成都电子科技大学电磁场与电磁波结课练习题

练 习 题1. 若采用库仑规范A 来代替洛仑兹规范，求电磁场的标量位 和矢量位A所满足的方程。

2. 已知电偶极矩的矢量磁位jkre rp j A 40 ，求所产生的磁场表达式。

3. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若0 ，0 J ，则E 和B可完全由矢势A 决定。

若取0 ，这时A满足哪两个方程？4. 电偶极子和小电流环(磁偶极子)是两种应用极其广泛的电磁波辐射器,已知电偶极子远区辐射场为 jkre r l I j E 002sin ,jkr e r l I jH 2sin，请根据对偶原理,写出小电流环(磁偶极子)远区辐射场表达式。

如果电偶极子和小电流环的长度相同，电流相等，电偶极子和小电流环的辐射能力哪个强，并说明产生这一差别的物理原因。

5. 设有电流元构成的天线（称为元天线）的轴线平行于地平面，在远方有一移动接收电台接收元天线发射的电磁波。

当电台沿以元天线为中心的圆周在地平面上移动时，于正东方收到的信号（对应于电场强度）最强，试求：(1)元天线的轴线沿何方向;(2)移动电台偏正东方向多少角度,接收的电场强度减小到最大值的21(不考虑地面的互耦)？ 6. 上题中，元（发射）天线如何放置，才能使电台接收信号（场强）保持不变？又若电台的接收天线也使用电流元（天线），则两个天线如何放置，才可以使接收效果最佳？7. 长度为0.1m 的电偶极矩m c a t p z)102sin(1079 ，求磁偶极子的电流8. 与地面垂直放置的电偶极子作为辐射天线，已知C q 70103 ，m Z 1 ，MHz f 5.0 ，分别求与地面成40角，距偶极子中心分别为6m 和60km 处的E 和H表达式。

9. 在垂直于基本电振子天线的轴线方向上，距离100km 处，为得到电场强度振幅值不小于100)/(m V ，问天线至少应辐射多大的功率？10. 已知某电流元的Hz f A I m z 60103510 ，，，求它的辐射功率和辐射电阻。

11. 已知自由空间中一半波对称振子的远区最大辐射方向上10km 处的电场强度振幅为0.01V/m ，辐射电磁波的工作频率为300MHz 。

(1) 求该半波对称振子的单臂长度合辐射功率(2) 写出改半波对称振子的远区辐射场量的瞬时表达式及平均功率密度矢量表达式。

12. 设一交变电流t I I cos 0通过线段元dl ，dl 位于坐标远点O 且沿z 轴。

试求在辐射区域内任一点在任意时刻的矢势A 、电场E ，磁场B和平均功率P13. 一天线长5m ，所载电流的方均根值为5A ，频率为1000kHz 。

求单位时间内辐射能量的平均值。

14. 在二元天线阵中，阵元间距离4d ，电流振幅相同，相位差0 ，求阵函数。

15. 自由空间中由两个半波对称振子构成的二元阵，间距4d ，且12m m I I 。

求此二元阵的归一化方向图函数。

16. 由三个间距为2的各向同性元组成的三元阵，各单元天线上电流的相位相同，且振幅之比为1：2：1，试讨论该天线阵的方向图。

17. 自由空间中,等幅同相激励的四个电流源组成一四元均匀直线阵, 天线元间距为2,求该四元均匀直线阵的归一化方向图函数。

18. 五直线阵,其中心连线单元边射阵，天线元间距为2，各天线元上的电流振幅按1:2:3:2:1的比例分布。

试确定阵因子和归一化方向图。

19. 均匀直线式天线阵的元件距2/ d ，如要求它的最大辐射方向在偏离天线阵的轴线60 的方向，问单元之间的相位差应为多少？20. 利用卡森互易定理证明紧靠在理想导体表面上的切向电流元无辐射场。

参考答案1. 解：设A B代入麦克斯韦方程tBE得0)( tAE所以，可设 tAE 即 tAE 将以上两式代入麦克斯韦方程t DJ H，并利用恒等式A A A 2)( • ，得)(222t A J tA A •若采用库仑规范0 • A ，则矢量位A满足方程)(222t J tA A在均匀、线性、各向同性媒质中，将媒质本构关系代入麦克斯韦方程 • D，得 •• • • • 2)(A tt A E E D则• A t 2若采用库仑规范0 • A，则标量位 满足方程2. 解：已知矢量磁位jkre rp j A 40因A B，利用恒等式F u F u F u )(有p r e p r e j p r e j B jkr jkrjkr 4400 考虑到p 为常矢量，0 p，所以p e e kr j kr k p r kr j ke j r j p r r ke j r r e j p e rr e j B r jkr jkr jkrjkr jkrjkr220020011411)(441143. 解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若0 ，0 J，则麦克斯韦方程组为• • 00B E t E B t B E其中已利用E D ，H B。

若采用洛仑兹规范012 • tc A ，满足的方程为 012222 tAc A012222tc式中 /1 c ，其平面波解为)(0t kr j e A A，)(0t kr j e 。

由于 A k i A • • ，i t根据洛仑兹规范0)1(122 • •cA k i t c A得 A k c•2 那么 A k i A B])()([2A k k A k k c i A i k i t A E• •B k c A k k c i22)(取0 ，A所满足的方程为 012222 tAc A0 •A k4. 解：根据对偶原理：， ，m I I，m E H ，m H E可以得到小电流环的远区辐射场为jkr mm e r l I j E 2sinjkr mm e r l I j Hsin 2电偶极子的辐射电阻为2280dl R e小电流环的辐射电阻为46320a R m依题意设他们的长度为L ，所以2L a4246202320L L R m 作为天线， L ，因而e m R R 。

因此电偶极子的辐射能力比小电流环的辐射能力强，从物理学上，因为小电流环上的电流方向不一致，导致其产生辐射场有部分互相抵消，从而削弱了整个辐射场。

5. 解：电流元的方向性函数为 sin f （ 为场点到电流元中心连线与电流元轴线沿电流流动方向之间的夹角），2m （垂直于轴线方向）时，辐射最强；0 或（平行于轴线方向）时，无辐射。

（1）由于移动电台在正东方接收到的信号（场强）最强，所以，元（发射）天线的轴线方向一定是沿南北方向。

（2）电台在正东方向，对应2m ，12sin)()(max f f f m，令21sin )(f ，解得6 或6（此为电台偏离元天线轴线的角度），因此可得电台偏离正东方的角度为36m 或(m6)。

6. 解：(1)由于电流元的辐射场绕其几何对称轴线旋转对称，所以，使元（发射）天线的轴线垂直于地面可以使电台接收信号场强保持不变。

(2)根据天线的互易定理（同一天线作发射用与作接收用，其方向性相同）可得，元（发射）天线与元（接收）天线的轴线平行且都垂直于地面使，效果最佳。

此时，元（发射）天线沿电台方向辐射最强且电台的元（接收）天线的接收效果也处于最佳效果。

7. 解：由题意m c e t l q p z)102sin(1079)102sin(101.0)102sin(107879t t lp q则 )102cos(10210)]102[sin(1077878t t dtddt dq I))(102cos(2.07A t8. 解：此题不计地面影响，m f c 600105.010368，与地面成 40角，则与偶极子轴角 504090(1) m m r 6006 ,采用远区场强公式)(020)(02)4sin (4sin kr t j kr t j erzk q e e r zk I j e E e E )10606002105.02(392736]10603610450sin )6002(1103[t j j e e e)20110(661078.3 t j e e)()(2sin 4sin kr t j kr t j e rzk I j e e r zk I j e H)10606002105.02(1060600250sin 1103105.02)(036376)2sin (t j j kr t j eee e rzk q e)20110(8610 t j e e9. 解：依题意，距离r=100km ，处于基本电振子的远区辐射场，场强可表示为jkr e r E e E sin 0jkr e rE e H sin 0式中，为媒质波阻抗，真空或空气时， 1200 ，)/(0m V E 为电场强度振幅。

基本电振子平均功率流密度av S ＝)Re(21 H E =22000sin 2]sin sin Re[21E e e r E e e r E e r jkrjkr 则辐射功率r r Sav e d d r e E S d S Psin sin 120222202•9034120sin 224020200320E E d E依题意，当km r 10090 ， 时3010100/100 E r E m V Em V m V E E /10/10010100101003310. 解：m f c 3001010368先计算 av S ＝)Re(21H E]2sin 2sin Re[21000jkr jkr e rz I j e e r z I j e200sin )2(RIe r则辐射功率 d d r rzI S d S P S av sin sin )2(212200200 •2202030)(40sin )(30zI d zI)(35.537)30010(3540222W 由辐射电阻定义 r R I P 20 )(877.03535.5372222I P R r 11. 解：(1) 因MHz f 300 故，s rad f /1089.129 ，m rad c k /3.6/ m f c 1/ 。

因此，该半波对称振子的单臂长m h 25.0又因半波对称振子的远区辐射电场的复数表达式为]sin )cos 2cos([60jkR m e R I j E 而当 90 时，maxE E ，即A RE I m 667.13560101.06042max所以半波对称振子的辐射功率为W R I R I P r m r e 53.1011.73)35(2121222其中半波对称振子的辐射电阻 1.73r R (2) 半波对称振子的远区辐射电场的瞬时表达式为]sin )cos 2cos(60Re[]Re[t j jkR m t j e e RI j e E E)sin(sin )cos 2cos(60kR t R I mm V R t R /)3.61089.1sin(sin )cos 2cos(1009而磁场强度瞬时式为)sin(sin )cos 2cos(10000kR t R E Hm A R t R /)3.6sin(sin )cos 2cos(27.0以及平均功率密度为av S ＝022)Re(21E e H E rr e 22]sin )cos 2cos([3772100222/]sin )cos 2cos([26.13m W e Rr12. 解：求矢势A ：因为t I I cos 0此时，有电偶极辐射，其矢势为 p re t x A jkr4),(0式中，jkre为推迟因子，其中，dV J p对线电流为 l Id dV J p所以 l d e I l Id ptj 0 故 )(004),(t kr j e l d r I t x A 求磁场B： A Be e crI i A ik t kr j )(00sin 4)(求电场E ： e e crI i n B c E t kr j)(00sin 4)(求平均功率P ：因为n rl d I c n B c H E S220020sin )4(22]Re[21 平均d r rd dl I c S d S P sin sin )4(2202220200 • 平均 30220212)(c dl I13. 解：在)300/(m v c l 的条件下，可以看成是短天线并可忽略电流沿天线的分布，因而可利用上题的结果：202202012)(cdl I P 将m l 5 ，A I I 25220 ，Hz v 61022 代入上式，得W P 48.5若天线增长并由中心馈电，电流分布得不均匀性不能忽略，在中心点有最大值0I ，两端为0，可近似地看为峰值为2/0I 的电流，即以2/0I 代替上面的0I ，所以W P P 37.14114. 解：两个天线的相位差为cos 20cos 42coskd 所以归一化因子为cos 4cos 2cos 2sin 2sin1N N 15. 解：二元阵的元因子为zz f F F sin cos 2cos )()(),(111其中 z 。