几类常见递推数列的解法

九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。

)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。

解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。

2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。

类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。

i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。

例2已知a11，anan1n，求an。

解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。

方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。

类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。

anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。

类型一：累加法 形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．类型二： 累积法 形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =ppc mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或nn a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．类型三：形如1+n n a a = 1++n n qa pa ，（pq ≠ 0）．且0≠n a 的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．当p = －q 时，则有：p a a n n 1111=-+ 转化为等差数列； 当p ≠ －q 时，则有：p pa q a n n 111+-=+．同类型五转化为等比数列． 类型四：特征根法 形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数．当p ＝1时，为等差数列；当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x⇒a 1+n + x = p (a n + p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q 时，有a 1+n + x = p (a n + x )， 从而转化为等比数列 {a n +1-p q } 求解． 类型五：形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数．当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型一．当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n）或指数和多项式的混合形式．⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n ）．①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列；②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列．。

1 十大递推数列求通项：(1)等差数列：a n=a n-1+d例1：已知：数列{a n}中a1=1,a n=a n-1+3,(n≥2).求a n的通项公式. 答a n=3n-2.(2)等比数列： a n=a n-1q例2：已知：数列{a n}中a1=1,a n=2a n-1,(n≥2).求a n的通项公式. 答a n=12-n.(3)似等差数列： a n=a n-1+f(n) 用叠加法.例3：已知：数列{a n}中a1=1,a n=a n-1+3n+1,(n≥2).求a n的通项公式.答a n=265n3n2-+.(4)线性数列： a n=pa n-1+q 结构等比数列.例4：已知：数列{a n}中a1=3,a n=2a n-1-1,(n≥2).求a n的通项公式. 答a n=12+n.(5) 似等比数列： a n=a n-1f(n) 叠乘法.例5：已知：数列{a n}中a1=3,a n=na n-1,(n≥2).求a n的通项公式. 答a n=3n！.(6)三项递推： a n=pa n-1+qa n-2设a n+1-xa n =y(a n-xa n-1),结构一个或二个等比数列再经由过程等差数列或解方程组求出.例6：已知：数列{a n}中a1=1,a2=3,a n=3a n-1-2a n-2,(n≥3).求a n的通项公式. 答a n =2n-1.例7：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式. 答a n =(n+1)2n-2.例8：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=4,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式. 答a n =n2n-1.例9：已知：数列{a n }中a 1=2,a 2=3,a n =5a n-1-6a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式. 答a n =3×2n-1-3n-1.例10：已知：数列{a n }中a 1=a,a 2=b,a n =a n-1-a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式. 答周期为6.例11 (2006年通俗高级黉舍夏日招生测验数学(文史类)福建卷(新课程))（22）已知数列知足（I ）证实：数列是等比数列;（II ）求数列的通项公式;（Ⅲ）若数列知足证实是等差数列.(7)似线性数列：a n+1=pa n +f(n) , 变成111)(++++=n n n n n pn f p a p a ,即化为（3）型. 特殊地①1n n a pa bn c +=++型,还可以令1(1)()n n a x n y p a xn y +-+-=--,待定系数x,y,结构等比数列,要比通法简略.②1n n n a pa q b +=++型,还可以令11()n n n n a xq y p a xq y ++--=--,待定系数x,y,结构等比数列,要比通法简略.例12：已知：数列{a n }中a 1=5,a n =3a n-1+3n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式.答213)21(+⋅+=n n n a (8)指数数列：a n+1=pa n k,取对数,化为（4）型. 例13：已知：数列{a n }中a 1=4,a n =3)1(4-n n a n-13,(n ≥2).求a n 的通项公式. 答a n =1322-⋅n n .道理：设cba r a s r a n n n +-=-+)(1,先待定s,r 的值,再取倒数.得：sb r a sc br ra n n +-+=-+)(11,令111++=-n n b r a ,化为：b n+1=ab n +c型,下略.求法：在上述道理中,称r 为cba mda a n n n ++=+1的特点根.特点根的求法除了按上述办法慢慢进行外,也可令cbx mdx x ++=,解关于x 的方程,得出方程的根x 1,x 2即为特点根r 1,r 2.至此法（ⅰ）令cba x a s x a n n n +-=-+)(111,再依据原式平分子的n a 的系数待定出s,既可求解.法（ⅱ）令n 1n x 1b a =-,得a n =1nx b 1+,将该式代入已知等式即得b n的递推关系.先求出b n ,再求a n . 注：该法更轻易用.例14（2006年奥林匹克比赛山东省赛区预选赛19题,即最后一题）已知：数列{a n }知足a n+1a n +3a n+1+a n +4=0,(n ≥2). （1）当a 1=-1时, 求a n 的通项公式.（2）当a 1=-2.03时,求a n 的最小值和最大值. （3）当a 2006是{a n }中的最小项时,求a 1的取值规模. 答（1）a n =-2+n1.(2)a 34最小为-5;a 35最大为-21.(3)20064013200540111-<<-a . 例15 在数列{a n }中,a 1=4,且a n+1=423++n n a a ,求a n .答：21112525-----+=n n n n n a .例16 已知曲线C ：1xy =,过C 上一点(,)n n n A x y 作斜率12n n k x =-+为的直线交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++,点列(1,2,3,)n A n =的横坐标组成数列{}n x ,个中1117x =. （Ⅰ）求n x 与1n x +的关系式; （Ⅱ）求证：1123n x ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列;（Ⅲ）求证：23*123(1)(1)(1)(1) 1.(,1)n n x x x x n N n -+-+-++-<∈≥. 答案：（Ⅰ）121n nx x +=+,（Ⅱ）1111122323n n x x +⎧⎫⎧⎫+=-+⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭,（Ⅲ）由（Ⅱ）知121(2)3n n a =+--,∴（ⅰ）当n 为偶数时,11112111132(1)(1)111122223339n n nn n n n n n x x ------⋅-+-=+=+-+⋅-121323.22n n n --⋅<= ∴23123243331(1)(1)(1)(1)112222n n n nx x x x -+-+-++-<+++=-<. （ⅱ）当n 为奇数时,综上所述：23*123(1)(1)(1)(1) 1.(,1)n n x x x x n N n -+-+-++-<∈≥. （10）f(a n ,S n )=0 结构f(a n-1,S n-1)=0,两式相减. （11）两个数列的递推.若数列{a n },{b n }知足⎩⎨⎧+=+=----1n 21n 1n 1n 21n 1n b m a m b b k a k a （n ≥2）.结构a n +xb n =y(a n-1+xb n-1)求解.例16 已知：数列{a n },{b n }知足⎩⎨⎧+=+=----1n 1n n1n 1n n 4b 3a b b 2a a （n ≥2）且a 1=2,b 1=3,求a n ,b n 的通项公式.答：)15(43b ,43541a n n n n -⋅=+⋅= .例17 已知：数列{a n },{b n }知足⎪⎩⎪⎨⎧+=+=----1n 1n n 1n 1n n b 32a 31b b 31a 32a （n ≥2）且a 1=10,b 1=8,求a n ,b n 的通项公式.答：a n =9+1n 31- ,b n =1n 319--.（12） 周期数列例18 已知：数列{a n }中a 1=a,a 2=b,a n =a n-1-a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式.答：a 1=a,a 2=b,a 3=b-a,a 4=-a,a 5=-b,a 6=a-b,a 7=a,a 8=b,故a n 是周期为6的数列.例19 已知：数列{a n }中a 1=a, a n =1a 33a 1n 1-n +--,(n ≥2).求a n 的通项公式.答：.a a ,1a 33-a -a ,1a 33a a ,a a 4321=-=+-==故a n 是周期为3的数列.注：特殊地,a 1=0时,常为考题. 例20 已知：数列{a n }中a 1=1, a n =3a 1a 31n 1-n +--,(n ≥2).求a n 的通项公式.答：a 1=1,1a ,32a ,32a ,1a ,23a ,32a 765432=+=--=-=-=-= . 故a n 是周期为6的数列.例21 已知：数列{a n }中a 1=a, a n =1a 1a 1n 1-n +--,(n ≥2).求a n 的通项公式. 答：a a ,a1a1a ,a 1a ,1a 1a a ,a a 54321=-+=-=+-==.故a n 是周期为4的数列.2 数列乞降中经常应用的拆裂项办法.（1）若a n 成等差数列,则)11(1111++-=n n n n a a d a a .)11(21121121+++++-=n n n n n n n a a a a d a a a .（2）)(11b a ba b a --=+ (3)C n m =C 11++n m -C n m+1 n ×n ！= (n+1)！-n ！mC n m =nC 11--n m , m(m-1)C n m =n(n-1)C 22--n m , n 2=2 C n 2+n, n 3=6 C n 3+6 C n 2+n,（4）)n11n 1(4114n 4n 1)12n (122--<+-=-。

递推数列求通项公式的常见类型及方法递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，n a 与n S 的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．1. )(1n f a a n n +=+.方法：叠加法. 令1,2,1-=n n，得21321(1)(2)(1)n n a a f a a f a a f n -=+=+=+-以上1-n 个式子相加，得111().n ni a a f i -==+∑ 例１．数列{}n a 中，)2(1,1211≥-+==-n n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解: 令n n ,,3,2 =,得212322121221331n n a a a a a a n n -=+-=+-=+-n n a a n -++-+-+=∴22211331221 11111223(1)111111(1)()()223112.a n n n n n =+++⨯⨯-=+-+-++--=- 2. )(1n f a a n n =+. 方法:累积法. 令1,2,1-=n n,得21321(1)(2)(1).n n a a f a a f a a f n -===-以上1-n 个式子求积，得)(111i f a a n i n-=∏+=. 例2. 数列{}n a 中，)2()11(,2121≥⋅-==-n a na a n n ，求数列{}n a 的通项.解: 由题1212)1)(1()11(--+-=-=n n n a nn n a n a ,令1,2,1-=n n ,得 21232212132243(1)(1)n n a a a a n n a a n -⨯=⨯=-+= 2221)1)(1(342231n n n a a n +-⋅⋅⨯⋅⨯⋅=∴ 11121.n a n n n +=⋅⋅+= 3. )0,1(1≠≠+=+q p q pa a n n . 方法一:配凑法.1().n n a p a λλ+-=-方法二:待定系数法.令)(1λλ-=-+n n a p a 比较已知得,.1q p q pλλλ-==- λ是方程q px x +=的根. q px x +=是特征方程.方程三: 两根同除以1+n p ,得111++++=n n n n n p q p a p a 转化为类型1. 例3(07.全国) 数列{}n a 中， ,3,2,1),2)(12(,21=+-==n a a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解法一: )2)(12(1+-=+n n a a {}为公比的等比数列为首项，是以数列122222)2)(12(211--=--∴--=-∴+a a a a n n nn n na )12(2)12)(22(21-⨯=--=-∴- 故 2)12(2+-⨯=n n a解法二:令))(12(1λλ--=-+n n a a)12(2)12(-=--∴λλ 解得2=λ下同解法一.解法三:)12(2)12()2)(12(1-+-=+-=+n n n a a a两边同除以1)12(+-n ,得nn n n n a a )12(2)12()12(11-+-=-++ 令n n n n n a a b )12()12(+=-= 则n n n b b )12(21++=+.令.1,2,1-=n n 得11223112)12(2)12(2)12(2--++=++=++=n n n b b b b b b1211)12(2)12(2)12(2-+++++++=∴n n b b2)12(2)12(1])12(1)[12(2)12(21++=+-+-+⋅++=-n nn n n n b a )12(22)12(-⨯+=-=∴.4. )0,1(,1≠≠+=+q p q pa a n n n .方法一：两边同除以1+n p ，得111++++=n nn n n n p q p a p a 转化为类型一.方法二：待定系数法.令)(11-+-=-n n n n q a p q a λλ比较已知得p q q -=λ. 例4．数列{}n a 中，)1(,23,111≥+==+n a a a n n n ，求数列{}n a 的通项. 解法一：两边同除以13+n ，得1113233++++=n nn n n n a a . 令n n n a b 3=，则1132+++=n nn n b b . 令.1,2,1-=n n 得n n n n b b b b b b 323232113223212--+=+=+= n n n b b 32323213221-++++=∴ nn n n )32(1321])32(1[31323232311322-=--=++++=- n n n a 23-=∴.解法二：令)2(3211-+⋅-=-n n n n a a λλn n n 22321=-⋅∴-λλ解得2-=λ.即)2(3211n n n n a a +=+++,所以数列{}n n a2+是以321=+a 为首项，3为公比的等比数列. .23,32n n n n n n a a -==+∴故5. )1).((1≠+=+p n f pa a n n .方法：两边同除以1+n p ，得111)(++++=n n n n n pn f p a p a 转化为类型一. 例5. 数列{}n a 中，)1(,223,111≥-+==+n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项.解: 两边同除以13+n ，得11132233+++-+=n n n n n n a a 令n nn a b 3=,得11322++-+=n n n n b b . 利用叠加法及错位相减法,以求得2123+-=n a n n ． 6.)()(1n g a n f a n n +=+.方法: 两边同除以)()2()1(n f f f ,得)()2()1()()()2()1()()2()1(1n f f f n g n f f f a n f f f a n n +=+转化为类型一 例6. (2008年河南省普通高中毕业班教学质量调研考试)数列{}n a 中，)1(2)1(22,111≥++++==+n n n a n n a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解: 令,2)(+=n n n f 则)2)(1(2211534231)()2()1(++=+⨯+-⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n f f f 两边同除以)()2()1(n f f f ,得)2)(1(22)1(2)1(2)2)(1(21++++++=+++n n n n n n a n n a n n 即21)1(2)1()1)(2(+++=+++n na n a n n n n 令n n na n b )1(+=,则21)1(2++=+n b b n n令.1,2,1-=n n 得2122321223222n b b b b b b n n +=⨯+=⨯+=-)32(22221n b b n +++⨯+=∴3)12)(1(]16)12)(1([212++=-++⨯+⨯=n n n n n n 312+=∴n a n . 7. )(1n f a a n n =+. 方法: 由已知)1(12+=++n f a a n n ,两式相除,得)()1(2n f n f a a n n +=+. 例7. 数列{}n a 中，)1(,)31(,211≥==+n a a a n nn ，求数列{}n a 的通项. 解: 由题2,31121==a a a ,得612=a n n n a a )31(1=+ ………..① 112)31(+++=n n n a a ……...② ②÷①得 312=+n n a a k k a a a a a a 2421231,,,,,,和+∴都是以31为公比的等比数列 当n 为奇数时,21211)31(2--⋅==n n n q a a 当n 为偶数时,22222)31(61--⋅==n n n q a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅=∴--为偶数，为奇数n n a n nn 2221)31(61,)31(2． 8.n n n qa pa a +=++12. 方法一: 配凑法.)(112n n n n a a a a αβα-=-+++方法二: 待定系数法. 令)(112n n n n a a a a αβα-=-+++,比较已知得 ⎩⎨⎧==+q p αββα 得出βα, 其中βα,是方程q px x +=2的两根,方程q px x +=2是特征方程.例8. 数列{}n a 中，)1(,65,5,11221≥-===++n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项.解: 令)(112n n n n a a a a αβα-=-+++比较已知得⎩⎨⎧==+65αββα 得出2,3==βα )3(23112n n n n a a a a -=-∴+++数列{}n n a a 31-+是以2312=-a a 为首项,2为公比的等比数列.则n n n a a 231=-+,即n n n a a 231+=+.下同例4. 9.)0(,1≠++=+ac b aa d ca a n n n . 方法: 不动点法. 令bax d cx x ++=………(＊) 若(＊)有两重根,021x x x ==,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-01x a n为等差数列. 若(＊)有两根,21x x ≠,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21x a x a nn 为等比数列. 例9.(08，洛阳三练)数列{}n a 中,n n a a a -==+21,2111,求数列{}n a 的通项. 解：令xx -=21,得1=x . 111121111111-=----=---+n n n n a a a a , 为公差的等差数列为首项，是以1-2121111111-=-=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴a a n . 1)1()1(211--=-⨯-+-=-∴n n a n 1+=∴n n a n ． 例10.(07.全国)数列{}n b 中,)1(3243,211≥++==+n b b b b n nn ,求数列{}n b 的通项. 解: 令3243++=x x x ,解得2,221=-=x x , 则411)12(2223243232432222+=-+-+++++=-+-+++n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+22n n b b 是以22222211-+=-+b b 为首项,4)12(+为公比的等比数列. 24)1(4)12()12(222222--+=+⋅-+=-+∴n n n nb b故1)12(1)12(22424-+++⋅=--n n nb ．10. n n S a 与的关系.方法: ⎩⎨⎧-=-,,1n nn n S S S a 21≥=n n 可以向n a 转化,也可以向n S 转化.例11. 数列{}n a 的前n 项和,)1(12≥+=n a a S nn n ,求数列{}n a 的通项公式. 解法一: 1=n 时，1111212a a a S =+=，解得11=a )2(,1212111≥+=∴+=---n a a S a a S n n n nn n 两式相减得 11112---+-=n n n n n a a a a a ,)1(111--+-=-n n n n a a a a . 平方得 4)1()1(212122=+-+--n n n n a a a a . 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+221n n a a 是以212121=+a a 为首项，4为公差的等差数列。

几类常见递推数列的解法几类递推数列通项公式的常见类型及解法江西省乐安县第二中学 李芳林 邮编 344300已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、a a d n n+=+1型形如d a a nn +=+1（d 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得a a d n n+-=1，再由等差数列的通项公式()a a n d n =+-11可求得a n . 例1： 已知数列{}a n 中()a a a n N n n1123==+∈+,，求na 的通项公式. 解： ∵a a n n +=+13∴aa n n +-=13∴ {}a n是以a12=为首项，3为公差的等差数列.∴()an n n=+-=-21331为所求的通项公式.二、)(1n f a an n +=+型形如a 1+n ＝a n+ f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例2：已知数列｛a n｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n． 解：∵a 1+n =a n＋（2n －1）∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1=1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(an－a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)=21[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2n ∈N +三、nn a q a⋅=+1型形如nn a q a ⋅=+1（q 为常数）的递推数列求通项公式，将此类数列变形得 q aann =+1，再由等比数列的通项公式11-⋅=n n q a a 可求得a n .例3 ： 已知数列{}a n中满足a 1=1，nn a a21=+，求na 的通项公式.解：∵nn a a21=+ ∴21=+nn aa∴ {}a n是以11=a为首项，2为公比的等比数列.∴12-=n na 为所求的通项公式. 四、nn a n f a⋅=+)(1型形如nn a n f a⋅=+)(1可转化为)(1n f aa nn =+.其中f (n )=pp c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或nn a a 1+=kn （k ≠0）或nn a a 1+= km n( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．例4：已知数列｛a n｝, a 1=1，a n＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n．解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n=0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n)= 0∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n＞0 ∴(n ＋1) a 1+n －na n=0∴11+=+n n aa nn∴nn n n n n n a a aa a a a a a an n n n n n n11212312111232211=⨯⨯⨯--⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=-----ΛΛ五、a 1+n = f (a n) 型形如a 1+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n的函数.-—需逐层迭代、细心寻找其中规律． 例5：已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n＋3 n ,求通项公式a n．解： ∵a 1+n = 2 a n＋3 n∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1 =2(2 a 2-n ＋3 n -2)＋3 n -1 = 22(2 a 3-n ＋3 n -3)＋2·3 n -2＋3 n -1=……=2 n -2(2 a 1＋3 )＋2 n -3·3 2＋2 n -4·33＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3 n-1=2 n -1＋2 n -2·3 ＋2 n -3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n -3＋2·3 n -2＋3 n -1nn nn 2323123121-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-六、a 1+n ＝pa n + q 型形如a 1+n ＝pa n+ q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数．当p ＝1时，为等差数列； 当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n+ q + x⇒a 1+n + x = p (a n+p x q +)， 令x =p x q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p (a n+ x )，从而转化为等比数列 {a n+1-p q} 求解．例6：已知数列{a n}中，a 1=1，a n= 21a 1-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n．解：∵ a n= 21a 1-n + 1 ⇒ a n －2 =21(a 1-n －2) 又∵a 1－2 = -1≠0 ∴数列{ a n－2}首项为-1，公比为21的等比数列． ∴ a n －2 = -11)21(-⨯n 即 a n= 2 －2n-1 n ∈N +七、a 1+n ＝pa n + f (n )型 形如a 1+n ＝pa n+ f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数．当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n+ f (n ) 即类型二． 当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n）．⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．例7：已知数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n＋n 2，n ∈N +求a n．解：令a 1+n + x [a (n +1)2+ b (n +1) + c ] = 2(a n+ an 2+ bn + c )即 a 1+n = 2 a n+ (2a –ax )n 2+ (2b -2ax –bx )n +2c –ax –bx – cx 比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-0202212cx bx ax c bx ax b ax a ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-=-=x bx ax c x ax b x a 22221 ⇒ 令x = 1，得：⎪⎩⎪⎨⎧===321c b a∴ a 1+n + (n +1)2+2(n +1) + 3 = 2(a n+ n 2+2n + 3) ∵ a 1+1+2×1+3 = 7令b n= a n+ n 2+2n + 3 则 b 1+n = 2b nb 1= 7 ∴数列{ b n}为首项为7，公比为2的等比数列 ∴ b n = 7× 21-n 即 a n+ n 2+2n + 3 = 7× 21-n ∴ a n= 7× 21-n －( n 2+2n + 3 ) n ∈N +⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n）．①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列； ②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列． 例8：若a 1=1，a n = 2 a 1-n + 31-n ，(n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项a n．解: ∵ a n = 2 a 1-n + 31-n ∴ 令a n+ x ×3n= 2(a 1-n +x ×31-n ) 得 a n = 2 a 1-n －x ×31-n令-x ×3n = 3n ⇒x = -1 ∴ a n－3n=2(a 1-n －31-n ) 又 ∵ a 1－3 = - 2∴数列{nna 3-}是首项为-2,公比为2的等比数列．∴n n a 3-=-2·21-n 即a n = 3n -2nn ∈N +例9：数列{ a n }中,a 1=5且a n =3a 1-n + 3n-1 (n = 2、3、4…) 试求通项a n．解： a n =3a 1-n + 3n -1 ⇒ a n +-=--)21(3211n a 3n⇒132132111+-=---n n n n a a ⇒{n n a 321-}是公差为1的等差数列．⇒n n a 321-=3211-a +(1-n ) =3215-+(1-n ) = n +21 ⇒a n= (213)21+⨯+nn n ∈N +八、a 2+n = p a 1+n + q a n型解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a-=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s 解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a给出的数列{}na ，方程2=--q px x ，叫做数列{}na 的特征方程。

递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。

下面分类说明。

一、型例1. 在数列{a}中，已知，求通项公式。

n解：已知递推式化为，即，所以。

将以上个式子相加，得，所以。

二、型例2. 求数列的通项公式。

解：当，即当，所以。

三、型例3. 在数列中，，求。

解法1：设，对比，得。

于是，得，以3为公比的等比数列。

所以有。

解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。

所以，所以。

四、型例4. 设数列，求通项公式。

解：设，则，，所以，即。

设这时，所以。

由于{b}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。

n由此得：。

说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，的通项公式。

写出用n和b表示an解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。

说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型例6. 已知数列，求。

解：在两边减去。

所以为首项，以。

所以令上式，再把这个等式累加，得。

所以。

说明：可以变形为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。

等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。

转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

构建新数列巧解递推数列题1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。

数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。

2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。

如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。

如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。

回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。

6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。

斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。

阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。

8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。

斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。

9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。

卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如)(1n f a a n n =-+型（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- . 例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=nn a证明：由已知得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--nn n ∴213-=nn a .例 2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N+=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。

下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。

线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。

常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。

2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。

指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。

常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。

3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。

差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。

常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。

4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。

递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。

常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。

5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。