1]-∞，则a=_____.15．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2x g x f f x =+-的定义域是________.17．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．18．当12x x ≠时，有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称函数()f x 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是__________． ①y x =②||y x =③2y x ④2log y x =19．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，则不等式()()f x f x >-的解集为_______________．20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题21．已知函数2()f x x bx c =++的图象经过坐标原点，且()1y f x =+为偶函数． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤；（3）记函数|()2|y f x x m =--在区间[]0,4的最大值为()G m ，直接写出()G m 的最小值．22．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 23．已知函数()x af x x+=（a 为常数），其中()0f x <的解集为()4,0-. （1）求实数a 的值；（2）设()()g x x f x =+，当()0x x >为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值. 24．已知二次函数()2f x ax bx =+满足()20f =，且方程()f x x =有两个相等实根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .若存在，求,m n 的值，若不存在，请说明理由. 25．已知函数()()kf x x x R x=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；（2）用定义证明()f x在区间)+∞上单调递增.26．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数； （3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 求得()42f x x x x=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数()224f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.设()()42f x g x x x x==+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.任取1x 、[)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，()()()1212121212444422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.2．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.3．C解析：C 【分析】令函数()218g x x ax =-++，则只需使当[]1,3x ∈-时，()0g x ≥且单调，然后针对()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩两种情况讨论求解. 【详解】由题意可设()218g x x ax =-++，则当[]1,3x ∈-时，()218g x x ax =-++单调，且()0g x ≥恒成立，因为()218g x x ax =-++的对称轴方程为2a x =， 则()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1230ag ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩，解得617a ≤≤或32a --≤≤，即[][]6,173,2a ∈--，则只有14满足题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，解答时注意不仅要使原函数在所给区间上单调，且必须使原函数在所给区间上有意义.4．B解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】 设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 5．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由图象可知，函数()f x 有最大值83，无最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.6．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+，()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭， 即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.7．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.8．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.9．A解析：A 【分析】根据,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.【详解】由,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，得()()()222,[2,1]24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩，当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]， 当(1,)(,2)x ∈+∞-∞-，()2()154g x x =-++<，可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.10．D解析：D 【分析】利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、()2020f 、()2021f 中最小值.【详解】(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．又)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．(2)(2)0f x f x --+-=，(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故(2021)f 最小．故选：D【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.11．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ， 综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.12．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤． 故选：B ．二、填空题13．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数21()x f x -=21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()11f x x x==+-，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14．【分析】根据函数f(x)=(x ＋a)(bx ＋a)(常数ab ∈R)是偶函数利用得到进而得到或然后分类讨论即可求解【详解】函数f(x)=(x ＋a)(bx ＋a)(常数ab ∈R)是偶函数明显可知该函数定义域 解析：±1【分析】根据函数f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，利用()()f x f x -=，得到(1)0a b +=，进而得到0a =或1b =-，然后，分类讨论即可求解【详解】函数f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，明显可知，该函数定义域为x ∈R ，令1x =和1x =-得(1)(1)()f a b a =++(1)(1)()f a a b =-=--，得22a b ab a a ab a b +++=--+⇒a ab ab a +=--(1)0a b ⇒+=，可得0a =或1b =-；若0a =，则2()f x bx =，若0b >，不满足()f x 的值域为(,1]-∞，0b =，明显不成立，0b <时，不满足()f x 的值域为(,1]-∞，所以，0a =时，不符题意；若1b =-时，22()()()f x x a a x a x =+-=-，由于20x -≤，则2()f x a ≤，所以，21a =，求得1a =±故答案为：±1 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用()()f x f x -=，得到(1)0a b +=，然后，分别讨论0a =和1b =-两种情况进行分类讨论，主要考查学生分类讨论的思想，难度属于中档题 15．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函 解析：[1,2]【分析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的 解析：()0,2【分析】根据题意，得到函数()g x 满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<，即函数()g x 的定义域为()0,2. 故答案为：()0,2. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.17．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间 【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞- 故答案为：33(,],[0,]44-∞- 【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题18．③【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数如①不满足严格下凸函数的定义对于②当同号时相等不满足定义；对于③作差可知对于④因为所以不正确故选③点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较属于创新题有一定难度解析：③按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如①121222x x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()121222f x f x x x ++=，不满足严格下凸函数的定义，对于②，121222x x x xf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()121222x x f x f x ++=，当1x ，2x 同号时，相等，不满足定义；对于③2121222x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()22121222f x f x x x ++=，作差可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，对于④12122l 22x xx x f og ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()122122212l l 1l 222f x f x og x og x og x x og ++===，因为122x x +>不正确，故选③.点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较，属于创新题，有一定难度.解决此类问题时，要紧扣新给出的定义、法则、运算，然后去甄别那些符合这些要求，本题在给出严格下凸函数的定以后，要去应用定义，看看那个函数符合这一要求，解题中遇到大小比较时可以作差比较.19．【分析】由表达式可知函数为奇函数则等价转换为解不等式即可【详解】因为当时则；同理当时又综上所述为奇函数则即当时解得；当时解得故的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查由分段函数解不等式函数奇偶性 解析：()()2,02,-+∞【分析】由表达式可知，函数()f x 为奇函数，则()()f x f x >-等价转换为()0f x >，解不等式即可 【详解】因为2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，当0x >时，0x -<，则()()()2222f x x x x x -=----=-+，()()f x f x -=-；同理当0x <时，()()()220,22x f x x x x x ->-=---=+，()()f x f x -=-，又()00f =，综上所述()f x 为奇函数，则()()()()f x f x f x f x >-⇔>-，即()20f x >，当0x >时，()2020f x x x >⇔->，解得2x >；当0x <时，()2020f x x x >⇔-->，解得20x -<<，故()()f x f x >-的解集为()()2,02,-+∞故答案为：()()2,02,-+∞方法点睛：本题考查由分段函数解不等式，函数奇偶性的判断，常用以下方法： （1）对于分段函数判断奇偶性可用定义法，也可采用数形结合法，结合图象判断； （2）由函数性质解不等式可采用代数法直接运算求解，也可结合函数图象求解.20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）2()2f x x x =-；（2）证明见解析；（3）,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩，()G m 的最小值为2． 【分析】（1）由题意得，(0)0f =，再由偶函数的图象关于y 轴对称，求得,b c ，可得出函数的解析式；（2）原问题等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，求得()2f x x -的范围，即可得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，讨论m 的大小并结合二次函数的图象进行分析； 【详解】（1）由题意得，(0)0f =，即0c ，所以2()f x x bx =+，()22+2+++(+1)(+1)(1+1)f x x b x x b x b =+=，因为()1y f x =+为偶函数，所以202b+-=，即2b =-， 所以2()2f x x x =-；（2）对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，则当[][]0,4,()4,0x g x ∈∈-，即对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，故得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，当4m ≤-时，由（2），因为对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，则此时2(2)40x m ---≥，即有2(2)4,y x m =---，故0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-；当42m -<<-时，如图，由图，可得此时在0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-； 当2m ≥-时，如图或，由图，可得此时在2x =时，y 有最大值，即()4G m m =--，综上,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩；当2m <-时，()2G m >，当2m ≥-时，()2G m ≥， 故()G m 的最小值为2． 【点睛】方法点睛：解决关于二次函数在某区间上的值域时，注意讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，再根据二次函数的单调性得出最值. 22．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k=-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围； （3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n=⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值.【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a bb a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+（2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k=- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意当12k >时，1012k<-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围. 23．（1）4a =；（2）当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【分析】（1）利用不等式的解集，推出对应方程的根，然后求解a ． （2）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可． 【详解】（1）因为()00x af x x+<⇔<的解集为()4,0-， 故()0x af x x+==一个根为-4， 404a-+=- 得4a =（2）()()441x g x x f x x xx x+=+=+=++ 因为0x >，所以4115x x ++≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号；所以当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 24．（1）()212f x x x =-+；（2）存在，4,0m n =-=. 【分析】（1）由()20f =得到,a b 的关系，根据()f x x =有两个相等实根求b ，即可写出()f x 的解析式；（2）将()f x 函数式化为顶点式知16n ≤，进而有[],m n 在1x =的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在,m n 值. 【详解】（1）由()20f =得：420a b +=①；由()f x x =有等根得：()210ax b x +-=有等根，∴()210b ∆=-=，得1b =，将1b =代入①得：12a =-， ∴()212f x x x =-+； （2）()()221111222f x x x x =-+=--+， ∴132n ≤，即16n ≤，而()f x 对称轴为1x =，即[],m n 在1x =的左边， ∴由二次函数的性质知：()212f x x x =-+在区间[],m n 上单调递增， 则有()3()3m n f m m f n n <⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4,0m n =-=，故存在实数4,0m n =-=，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n . 【点睛】关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性. 25．（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题得122k k +=+，解方程即得解； （2）利用定义法证明函数在区间)+∞上单调递增.【详解】 （1）由()()12f f =得122k k +=+， 解得2k =，所以()2f x x x=+（2）21x x ∀>> ()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭ ()()1221122x x x x x x -=-，∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >，∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x在区间)+∞上单调递增. 【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论. 26．（1）()()20f x x x x =-+≠；（2）证明见解析；（3）()max 1f x =-，()min 235f x =-. 【分析】 （1）将点坐标代入解析式，求出,a b 的值；（2）设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，判断()()12f x f x >即可；（3）利用函数的单调性，将端点值代入，即可得答案；【详解】（1）由()f x 的图象过A 、B ，则1212a b b a +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ()()20f x x x x=-+≠. （2）证明：设任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <， ∴()()()12122112122222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2121122112122=2x x x x x x x x x x x x --+-+= 由1x ，()20,x ∈+∞，得120x x >，1220x x +>. 由12x x <，得210x x ->. ()()12 0f x f x ∴->，即()()12f x f x >.∴函数()f x 在()0,∞+上为减函数.（3）由（2）知函数为减函数，∴()()max 21f x f ==-，()()min 2355f x f ==-. 【点睛】 利用待定系数法求函数的解析式，利用定义证明函数的单调性注意取值的任意性，及作差、因式分解、判断符号的步骤.。

一次函数的性质与图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数y ＝ax 2＋x b －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2【解析】 若函数为一次函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b －1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.b ＝2.【答案】 C2．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20)【解析】 ∵每小时的排水量为3 m 3，t 小时后的排水量为3t m 3，故水池中剩余水量Q ＝60－3t ，且0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.【答案】 B3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )【解析】 对于A ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a >0，y 1和y 2中的a 、b 符号分别相同，故正确；对于B ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a >0，故不正确； 对于C ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a <0，故不正确；对于D ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a <0，故不正确． 【答案】 A4．过点A (－1,2)作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【解析】 当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A 与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．【答案】 B5．已知一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不经过第三象限，化简a 2－4a ＋4＋a 2－6a ＋9的结果是( )A ．2a －5B ．5－2aC ．1D ．5【解析】 ∵一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不过第三象限，∴a －2<0，∴a <2. ∴a 2－4a ＋4＋a 2－6a ＋9＝|a －2|＋|a －3| ＝(2－a )＋(3－a ) ＝5－2a . 故选B. 【答案】 B 二、填空题6．一次函数f (x )＝(1－m )x ＋2m ＋3在[－2,2]上总取正值，则m 的取值范围是________.【导学号：97512020】【解析】 对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋2m ＋3>0，2－2m ＋2m ＋3>0.解之，得m >－14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 7．已知函数y ＝x ＋m 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25，则m ＝________. 【解析】 函数与两坐标轴的交点为(0，m )，(－m,0)， 则S △＝12m 2＝25，∴m ＝±5 2. 【答案】 ±5 28．已知关于x 的一次函数y ＝(m －1)x －2m ＋3，则当m ∈________时，函数的图象不经过第二象限．【解析】 函数的图象不过第二象限，如图．所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，－2m ＋3≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥32，故m ≥32.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 三、解答题9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图2­2­2所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．图2­2­2【解】 设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0. 由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧630＝40k ＋b ，930＝50k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝－570.∴函数解析式为y ＝30x －570. 令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19. ∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg. 10．已知函数y ＝(2m －1)x ＋2－3m ，m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数；(3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.【导学号：97512021】【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≠0，2－3m ＝0；得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠12，m ＝23.即m ＝23；(2)当2m －1≠0时，函数为一次函数，所以m ≠12；(3)由题意知函数为减函数， 即2m －1<0，所以m <12；(4)直线y ＝x ＋1与x 轴的交点为(－1,0)，将点的坐标(－1,0)代入函数表达式，得－2m ＋1＋2－3m ＝0，所以m ＝35.[能力提升]1．已知kb <0，且不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，则函数y ＝kx ＋b 的图象大致是( )A B C D【解析】 由kb <0，得k 与b 异号，由不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，知k >0，所以b <0，因此选B.【答案】 B2．如图2­2­3所示，在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6,4)．若直线l 经过点(1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是( )【导学号：60210048】图2­2­3A ．y ＝x ＋1B ．y ＝13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝x －1【解析】 设D (1,0)，∵直线l 经过点D (1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分， ∴OD ＝BE ＝1，∵顶点B 的坐标为(6,4)， ∴E (5,4)，设直线l 的函数解析式是y ＝kx ＋b ， ∵直线过D (1,0)，E (5,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，5k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.∴直线l 的解析式为y ＝x －1.故选D. 【答案】 D3．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73，∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.【答案】 f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋734．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f (x )的解析式，并求f (x )的最小值．【解】 在同一坐标系中作出函数y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2的图象，如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，即A (－2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即B (1，－2)．根据图象，可得函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x <－2，－2，－2≤x ≤1，x －3，x >1.由上述过程及图象可知，当－2≤x ≤1时，f (x )均取到最小值－2.。

双基达标(限时20分钟)1．下列命题正确的是()．A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2解析由单调性的定义和性质判断知A、B、C都错．答案 D2．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为()．A．2 B.1 2C.13D．－12解析∵函数y＝1x－1在[2,3]上是减函数，∴x＝3时，y min＝12.答案 B3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是()．A．f(x)＝x B．g(x)＝－2xC．h(x)＝－3x＋1 D．s(x)＝1 x解析函数g(x)＝－2x与h(x)＝－3x＋1，在R上都是减函数，s(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数．答案 A4．函数y＝|3x－5|的单调减区间为________．解析∵f (x )＝|3x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －5，x ＞53，－3x ＋5，x ≤53，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，53]． 答案 (－∞，53]5．已知函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则f (2)________f (x 2－4x ＋6)． 解析 ∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，且f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)≤f (x 2－4x ＋6)．答案 ≤ 6．证明函数f (x )＝xx 2＋1在(0,1)上是增函数． 证明 对任意x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 22＋1－x 1x 21＋1＝x 2(x 21＋1)－x 1(x 22＋1)(x 22＋1)(x 21＋1) ＝x 2x 21＋x 2－x 1x 22－x 1(x 22＋1)(x 21＋1)＝(1－x 1x 2)(x 2－x 1)(x 22＋1)(x 21＋1). 因为0＜x 1＜x 2＜1时，x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0，则f (x 2)－f (x 1)＞0，所以函数f (x )＝xx 2＋1在(0,1)上是增函数．综合提高 (限时25分钟)7．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )＞f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析 由2m ＞－m ＋9得m ＞3. 答案 C8．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a ∈R ，则( )． A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a )解析 由于a 2＋1＞a 恒成立，又f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数 ∴f (a 2＋1)＜f (a )，其余当a ＝0时，均不成立． 答案 D9．二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 二次函数对称轴为x ＝a ，由二次函数图象知，函数在(－∞，a ]上单调递减，∴2≤a .答案 [2，＋∞)10．函数f (x )＝－5x 的单调递增区间是________． 答案 (－∞，0)和(0，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x ，x ∈[2，＋∞)，求f (x )的最小值．f (x )有最大值吗？解 f (x )＝x ＋3x ＋2，x ∈[2，＋∞)，对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3x 2＋2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 1－3x 2 ＝(x 1－x 2)＋3(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·(x 1x 2－3)x 1x 2，∵2≤x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，∴x 1x 2－3>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴x ＝2时，y min ＝22＋2×2＋32＝112.函数f(x)没有最大值．12．(创新拓展)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，已知函数的部分图象如图，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，并观察回答，在函数图象对称轴两侧的单调性有何特点？解函数y＝f(x)在[－4,8]上的图象如图，函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]递减区间是[5,8]，[－1,2]．区间[－4，－1]与[5,8]关于直线x＝2对称，单调性相反．区间[－1,2]与[2,5]关于直线x＝2对称，单调性相反．。

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函数的应用（Ⅰ)（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x（副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）A．200副B．400副C．600副D．800副【解析】由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】D2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.错误!B。

错误!C.pqD.p＋1q＋1－1【解析】设年平均增长率为x，则有（1＋p)（1＋q)＝（1＋x）2,解得x＝错误!－1.【答案】D3．国家购买某种农产品的价格为120元/担，其征税标准为100元征8元，计划可购m万担．为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点．则税收f （x）(万元)与x的函数关系式为( ）A．f（x）＝120m（1＋2x%)(8－x)％（0<x≤8）B．f（x)＝120m(1＋2x)％（8－x）％（0<x≤8）C．f（x）＝120m(1＋2x）％(8－x％）（0〈x≤8）D．f（x)＝120m（1＋2x％)（8－x％）（0<x≤8)【解析】调节税率后税率为(8－x）%，预计可收购m(1＋2x%）万担，总费用为120m（1＋2x%）万元，可得f(x)＝120m(1＋2x%）(8－x)％（0〈x≤8)．【答案】A4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟）为f（x)＝错误!（A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是（）A．75，25 B．75,16C．60,25 D．60,16【解析】由题意知,组装第A件产品所需时间为错误!＝15，故组装第4件产品所需时间为错误!＝30，解得c＝60.将c＝60代入错误!＝15，得A＝16.【答案】D5．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走,那么（)A．此人可在7 s内追上汽车B．此人可在10 s内追上汽车C．此人追不上汽车，其间距最少为5 mD．此人追不上汽车，其间距最少为7 m【解析】设汽车经过t s行驶的路程为s m，则s＝错误!t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝错误!t2－6t＋25＝错误!（t－6）2＋7。

【高中数学新人教B 版必修1】2.1.3《函数的单调性》测试(一)选择题1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数[] A．(1)和(2) B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A kB kC kD k ．＞．＜．＞－．＜－121212124．如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是2(1)y |x|(2)y (3)y (4)y x (0)．函数＝，＝，＝－，＝＋中在－∞，上为增函数的有||||||x x x x xx 2[ ]A (]B [)C (]D [)．－∞，．，＋∞．－∞，－．－，＋∞343434346．若y ＝f(x)在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A y (a b)．＝在区间，上是减函数1f x ()B ．y ＝－f(x)在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f(x)|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f(x)|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f(a)＞f(2a)B ．f(a 2)＜f(a)C ．f(a 2＋a)＜f(a)D ．f(a 2＋1)＜f(a)(二)填空题1y 2y ．函数＝的单调递减区间是．．函数＝的单调递减区间是．1111--+x xx3．函数y ＝4x 2－mx ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________．4y 5y ．函数＝的增区间是．．函数＝的减区间是．542322--+-x x x x6．函数f(x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f(x)的单调递减区间是________．7．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a 2－a ＋1)与之间的大小关系是．．若＝，＝－在，＋∞上都是减函数，则函数＝f(34)8y ax y (0)y bxax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________函数(填增还是减)． (三)解答题1f(x)x f(x)(4)2f(x)x +b(a b)．已知函数＝＋，证明在－∞，上是增函数．．研究函数＝＞的单调性．27-+x x a3．已知函数f(x)＝2x 2＋bx 可化为f(x)＝2(x ＋m)2－4的形式．其中b ＞0．求f(x)为增函数的区间．4．已知函数f(x)，x ∈R ，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x 1＜0，x 2＞0且x 1＋x 2＜－2，试比较f(－x 1)与f(－x 2)的大小关系．参考答案(一)选择题 1．(B)．2(C)x (0)y =x y =(x)x=1．．解：当∈－∞，时－为减函数．－－为常数函数．－为增函数．＋－为增函数．∴③、y ==x y =x =x 1x x xx 2||||④两函数在(－∞，0)上是增函数．3．(B)．解：若y=(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则2k －1＜0⇒k (B)＜．选．124(B)x =4a 3．．解：对称轴－－≥≤－．212()a ⇒ 5(B)y =2x 3x 1x ==342．．解：－＋＋开口向下，对称轴－－，322()增区间为，＋∞．[34)6．(B)．解：可举一例y=x 在x ∈(－∞，＋∞)上是增函数，从而否定了(A)、(C)、(D)．∴选(B)．7(D)a 1a =(a )0a 1a 222．．∵＋－－＋＞，∴＋＞，∵在－1234f x ()(∞，＋∞)上为减函数，∴f(a 2＋1)＜f(a)，选(D)． (二)填空题1．(－∞，1)和(1，＋∞)2(1)(1)y =1x 1x =1．－∞，－和－，＋∞，解－＋－＋＋，可得减21x区间是(－∞，－1)和(－1，＋∞)．325=2m =16y =4x 16x 2．．解：由题意得－－－－，∴＋＋m8⇒5，故f(1)=25．4[52]54x x 05x 1x 4x 22．－，－．解：由－－≥≤≤，函数－－＋⇒5x ==2[52]的对称轴是－－－－，∴增区间是－，－．425(3]x 2x 30x 3x 12．－∞，－．解由＋－≥≤－或≥．易得减区间⇒是(－∞，－3]．6．[－1，1]．解：令t=x ＋1，∵－2≤x ≤0，∴－1≤t ≤1，∴f(t)=(t －1)2－2(t －1)＋1=t 2－4t ＋4，即f(x)=x 2－4x ＋4=(x －2)2在区间[－1，1]上是减函数．7f(a a 1)f(34)a a 1=(a )0222．－＋≤．解：∵－＋－＋≥＞，而123434f(x)(0)f(a a 1)f(34)2在，＋∞上是减函数，∴－＋≤8．减解；由已知得a ＜0，b ＜0，二次函数y=ax 2＋bx 的抛物线开口向下，对称轴－＜，∴函数在，＋∞上是减函数．x =0y (0)ba2 (三)解答题1x x (]x x 1212．证：任取两个值，∈－∞，且＜．74∵－－＋－－－－＋f(x )f(x )=x x =x x 1212122212x xx x x x x x x x 211212122222122－－＋－－·－＋－－－＋－．=(x x )12∵＜≤，∴－＞，－≥，∴－＋－x x 1274212212221212x x x x＞1，x 1－x 2＜0．∴－－＋－－－＋－＜(x x )2x 2x 0121121222x x∴＜故在－∞，上是增函数．f(x )f(x )f(x)(]12742f(x)=x b =1a b a b 0f(x)．解：＋＋－＋＋－＋．∵＞，∴－＞，∴a b x b a bx b在区间(－∞，－b)和(－b ，＋∞)上都是减函数． 3．解：∵f(x)=2(x ＋m)2－4=2x 2＋4mx ＋2m 2－4．由题意得2x 2＋bx=2x 2＋4mx ＋2m 2－4，对一切x 恒成立，比较等式两边对应项的系数得且－，∵＞，∴．故＋＋－，增区间是－，＋∞．b =4m 2m 4=0b 0b =42f(x)=2x 42x =2(x )4[22222)4．解：∵x 1＜0，x 2＞0，x 1＋x 2＜－2，∴－x 1＞2＋x 2＞1，即－x 1，2＋x 2∈[1，＋∞)，又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(－x 1)＞f(2＋x 2)，又由f(1＋x)=f(1－x)，得f(2＋x 2)=f[1＋(1＋x 2)]=f[1－(1＋x 2)]=f(－x 2)．∴f(－x 1)＞f(－x 2)．。