(浙江版)2018年高考数学复习： 专题1.1 集合的概念及其基本运算(测)

专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】【知识清单】1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示对点练习：【2017浙江嘉兴一中模拟】若集合{}1,2,3A =， (){},40,,B x y x y x y A =+-∈，则集合B 中的元素个数为（ ）A. 9B. 6C. 4D. 32．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。

记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。

记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n-． 对点练习：【2017辽宁锦州质检（一）】集合{|3,}nM x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关系（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N φ⋂=D. M ⊆N 且N ⊆M 【答案】D【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈∉∈∉ ,所以M ⊆N 且N ⊆M ,选D. 3．集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示名称交集并集补集数学 语言 A∩B={x|x∈A ,且x∈B} A∪B={x|x∈A ,或x∈B}C U A={x|x ∈U,且xA}图形 语言（2）三种运算的常见性质A A A =I ， A ∅=∅I ， AB B A =I I ， A A A =U ， A A ∅=U ， A B B A =U U ．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆I , A B A B A =⇔⊆U , ()U U U C A B C A C B =U I ,()U U U C A B C A C B =I U ．【2017浙江卷】已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q P YA ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(【答案】A【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识，集合的基本运算．纵观近5年的高考试题，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现，元素的性质以不等式为主，偶有离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】若a b R ∈，，集合,{10,,a b a b ba}={+}，，求b a -的值________． 【答案】2【解析】由,{10,,a b a b ba}={+}，可知0a ≠，则只能0a b ＋＝，则有以下对应关系： 0,,1,a b b a a b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩① 或0,,1,a b b a b a⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩ ② 由①得1,1,a b =-⎧⎨=⎩符合题意；②无解．∴2b a －＝．【1-2】集合2*{|70,}A x x x x N =-<∈，则*6{|,}B y N y A y=∈∈中元素的个数为（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【解析】试题分析：2*{|70,}A x x x x N =-<∈}6,5,4,3,2,1{=，}6,3,2,1{B =，因为B B A =I ，∴集合2*{|70,}A x x x x N =-<∈，则*6{|,}B y N y A y=∈∈中元素的个数为个． 【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】【变式一】【2017河北唐山期末】已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【变式二】设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝＋，．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】B【解析】P Q ＋＝{}1,2,3,4,6,7,8,11，故P Q ＋中元素的个数是8． 考点2 集合间的基本关系【2-1】【2017四川适应性测试】设集合{}1 1A =-，，集合{}1 B x ax a R ==∈，，则使得B A ⊆的的所有取值构成的集合是（ ）A ．{}0 1，B ．{} 1-0 ，C ．{}1 1-，D ．{}1 0 1-，， 【答案】D【解析】：因为B A ⊆，所以,{1},{1}B =∅-，因此0,1,1a =-，选D.【2-2】已知集合2{|()}A x y lg x x ＝＝－，2{|00}B x x cx c <>＝－，，若A B ⊆，则实数的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)【答案】 B【领悟技法】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且}m R ∈，则下列关系中成立的是( )A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝D ．P Q ∅I ＝【答案】A【解析】10{|}P m m <<＝－，20,:16160,m Q m m <⎧⎨∆=+<⎩或0m ＝． ∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠． 【变式2】已知集合,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A. M N =∅I B. M N ⊆ C. N M ⊆ D. M N N =U 【答案】B 【解析】(22)2,,8484k n M x x k Z x x k Z ππππ⎧+⎫⎧⎫==-∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,284k N x x ππ⎧==-⎨⎩或(21),84k k Z ππ-⎫-∈⎬⎭，所以M N ⊆． 考点3 集合的基本运算【3-1】【2017新课标1】已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．A IB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A I B =∅C ．A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A U B=R【解析】由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A ． 【3-2】【2017浙江五校联考】设全集U R =，集合{|3},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B ⋂= （ ）A. {|03}x x <<B. {|03}x x ≤≤C. {|03}x x <≤D. {|03}x x ≤< 【答案】D【3-3】【2017浙江台州一模】若集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，所以或，故选C.【领悟技法】1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

专题一 集合的概念与运算【母题原题1】【2018浙江，1】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 【答案】C点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 【母题原题2】【2017浙江，1】已知集合{}{}x|-1<x 1 Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A. （-1,2） B. （0，1） C. （-1,0） D. （1,2） 【答案】A【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q ⋃= ()1,2-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 【母题原题3】【2016浙江，理1】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q =R ðA ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()1,3(2,2)2,3Q x x P Q =<=-∴=-=-R R 痧．故选B ．【考点】一元二次不等式；集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，2x 的系数一定要保证为正数，若2x 的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．【母题原题3】【2016浙江，文1】已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A. {1} B. {3，5} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，5} 【答案】C【解析】试题分析：根据补集的运算得{}(){}{}{}2,4,6,2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C. 【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．【命题意图】 1.理解、掌握集合的表示方法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系.2.能够正确处理含有字母的讨论问题,掌握集合的交、并、补运算和性质.3.要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题.4.命题以集合的运算为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识，集合的基本运算，简单不等式的解法，理解函数的定义域值域等．考查运算求解能力，运用数形结合思想分析与解决问题的能力.【命题规律】纵观近5年的高考试题，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现，元素的性质以不等式为主，偶有离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．本专题在高考中分值为5分左右,属于中低档题.【答题模板】解答此类题目，一般考虑如下三步：第一步：确定集合中元素的形式.即辨清是数集、点集还是图形集等；第二步：对集合的化简.要先对集合中元素的性质进行化简,再进行相关运算；第三步：运算求解.要善于借助数轴或韦恩图等工具,运用数形结合的方法进行求解.【方法总结】（一）与集合元素有关问题的解题方略1.确定集合的代表元素;2.看代表元素满足的条件;3.根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,但要注意,检验集合中的元素是否满足互异性.（二）集合间的基本关系的解题方法1.判断集合间基本关系的方法有三种:(1)一一列举观察;(2)集合中元素特征法,首先确定集合中的元素是什么,弄清楚集合中元素的特征,再判断集合间的关系;(3)数形结合法,利用数轴或韦恩图求解.2.子集与真子集:集合A的真子集一定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集.若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.（三）集合的基本运算的解题方法集合的交、并、补运算需注意以下三个方面:一是确定集合中元素的形式,即辨清是数集、点集还是图形集等;二是对集合的化简,要先对集合中元素的性质进行化简,再进行相关运算;三是要善于借助数轴或韦恩图等工具,运用数形结合的方法进行求解.（四）特别提醒1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4. 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图. 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化，这是数形结合思想的又一体现.其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.相似模拟题训练1．【2018届福建省百校临考冲刺】设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B2．【2018届山西省孝义市一模】已知集合，，全集，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，则，故选A. 3．【2017年北京卷文】已知，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为或，所以，故选C.4．【2018届天津市部分区调查二】已知全集，集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】D5．【2018届四川省冲刺演练一】设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出集合，再根据补集的定义求得，然后根据并集的定义即可求出.详解：∵集合∴∵∴∵∴故选B.6．【2018届四川省冲刺演练一】设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A7．【2018届山东省滨州市高三上期中】已知集合{|1}A x x =<， {}320B x x =-，则A B ⋂=（ ）A. 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),1-∞ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ∅ 【答案】B【解析】由{}320B x x =-得： 3,2B ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭，结合{|1}A x x =<可得(),1A B ⋂=-∞，故选B. 8．【2018届天津市河北区二模】已知全集为R ，集合，则集合等于（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据全集为，由集合，求出集合的补集，然后利用交集的定义求出的补集与的交集即可.详解： 集合，，故选B.9．【2018届广东省佛山市检测（二）】已知全集{}U 1,2,3,4,5=，若{}A 1,3,5=, {}B 3,4,5=，则()()UUA B ⋂=痧 ( )A. ∅B. {}2C. {}1,3D. {}2,5 【答案】B【解析】分析：先求出集合A 、B 的补集，再求得两补集的交集. 详解：由题意{}2,4U C A =， {}1,2U C B =，∴()(){}2U U C A C B ⋂=. 故选B.点睛：集合的运算问题，关键是首先确定集合中的元素，其次是集合运算的概念，其中补集是相对于全集而言的，因此全集是解题的重要条件.10．【2018届【衡水金卷】模拟二】已知集合，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，由于，所以，故选C. 11．【2018届天津市滨海新区七所重点学校联考】已知全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,故选C.12．【2018届湖南省湘潭市四模】已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A。

1.1 集合的概念与运算教师专用真题精编1.(2018课标全国Ⅰ理,2,5分)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=()A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案 B 本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法.化简A={x|x<-1或x>2},∴∁R A={x|-1≤x≤2}.故选B.2.(2018,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案 A 本题主要考查集合的运算.化简A={x|-2<x<2},∴A∩B={0,1},故选A.3.(2018课标全国Ⅱ理,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4答案 A 本题主要考查集合的含义与表示.由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A中共有9个元素,故选A.4.(2018课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案 C 本题考查集合的运算.∵A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故选C.5.(2018某某,1,5分)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=()A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}答案 B 本题主要考查集合的基本运算.由B={x|x≥1},得∁R B={x|x<1},借助于数轴,可得A∩(∁R B)={x|0<x<1},故选B.6.(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案 B 集合A表示单位圆上的所有的点,集合B表示直线y=x上的所有的点.A∩B表示直线与圆的公共点,显然,直线y=x经过圆x2+y2=1的圆心(0,0),故共有两个公共点,即A∩B 中元素的个数为2.7.(2017理,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A 由集合的交集运算可得A∩B={x|-2<x<-1},故选A.8.(2017某某,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案 B 因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A ∪B)∩C={1,2,4}.故选B.9.(2017课标全国Ⅲ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 B 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.10.(2017文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案 C 根据补集的定义可知∁U A={x|-2≤x≤2}=[-2,2].故选C.11.(2017某某文,1)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案C|x-1|<1⇒-1<x-1<1⇒0<x<2,即M={x|0<x<2}.又N={x|x<2},所以M∩N={x|0<x<2}=(0,2).故选C.12.(2016课标全国Ⅲ文,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}答案 C 由补集定义知∁A B={0,2,6,10},故选C.13.(2016某某,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=()A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}答案A∵A∪B={1,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,6},故选A.14.(2016某某,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案CA中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.15.(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=()A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}答案B∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.16.(2015某某,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案 A 由已知得,M={0,1},N={x|0<x≤1},则M∪N=[0,1].17.(2015某某,6,5分)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).()A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立答案 A 由题意d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,A=B⇔card(A∪B)=card(A∩B)⇔d(A,B)=0,所以A≠B⇔d(A,B)>0,说明命题①成立.对于命题②,可由韦恩图分析命题成立.18.(2015某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案 A 由已知得∁U B={2,5,8},∴A∩∁U B={2,5},故选A.19.(2015课标全国Ⅰ文,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A ∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案 D 由已知得A={2,5,8,11,14,17,…},又B={6,8,10,12,14},所以A∩B={8,14}.故选D.20.(2015课标全国Ⅱ理,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案 A 因为B={x|-2<x<1},所以A∩B={-1,0},故选A.21.(2015某某,9,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y ∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为() A.77B.49C.45D.30答案 C 当x1=0时,y1∈{-1,0,1},而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此时x1+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},则A⊕B中元素的个数为5×7=35.当x1=±1时,y1=0,而x2,y2∈{-2,-1,0,1,2},此时x1+x2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}.由于x1+x2∈{-2,-1,0,1,2},y1+y2∈{-2,-1,0,1,2}时,A⊕B中的元素与前面重复,故此时与前面不重复的元素个数为2×5=10,则A⊕B中元素的个数为35+10=45.22.(2018某某,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.答案{1,8}解析本题考查集合的运算.∵A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},∴A∩B={1,8}.23.(2016某某,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}解析∵A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},∴A∩B={-1,2}.24.(2013某某,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8解析集合{-1,0,1}的子集有⌀,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1},共8个.25.(2018,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].M(α,β)=12(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,M(α,α)=12[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.M(α,β)=12(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1, 1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1) .经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=0}(k=1,2,…,n),S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},所以A=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.。

第 01 节会合的观点及其基本运算【考纲考点分析】考点考纲内容 5 年统计1．认识会合、元素的含义及其关系。

2．理解全集、空集、子集的含义，1.会合间的及会合之间的包括、相等关系。

基本关系3．掌握会合的表示法( 列举法、描述法、 Venn 图 ) 。

2018 浙江卷， 12017浙江卷， 12016浙江卷文理， 11．会求简单会合的并集、交集。

2.会合的基2015浙江卷文理， 12．理解补集的含义，且会求补集。

本运算2014浙江卷文理， 1【知识清单】1．元素与会合(1)会合元素的特征：确立性、互异性、无序性．分析展望1.会合交、并、补的运算是考察的热门；2.会合间的基本关系极少波及；3.题型：选择题4.备考要点：(1)会合的交并补的混淆运算；(2)以其余知识为载体考察会合之间的关系；(3)简单不等式的解法 .(2) 会合与元素的关系：若a属于会合A a A；若b不属于会合A b A ．，记作，记作(3)会合的表示方法：列举法、描绘法、图示法．(4)常有数集及其符号表示自然数正整数有理数数集整数集实数集集集集*N 或符号N Z Q RN＋2．会合间的基本关系（ 1）子集：关于两个会合 A 与 B，假如会合 A 的任何一个元素都是会合B的元素，我们就说会合A 包括于会合 B，或会合B 包括会合 A，也说会合 A 是会合 B 的子集。

记为 A B或B A ．（ 2）真子集：关于两个会合A与 B，假如A B，且会合 B 中起码有一个元素不属于会合A，则称会合 A 是会合 B 的真子集。

记为AB ．（ 3）空集是任何会合的子集，空集是任何非空会合的真子集．（ 4）若一个会合含有 n 个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为2n1．3．会合的运算(1) 三种基本运算的观点及表示名称交集并集补集数学A∩B={x|x A ∪ B={x|xC U A={x|x∈∈ A, 且 x∈∈ A, 或 x ∈语言U, 且 x A}B}B}图形语言（ 2）三种运算的常有性质A A A ， A， AB B A， A A A ， A A ， A B B A ．C U(C U A)A，C U U， C U U．A B A A B ,A B A B A ,C U( A B)C U A C U B,C U(A B) C U A C U B．【要点难点打破】考点 1会合的观点【 1-1 】【 2018 年全国卷II理】已知会合，则中元素的个数为A.9B.8C.5D.4【答案】 A【 1-2 】若会合A x x 1 ，则（）A.3AB. 2 AC.1AD. 0A【答案】 D【分析】 A x x1会合 A 就是由全体大于1的数组成的会合，明显01，故 0A应选 D【意会技法】与会合元素相关问题的思路：(1)确立会合的元素是什么，即确立这个会合是数集仍是点集．(2)看这些元素知足什么限制条件．(3)依据限制条件列式求参数的值或确立会合元素的个数，但要注意查验会合能否知足元素的互异性．【举一反三】【变式一】【 2017 浙江嘉兴一中模拟】若会合A1,2,3，B x, y x y 4 0, x, y A ，则会合 B 中的元素个数为（）A.9B.6C.4D. 3【答案】 D【分析】 x, y A 的数对共9 对，此中2,3 , 3,2, 3,3知足 x y 40 ，所以会合 B 中的元素个数共 3 个．【变式二】设，，会合，那么与会合的关系是（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】, 即，，即 a=3，b=π，故 x∈ M， y M，应选： B.考点 2 会合间的基本关系【 2-1 】【 2017 届浙江省杭州市第二中学 5 月仿真】若会合 A x| x x22, x R ，B1, m ，若 A B ，则m的值为（）A.2B.-2C.-1或2D.2或2【答案】 A【分析】 A2，由 A B 可知， m 2 ，应选A。

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语考点一集合的概念及运算一、基础知识要记牢1．集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．2．运算性质及重要结论如(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A等．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)(2)(2018届高三·金丽衢联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[解析] (1)根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．(2)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案] (1)A (2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．(2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.三、预测押题不能少1．(1)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1； 因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故考点二 四种命题及其关系 一、基础知识要记牢与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提，其他三种命题需保留大前提；(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题：前者既否定条件，又否定结论，后者只否定命题的结论；(3)互为逆否关系的命题真假相同，所以四种命题的真假个数一定为偶数． 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4 (2)(2017·金华一中模拟)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋y i(x，y∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋y i)(c＋d i)＝cx－dy ＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋b i∈R，∴b＝0，∴z＝a－b i＝a∈R，∴p4是真命题．(2)对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，其否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．故选A.[答案] (1)B (2)A1在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.3根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2．(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．(2)有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．故选D.考点三 充要条件 一、基础知识要记牢对于p 和q 两个命题，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 和q 互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．(2)A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．[答案] (1)C (2)(－2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .2要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3．(1)“10a>10b”是“lg a >lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由10a>10b得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a>10b”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.[知能专练(一)]一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：选D “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“l n(x＋1)<0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x ∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于( )A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A 由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．7．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．若n＝4，则S n的所有奇子集的容量之和为( ) A．7 B．8C．9 D．10解析：选A 若n＝4，则S n的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.10．下列关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是( )A．都为真命题 B．都为假命题C．否命题为真命题 D．逆否命题为真命题解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.二、填空题11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．解析：由题意可得∁U T＝{1,4,5}，则S∩(∁U T)＝{1,5}．集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．答案：{1,5} 812．(2017·南通模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为________．解析：“a>b”是“3a>3b”的充要条件，①错误；“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，②错误；“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件，③正确．故正确命题的序号为③.答案：③13．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________，M ∪(∁R N )＝________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∁R N ＝{y |y <1}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}，M ∪(∁R N )＝{x |x <1或x >2}． 答案：{x |1≤x ≤2} {x |x <1或x >2}14．若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则实数p 的取值范围是________． 解析：由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1. 由4x ＋p <0得x <－p4.故－p 4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． 答案：[4，＋∞)15．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．答案：{x |－2≤x ≤2} {x |0<x ≤2}16．(2017·四川南山模拟)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，13<x <12是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12(两个不等式不能同时取等号)，解得－12≤m ≤43，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝______，A ∪B ＝________，∁R A ＝________.解析：∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |1<x <5}，∴A ∩B ＝{x |1<x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <5}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．答案：{x |1<x <4} {x |－1<x <5} {x ≤－1或x ≥4} [选做题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}，若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：选A A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，x ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝3x 2＋12，x ∈Z}，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝3x 2＋12，故3x 2－ax ＋12－b ＝0，①因为A ∩B ≠∅，故Δ＝a 2－12(12－b )＝a 2＋12b －144≥0，即a 2＋12b ≥144，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12b ≥144，a 2＋b 2≤108，解得a ＝±62，b ＝6，代入①中可知x ＝±2，这与x ∈Z 矛盾，故“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为0，故选A.2．对于非空数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，下列说法： ①A ＋B ＝B ＋A ；②(A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C )； ③若A ＋A ＝B ＋B ，则A ＝B ； ④若A ＋C ＝B ＋C ，则A ＝B . 其中正确的是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①④解析：选B 对于①，A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }＝{y ＋x |x ∈A ，y ∈B }＝B ＋A ，①正确；对于②，(A ＋B )＋C ＝{(x ＋y )＋z |x ∈A ，y ∈B ，z ∈C }＝A ＋(B ＋C )，②正确；对于③，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}时，A ＋A ＝{偶数}＝B ＋B ，显然A ≠B ，③错误，对于④，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}，C ＝{整数}时，A ＋C ＝{整数}＝B ＋C ，显然A ≠B ，④错误．综上所述，正确的为①②，故选B.3．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞第二讲函数的概念与性质考点一 函数及其表示 一、基础知识要记牢(1)函数初、高中定义形式不同，本质一样，核心是对应； (2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数；(3)分段函数是一个函数而不是几个函数，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(2)(2017·嘉兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(3)(2016·江苏高考)函数y ＝ 3－2x －x 2的定义域是________．[解析] (1)取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝ x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．(2)当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．当a >0时，f (a )＝－a 2<0，由f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2.(3)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．[答案] (1)D (2) 2 (3)[－3,1]1.理解函数概念的要点函数概念本质是对应，以具体函数模型为基础，在新背景、综合背景下理解. 2.求函数定义域的类型和相应方法 1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式组即可；2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义., 3.求函数值时应注意的问题分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 考点二 函数的图象 一、基础知识要记牢函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D ．[0,4][解析] (1)∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． (2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ； 而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94.[答案] (1)D (2)B由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复. 三、预测押题不能少2．(1)函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：选A 由二次函数的图象可知b <－1,0<a <1，所以g (x )＝a x＋b 为减函数，其图象由指数函数y ＝a x的图象向下平移|b |个单位长度得到，故选A.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2. 答案：(－∞，－2) 考点三 函数的性质 一、基础知识要记牢(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[解析] (1)因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．(2)由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. (3)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)． [答案] (1)A (2)D (3)D函数性质综合应用问题的3种类型和解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、预测押题不能少3．(1)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.(2)下列函数中既是奇函数又在其定义域上是减函数的是( ) A ．y ＝lg 1＋x1－xB ．y ＝e －x－e xC ．y ＝sin x －|cos x |D ．y ＝x 3－3x解析：选B 选项A 错误，因为函数f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )，所以是奇函数且定义域为(－1,1)，因为g (x )＝1＋x 1－x ＝21－x －1是增函数，所以y ＝lg 1＋x1－x 是增函数；选项B 正确，f (－x )＝e x－e －x＝－(e －x－e x )＝－f (x )，所以是奇函数，因为y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是减函数，y ＝－e x是减函数，所以y ＝e －x －e x是减函数；选项C 错误，f (－x )＝－sin x －|cos x |≠－f (x )，所以f (x )＝sin x －|cos x |不是奇函数；选项D 错误，函数y ＝x 3－3x 是奇函数但不是单调函数．故选B.(3)若f (x )是定义在f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________.解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14.答案：14[知能专练(二)]一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g 2x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1， 作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)． 答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }． 首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )， ∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0， 又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p 6≥0或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2ax×－2bx ＝2－2ab ，x ＝ a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即 a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝a x－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2， 当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2. 由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54， 又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考点一 基本初等函数的图象与性质一、基础知识要记牢指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·杭州模拟)将函数f(x)＝ax＋b，g(x)＝log a(1＋bx)的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能正确的是( )(2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c[解析] (1)因为g(0)＝0，故排除D；选项A中，由直线可以看出b<0，由1＋bx>0知，函数在y轴右侧的图象是有限的，排除A；选项C中，由直线可以看出b>0，由1＋bx>0知，函数在y轴左侧的图象是有限的，排除C，故选B.(2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，∵log32>log52>log72，∴a>b>c.[答案] (1)B (2)D1基本初等函数的图象是其性质的直观载体，要结合图象理解性质；图象变换要以基本函数图象为基础，结合性质等判断、应用.2比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较.三、预测押题不能少1．(1)函数y＝x－x 13的图象大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A.(2)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.考点二 二次函数 一、基础知识要记牢二次函数的相关结论若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根．(2)若x 1，x 2为f (x )＝0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)若二次函数f (x )满足f (3)＝f (－1)＝－5，且f (x )的最大值是3，则函数f (x )的解析式为________．(3)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．(2)法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－5，4ac －b 24a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (3)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝3＋－12＝1，则m ＝1.又f (x )的最大值是3，则a <0，n ＝3，即f (x )＝a (x －1)2＋3， 由f (3)＝－5得4a ＋3＝－5，则a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2(x －1)2＋3＝－2x 2＋4x ＋1. 法三：设f (x )＋5＝a (x －3)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－2ax －3a －5＝a (x －1)2－4a －5， 又f (x )的最大值是3，则a <0，且－4a －5＝3，所以a ＝－2， 所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1. (3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， 则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.答案：(1)B (2)f (x )＝－2x 2＋4x ＋1 (3)(－∞，2]解决有关二次函数两类综合问题的思想方法(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用． (2)二次函数的最值问题，通常采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得其图象顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三种情况：①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动. 三、预测押题不能少2．(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52D ．－3解析：选C 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝－a 2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，应有f (0)＝1≥0，恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a 的取值范围是a ≥－52，所以a 的最小值是－52，故选C.(2)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2，令t ＝x ＋1x，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2，由题意知，2a 2－4a ＋2＝8， 解得a ＝－1或a ＝3(舍)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍)， 综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10 考点三 函数的零点一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解． 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1(2)(2018届高三·温州六校联考)函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________． [解析] (1)法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.。

一、选择题1．(2016·山东乳山一中月考)设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}2．(2016·浙江冲刺卷五)设集合P ＝{4，log 2m }，Q ＝{m ，n }，若P ∩Q ＝{1}，则P ∪Q 等于( ) A ．{1,4} B ．{1,2,4} C ．{0,1,4}D ．{1,2,3,4}3．(2016·浙江衢州二中交流卷二)已知集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x |0<x <t ，t >0}，若A ∩B ＝A ，则t 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)4．(2016·厦门模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．45．(2016·杭州严州中学一模)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁(A ∪B )(A ∩B )等于( ) A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎦⎤－12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤－12，06．设集合P ＝{m |－1<m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( ) A ．PQB ．PQC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅7．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞)D ．(1，＋∞)8．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．(2016·嘉兴高三教学测试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.10．若集合A ＝{x |－1<x ≤2}，B ＝{x |(x －a )(x －a ＋1)≥0}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是______________________．11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，则a ＋b 的值等于________．12．设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案解析1．D 2.B 3.D4．D [由于函数y ＝3x的图象经过点(0,1)，且(0,1)在椭圆x 24＋y 216＝1内，所以函数y ＝3x 的图象与椭圆x 24＋y 216＝1有两个交点，从而A ∩B 中有2个元素，故A ∩B 的子集的个数是4，故选D.]5．C [∵集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )} ＝{x |1－2x >0}＝{x |x <12}，B ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤1}， A ∩B ＝{x |0≤x <12}，∴∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1，故选C.]6．C [Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，对m 分类： ①为m ＝0时，－4<0恒成立； ②当m <0时，需Δ＝(4m )2－4×m × (－4)<0，解得－1<m <0. 综合①②知－1<m ≤0.故选C.]7．B [A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.] 8．C [因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一“类”，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．]9．[2,3](1，＋∞)(1,2)解析因为A＝(1,3]，B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2,3]，A∪B＝(1，＋∞)，因为∁R B＝(－∞，2)，所以A∩(∁R B)＝(1,2)．10．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析化简B＝{x|x≥a或x≤a－1}，又A∩B＝A，所以A⊆B.由数轴知a≤－1或a－1≥2，即a≤－1或a≥3.所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．11．－7解析由已知得A＝{x|x<－1或x>3}，∵A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，∴B＝{x|－1≤x≤4}，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为x1＝－1，x2＝4.∴a＝－3，b＝－4，∴a＋b＝－7.12．①②解析①正确，任取x，y∈S，设x＝a1＋b13，y＝a2＋b23(a1，b1，a2，b2∈Z)，则x＋y ＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)3，其中a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z.即x＋y∈S.同理x－y∈S，xy∈S.②正确，当x＝y时，0∈S.③错误，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集．④错误，设S＝{0}⊆T ＝{0,1}，显然T不是封闭集．因此正确命题为①②.。

第一章集合与常用逻辑用第1讲集合练习基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )A.{－2，－1，0，1，2，3}B.{－2，－1，0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3<x<3}，又A＝{1，2，3}，因此A∩B＝{1，2}.答案 D3.(2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个： {－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}.答案 D二、填空题9.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案 (－∞，1]10.(2017·宁波调研)集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝________；A ∪B ＝________；∁B A ＝________.解析 A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，∴|x |＝1，∴A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{－1，0，1}，∁B A ＝{－1}.答案 {0，1} {－1，0，1} {－1}11.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析 由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).答案[－1，0)12.(2017·湖州质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案(2 016，＋∞)13.(2017·金华模拟)设集合A＝{x∈N|6x＋1∈N}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A＝________，B＝________，A∩(∁R B)＝________.解析当x＝0，1，2，5时，6x＋1的值分别为6，3，2，1，当x∈N且x≠0，1，2，5时，6x＋1∉N，∴A＝{0，1，2，5}，由x－1>0，得x>1，∴B＝{x|x>1}，∁R B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁R B)＝{0，1}.答案{0，1，2，5} {x|x>1} {0，1}能力提升题组(建议用时：10分钟)14.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞)解析易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S＝(2，3)，因此(∁R S)∩T＝(2，3).答案 C15.(2016·黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁U B＝[1，＋∞)，A∩(∁U B)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}.答案 B解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 117.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0.答案 018.(2017·丽水质检)若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的，若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________.解析 (1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋1b ＝2c ，a ＋c ＝2b⇒1a ＋2a ＋c ＝2c ⇒c (a ＋c )＋2ac ＝2a (a ＋c )⇒c 2＋ac －2a 2＝0⇒(c ＋2a )(c －a )＝0，∵c ≠a ，∴c ＝－2a ，b ＝a ＋c 2＝－a 2，∴c ＝4b ，令－2 014≤4b ≤2 014，得－503≤b ≤503，∴P 中最大元素为4b ＝4×503＝2 012.(2)由(1)知P ＝{－2b ，b ，4b }且－503≤b ≤503，所以“好集”P 的个数为2×503＝1 006. 答案 (1)2 012 (2)1 006。