24[1].1.2垂直于弦的直径课件2

A
B
Ramming foundation
如图，已知在⊙ 中 的长为8厘米 例 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为 厘米，圆 的长为 厘米， 的距离为3厘米 的半径。 心O到AB的距离为 厘米，求⊙O的半径。 到 的距离为 厘米， 的半径
若OA=10cm,OE=6cm, 求弦AB的长 的长。 求弦 的长。即右图中的OE叫弦心距.
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 ）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的两条弧； 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 弦的垂直平分线经过圆心， 经过圆心 平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 平分弦所对的一条弧的直径， 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 并且平分弦所对的另一条弧 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
“知二推三” 知二推三” 知二推三
(1)垂直于弦 垂直于弦 (2)过圆心 过圆心 (3)平分弦 平分弦 (4)平分弦所对的优弧 平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3) (1)(3)时 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制. 条弦增加”不是直径”的限制.
2
Ramming foundation
变式1 变式1：AC、BD有什么关系？ 有什么关系？ 有什么关系
A C O D B
变式2 变式2：AC＝BD依然成 依然成 立吗？ 立吗？
A C E O F D B
变式3 变式3：EA＝____, EC=_____。
A C O D B
变式4 变式4：______ AC=BD.
我很棒！ 我很棒！
1、1300多年前，我国隋代建造的赵 多年前， 多年前 州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨 州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨 弧所对的弦的长） 米 度（弧所对的弦的长）为37.4米， 拱高（弧的中点到弦的距离，也叫 拱高（弧的中点到弦的距离， 弓形高） 米 求桥拱的半径。 弓形高）为7.2米，求桥拱的半径。 精确到0.1米 （精确到 米）。
O
若圆心到弦的距离用d 圆心到弦的距离用 B E A 表示，半径用r表示 表示， 表示，半径用 表示，弦 长用a表示 表示， 长用 表示，这三者之间 若下面的弓形高为h， 若下面的弓形高为h 有怎样的关系？ 有怎样的关系？ 2 则r、d、h之间有怎样 a 2 2 的关系? 的关系? r=d+h r = d +
A
E
B
D
• 注意 过圆心和垂直于弦两个 注意:过圆心和垂直于弦两个
条件缺一不可。 条件缺一不可。
Ramming foundation
判断下列图形，能否使用垂径定理？ 判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C A
B O
D C O E D C A
B O
D
注意： 注意：定理中的两个条件 直径，垂直于弦） （直径，垂直于弦）缺一 不可！ 不可！
选择： 如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个数为 （ A ） A A、3 B、2 C、1 D、0
。 O C B D
判断正误
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 ）垂直于弦的直线平分弦， ) 弧…………………………………………..( （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 ）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦， 经过圆心……………………………………..( ) 经过圆心 （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 ） ) 分…………………………………………...( （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 ）平分弦的直径垂直于弦， 两条弧………………………………………( 两条弧 ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
Solves the problem
2、在直径为650毫米的圆柱形油 、在直径为650 650毫米的圆柱形油 槽内装入一些油后， 槽内装入一些油后，截面如图所 若油面宽AB＝600毫米 求 毫米，求 示。若油面宽 毫米 油的最大深度。 油的最大深度。
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论 就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论CAFra bibliotekM└ └
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的! 相信自己是最棒的
D
画图叙述垂径定理， 画图叙述垂径定理，并说出 定理的题设和结论。 定理的题设和结论。
垂直于弦的直径
The exploration discovered
[观察篇 观察篇] 观察篇
D
·
P A C
O
B
The exploration discovered
[发现篇 发现篇] 发现篇
C
O
1.圆是轴对称图形, 圆是轴对称图形 圆是轴对称图形 对称轴是过圆点的 对称轴是过圆点的 直线（或任何一条 直线（ 直径所在的直线） 直径所在的直线）. 2.圆是中心对称图 圆是中心对称图 圆是 对称中心是圆心 形,对称中心是圆心。 对称中心是圆心。 3.圆具有旋转不变性. 圆具有旋转不变性 圆具有旋转不变性
O
A
P
圆心到弦的距离、半径、 圆心到弦的距离、半径、弦 构成直角三角形 直角三角形， 长构成直角三角形，便将问题 转化为直角三角形的问题。 转化为直角三角形的问题。
垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中 如图 在下列五个条件中: 在下列五个条件中 ⌒ ⌒ 是直径, ① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, 是直径 ⊥
A
E
B
D
垂直于弦的直径平分弦， 猜想 ：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。 并且平分弦所对的两条弧。 如果CD过圆心 过圆心， 即：如果 过圆心，且垂直于 AB，则AE=BE，弧AD=弧BD， ， ， 弧 ， 弧AC=弧BC 弧
The exploration discovered
[验证篇 验证篇] 验证篇
C B •O A C (4) B C (5) •O A D A •O E D (6)
B
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线， ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
C
已知： 是直径， 已知：在⊙O中，CD是直径，AB 中 是直径 是弦， ⊥ ，垂足为E。 是弦，CD⊥AB，垂足为 。 求证： ＝ ， ＝ ， ＝ 。 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
证明：连结 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦 、 ， ＝ 。 AB的直径 所在的直线既是等腰三角形 的直径CD所在的直线既是等腰三角形 的直径 所在的直线既是等腰三角形OAB的对 的对 称轴又是⊙ 的对称轴 所以，当把圆沿着直径CD 的对称轴。 称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径 折叠时， 两侧的两个半圆重合 两侧的两个半圆重合， 点和 点重合， 点和B点重合 折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和 点重合， AE和BE重合，AC、⌒ 分别和⌒ 、⌒ 重合。因此 和 重合 ⌒ 、AD分别和 重合， 分别和BC、BD重合 重合。 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直径 平分弦 ＝ ， ⌒ ＝ ， ⌒ ＝ ，即直径CD平分弦 AB，并且平分AB及ACB ，并且平分 及
练习
在下列图形中，你能否利用垂径定理 在下列图形中， 找到相等的线段或相等的圆弧
A
E B A
D
C
O
O
E
O
A
E C
A
B
B
C
D
O
O
E C B D
A
E D
B
A
E C
B
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） ⊥ （ ， ） _____________________________________________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 2 4 到AB的距离是___________cm，AB=_________cm. A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H 第2题图
平分弦AB ③直线CD平分弦 直线 平分弦 直线CD平分弧 平分弧ACB ④直线 平分弧 直线CD平分弧 平分弧AB ⑤直线 平分弧
① ① ④ ② ⑤ ④
C O B A E D
① ③ ⑤
C
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤ 结论 命题
A
M└ └
●
B O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 并且平分弦所的两条弧 D ②④⑤ 平分弦 不是直径)的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦,并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 并且平分弦所对的 垂直平分弦 另一条弧. ②③④ 另一条弧 ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 并且平分这条弦所对的两条弧 ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧 并且平分弦所对的另一条弧. 并且平分弦所对的另一条弧 ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 并且垂直平分弦