2017-2018学年河北省定州中学高一(承智班)下学期开学考试数学试题Word版含解析

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河北定州中学2017—2018学年度高一下学期数学期末考试试题一、单选题1．函数，若在区间上是单调函数，且则的值为( ）A. B. 或 C。

D. 或2．已知函数,若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是（）A。

B. C. D.3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ )A. 24π B。

36π C。

40π D. 400π4．定义在R上的函数()f x满足()()f x f x-=，且当0x≥时,()21,01{22,1xx xf xx-+≤<=-≥，若对任意的[],1x m m∈+,不等式()()1f x f x m-≤+恒成立，则实数m的最大值是( )A. -1 B。

12-C。

13-D.135．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：的圆心则的最小值为A。

B。

5 C。

D. 106．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点,则的最小值是A. B. C. D 。

7．定义域为R 的偶函数()f x ，满足对任意的x R ∈有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上至少有六个零点，则a 的取值范围是（ ）A 。

河北定州中学2017-2018学年第二学期高一承智班第2次月考数学试卷一、单选题 1．已知函数，若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.2．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时， ()21,01{22,1x x x f x x -+≤<=-≥，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A. -1B. 12-C. 13- D. 133．若直线l ：ax+by+1=0经过圆M ：的圆心则的最小值为A.B. 5C.D. 104．已知,AC BD 为圆229O x y +=：的两条互相垂直的弦，且垂足为()1,2M ，则四边形ABCD 面积的最大值为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 205．定义域为R 的偶函数()f x ，满足对任意的x R ∈有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在R 上至少有六个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B. 70,7⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 53,53⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭6．若3log 21x ≥，则函数()1423xx f x +=--的最小值为（ ）A. 4-B. 3-C. 329-D. 0 7．已知函()()2log 2a f x x ax =-在[]4,5上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. (]1,2 C. ()1,4 D. (]1,48．已知函数()10,0{ ,0x x f x lgx x -≤=>，函数()()()()24g x f x f x m m R =-+∈,若函数()g x 有四个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. [)lg5,4B. [)34， C. [){}34lg5⋃，D. (],4-∞ 9．关于x 的方程()2arcsin cos 0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=（ ）A. 1B. 2C. 22π D. 22π10．已知函数f(x)的定义域为R ，且()()21,0{ 1,0x x f x f x x --≤=->，若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()0,1D. (),-∞+∞ 11．若函数()()ln 0ax xf x e a a=->存在零点，则a 的取值范围是（ ） A. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 210,e ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， AD BC ， 22AB BC AD ===， E ， F 分别为BC ， CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在DG 上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+，其中λ， R μ∈，则6λμ+的取值范围是（ ）A. 1,2⎡⎤⎣⎦B. 2,22⎡⎤⎣⎦C. 2,22⎡⎤⎣⎦D. 1,22⎡⎤⎣⎦二、填空题13．如图，在等腰梯形ABCD 中， 1//,1,2DC AB AD DC CB AB ==== F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动， E 为圆弧DE 与AB 交点．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2+λμ的取值范围是____________．14．已知定义在R 上的函数()f x 存在零点，且对任意， R n ∈都满足()()()222m f f m f n fm n ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，则函数()()34log 1g x f f x x ⎡⎤=-+-⎣⎦有_____个零点．15．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若1sin 4θ=，则折痕l 的长度=_______cm ．16．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是_____．三、解答题17．某矩形花园，,，是的中点，在该花园中有一花圃其形状是以为直角顶点的内接Rt △，其中E 、F 分别落在线段和线段上如图．分别记为，的周长为，的面积为。

河北定州中学2017-2018学年第二学期高三数学开学考试一、单选题1. 已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点，∵，∴，∴，∴切线的方程为，令，得，故，又点，∴线段中点的纵坐标，设，则，故当时，单调递增；当时，单调递减．∴．选D．2. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，过作的平行线交的延长线于，连．则即为异面直线与所成的角（或其补角）．设，则．在中，由余弦定理得，∴异面直线与所成角的余弦值为．选A．点睛：求异面直线所成角的方法①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，往往通过解三角形求空间角．注意：异面直线所成角的范围为，因此若解三角形求得余弦值为正，则即为所求的异面直线所成角的余弦值；若为负，则要转化为正值．3. 若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A【解析】当时，，故函数在区间上递减，在上递增.故在处取得极小值.根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质，考查新定义问题的处理方法，考查函数图像关于原点对称点的处理策略.要分段函数两段图像有关于原点的对称点，一般可以将较简单的一段，关于原点对称的表达式求解出来，如本题中的，关于原点对称即为.4. 已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】原式等价于，两边取自然对数得，令，则时，因为当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得，，单调递增，时，单调递减，若，即，当时，单调递增，，矛盾；若，即，当时，递减，，成立，综上，，最小值为，故选A.5. 已知中，，，成等比数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可知，即，，即，，原式等于，设即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为，再利用余弦定理求角的取值范围，二是将转化为的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.6. 将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，，得，当时，取最大值，故选A.7. 已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数的最小值为，下列命题为真命题的是( )A. p∧qB. ()∧qC. (p∨q)D. p∧(q)【答案】B【解析】p中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4，0)，故p为假命题；q中f(x)＝，设t＝≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)m i n＝，故q为真命题．所以(p)∧q为真命题，故选B. 8. 已知不等式(ax＋3)e x－x＞0有且只有一个正整数解，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，1、2都是不等式的解，不符合题意；当时，化为，设，则，所以函数f(x)在上是增函数，在上是减函数，所以当x＝1时，函数f(x)取得最大值，因为不等式有且只有一个正整数解，则解得.故选A.9. 已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，交于点P，则点P的轨迹方程为( )A. x＝－1B. x＝－2C. y2＝4(x＋1)D. y2＝4(x＋2)【答案】A... ... ... ... ... ...联立，得，由，得，即，即点的轨迹为.故选A.10. 已知函数，其中为自然对数的底数，若有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出与的大致图象，如图，①先求时，与相切时的a值：设切点为，则,解得：，，把，得;②再求时，与有唯一公共点，且在此点有公切线时的a值：，解得：，而显然是增函数，故是唯一的解，此时，把，得，函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向上平移a个单位（或向下平移-a个单位），由图象可知：时，仅在上与有两个公共点；③把代入得，可知时，与在区间和内各有一个交点综上，实数的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11. 抛物线的准线交轴于点，过点的直线交抛物线于两点，为抛物线的焦点，若，则直线的斜率为（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】易知直线的斜率存在，且不为零.设，即，带入，得由得：，设，，由韦达定理得，由题知，得，,把，带入整理，得故选：D12. 如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取线段中点为N，计算得：.同理，当N为线段AC或C的中点时，计算得.符合C项的图象特征.二、填空题13. 已知函数.若函数有个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】设，令方程一定有一根，，（1）若，即时，有两根，有两根，（舍去），，有两根，函数有个零点，合题意，可验证，方程有个根，不合题意；当，即时，无解，只需有两个大于的正根即可，只需，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、复合函数的性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.14. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则_______．【答案】1【解析】由题意，在抛物线上，则，则，①由抛物线的性质可知，，则，被直线截得的弦长为，则，由，在中，，即，代入整理得，②由①②，解得，，故答案为.15. 已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】由双曲线的定义及题意可得，解得．又，所以，整理得，∵，∴，∴．又，∴，故．∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是．答案：点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：①先判断函数的单调性，然后利用函数的单调性求解；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．16. 在中，角的对边分别为，且满足条件，，则的周长为__________．【答案】3【解析】中，，即又，即，，则解得，代入解得的周长为点睛：本题考查的是正弦定理和余弦定理，诱导公式及两角和的余弦公式，属于难题。

河北定州中学2017-2018学年第二学期高一数学开学考试一、单选题1．设,a b R ∈，若()a f x x b x=++函数在区间()1,2上有两个不同的零点，则a b +的取值范围是（ ）A. ()0,1B. ()1,0-C. ()0,2D. ()2,0-2．设两非零向量,a b 的夹角为θ，若对任意实数λ， a b λ+⋅的最小值为2，则（ ） A. 若a 确定，则θ唯一确定 B. 若θ确定，则a 唯一确定 C. 若b 确定，则θ唯一确定 D. 若θ确定，则b 唯一确定 3．已知函数()()()317,3{ 28log ,03x x f x x x ⎛⎫+≥ ⎪=⎝⎭<<，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 7,18⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 7,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ()0,1 4．设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()201823f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()2018f 等于（ ） A. 2016 B. -2016 C. -2017 D. 2017 5．已知圆22:210250M x y x y +--+=，圆22:146540N x y x y +--+=，点,P Q 分别在圆M 和圆N 上，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106．（原创）函数()23f x x =-的值域是( ) A. 3⎡⎤⎣⎦ B. []1,5 C. 2,3⎡⎣D. 3⎡+⎣7．()000tan70cos10-= ( )A. 1218．函数()22221x f x x x -=⋅-+的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49．设函数()()()2,1{42,1x a x f x x a x a x +<=++≥，若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. (]1,21,2⎛⎤-∞-⋃-- ⎥⎝⎦C. (),1-∞-D. [)2,-+∞ 10．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥'D ABC -，使得'4BD =，若三棱锥'D ABC -的外接球的半径为'D ABC -的体积为（ ）A. C. 11．已知在直角三角形ABC 中，A 为直角，AB =1，BC=2，若AM 是BC 边上的高，点P 在△ABC 内部或边界上运动，则·AM BP 的取值范围是( ) A. [-1，0] B. [12-，0] C. [34-， 12] D. [34-，0] 12．若区间[]12,x x 的长度定义为21x x -，函数()()221m m x f x m x +-= (),0m R m ∈≠的定义域和值域都是[],a b ()b a >，则区间[],a b 的最大长度为( )3二、填空题13．已知当[]0,1x ∈时，函数()21y ax =-的图象与y a 的图象有且只有一个交点，则正实数a 的取值范围是__________．14．定义{},,min ,{ ,,a a b a b b a b ≤=> {},,max ,{ ,,b a b a b a a b ≤=>函数(){}m i n 2,f x x x m =+-，{}{}min 2,max 2,m x m -≤≤-的值域是[]0,3，则m =__________．。

2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（下）期中数学试卷一、单选题1．（3分）等差数列{a n}前n项和为S n，，则下列结论正确的是（）A．S2018=﹣2018，a2014＞a5B．S2018=2018，a2014＞a5C．S2018=﹣2018，a2014＜a5D．S2018=2018，a2014＜a52．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．53．（3分）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，其图象上的一个最高点与相邻的最低点间的距离为，则该函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．x=πC．x=2D．x=34．（3分）已知函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a 的最大值和最小值之差等于（）A．B．C．2πD．π5．（3分）已知△ABC中，sinA，sinB，sinC成等比数列，则的取值范围是（）A．（2，]B．（0，]C．（2，+∞）D．[2，+∞）6．（3分）定义运算．设F（x）=f（x）⊗g（x），若f（x）=sinx，g（x）=cosx，x∈R．则F（x）的值域为（）A．[﹣1，1]B．C．D．7．（3分）已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）且a＜b＜c，则ab+bc+ac的取值范围为（）A．（1，4）B．（1，5）C．（4，7）D．（5，7）8．（3分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（）A．2B．4C．D．59．（3分）点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2=1上运动，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0} C．D．10．（3分）O为△ABC的外心，AB+BC═AC，sinC（cosA﹣）+cosCsinA=0．若=x+y（x，y∈R）则=（）A．1B．﹣1C．D．﹣11．（3分）在△ABD中，AB=2，AD=2，E，C分别在线段AD，BD上，且AE=AD．BC=BD，=，则∠A=（）A．B．C．D．12．（3分）若函数，，，，在等差数列{a n}中，a1=0，a2019=1，b n=|g k（a n+1）﹣g k（a n）|（k=1，2，3，4），用p k表示数列{b n}的前2018项的和，则（）A．P4＜1=P1=P2＜P3=2B．P4＜1=P1=P2＜P3＜2C．P4=1=P1=P2＜P3=2D．P4＜1=P1＜P2＜P3=2二、填空题13．（3分）给出下列命题：①若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；②函数在[0，π]上是减函数；③是函数的一条对称轴；④函数的图象关于点成中心对称；⑤设，则函数f（x）=cos2x+sinx的最小值是．其中正确命题的序号为．14．（3分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．15．（3分）在△ABC中，角A是B，C的等差中项，∠BAC的平分线交BC于点D，若AB=4，且=+（λ∈R）则AD的长为16．（3分）已知f（x）是以π为周期的奇函数，且时，f（x）=1﹣2sinx，则当时，f（x）的解析式为三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0（1）求{S n}的通项公式；（2）求{a n}的通项公式；（3）设，若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围18．已知：函数的最小正周期是π，且当时f（x）取得最大值3．（1）求f（x）的解析式及单调增区间．（2）若x0∈[0，2π），且，求x0．（3）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．19．已知圆C：（x+2）2+y2=5，直线l：mx﹣y+1+2m=0，m∈R．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）等差数列{a n}前n项和为S n，，则下列结论正确的是（）A．S2018=﹣2018，a2014＞a5B．S2018=2018，a2014＞a5C．S2018=﹣2018，a2014＜a5D．S2018=2018，a2014＜a5【解答】解：∵等差数列{a n}前n项和为S n，，∴设f（x）=x3+2018x，则f（﹣x）=﹣x3﹣2018x=﹣f（x），且f（x）是增函数，又，∴1+a5=﹣1﹣a2014＞0，∴a5+a2014=﹣2，a2014＜a5，∴S2018===﹣2018．故选：C．2．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．3．（3分）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，其图象上的一个最高点与相邻的最低点间的距离为，则该函数图象的一条对称轴方程为（）A．B．x=πC．x=2D．x=3【解答】解：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，∴y=﹣sinωx；又其图象上的一个最高点与相邻的最低点间的距离为，∴=2，∴T=4，∴ω==，∴y=﹣sin x，令x=kπ+，x=2k+1，k∈Z；∴该函数图象的一条对称轴方程为x=3．故选：D．4．（3分）已知函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a 的最大值和最小值之差等于（）A．B．C．2πD．π【解答】解：∵值域为值域为，由y=sinx的图象在一个周期内：b﹣a的最大值为：﹣（﹣）=；最小值为﹣（﹣）=．则b﹣a的最大值和最小值之差等于=．故选：B．5．（3分）已知△ABC中，sinA，sinB，sinC成等比数列，则的取值范围是（）A．（2，]B．（0，]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：△ABC中，sinA，sinB，sinC成等比数列，可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得b2=ac，又cosB==≥=，可得0＜B≤，设t=sinB+cosB=sin（B+），t2=1+2sinBcosB=1+2sin2B，即sin2B=t2﹣1，B+∈（，]，可得sin（B+）∈（，1]，即有t∈（1，]，由==t+∈（2，]，故选：A．6．（3分）定义运算．设F（x）=f（x）⊗g（x），若f（x）=sinx，g（x）=cosx，x∈R．则F（x）的值域为（）A．[﹣1，1]B．C．D．【解答】解：∵F（x）=f（x）⊗g（x）=，由于y=sinx与y=cosx都是周期函数，且最小正周期都为：2π，故只须在一个周期[0，2π]上考虑函数的值域即可．分别画出y=sinx与y=cosx的图象，如图所示．观察图象可得：F（x）的值域为．故选：D．7．（3分）已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）=f（c）且a＜b＜c，则ab+bc+ac的取值范围为（）A．（1，4）B．（1，5）C．（4，7）D．（5，7）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，a∈（，1），b∈（1，），c∈（，3），由图象可知，﹣log3a=log3b，则log3a+log3b=log3ab=0，解得ab=1，1﹣log3c=log3b，则log3b+log3c=log3bc=1，解得bc=3，∴ac∈（1，3），∴ab+bc+ca的取值范围为（5，7）故选：D．8．（3分）设a＞b＞c＞0，则2a2++﹣10ac+25c2的最小值是（）A．2B．4C．D．5【解答】解：==≥0+2+2=4当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立如取a=，b=，c=满足条件．故选：B．9．（3分）点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2=1上运动，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0}C．D．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径为：1；可知x∈[﹣1，1]，当x＞0时y＞0，则0＜=≤=当且仅当y=2x=时取等号．由圆的对称性可知：x＜0时，则∈[﹣，0）当x=0时，则=0，则的取值范围是[﹣，]故选：D．10．（3分）O为△ABC的外心，AB+BC═AC，sinC（cosA﹣）+cosCsinA=0．若=x+y（x，y∈R）则=（）A．1B．﹣1C．D．﹣【解答】解：设三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB+BC═AC，sinC（cosA﹣）+cosCsinA=0，可得c+a=b，sinCcosA+cosCsinA=sinC，即为sin（C+A）=sinC，即有sinB=sinC，可得b=c，a=c，cosB===﹣，可得B=120°，A=C=30°，若=x+y，可得•=x2+y•，即有c2=xc2+y•c2，化为2x+3y=1，又可得•=y2+x•，即有c2=xc2+y•3c2，化为x+2y=1，解得x=﹣1，y=1，则=﹣1，故选：B．11．（3分）在△ABD中，AB=2，AD=2，E，C分别在线段AD，BD上，且AE=AD．BC=BD，=，则∠A=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABD中，AB=2，AD=2，E，C分别在线段AD，BD上，且AE=AD．BC=BD，∴====，==﹣，∵=，∴=（）•（）=﹣+﹣=，∴=﹣4，∴cos∠BAD===﹣，∵0＜∠BAD＜π，∴∠BAD=．故选：D．12．（3分）若函数，，，，在等差数列{a n}中，a1=0，a2019=1，b n=|g k（a n+1）﹣g k（a n）|（k=1，2，3，4），用p k表示数列{b n}的前2018项的和，则（）A．P4＜1=P1=P2＜P3=2B．P4＜1=P1=P2＜P3＜2C．P4=1=P1=P2＜P3=2D．P4＜1=P1＜P2＜P3=2【解答】解：等差数列{a n}中，a1=0，a2019=1，可知该数列为递增数列，且a1010=，a505＜，a506＞，对于g1（x）=2x，该函数在[0，1]上单调递增，于是有g1（a n）﹣g1（a n）＞0，+1于是b n=g1（a n+1）﹣g1（a n），∴p1=g1（a2019）﹣g1（a1）=2﹣1=1，对于g2（x），该函数在[0，]上递增，在（，1]上递减，于是P2=g2（a1010）﹣g2（a1）+g2（a1010）﹣g2（a2019）=﹣0+﹣0=1；对于g3（x），该函数在[0，]上递减，在（，1]上为常数，类似有P3=g3（a1）﹣g3（a1010）=g3（0）﹣g3（）=3﹣1=2；对于g4（x），该函数在[0，]和[，]递增，在[，]和[，1]上递减，且是以为周期的周期函数，故只需讨论[0，]的情况，再2倍即可，仿前可知，P4=2[g4（a505）﹣g4（a1）+g4（a506）﹣g4（a1010）]＜2（sin﹣sin0+sin﹣sinπ）=1，故P4＜1，综上所述P4＜1=P1=P2＜P3=2，故选：A．二、填空题13．（3分）给出下列命题：①若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；②函数在[0，π]上是减函数；③是函数的一条对称轴；④函数的图象关于点成中心对称；⑤设，则函数f（x）=cos2x+sinx的最小值是．其中正确命题的序号为③⑤．【解答】解：①若α，β是第一象限角且α＜β，比如α=，β=则tanα=tanβ=，故①不正确；②函数在x∈[0，π]上是增函数，故②不正确；③函数y=sin（2x+）的对称轴方程为2x+=kπ+，x=，k∈Z，k=1时，x=，故③正确．④函数，可得：2x+=kπ，k∈Z，当k=1时，x=，函数的图象的对称中心为（，0），④不正确；⑤设，则函数f（x）=cos2x+sinx=﹣sin2x+sinx+1，sinx=﹣时，即x=﹣时，函数的最小值是．故⑤正确．故答案为：③⑤．14．（3分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为（4）15．（3分）在△ABC中，角A是B，C的等差中项，∠BAC的平分线交BC于点D，若AB=4，且=+（λ∈R）则AD的长为3【解答】解：在△ABC中，角A是B，C的等差中项，可得2A=B+C=180°﹣A，解得A=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，若AB=4，且=+（λ∈R），由B，C，D三点共线，可得+λ=1，可得λ=，且==3，AC=3AB=12，设AD=x，由∠CAD=BAD=30°，S△ABC=S△ABD+S△ACD，即为AB•AC•sin60°=AB•AD•sin30°+AC•AD•sin30°，即为48=16AD，即AD=3，故答案为：3．16．（3分）已知f（x）是以π为周期的奇函数，且时，f（x）=1﹣2sinx，则当时，f（x）的解析式为f（x）=2sinx﹣1【解答】解：由题意，任取x∈[﹣，0]，则﹣x∈[0，]，又x∈[0，]时，f（x）=1﹣2sinx，故f（﹣x）=1+2sinx，又f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），∴x∈[﹣，0]时，函数解析式为f（x）=﹣2sinx﹣1，由于f（x）是以π为周期的函数，任取x∈[π，3π]，则x﹣3π∈[﹣，0]，∴f（x）=f（x﹣3π）=﹣2sin（x﹣3π）﹣1=2sinx﹣1，故答案为：f（x）=2sinx﹣1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0（1）求{S n}的通项公式；（2）求{a n}的通项公式；（3）设，若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围【解答】解：（1），∴，∴，∵S1=a1=1满足上式，∴（2）n≥2时，当n=1时，a1=1符合上式，∴（3），∵{c n}是递减数列∴∀n∈N*，c n＜c n，即+1，∴只需设数列{t n}的通项公式，∴=，∴n＞2时，t n﹣t n﹣1＜0，即t n＜t n﹣1当n=2时，t2=t1所以{t n}的最大项为，∴．18．已知：函数的最小正周期是π，且当时f（x）取得最大值3．（1）求f（x）的解析式及单调增区间．（2）若x0∈[0，2π），且，求x0．（3）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．【解答】解：（1）由已知条件知道：（1分）∴ω=2（2分）∴∴∴（3分）∴（4分）由可得∴f（x）的单调增区间是（6分）（2），∴或∴x0=kπ或（9分）又x0∈[0，2π）∴或（11分）（3）由条件可得：（13分）又g（x）是偶函数，所以g（x）的图象关于y轴对称，∴x=0时，g（x）取最大或最小值（14分）即，∴（15分）又m＞0∴m的最小值是（16分）19．已知圆C：（x+2）2+y2=5，直线l：mx﹣y+1+2m=0，m∈R．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．【解答】解：（1）证明：圆C：（x+2）2+y2=5的圆心为C（﹣2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx﹣y+1+2m=0的距离．所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设中点为M（x，y），因为直线l：mx﹣y+1+2m=0恒过定点（﹣2，1），当直线CM的斜率存在时，，又，∵k AB•k AC=﹣1，∴，化简得．当直线CM的斜率不存在时，x=2，此时中点为M（﹣2，1），也满足上述方程．所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．。

2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题1．（3分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m在[0，4π]上有4个解，则实数m的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2]C．（0，1）D．[0，1]2．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．﹣1B．﹣C．D．3．（3分）若直线l：ax+by+1＝0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的圆心，则（a﹣2）2+（b ﹣2）2的最小值为（）A．B．5C．2D．104．（3分）已知AC，BD为圆O：z2+y2＝9的两条互相垂直的弦，且垂足为M（1，2），则四边形ABCD面积的最大值为（）A．10B．13C．15D．205．（3分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）6．（3分）若x log32≥1，则函数f（x）＝4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4B．﹣3C．﹣D．07．（3分）已知函数f（x）＝log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．（1，2）D．（1，2]8．（3分）已知函数，函数g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+m（m∈R），若函数g（x）有四个零点，则实数m的取值范围是（）A．[lg5，4）B．[3，4）C．[3，4）∪{lg5}D．（﹣∞，4] 9．（3分）关于x的方程x2+arcsin（cos x）+a＝0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32＝（）A．1B．2C．D．2π210．（3分）f（x）的定义域为R，且f（x）＝，若方程f（x）＝x+a 有两不同实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）11．（3分）若函数f（x）＝e ax﹣（a＞0）存在零点，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，+∞）12．（3分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[，2]C．[2，2]D．[1，2]二、填空题13．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若＝，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的取值范围是．14．（3分）已知定义在R上的函数f（x）存在零点，且对任意m，n∈R都满足f[f（m）+f（n）]＝f2（m）+2n，则函数g（x）＝|f[f（x）]﹣4|+log3x﹣1的零点个数为．15．（3分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度＝cm．16．（3分）若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sin x）+f（sin x﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是．三、解答题17．某矩形花园ABCD，AB＝2，，H是AB的中点，在该花园中有一花圃其形状是以H为直角顶点的内接Rt△HEF，其中E、F分别落在线段BC和线段AD上如图．分别记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，Rt△EHF的面积为S（1）试求S的取值范围；（2）θ为何值时l的值为最小；并求l的最小值．18．如图，函数y＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的图象与y轴交于点（0，），周期是π．（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是P A的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m在[0，4π]上有4个解，则实数m的取值范围是（）A．（1，2）B．[1，2]C．（0，1）D．[0，1]【解答】解：作出f（x）在[0，4π]的图象，由关于x的方程f（x）＝m在[0，4π]上有4个解，即为y＝f（x）和直线y＝m在[0，4π]上有4个交点，即有1＜m＜2时，f（x）＝m在[0，4π]上有4个解．故选：A．2．（3分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．﹣1B．﹣C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝，可得0≤x＜1时，f（x）＝1﹣x2递减，f（x）∈（0，1]；当x≥1时，f（x）递减，且f（1）＝0，f（x）∈（﹣∞，0]，f（x）在x≥0上连续，且为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m﹣1+m）（m+1）≤0，且（2m+2﹣1+m）（m+1）≤0，即为﹣1≤m≤且﹣1≤m≤﹣，即有﹣1≤m≤﹣，则m的最大值为﹣，故选：C．3．（3分）若直线l：ax+by+1＝0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的圆心，则（a﹣2）2+（b ﹣2）2的最小值为（）A．B．5C．2D．10【解答】解：根据题意，圆M的一般方程为：x2+y2+4x+2y+1＝0，则其标准方程为（x+2）2+（y+1）2＝4，即圆心M坐标为（﹣2，﹣1），半径r＝2，∵直线l：ax+by+1＝0过圆M的圆心，则把M（﹣2，﹣1）代入直线l：ax+by+1＝0得：﹣2a﹣b+1＝0，即2a+b﹣1＝0，（a﹣2）2+（b﹣2）2可以表示为直线2a+b﹣1＝0上任意一点（a，b）到点（2，2）的距离的平方，又由（2，2）到直线2a+b﹣1＝0的距离d＝＝，即直线2a+b﹣1＝0上任意一点到点（2，2）的距离的最小值为，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为5；故选：B．4．（3分）已知AC，BD为圆O：z2+y2＝9的两条互相垂直的弦，且垂足为M（1，2），则四边形ABCD面积的最大值为（）A．10B．13C．15D．20【解答】解：根据题意，如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2+|OQ|2＝|OM|2＝5，|AC|2+|BD|2＝4（9﹣|OP|2）+4（9﹣|OQ|2）＝52．又|AC|2+|BD|2≥2|AC|•|BD|，则|AC|•|BD|＝|AC|×＝，当|AC|2＝26时，|AC|•|BD|有最大值26，此时S四边形ABCD＝|AC|•|BD|＝×26＝13，∴四边形ABCD面积的最大值为13．故选：B．5．（3分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），令x＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）﹣f（1），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＝0．∴f（x）＝f（x+2），则函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，又∵当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a＜，故选：A．6．（3分）若x log32≥1，则函数f（x）＝4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4B．﹣3C．﹣D．0【解答】解：x log32≥1，即x≥log23，设t＝2x（t≥3），可得y＝t2﹣2t﹣3，＝（t﹣1）2﹣4，即有函数y在[3，+∞）递增，可得t＝3即x＝log23，函数f（x）取得最小值，且为0．故选：D．7．（3分）已知函数f（x）＝log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：由题意可得g（x）＝x2﹣2ax的对称轴为x＝a①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立则∴1＜a＜2②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立则此时a不存在综上可得，1＜a＜2故选：C．8．（3分）已知函数，函数g（x）＝f2（x）﹣4f（x）+m（m∈R），若函数g（x）有四个零点，则实数m的取值范围是（）A．[lg5，4）B．[3，4）C．[3，4）∪{lg5}D．（﹣∞，4]【解答】解：作出函数，的图象如图，令f（x）＝t，则g（x）＝0化为t2﹣4t+m＝0，由图象可知当t≥1时，f（x）＝t有两解，∵g（x）有四个零点，∴t2﹣4t+m＝0在[1，+∞）有两个不等实数根，∴，解得3≤m＜4．∴实数t的取值范围是[3，4）．故选：B．9．（3分）关于x的方程x2+arcsin（cos x）+a＝0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32＝（）A．1B．2C．D．2π2【解答】解：令f（x）＝x2+arcsin（cos x）+a，可得f（﹣x）＝（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a＝f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）＝0有三个实数根，∴f（0）＝0，即0++a＝0，故有a＝﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cos x）﹣＝0，∴x2 ＝0，且+arcsin（cos x1）﹣＝0，x32+arcsin（cos x3）﹣＝0，x1＝﹣x3，由y＝x2和y＝﹣arcsin（cos x），当x＞0，且0＜x＜π时，y＝﹣arcsin（cos x）＝﹣arcsin（sin（﹣x））＝﹣（﹣x））＝x，则﹣π＜x＜0时，y＝﹣arcsin（cos x）＝﹣x，由y＝x2和y＝﹣arcsin（cos x）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32＝0+1+1＝2．故选：B．10．（3分）f（x）的定义域为R，且f（x）＝，若方程f（x）＝x+a 有两不同实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：x≤0时，f（x）＝2﹣x﹣1，0＜x≤1时，﹣1＜x﹣1≤0，f（x）＝f（x﹣1）＝2﹣（x﹣1）﹣1．故x＞0时，f（x）是周期函数，如图，欲使方程f（x）＝x+a有两解，即函数f（x）的图象与直线y＝x+a有两个不同交点，故a＜1，则a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：A．11．（3分）若函数f（x）＝e ax﹣（a＞0）存在零点，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，+∞）【解答】解：先考虑函数f（x）＝a x与g（x）＝log a x（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值．两函数互为反函数，则该切线即为y＝x，设切点A，可求出A（e，e），此时a＝．若a＞时，则f（x）＝a x与g（x）＝log a x（a＞1）无公共点；若1＜a＜时，则f（x）＝a x与g（x）＝log a x（a＞1）有两个公共点．对f（x）＝e ax﹣（a＞0），换元令t＝e a，即得t x＝log t x，由上知e a＝t≤，得a≤．故选：A．12．（3分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A．[1，]B．[，2]C．[2，2]D．[1，2]【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤），由＝λ+μ得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，）⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ+⇒λ＝，∴6λ+μ＝6（）+＝2（sinα+cosα）＝2sin（）∵，∴sin（）∴2sin（）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．故选：C．二、填空题13．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝AB＝1，F是BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若＝，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的取值范围是[0，2]．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，0），E（1，0），D（，），B（2，0），C（，），F（，）；设P（cosα，sinα）（0°≤α≤60°），由＝，∴（cosα，sinα）＝λ（﹣，）+μ（，），∴cosα＝﹣λ+…①，sinα＝λ+μ…②，由①②解得λ＝﹣cosα+sinα，μ＝cosα+sinα，∴2λ+μ＝2（﹣cosα+sinα）+（cosα+sinα）＝sinα，α∈[0°，60°]时，sinα∈[0，]，∴sinα∈[0，2]．故答案为：[0，2]．14．（3分）已知定义在R上的函数f（x）存在零点，且对任意m，n∈R都满足f[f（m）+f（n）]＝f2（m）+2n，则函数g（x）＝|f[f（x）]﹣4|+log3x﹣1的零点个数为3．【解答】解：设m为f（x）的零点，则f（m）＝0，∴f[f（n）]＝2n，∴f[f（x）]＝2x，∴g（x）＝|2x﹣4|+log3x﹣1，令g（x）＝0得1﹣log3x＝|2x﹣4|，分别作出y＝1﹣log3x和y＝|2x﹣4|的函数图象，如图所示：由图象可知y＝1﹣log3x和y＝|2x﹣4|的函数图象有3个交点，∴g（x）＝|2x﹣4|+log3x﹣1有3个零点．故答案为3．15．（3分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度＝cm．【解答】解：由已知及对称性知，GF＝BF＝l cosθ，GE＝BE＝l sinθ，又∠GEA＝∠GFB＝2θ，∴AE＝GE cos2θ＝l sinθcos2θ，又由AE+BE＝l sinθcos2θ+l sinθ＝6得：l＝＝＝．故答案为：．16．（3分）若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sin x）+f（sin x﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是﹣3．【解答】解：不等式f（cos2x+sin x）+f（sin x﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sin x）≤﹣f（sin x ﹣a）恒成立又∵f（x）是奇函数，﹣f（sin x﹣a）＝f（﹣sin x+a）∴不等式f（cos2x+sin x）≤f（﹣sin x+a）在R上恒成立∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，∴cos2x+sin x≥﹣sin x+a，即cos2x+2sin x≥a∵cos2x＝1﹣2sin2x，∴cos2x+2sin x＝﹣2sin2x+2sin x+1，当sin x＝﹣1时cos2x+2sin x有最小值﹣3．因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3故答案为：﹣3三、解答题17．某矩形花园ABCD，AB＝2，，H是AB的中点，在该花园中有一花圃其形状是以H为直角顶点的内接Rt△HEF，其中E、F分别落在线段BC和线段AD上如图．分别记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，Rt△EHF的面积为S（1）试求S的取值范围；（2）θ为何值时l的值为最小；并求l的最小值．【解答】解：（1）：由图可知在Rt△HBE中有在Rt△HAF中有（2分）由于E在BC上，F在AD上．故（4分）∴＝＝（6分）由得∴∴（9分）（2）由，在Rt△HEF中有∴＝令sinθ+cosθ＝t，则其中∵∴∴∴，且当即时Rt△HEF的周长l最小，最小值为（16分）18．如图，函数y＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的图象与y轴交于点（0，），周期是π．（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是P A的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值．【解答】解：（1）由题意，周期是π，即．由图象与y轴交于点（0，），∴＝2cosφ，可得cosφ＝，∵0≤φ≤，∴φ＝．故得函数解析式f（x）＝cos（2x+）．由2x+＝kπ，可得对称轴方程为：x＝，（k∈Z）由2x+＝kπ，可得对称中心为（，0），（k∈Z）（2）由题意：点Q（x0，y0）是P A的中点，点A（，0），∴P的坐标为（，2y0），由y0＝，可得：P的坐标为（，），又∵点P是该函数图象上一点，∴＝2cos[2×]，整理可得：cos（）＝，∵x0∈[，π]，∴∈[]，故有：＝或＝，解得：x0＝或．。

河北定州中学2017-2018学年第二学期高四数学开学考试一、单选题1．抛物线2:2C y px =的准线交x 轴于点M ，过点M 的直线交抛物线于N Q 、两点， F 为抛物线的焦点，若90NFQ ∠=︒，则直线NQ 的斜率(0)k k >为（ ）A. 2B.C.12 D. 2．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B ，运动过程种，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D.3．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根， ()1n n a n x ⎡⎤=+⎣⎦，()2,3n =（符号[]x 表示不超过x 的最大整数）.则2320182017a a a +++=（ ）A. 1010B. 1012C. 2018D. 20204．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时， ()()()2f x xf x xf x '+<（其中()f x '为()f x 的导函数）.则()f x 在R 上零点的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15．已知0ω>，顺次连接函数sin y x ω=与cos y x ω=的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω=（ ）A.π B.C. 43πD.6．已知()201720162018201721f x xx x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A. 2018n i =-B. 2017n i =-C. 2018n i =+D. 2017n i =+7．已知()()()420122111x a a x a x -=+-+- ()()343411a x a x +-+-，则2a =（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 568．设曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,2-B. ()3,+∞C. 21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且1123|2PF PQF F +恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭ 10．已知关于x 的不等式2cos 2m x x ≥-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. [)3,+∞ B. ()3,+∞ C. [)2,+∞ D. ()2,+∞ 11．已知双曲线2222:(0,0)x y C a b a b-=>>的右支与抛物线24x y =交于,A B 两点， F 是抛物线的焦点， O 是坐标原点，且4AF BF OF +=，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 32C.D. 12．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在12,x x 12()a x x b <<<，满足()()()1'f b f a f x b a-=-， ()()()2'f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，则实数t 的取值范围是 （ ） A. 36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 23,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =.若在区间[)14，内，函数()()2g x f x ax =-有三个不同零点，则a 的范围为__________．14．如图所示，平面四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部， 1AB =， BC =AC CD =， AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为__________．15．三棱锥S ABC -的各顶点都在同一球面上，若3AB =， 5AC =， 7BC =，侧面SAB 为正三角形，且与底面ABC 垂直，则此球的表面积等于__________．16．奇函数()f x 是R 上单调函数， ()()()313g x f ax f x =+-有唯一零点，则a 的取值集合为____________．三、解答题17．已知点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上， 2F 为椭圆C 的右焦点， 12,A A 分别为椭圆C 的左，右两个顶点.若过点()4,0B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且线段12,MA MA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明： 2,,G P F 三点共线. 18．已知函数()()21ln 2f x x x mx x m R =--∈. (1)若函数()f x 在()0,+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： 12ln ln 2x x +>.参考答案DCADB ADDBC 11．A 12．A 13．(ln21)84e， 14．3 15．2053π16．{}|0 4 a a a ≤>或17．（1）22143x y +=；（2）见解析 （1）∵点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=，∴2229141a b+=①． 设()11,M x y ，由线段12,MA MA 的斜率之积为34-得， 211122111y y y x a x a x a ⋅==+-- 221222221134x b a b x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=--， ∴2234b a =②， 由①②解得， 2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）可得2PF x ⊥轴，要证2,,G P F 三点共线，只需证2GF x ⊥轴，即证1G x =.由()224{ 143y k x x y=-+=消去y 整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，∵直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，∴()()()22222=(32)4346412144140k k kk ∆--+-=->设()11,M x y ， ()22,N x y ，则21223234k x x k +=+， 2122641234k x x k-=+（*）， 因为直线()111:22A M y l y x x =++， ()222:22A N yl y x x =--， 即证：1212322y y x x -=+-， 即证()()12342k x x -⋅-= ()()2142k x x --⋅+. 即证()1212410160x x x x -++=.将（*）代入上式可得()22224641210321603434k kkk⨯-⨯-+=++，整理得22216320340k k k --++=. 此式明显成立，故原命题得证. 所以2,,G P F 三点共线. 18．(1) 1m e≥；(2)证明见解析. (1)由函数()f x 在()0,+∞上是减函数，知()'0f x ≤恒成立，()()21ln 'ln 2f x x x mx x f x x mx =--⇒=-.由()'0f x ≤恒成立可知ln 0x mx -≤恒成立，则maxln x m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 设()ln x x x ϕ=，则()21ln 'xx xϕ-=， 由()()'00,x x e ϕ>⇒∈， ()'0x x e ϕ⇒知，函数()x ϕ在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，∴()()max 1x e eϕϕ==， ∴1m e≥. (2)由(1)知()'ln f x x mx =-.由函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，知11220{lnx mx lnx mx -=-=，则1212ln ln x x m x x +=+且1212ln ln x x m x x -=-，联立得12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即112212112112221ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭+=⋅=--， 设()120,1x t x =∈，则()121ln ln ln 1t t x x t +⋅+=-， 要证12ln ln 2x x +>，只需证()1ln 21t t t +⋅>-，只需证()21ln 1t t t -<+，只需证()21ln 01t t t --<+. 构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+，则()()()()222114'011t g t t t t t -=-=>++. 故()()21ln 1t g t t t -=-+在()0,1t ∈上递增， ()()10g t g <=，即()()21ln 01t g t t t -=-<+，所以12ln ln 2x x +>.。

2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高三（下）开学数学试卷一、单选题1．（3分）已知函数f（x）＝lnx﹣x，f（x）的图象在点P处的切线l1与y轴交于点A，过点P与y轴垂直的直线l2与y轴交于点B，则线段AB中点M的纵坐标的最大值是（）A．B．e﹣1C．2ln2﹣3D．2．（3分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB＝∠A1AC＝∠ABC＝60°，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（3分）若函数y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点（A，B）为y＝f（x）的“孪生点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“孪生点对”，若函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．04．（3分）已知a＞0且a≠1，若当x≥2时，不等式a x≥ax恒成立，则a的最小值是（）A．e B．e C．2D．ln25．（3分）已知△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．（3分）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．7．（3分）已知命题p：椭圆25x2+9y2＝225与双曲线x2﹣3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f（x）＝的最小值为．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．￢（p∨q）D．p∧（￢q）8．（3分）已知不等式（ax+3）e x﹣x＞0有且只有一个正整数解，则实数a的取值范围是（）A．（]B．（]C．（）D．（]9．（3分）已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，交于点P，则点P的轨迹方程为（）A．x＝﹣1B．x＝﹣2C．y2＝4（x+1）D．y2＝4（x+2）10．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝e x+1+a，其中e为自然对数的底数，若y＝f（x）﹣g（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣e）∪（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）11．（3分）抛物线C：y2＝2px的准线交x轴于点M，过点M的直线交抛物线于N，Q两点，F为抛物线的焦点，若∠NFQ＝90°，则直线NQ的斜率k（k＞0）为（）A．2B．C．D．12．（3分）如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝x2+1﹣2a．若函数y＝f（g（x））有4个零点，则实数a的取值范围是．14．（3分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点是抛物线C上一点，以M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为|MA|，若，则|AF|＝．15．（3分）已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|（t∈（1，3]），则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是．16．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2＝bc ＝1，4cos B•cos C﹣1＝0，则△ABC的周长为．三、解答题17．已知函数f（x）＝a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，令函数g（x）＝f（x）+lnx﹣2x+1+m，若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝xlnx﹣．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：lnx1+lnx2＞2．2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：设P（m，lnm﹣m），m＞0，函数f（x）＝lnx﹣x的导数为f′（x）＝﹣1，可得切线的斜率为﹣1，即有切线方程为y﹣lnm+m＝（﹣1）（x﹣m），令x＝0，可得y＝lnm﹣1，即A（0，lnm﹣1），又B（0，lnm﹣m），可得AB中点的纵坐标为（2lnm﹣1﹣m），由g（m）＝2lnm﹣m﹣1的导数为g′（m）＝﹣1，由0＜m＜2时，g（m）递增；m＞2时，g（m）递减，即有m＝2时，g（m）取得最大值2ln2﹣3，即有AB中点的纵坐标的最大值为ln2﹣．故选：D．2．【解答】解：如图，设AC1，A1C交于M，BC中点为N，则MN∥A1B，∴∠AMN（或其补角）即为所求，取棱长为2，可得AM＝，AN＝，MN＝1，cos∠AMN＝，故选：A．3．【解答】解：由题意，x≥0，f（x）＝﹣x3+6x2﹣9x+2﹣a，关于原点对称的函数为f（x）＝﹣x3﹣6x2﹣9x﹣2+a（x＜0），∵函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，∴x＜0时，函数的极大值为2，f′（x）＝﹣3（x+3）（x+1），函数在（﹣∞，﹣3），（﹣1，0）单调递减，（﹣3，﹣1）单调递增，∴x＝﹣1时取得极大值，即1﹣6+9﹣2+a＝2，∴a＝0，故选：D．4．【解答】解：当x≥2时，不等式a x≥ax恒成立，可得a x﹣1≥x在x≥2恒成立，两边取自然对数可得（x﹣1）lna≥lnx，考虑f（x）＝lnx﹣（x﹣1）lna，x≥2，由题意可得x≥2时，f（x）≤0恒成立．f′（x）＝﹣lna，当lna＜0，即0＜a＜1时，f（x）在x≥2递增，可得f（x）≥f（2）＝ln2﹣lna＞0，不成立；当lna＞0即a＞1时，若≥2，即1＜a≤时，f（x）在区间（2，）递增，（，+∞）递减，可得f（x）在x＝处取得最大值，且为ln﹣（﹣1）lna≤0，化为a﹣elna≤0，由g（a）＝a﹣elna的导数为g′（a）＝1﹣＜0在1＜a≤恒成立，即g（a）在1＜a≤时递减，可得g（a）∈[﹣，1），a﹣elna≤0不成立；当＜2，即a＞时，f（x）在x≥2处递减，f（x）在x＝2处取得最大值，且为ln2﹣lna≤0，可得a≥2．可得a的最小值为2．故选：C．5．【解答】解：∵在△ABC中，sin A、sin B、sin C依次成等比数列，∴sin2B＝sin A sin C，利用正弦定理化简得：b2＝ac，由余弦定理得：cos B＝＝＝（+）﹣≥2﹣＝（当且仅当a＝c时取等号），∴cos B≥，∴B的范围为（0，]，设y＝＝，设sin B+cos B＝t，则2sin B cos B＝t2﹣1，由于t＝sin B+cos B＝sin（B+），B∈（0，]，知t∈（1，]，故y＝＝＝t﹣，t∈（1，]，∵y＝t﹣，在（1，]上是增函数，∴y∈（0，]，故选：B．6．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g（x）的图象，可得，故g（x）max＝1，g（x）min＝﹣3，由g（x1）g（x2）＝9，得，由，得，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得，故当时，2x1﹣x2最大，即，故选：A．7．【解答】解：p中椭圆为：＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为（0，±4）和（±4，0），故p为假命题；q中f（x）＝＝，设t＝≥2（当且仅当x＝0时，等号成立），则f（t）＝t+在区间[2，+∞）上单调递增，故f（x）min＝，故q为真命题．所以（綈p）∧q为真命题，故选：B．8．【解答】解：不等式（ax+3）e x﹣x＞0有且只有一个正整数解，即为不等式ax+3＞有且只有一个正整数解，由f（x）＝的导数为f′（x）＝，当x＞1时，f（x）递减；x＜1时，f（x）递增，可得x＝1处f（x）取得最大值，作出y＝f（x）的图象，以及直线y＝ax+3，可得a＝0不符题意；a＞0也不符合题意；当a＜0时，不等式的正整数解为1，可得a+3＞，且2a+3≤，解得﹣3＜a＜﹣，故选：A．9．【解答】解：不妨将抛物线翻转为x2＝4y，设翻转后的直线l的方程为y＝kx+1，翻转后的A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则联立得x2﹣4kx﹣4＝0①，易得抛物线C在点A处的切线方程为y﹣x21＝x1•（x﹣x1），同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y﹣x22＝x2（x﹣x2）．联立得y＝x1x2，再由①可得x1x2＝﹣4，所以y＝﹣1．故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为x＝﹣1，故选：A．10．【解答】解：分别作出函数f（x）＝，g（x）＝e x+1+a的图象，当x＞0时，y＝e2x与y＝g（x）的图象相切，设切点为（m，e2m），即有e2＝e m+1，且e2m＝e m+1+a，解得a＝0，m＝1，当x＜0时，y＝﹣x﹣x2与y＝g（x）的图象相切，设切点为（n，﹣n﹣n2），即有e n+1＝﹣1﹣2n，e n+1+a＝﹣n﹣n2，解得a＝﹣1，n＝﹣1，当y＝g（x）经过点原点，可得e+a＝0，即a＝﹣e，可得﹣1＜a＜0和x＜﹣e时，f（x）和g（x）的图象有两个交点，故选：C．11．【解答】解：如图，M（），NQ：y＝k（x+），联立，得．△＝p2（2﹣k2）2﹣p2k4．设N（x1，y1），Q（x2，y2），则，．又F（），∴＝＝＝＝．∵∠NFQ＝90°，∴，∴＝＝0，∵p≠0，k＞0，解得k＝，当k＝时，△＝p2（2﹣k2）2﹣p2k4＝2p2＞0，满足题意．∴直线NQ的斜率k（k＞0）为．故选：D．12．【解答】解：设点P为B1C的中点，由题意可知M由B1到B1，l＝MA1+MC1+MD中，MA1+MD是定值，MC1由小变大，PC1是定值，MC1＝，函数是增函数，排除A，C，类似双曲线形式，所以C正确；（类似讨论由C到A，由A到B1的过程，l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x）．故选：C．二、填空题13．【解答】解：g（x）为偶函数，g min（x）＝g（0）＝1﹣2a．当x＜0时，令f（x）＝0得x＝﹣1；当x≥0时，令f（x）＝0得x2﹣2ax﹣a+1＝0，△＝4a2﹣4（1﹣a）＝4（a2+a﹣1），（1）若△＜0，即a2+a﹣1＜0，即＜a＜时，方程f（x）＝0（x≥0）无解，由f（g（x））＝0可得g（x）＝﹣1，又g（x）为偶函数，故而f（g（x））＝0最多只有2解，不符合题意；（2）若△＝0即a＝或a＝时，方程f（x）＝0（x≥0）的解为x＝a＝，而g min（x）＝1﹣2a＝2﹣，此时g（x）＝﹣1无解，g（x）＝只有2解，不符合题意；（3）若△＞0即a＜或a＞时，方程f（x）＝0（x≥0）的解为x1＝a﹣，x2＝a+，①若a＜，则x1＜0，x2＜0，且g min（x）＝1﹣2a＞0，此时f（g（x））＝0无解，不符合题意；②若＜a＜1，则x2＞x1＞0，而﹣1＜1﹣2a＜2﹣＜0，∴g（x）＝x1和g（x）＝x2各有2解，故f（g（x））＝0有4解，符合题意；③若a＝1，则x1＝0，x2＝2，g min（x）＝1﹣2a＝﹣1，此时g（x）＝x1有2解，g（x）＝x2有2解，g（x）＝﹣1有1解，此时f（g（x））＝0有5解，不符合题意；④若a＞1，则x2＞0，x1＜0，而g min（x）＝1﹣2a＜﹣1，∴g（x）＝x2有2解，g（x）＝﹣1有2解，故f（g（x））＝0有4解，符合题意．综上，＜a＜1或a＞1．故答案为：（，1）∪（1，+∞）．14．【解答】解：由题意：圆被直线x＝截得的弦长为：|MA|，设圆的半径为r则，|MA|＝|ME|＝r，在Rt△MDE中，|DE|2+|DM|2＝|ME|2，得|MD|＝，|MF|＝，而|MF|＝|MD|+p，所以＝+p，得p＝r，x0＝p，又由于M（x0，2）（x0＞）在抛物线上，则8＝2p2，解得：p＝2，∴|AF|＝＝＝1．故答案为：1．15．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，设|PF1|＝s，|PF2|＝m，则s＝mt（1＜t≤3），由双曲线的定义可得s﹣m＝2a，解得m＝，由m≥c﹣a，可得t≤，又1＜t≤3，可得≥3，即有c≤2a，则c2≤4a2，即b2≤3a2，可得所求渐近线斜率的范围是（0，]．故答案为：（0，]．16．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc＝1，∴cos A＝＝＝，∴A＝，∴B+C＝，即cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣；又4cos B cos C﹣1＝0，∴sin B sin C＝cos B cos C+＝+＝，∴bc＝4R2sin B sin C＝4R2×＝1，解得R＝，其中R为△ABC的外接圆的半径；∴a＝2R sin A＝2××sin＝1，∴b2+c2﹣2bc cos A＝1，解得b2+c2＝2，∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝2+2×1＝4，∴b+c＝2，∴△ABC的周长为a+b+c＝3．故答案为：3．三、解答题17．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）2+lnx＝2x2﹣4x+lnx+2．当x＝1时，f（1）＝0，所以点P（1，f（1））为P（1，0），又，因此k＝f'（1）＝1．因此所求切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1）⇒y＝x﹣1．（2）当a＝﹣1时，g（x）＝2lnx﹣x2+m，则．因为，所以当g'（x）＝0时，x＝1，且当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0；故g（x）在x＝1处取得极大值也即最大值g（1）＝m﹣1．又，g（e）＝m+2﹣e2，＝4﹣e2+，则，所以g（x）在区间上的最小值为g（e），故g（x）在区间上有两个零点的条件是：，所以实数m的取值范围是．18．【解答】解：（1）∵f（x）＝xlnx﹣在（0，+∞）上是减函数，∴f′（x）＝lnx﹣mx≤0在定义域（0，+∞）上恒成立，∴m≥（）max，设h（x）＝，则，由h′（x）＞0，得x∈（0，e），由h′（x）＜0，得x＞e，∴函数h（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（e）＝．∴m≥．故实数m的取值范围是[，+∞）．证明：（2）由（1）知f′（x）＝lnx﹣mx，∵函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，则，∴＝，∴lnx1+lnx2＝•ln＝，设t＝∈（0，1），则lnx1+lnx2＝，要证lnx1+lnx2＞2，只需证，只需证lnt＜，只需证lnt﹣＜0，构造函数g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝＞0，∴g（t）＝lnt﹣在t∈（0，1）上递增，∴g（t）＜g（1）＝0，即g（t）＝lnt﹣＜0，∴lnx1+lnx2＞2．。

河北省定州中学2017-2018学年高一数学下学期第一次月考试题（承智班）一、单选题1．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点.下列结论中正确的个数有 ( )①直线MN 与A 1C 相交.②MN⊥BC.③MN ∥平面ACC 1A 1.④三棱锥N-A 1BC 的体积为1N A BC V -=16a 3. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个2．如图，在ABC ∆中， AB BC ==， 90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是（ ）A. πB. 3πC. 5πD. 7π3．如图，已知四边形ABCD 是正方形， ABP ， BCQ ， CDR ， DAS 都是等边三角形， E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论：①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒③EF 平面PBC ； ④平面EFGH 平面ABCD ；其中正确结论的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4．设是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线和的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线和的两个平行平面；③经过直线有且只有一个平面垂直于直线；④经过直线有且只有一个平面平行于直线，其中正确的个数有（ ） A. B. C. D.5．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为（ ）A. 直线BD ⊥平面1A OCB. 三棱锥1A BCD -C. 1A B CD ⊥D. 若E 为CD 的中点，则//BC 平面1A OE6．在正方体1111ABCD A B C D -中， ,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）137．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED ∆'是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A. 恒有DE ⊥A F 'B. 异面直线A E '与BD 不可能垂直C. 恒有平面A GF '⊥平面BCDED. 动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上8．下列结论中：(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．正确的序号为( )A. (1)(2)B. (3)(4)C. (1)(3)D. (2)(4)9．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其表面积为A. (122+ B. (142C. (152D. (132 10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 是AB 的中点， F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1//PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是（ ）A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,1C. 13⎡⎢⎣⎦D. 13⎡⎢⎣⎦ 11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误的是（ ）A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 12．在正方体1111ABCD A B C D -中， E 是棱1CC 的中点， F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ， 记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ， 下列说法正确的是个数是（ ）①点F 的轨迹是一条线段②1A F 与1D E 不可能平行③1A F 与BE 是异面直线④tan θ≤⑤当F 与1C 不重合时，平面11A FC 不可能与平面1AED 平行A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题13．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为__________．14．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为__________．15．设m n 、是两条不重合的直线， αβγ、、是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,//m n αα⊥，则m n ⊥ ②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥③若//,//m n αα则//m n ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 __________．（把你认为正确命题的序号都填上）16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1AA AB AD ===，点E F G 、、分别是11DD AB CC 、、的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是__________．三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC , D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1A CD ；(Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；18．已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AF AC ADλλ==<<（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？参考答案BDDCC CBCDD11．D12．C13．314．15．①②16．90°17．（Ⅰ）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点，所以1BC ∥DF ，又1BC ⊄平面A 1CD ，又DF ⊂平面A 1CD ，所以1BC ∥平面A 1CD ．（Ⅱ）三棱锥1A CDE -的体积11113A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅．其中三棱锥1A CDE -的高h 等于点C 到平面ABB 1A 1的距离，可知h CD == 9分 又11113221211122222A DE S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．所以111113332A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅=⨯=18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）67λ=(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵AE AFAC AD=＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC. ∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD AB.∴AC由AB2＝AE·AC，得AE∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD。

河北定州中学2017-2018学年第二学期高一第1次月考数学试卷一、单选题1. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是边长为的正方体，底面，且，易得，，所以该四棱锥最长棱的棱长是．本题选择C选项.2. 直角三角形的两条直角边的长度分别是，，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】以该直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高的和为，所以该几何体的体积．本题选择C选项.3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2πB. 3πC. 5πD. 7π【答案】B4. 利用斜二测画法画平面内一个△ABC的直观图得到的图形是，那么的面积与△ABC的面积的比是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将放入锐角为45∘的斜角坐标系内,如图(1)所示，过作,垂足为，将其还原为真实图形,得到图(2)的，其中，在中,,即，∴△ABC的高等于OC由此可得△ABC的面积，∵直观图中的面积为，∴直观图和真实图形的面积的比值等于，故选：A.点睛：本题考查了平面图形的斜二测画法，首先掌握斜二测画法的原则，平行于轴或是在轴的长度不变，平行于轴，或是在轴的长度变为原来的一半，然后会还原为实际图形，直观图与实际图形的面积比值是.5. 四面体的四个顶点都在球的表面上，平面BCD，三角形BCD是边长为3的等边三角形，若AB=4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形。

∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，KS5U...KS5U...KS 5U...KS5U...KS5U...KS5U...，.四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=28π.故选：B.6. 正方体的内切球与外接球的半径之比为A. ∶1B. ∶2C. 1∶D. 2∶【答案】C【解析】设正方体的边长为1, 则正方体的内切球的半径为,外接球的直径是正方体的对角线,所以正方体的内切球与外接球的半径之比为,故选C.7. 如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A. 4πB. 24πC. πD. 8π【答案】A【解析】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；所以球的体积为：=4．故选：A．8. 如图，网格纸的各小格都是正方形（边长为1），粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等；可得几何体如右图所示，这是一个三棱柱．表面积为：故答案为：B.9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为4，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A. 2πB. 4πC. 8πD. 16π【答案】D【解析】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．这是两个底面半径为，母线长4的圆锥，故S=2πrl=2π××4=．故答案为：D.10. 圆台上、下底面半径和母线的比为1：4：5，高为8，那么它的侧面积为（）A. 50πB. 100πC. 150πD. 200π【答案】B【解析】∵圆台上、下底面半径和母线的比为1：4：5，高为8，设圆台上、下底面半径和母线分别为x，4x，5x其轴面如下图所示由勾股定理可得（5x）2=（3x）2+82，解得x=2故圆台的上底面半径r=2，圆台的下底面半径R=8，圆台的母线长l=10，故圆台的侧面积S=π（r+R）l=100π故选：B．11. 某个几何体的三视图如图所示（单位：），该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是由半球和正四棱柱组成，棱柱是棱长为的正方体，球的半径为，该几何体的体积为正方体的体积与半球的体积之和，，故选D.12. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. 1+B. 2+C. 1+2D. 2【答案】B【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.二、填空题13. 如图所示，在边长为的正方形纸片中，与相交于，剪去，将剩余部分沿，折叠，使，重合，则以，，，为顶点的四面体的体积为__________．【答案】【解析】折叠后的四面体如图所示：其中，，两两垂直，且，，故该四面体的体积．点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．14. 已知圆柱底面半径是，高是，则圆柱的表面积是__________．【答案】20π【解析】由题意，圆柱的底面积是，侧面积，故圆柱的表面积．15. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为___________【答案】【解析】设圆柱的底面圆的半径为R，则故填.16. 棱长为a的正四面体的全面积为___________，体积为_________.【答案】(1). (2).【解析】因为正四面体的棱长为，所以正四面体的底面积为，正四面体的表面积为，正四面体的底面外接圆半径为，正四面体的高为，正四面体的为，故答案为，.三、解答题17. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点.（1）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点为的中点且，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）存在点，且为的中点.要证平面，连接，，点，分别为，的中点，转证即可；（2）设点，分别为，的中点，连接，，，易得平面，，从而得到三棱锥的体积.试题解析：（1）存在点，且为的中点.证明如下：如图，连接，，点，分别为，的中点，所以为的一条中位线，，平面，平面，所以平面.（2）如图，设点，分别为，的中点，连接，，，并设，则，，，由，得，解得，又易得平面，，.所以三棱锥的体积为.点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18. 已知边长为的正方形与菱形所在平面互相垂直，为中点．（1）求证：平面；（2）若,求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）证明BC∥AD．说明BC∥平面ADF．通过证明平面BCE∥平面ADF．推出EM∥平面ADF．（Ⅱ）取AB中点P，连结PE．证明EP⊥平面ABCD，然后利用等体积法求解即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF．∵BE 平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF．∵EM⊂平面BCE，∴EM∥平面ADF．（2）取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴EP=．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EP⊥平面ABCD，∴EP为四面体E﹣ACM的高．∴。