高考数学二轮复习 第1部分 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式 2

1.1 集合与常用逻辑用语【课时作业】1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析： ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{}x |－1≤x ≤2. 故选B. 答案： B2．(2018·某某卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． 答案： C3．(2018·某某皖南八校3月联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B的真子集个数为22－1＝3.故选B.答案： B4．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 解析： 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0.答案： C5．(2018·卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B. 答案： B6．(2018·某某市第一统考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,1]B ．(－2,2]C ．(0,1)D ．[－2,2]解析： 不等式log 2x ≤1即log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A ＝(0,2]．由x 2＋x －2≥0，得(x ＋2)(x －1)≥0，得B ＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U B ＝(－2,1)，从而A ∩∁U B ＝(0,1)．故选C.答案： C7．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2>9，x ∈N }，B ＝{0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x >2，x ∈N }B ．{x |x ≤2，x ∈N }C ．{0,2}D ．{1,2}解析： 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤9，x ∈N }＝{x |－3≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，因为B ＝{0,2,4}，所以B ∩(∁U A )＝{0,2}．答案： C8．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．命题“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析： C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.答案： C9．(2018·某某省质量检测(一))已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析： 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，故选D.答案： D10．(2018·某某省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析： 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.答案： D11．(2018·某某某某3月联考)下列命题正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析： 对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1<0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题，q 为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a·b >0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2018·某某某某一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x－a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析： 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值X 围是(1,2)，故选C.答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：____________________.解析： 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 017＋b 2 017的值为________．解析： 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a2 017＋b2 017＝－1.答案： －115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析： 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案： {(2,3)}16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．解析： 显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．答案： c ，a ，b。

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式必考点一集合、常用逻辑用语[高考预测]——运筹帷幄1．以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集及补集的基本运算．2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围．3．考查全称命题、特称命题的否定，以及全称命题与特称命题的真假判断．4．考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题．[速解必备]——决胜千里1．设有限集合A，card(A)＝n(n∈N*)，则(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.2．(1)(∁R A)∩B＝B⇔B⊆∁R A；(2)A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A；(3)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．3．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[速解方略]——不拘一格类型一集合的概念及运算[例1] (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：基本法：化简集合B，利用交集的定义求解．由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.速解法：验证排除法：∵－1∈B，故排除B、D.∵1∉B，∴1∉A∩B，排除C.答案：A(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．9解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．即3×3更不可能．故选C.速解法二：当x＝y时，x－y＝0；当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.答案：C错误!1．(2016·河南郑州市高三质检)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：基本法：本题主要考查集合的基本运算．因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.速解法：∵A∩B＝{4}．∴4∉∁U(A∩B)，排除B、C、D只能选A.答案：A2．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( ) A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}解析：基本法：(直接法)先化简集合B，再利用交集定义求解．∵x2<9，∴－3<x<3，∴B＝{x|－3<x<3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D. 速解法：(代入检验法)12＜9,22＜9,32＝9，且A ∩B ⊆A . 故A ∩B ＝{1,2}，选D. 答案：D类型二 充分、必要条件[例2] (1) 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 答案：C(2)“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数，则－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .从而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数； 若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.速解法：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时⇒x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数，但y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数――→周期性⇒/ x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.答案：A方略点评：1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系．第(1)题采用了特例(y ＝x 3)验证，第(2)题采用了“⇒”形式进行简单推理．2．先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .3．准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．1．已知x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x －4>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：判断x 2－3x >0⇒x －4>0还是x －4>0⇒x 2－3x >0.注意到x 2－3x >0⇔x <0或x >3，x －4>0⇔x >4.由x 2－3x >0不能得出x －4>0；反过来，由x －4>0可得出x 2－3x >0，因此“x 2－3x >0”是“x －4>0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x ＝4时，满足x 2－3x >0，但不满足x －4>0，即不充分．若x －4>0，则x (x －3)>0，即必要．故选B. 答案：B2．(2016·高考山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断．由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 答案：A类型三 命题判定及否定[例3] (1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：基本法：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.答案：C(2)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：基本法：当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x是假命题． 如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题． ∴p ∧q 为假命题，排除A.∵綈p 为真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．选B.速解法：当x ＝0时，不满足2x＜3x，∴p 为假，排除A 、C.利用图象可知，q 为真，排除D ，必选B. 答案：B 方略点评：基本法是具体判断p ，綈p ，q ，綈q 的真假.速解法是利用“当p 、q 全真时，p ∧q 为真”的道理，利用逻辑关系排除.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p x 成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.要判定一个特称存在性命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p x 0成立即可；否则，这一特称存在性命题就是假命题.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.1．(2016·山西四校联考)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＞3x；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sinx ，则下列是真命题的是( )A ．(綈p )∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：基本法：先判断命题p 、q 的真假，然后根据选项得出正确结论． 当x ＝－1时，2－1＞3－1，所以p 为真命题；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x －sin x ＝sin x－cos xcos x＞0，所以q 为真命题，所以p ∨(綈q )是真命题，其他选项都不正确，故选D.速解法：p 为真时，p 或任何命题为真，故选D. 答案：D2．(2016·陕西西安市高三质检)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：基本法：本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log 2(3x＋1)＞0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)＞0.故应选B. 答案：B[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——直接法限时速解训练一 集合、常用逻辑用语(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}解析：选C.由补集的定义，得∁U A ＝{2,4,7}．故选C.2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B解析：选C.由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C. 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(－∞，1]解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝ {x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.4．(2016·山东聊城模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：选D.因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，则a ＝4.5．(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a ＞2，则a 2＞2a 成立，反之不成立，所以“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的充分不必要条件．6．已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1＋3i,1－3i} B ．{3－i} C ．{1＋23i,1－23i} D ．{1－3i}解析：选A.问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±32.故选A. 7．已知命题p ：对任意x ＞0，总有e x≥1，则綈p 为( ) A ．存在x 0≤0，使得e x 0＜1B ．存在x 0＞0，使得e x 0＜1C ．对任意x ＞0，总有e x＜1 D ．对任意x ≤0，总有e x＜1解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：对任意x ＞0，总有e x≥1的否定綈p 为：存在x 0＞0，使得e x 0＜1.故选B.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧(綈q )”是假命题 C ．命题“(綈p )∨q ”是真命题 D ．命题“(綈p )∧(綈q )”是假命题解析：选D.取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D 是正确的． 9．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④解析：选A.①中不等式可表示为(x －1)2＋2＞0，恒成立； ②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x ＞1；③中由a ＞b ＞0，得1a ＜1b，而c ＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．10．(2016·山东济南模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．[0,2]解析：选A.由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]或(2，＋∞)．11．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B. 12．(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件； ③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以2π|2a |＝π，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b ＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0且a 与b 不反向”，故④不正确． 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)14．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________．解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1. 答案：(1，＋∞)15．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 是假命题， 所以p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题知， 綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题， 所以m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题知， 綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1. 答案：[1，＋∞)16．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点．解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2＝bc 2，而若ac 2＞bc 2，则有a ＞b ，故“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上存在零点，又函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．答案：①②③④必考点二 平面向量、复数运算[高考预测]——运筹帷幄1．用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算． 2．复数的代数形式的四则运算及几何意义． [速解必备]——决胜千里1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．2．三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →、OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)．3．三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔O 为△ABC 垂心． 4．a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)． 5．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.6．z ·z ＝|z |2，(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.[速解方略]——不拘一格类型一 平面向量的概念及线性运算[例1] (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)解析：基本法：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.速解法：∵AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 答案：A方略点评：1.基本法是设出点C 坐标，并利用AC →＝(－4，－3)求出点C 坐标，然后计算BC →的坐标．速解法是利用向量减法的意义：BC →＝AC →－AB →.2．向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解析：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案：A方略点评：基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三角形法则进行运算.1．(2016·河北唐山市高三统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD → 解析：基本法：由于M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 答案：B2．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6类型二 平面向量数量积的计算与应用[例2] (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：基本法：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C. 速解法：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.故选C. 答案：C方略点评：1.基本法是把2a ＋b 看作一个向量，求其坐标，最终用坐标法求数量积．速解法是通过展开(2a ＋b )·b ，分别计算a 2及a ·b ，较简单．2．当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 解析：基本法：以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积． AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＝22－12×22＝2.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2方略点评：1.向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某条边求其长．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．1．(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32，∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.速解法：如图，B 为原点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32∴∠ABx ＝60°，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°. 答案：A2．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________. 解析：基本法：∵b ·c ＝0，∴b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，t a·b ＋(1－t )·b 2＝0， 又∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴12t ＋1－t ＝0，t ＝2. 速解法：由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.答案：2类型三 复数的代数运算及几何意义[例3] (1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：基本法：由已知1＋z1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝－2＋－＝－2i －2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A. 速解法：∵1＋i1－i ＝i ，∴z ＝i ，∴|z |＝1.答案：A方略点评：1.基本法是利用解方程思想求出未知数z . 速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出z .2．复数的代数形式的运算，类比于多项式的乘除法与合并同类项，只是利用z z ＝|z |2，把i 2换为－1，复数除法的关键是将分母实数化．3．与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用待定系数法求解．(2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：基本法：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.速解法：检验法：将a ＝0代入适合题意，故选B. 答案：B方略点评：1.基本法是利用复数相等的条件求解，速解法是代入检验排除法，较简单．2．利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用，是解决复数问题的常用方法．1．(2016·高考全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：基本法：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解．(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：基本法：由已知得2＋a i ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，故选D. 答案：D[终极提升]——登高博见 速解选择题方法——排除法限时速解训练二 平面向量、复数运算(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i解析：选A.∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选A. 2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则2BA →·AC →＝0，即BA ⊥AC ，故选C. 3．已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D.z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析：选D.BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD →＝BC →·CD →＋CD →2＝12a 2＋a 2＝32a 2.5．(2016·广西南宁适应性测试)已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1－i)z ＝2，则z 为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋i D ．2－i 解析：选B.依题意得z ＝21－i＝＋i －＋＝1＋i ，∴z ＝1－i ，选B.6．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7)解析：选B.因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.7．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1 解析：选B.因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝(i 2)1 009＝(－1)1 009＝－1.8．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52， 故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2.9．(2016·陕西西安质检)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5＋12i B ．－5－12i C ．－13＋12i D ．－13－12i解析：选A.z 1＝3－2i ，由题意知z 2＝－3＋2i ， ∴z 1·z 2＝(3－2i)·(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A.10．(2016·辽宁沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析：选B.由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.11．(2016·辽宁五校联考)已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2z z －1＝1＋i2－21＋i i ＝－2i＝2i ，故选B.12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝10，故选B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 解析：∵λa ＋b ＝0，即λa ＝－b ，∴|λ||a |＝|b |. ∵|a |＝1，|b |＝5，∴|λ|＝ 5. 答案： 514．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__________.解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3. 答案：315．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝__________. 解析：∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝0， 即OA →·(OB →－OA →)＝0， ∴OA →·OB →＝OA →2＝9. 答案：916．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.答案：－2必考点三 算法、框图与推理[高考预测]——运筹帷幄1．根据框图的程序进行结果的求解，判断条件的补写、完善过程． 2．以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理． [速解必备]——决胜千里 1．程序框图中有S ＝S ＋1－＋，i ＝i ＋1时，表示数列裂项求和．2．程序中有“S ＝S ＋2n＋n ，n ＝n ＋1”表示等比数列与等差数列求和． 3．三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n (第n 个三角形数)四边形数N (n,4)＝n 2(第n 个四边形数) 五边形数N (n,5)＝32n 2＋－12n (第n 个五边形数)k 边形数N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n (k ≥3)(第n 个k 边形数)4．类比推理常见的类比内容 平面几何中的点↔空间几何中的线 平面几何中的线↔空间几何中的面 平面几何中的三角形↔空间几何中的三棱锥 平面几何中的圆↔空间几何中的球 [速解方略]——不拘一格类型一 求算法与框图的输入或输出值[例1] (1)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：基本法：逐次运行程序，直至输出n . 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S ＞0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S ＞0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S ＞0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S ＞0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S ＜0.01.输出n ＝7.故选C.速解法：由框图可知S ＝1－121－122－123－124－…－12n＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n ≤0.01输出n ，∴2n≥100，∴n 的最小值为7. 答案：C方略点评：1.基本法是按程序一次次循环计算，当不满足条件时跳出循环得出结果． 2．速解法是归纳S ＝S －m 的运算规律利用数列求和进行估算，稍简单一点．(2)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝()A ．0B ．2C ．4D ．14解析：基本法：逐次运行程序，直至程序结束得出a 值．a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14＜18，b ＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4且14＞4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10＞4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6＞4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2＜4，b ＝4－2＝2；第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2，故选B.速解法：“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数，本题求14,18的最大公约数，结合选项知为2，选B. 答案：B方略点评：1.基本法是按更相减损术的运算过程逐步求解．速解法是利用更相减损术的作用和公约数的定义直接得答案，显然简单．2．求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、差、积、商的运算结果，有的是计数变量等．1．(2016·高考全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34解析：基本法：逐次运行程序，直到满足条件时输出s值终止程序．输入x＝2，n＝2.第一次，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；第二次，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.答案：C2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为( )A．3 B．4C ．5D ．6解析：基本法：依据初始条件，逐步求出S 的值，判断n 的值． 由S ＝0，k ＝1得S ＝1，k ＝2，应该为否，即2≤n ⇒S ＝1＋2×1＝3，k ＝3为否，即3≤n ⇒S ＝1＋2×3＝7，k ＝4为否，即4≤n ⇒S ＝1＋2×7＝15，k ＝5为是，即5>n 综上，4≤n <5，∴n ＝4.故选B.速解法：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解． 框图功能为求和，即S ＝1＋21＋22＋…＋2n －1.由于S ＝－2n1－2＝2n－1∈(10,20)，∴10<2n－1<20，∴11<2n<21， ∴n ＝4，即求前4项和．∴判断框内的条件为k >4，即n ＝4.故选B. 答案：B类型二 补写、完善程序框图[例2] (1)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？解析：基本法：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.速解法：由题意可知S ＝12＋14＋16＋18＝2524，此时输出8，是不满足条件，故选C.答案：C方略点评：基本法是按程序过程逐步判断是否满足条件速解法是归纳了s ＝s ＋1k的作用求和直接验算.(2)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )解析：基本法：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．故选C.答案：C方略点评：1.基本法是根据框图的程序对i 的取值验证，速解法是根据当s ≥10时，输出的i 值验证答案．2．循环结构有当型循环和直到型循环．当型循环是当满足条件时执行循环体．直到型循环是直到满足条件时才跳出循环．3．首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次试走几步循环体，体会循环体的内容和功能，最后利用判断框中的条件确定循环的次数．1．给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和．下图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A．i≤30？和p＝p＋i－1B．i≤31？和p＝p＋i＋1C．i≤31？和p＝p＋iD．i≤30？和p＝p＋i解析：基本法：由题可知，程序要执行30次．所以①处应填i≤30？，②处应填p＝p＋i. 答案：D2．如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A．i≤2 021? B．i≤2 019?C．i≤2 017? D．i≤2 015?解析：基本法：由题知，判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”，故选C.答案：C类型三合情推理、演绎推理[例3] (1)(2016·高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：基本法：根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3 (2)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律， 第n 个等式可为________. 解析：基本法：12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋2.速解法：设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10 即a 1＝＋2，a 2＝＋2， a 3＝＋2，a 4＝＋2，其符号规律为(－1)n ＋1∴第n 个等式右侧为(－1)n ＋1n n ＋2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2方略点评：1.基本法是分析式子的特点归纳出运算方法，利用数列求和． 速解法是直接归纳“＝”右侧的数字规律，较为简单．2．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．3．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．4．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．1．观察下列等式 1－12 ＝12 ， 1－12 ＋13－14＝13＋14， 1－12 ＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为________________________．解析：基本法：规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2，…，2n ，分子为1，奇数项为正、偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n 个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 答案：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)2．在平面几何中：△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成的线段的比为AC BC ＝AEBE(如图1)．把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图2)，面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则类比得到的结论是________．解析：基本法：由平面中线段的比类比空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[终极提升]——登高博见求解选择题，填空题的方法——特例法限时速解训练三算法、框图及推理(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B.对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误，故选B.。

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理、不等式必考点一集合、常用逻辑用语[高考预测]——运筹帷幄1．以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集及补集的基本运算．2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围．3．考查全称命题、特称命题的否定，以及全称命题与特称命题的真假判断．4．考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题．[速解必备]——决胜千里1．设有限集合A，card(A)＝n(n∈N*)，则(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.2．(1)(∁R A)∩B＝B⇔B⊆∁R A；(2)A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A；(3)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．3．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[速解方略]——不拘一格类型一集合的概念及运算[例1] (1)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：基本法：化简集合B，利用交集的定义求解．由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.速解法：验证排除法：∵－1∈B，故排除B、D.∵1∉B，∴1∉A∩B，排除C.答案：A(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．9解析：基本法：用列举法把集合B中的元素一一列举出来．当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.速解法一：排除法：估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．即3×3更不可能．故选C.速解法二：当x＝y时，x－y＝0；当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.答案：C错误!1．(2016·河南郑州市高三质检)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：基本法：本题主要考查集合的基本运算．因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.速解法：∵A∩B＝{4}．∴4∉∁U(A∩B)，排除B、C、D只能选A.答案：A2．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( ) A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}解析：基本法：(直接法)先化简集合B，再利用交集定义求解．∵x2<9，∴－3<x<3，∴B＝{x|－3<x<3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D. 速解法：(代入检验法)12＜9,22＜9,32＝9，且A ∩B ⊆A . 故A ∩B ＝{1,2}，选D. 答案：D类型二 充分、必要条件[例2] (1) 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：基本法：利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 答案：C(2)“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数，则－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .从而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．因此若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数； 若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.所以“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4”是“函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.速解法：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时⇒x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数，但y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4为增函数――→周期性⇒/ x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2⇒/ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4.答案：A方略点评：1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系．第(1)题采用了特例(y ＝x 3)验证，第(2)题采用了“⇒”形式进行简单推理．2．先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .3．准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．1．已知x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x －4>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：判断x 2－3x >0⇒x －4>0还是x －4>0⇒x 2－3x >0.注意到x 2－3x >0⇔x <0或x >3，x －4>0⇔x >4.由x 2－3x >0不能得出x －4>0；反过来，由x －4>0可得出x 2－3x >0，因此“x 2－3x >0”是“x －4>0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B速解法：利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x ＝4时，满足x 2－3x >0，但不满足x －4>0，即不充分．若x －4>0，则x (x －3)>0，即必要．故选B. 答案：B2．(2016·高考山东卷)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断．由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件． 答案：A类型三 命题判定及否定[例3] (1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：基本法：因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2＞2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”．故选C.答案：C(2)已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：基本法：当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x是假命题． 如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题． ∴p ∧q 为假命题，排除A.∵綈p 为真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．选B.速解法：当x ＝0时，不满足2x＜3x，∴p 为假，排除A 、C.利用图象可知，q 为真，排除D ，必选B. 答案：B 方略点评：基本法是具体判断p ，綈p ，q ，綈q 的真假.速解法是利用“当p 、q 全真时，p ∧q 为真”的道理，利用逻辑关系排除. 2要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p x 成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.3要判定一个特称存在性命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p x 0成立即可；否则，这一特称存在性命题就是假命题.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.1．(2016·山西四校联考)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＞3x；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sinx ，则下列是真命题的是( )A ．(綈p )∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：基本法：先判断命题p 、q 的真假，然后根据选项得出正确结论． 当x ＝－1时，2－1＞3－1，所以p 为真命题；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x －sin x ＝sin x 1－cos xcos x ＞0，所以q 为真命题，所以p ∨(綈q )是真命题，其他选项都不正确，故选D.速解法：p 为真时，p 或任何命题为真，故选D. 答案：D2．(2016·陕西西安市高三质检)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：基本法：本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log 2(3x＋1)＞0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)＞0.故应选B. 答案：B[终极提升]——登高博见 选择题、填空题的解法——直接法限时速解训练一 集合、常用逻辑用语(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}解析：选C.由补集的定义，得∁U A ＝{2,4,7}．故选C.2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B解析：选C.由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C. 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(－∞，1]解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝ {x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.4．(2016·山东聊城模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：选D.因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，则a ＝4.5．(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a ＞2，则a 2＞2a 成立，反之不成立，所以“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的充分不必要条件．6．已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B 等于( ) A ．{1＋3i,1－3i} B ．{3－i} C ．{1＋23i,1－23i} D ．{1－3i}解析：选A.问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±32.故选A. 7．已知命题p ：对任意x ＞0，总有e x≥1，则綈p 为( ) A ．存在x 0≤0，使得e x 0＜1B ．存在x 0＞0，使得e x 0＜1C ．对任意x ＞0，总有e x＜1 D ．对任意x ≤0，总有e x＜1解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：对任意x ＞0，总有e x≥1的否定綈p 为：存在x 0＞0，使得e x 0＜1.故选B.8．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧(綈q )”是假命题 C ．命题“(綈p )∨q ”是真命题 D ．命题“(綈p )∧(綈q )”是假命题解析：选D.取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D 是正确的． 9．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④解析：选A.①中不等式可表示为(x －1)2＋2＞0，恒成立； ②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x ＞1；③中由a ＞b ＞0，得1a ＜1b，而c ＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．10．(2016·山东济南模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．[0,2]解析：选A.由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]或(2，＋∞)．11．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0＜b ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜1，即|b |＜2，不能得到0＜b ＜1；反过来，若0＜b ＜1，则圆心到直线的距离为d ＝|b |2＜12＜1，所以直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交，故选B. 12．(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”；②“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件； ③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以2π|2a |＝π，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b ＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0且a 与b 不反向”，故④不正确． 二、填空题(把答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)14．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________．解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1. 答案：(1，＋∞)15．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 是假命题， 所以p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题知， 綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题， 所以m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题知， 綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1. 答案：[1，＋∞)16．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点．解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2＝bc 2，而若ac 2＞bc 2，则有a ＞b ，故“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上存在零点，又函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．答案：①②③④必考点二 平面向量、复数运算[高考预测]——运筹帷幄1．用平面向量的几何运算、坐标运算进行线性运算和数量积的运算． 2．复数的代数形式的四则运算及几何意义． [速解必备]——决胜千里1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．2．三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →、OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)．3．三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔O 为△ABC 垂心． 4．a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)． 5．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.6．z ·z ＝|z |2，(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.[速解方略]——不拘一格类型一 平面向量的概念及线性运算[例1] (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)解析：基本法：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.速解法：∵AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 答案：A方略点评：1.基本法是设出点C 坐标，并利用AC →＝(－4，－3)求出点C 坐标，然后计算BC →的坐标．速解法是利用向量减法的意义：BC →＝AC →－AB →.2．向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解析：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案：A方略点评：基本法一是利用了基本定理运算.基本法二是利用了三角形法则进行运算.1．(2016·河北唐山市高三统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD → 解析：基本法：由于M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 答案：B2．(2016·高考全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6.速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6类型二 平面向量数量积的计算与应用[例2] (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：基本法：因为2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所以(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选C. 速解法：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a·b ＝4－3＝1.故选C. 答案：C方略点评：1.基本法是把2a ＋b 看作一个向量，求其坐标，最终用坐标法求数量积．速解法是通过展开(2a ＋b )·b ，分别计算a 2及a ·b ，较简单．2．当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 解析：基本法：以AB →、AD →为基底表示AE →和BD →后直接计算数量积． AE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＝22－12×22＝2.速解法：(坐标法)先建立平面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解．如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2方略点评：1.向量的模的求法一是根据向量的定义，二是将向量的模转化为三角形的某条边求其长．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．1．(2016·高考全国丙卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32，∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.速解法：如图，B 为原点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32∴∠ABx ＝60°，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°. 答案：A2．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b·c ＝0，则t ＝________. 解析：基本法：∵b ·c ＝0，∴b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，t a·b ＋(1－t )·b 2＝0， 又∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴12t ＋1－t ＝0，t ＝2. 速解法：由t ＋(1－t )＝1知向量a 、b 、c 的终点A 、B 、C 共线，在平面直角坐标系中设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32.把a 、b 、c 的坐标代入c ＝t a ＋(1－t )b ，得t ＝2.答案：2类型三 复数的代数运算及几何意义[例3] (1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：基本法：由已知1＋z1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝－2＋－＝－2i －2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A. 速解法：∵1＋i1－i ＝i ，∴z ＝i ，∴|z |＝1.答案：A方略点评：1.基本法是利用解方程思想求出未知数z . 速解法是利用了一个常用特殊运算结果直接得出z .2．复数的代数形式的运算，类比于多项式的乘除法与合并同类项，只是利用z z ＝|z |2，把i 2换为－1，复数除法的关键是将分母实数化．3．与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用待定系数法求解．(2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：基本法：∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0.速解法：检验法：将a ＝0代入适合题意，故选B. 答案：B方略点评：1.基本法是利用复数相等的条件求解，速解法是代入检验排除法，较简单．2．利用复数相等转化为实数运算是复数实数化思想的具体应用，是解决复数问题的常用方法．1．(2016·高考全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：基本法：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解．(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．若a 为实数，且2＋a i 1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：基本法：由已知得2＋a i ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，故选D. 答案：D[终极提升]——登高博见 速解选择题方法——排除法限时速解训练二 平面向量、复数运算(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i解析：选A.∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选A. 2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则2BA →·AC →＝0，即BA ⊥AC ，故选C. 3．已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D.z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－1＋i 1－i＝－1－i. 4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析：选D.BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD →＝BC →·CD →＋CD →2＝12a 2＋a 2＝32a 2.5．(2016·广西南宁适应性测试)已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1－i)z ＝2，则z 为( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋i D ．2－i 解析：选B.依题意得z ＝21－i ＝＋1－i 1＋i＝1＋i ，∴z ＝1－i ，选B. 6．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7) D ．(－3，－7)解析：选B.因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故选B.7．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1 解析：选B.因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 018＝(i 2)1 009＝(－1)1 009＝－1.8．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52， 故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2.9．(2016·陕西西安质检)设复数z 1和z 2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且z 1＝3－2i ，则z 1·z 2＝( ) A ．－5＋12i B ．－5－12i C ．－13＋12i D ．－13－12i解析：选A.z 1＝3－2i ，由题意知z 2＝－3＋2i ， ∴z 1·z 2＝(3－2i)·(－3＋2i)＝－5＋12i ，故选A.10．(2016·辽宁沈阳质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269解析：选B.由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.11．(2016·辽宁五校联考)已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2z z －1＝1＋i2－21＋i i ＝－2i＝2i ，故选B.12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝10，故选B.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 解析：∵λa ＋b ＝0，即λa ＝－b ，∴|λ||a |＝|b |. ∵|a |＝1，|b |＝5，∴|λ|＝ 5. 答案： 514．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__________.解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3. 答案：315．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝__________. 解析：∵OA →⊥AB →，∴OA →·AB →＝0， 即OA →·(OB →－OA →)＝0， ∴OA →·OB →＝OA →2＝9. 答案：916．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.答案：－2必考点三 算法、框图与推理[高考预测]——运筹帷幄1．根据框图的程序进行结果的求解，判断条件的补写、完善过程． 2．以数表、数阵、图形、代数式为背景进行归纳推理与类比推理． [速解必备]——决胜千里 1．程序框图中有S ＝S ＋12i －12i ＋1，i ＝i ＋1时，表示数列裂项求和．2．程序中有“S ＝S ＋2n＋n ，n ＝n ＋1”表示等比数列与等差数列求和． 3．三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n (第n 个三角形数)四边形数N (n,4)＝n 2(第n 个四边形数) 五边形数N (n,5)＝32n 2＋－12n (第n 个五边形数)k 边形数N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1n 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－2n (k ≥3)(第n 个k 边形数)4．类比推理常见的类比内容 平面几何中的点↔空间几何中的线 平面几何中的线↔空间几何中的面 平面几何中的三角形↔空间几何中的三棱锥 平面几何中的圆↔空间几何中的球 [速解方略]——不拘一格类型一 求算法与框图的输入或输出值[例1] (1)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：基本法：逐次运行程序，直至输出n . 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S ＞0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S ＞0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S ＞0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S ＞0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S ＜0.01.输出n ＝7.故选C.速解法：由框图可知S ＝1－121－122－123－124－…－12n＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n ≤0.01输出n ，∴2n≥100，∴n 的最小值为7. 答案：C方略点评：1.基本法是按程序一次次循环计算，当不满足条件时跳出循环得出结果． 2．速解法是归纳S ＝S －m 的运算规律利用数列求和进行估算，稍简单一点．(2)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝()A ．0B ．2C ．4D ．14解析：基本法：逐次运行程序，直至程序结束得出a 值．a ＝14，b ＝18.第一次循环：14≠18且14＜18，b ＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4且14＞4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10＞4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6＞4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2＜4，b ＝4－2＝2；第六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2，故选B.速解法：“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数，本题求14,18的最大公约数，结合选项知为2，选B. 答案：B方略点评：1.基本法是按更相减损术的运算过程逐步求解．速解法是利用更相减损术的作用和公约数的定义直接得答案，显然简单．2．求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，有的是求函数值，有的是求和、差、积、商的运算结果，有的是计数变量等．1．(2016·高考全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34解析：基本法：逐次运行程序，直到满足条件时输出s值终止程序．输入x＝2，n＝2.第一次，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；第二次，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.答案：C2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为( )A．3 B．4C ．5D ．6解析：基本法：依据初始条件，逐步求出S 的值，判断n 的值． 由S ＝0，k ＝1得S ＝1，k ＝2，应该为否，即2≤n ⇒S ＝1＋2×1＝3，k ＝3为否，即3≤n ⇒S ＝1＋2×3＝7，k ＝4为否，即4≤n ⇒S ＝1＋2×7＝15，k ＝5为是，即5>n 综上，4≤n <5，∴n ＝4.故选B.速解法：先读出框图的计算功能，再结合等比数列求和公式求解． 框图功能为求和，即S ＝1＋21＋22＋…＋2n －1.由于S ＝－2n1－2＝2n－1∈(10,20)，∴10<2n－1<20，∴11<2n<21， ∴n ＝4，即求前4项和．∴判断框内的条件为k >4，即n ＝4.故选B. 答案：B类型二 补写、完善程序框图[例2] (1)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？解析：基本法：由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.速解法：由题意可知S ＝12＋14＋16＋18＝2524，此时输出8，是不满足条件，故选C.答案：C方略点评：基本法是按程序过程逐步判断是否满足条件速解法是归纳了s ＝s ＋1k的作用求和直接验算.(2)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )解析：基本法：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．故选C.答案：C方略点评：1.基本法是根据框图的程序对i 的取值验证，速解法是根据当s ≥10时，输出的i 值验证答案．2．循环结构有当型循环和直到型循环．当型循环是当满足条件时执行循环体．直到型循环是直到满足条件时才跳出循环．3．首先看懂每个图形符号的意义和作用，其次试走几步循环体，体会循环体的内容和功能，最后利用判断框中的条件确定循环的次数．1．给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和．下图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( )A．i≤30？和p＝p＋i－1B．i≤31？和p＝p＋i＋1C．i≤31？和p＝p＋iD．i≤30？和p＝p＋i解析：基本法：由题可知，程序要执行30次．所以①处应填i≤30？，②处应填p＝p＋i. 答案：D2．如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A．i≤2 021? B．i≤2 019?C．i≤2 017? D．i≤2 015?解析：基本法：由题知，判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”，故选C.答案：C类型三合情推理、演绎推理[例3] (1)(2016·高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：基本法：根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3 (2)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律， 第n 个等式可为________. 解析：基本法：12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n n ＋2.速解法：设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10 即a 1＝＋2，a 2＝＋2， a 3＝＋2，a 4＝＋2，其符号规律为(－1)n ＋1∴第n 个等式右侧为(－1)n ＋1n n ＋2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2方略点评：1.基本法是分析式子的特点归纳出运算方法，利用数列求和． 速解法是直接归纳“＝”右侧的数字规律，较为简单．2．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．3．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．4．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．1．观察下列等式 1－12 ＝12 ， 1－12 ＋13－14＝13＋14， 1－12 ＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为________________________．解析：基本法：规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2，…，2n ，分子为1，奇数项为正、偶数项为负，即为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边共有n 项且分母分别为n ＋1，n ＋2，…，2n ，分子为1，即为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .所以第n 个等式可为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 答案：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)2．在平面几何中：△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成的线段的比为AC BC ＝AEBE(如图1)．把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图2)，面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则类比得到的结论是________．解析：基本法：由平面中线段的比类比空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[终极提升]——登高博见求解选择题，填空题的方法——特例法限时速解训练三算法、框图及推理(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B.对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误，故选B.。