八年级数学下册 181勾股定理勾股定理的应用第2课时课件 新版沪科版

能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米， 两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个 直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把 立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子， 正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?

10．如图，一只蚂蚁从点 A 出发，沿底面边长为 10 cm，侧棱长为 16 cm 的正四棱 柱的侧面到点 B 处吃食物，则它需要爬行的最短路径的长是__4___4_1__cm.
二、解答题(共 22 分) 11．(10 分)如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建了一个上方是一个半圆，下 方是长方形的仿古通道．现有一辆卡车装满家具后高 4 m，宽 2.4 m，请问这辆卡车能 否通过这个通道？
A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m 4．(4 分)如图，在水塔 O 的东北方向 32 m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 24 m 处有一建筑工地 B，现要在 A，B 间建一条直水管，则水管的长度至少应为_4_0__m.
5．(4 分)如图，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 5 m，两树相距 12 m．一只小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行__1_3_m．
(2)设 BF 上点 D，G，使 AD＝AG＝200 km，∴△ADG 是等腰三角形，∵AC⊥BF， ∴AC 是 DG 的垂直平分线，∴CD＝GC，在 Rt△ADC 中，DA＝200 km，AC＝160 km， 由勾股定理得，CD＝ DA2－AC2 ＝ 2002－1602 ＝120(km)，则 DG＝2DC＝240(km)， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6(小时).
第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
1．(3 分)如图所示的是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从 A 角走到 C 角， 至少要走( C )
A．70 m B．90 m C．130 m D．180 m
2．(3 分)一个长方形抽屉长 4 cm，宽 3 cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木 棒最长(不计木棒粗细)可以是( B )

教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.1 勾股定理. 首先结合引言了解到在我国古代就对直角三角形有了初步认识，然后通过对等腰直 角三角形的三边关系进行探究到一般的直角三角形的三边关系，最后介绍了我国古 代，“赵爽弦图”通过对图形的切割，拼接巧妙地证明了勾股定理.
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
数学活动 小结
4课时 3课时
2课时
教学建议
1.重视提高学生分析问题、解决问题的能力 在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、 猜想能力的培养，
另一方面也要重视从特殊结论到一般结论的严密逻辑思维能力的培养. 从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股 定理的逆命题也一定成立.而从这种直觉上升到逻辑严密的思考和证 明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经 过严格的证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引 起重视的另外，逆命题的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题 的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为 逆定理，这些都是学生容易出错的知识点.
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质.本章所研究的勾股 定理，就是直角三角形非常重要的性质之一，有极其广泛的应用．不仅在平面 几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基 础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响．本章教学时间约需9个课 时，具体安排如下（仅供参考）：
通过这一节内容的学习，可以培养 学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力.
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.

A
D
E
B
FC
RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如图折 叠,使C落到AB上的E处,求CD的长度,
C D
B
A
E
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4,
则第三边长为 5 或. 7
（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的 高线AD=8,求BC 21 或9
8
6
15
A
8
17
10
如果梯子的顶端A沿墙
C
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
从题目和图形中， 你能得到哪些信息？
O
B
D
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了 解 到 每 层 楼 高 3.5m ， 消 防 队 员 取 来 7.3m 长的云梯，若梯子的底部离墙基的水平距离 是4m，请问消防队员能否进入三楼灭火？
6
DB
C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别
是3cm和6cm，则第三边的长是
.
（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边 上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
A
D
A
D
B
CB
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长,求第三边 时,应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
课前练习： （1）求出下列直角三角形中未知的边
ห้องสมุดไป่ตู้
10 6
8
4
8
2
2
30°
45°
23
2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?

【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.


∴CE＝ AC＝

DE＝



km.∴AE＝


km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝

x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距 离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示 法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用 同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德 总统拼图
毕达哥拉 斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
2
即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
2
课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?

a2
c2 c
b
b2
ab
a
b
a2 + b2 = c2
练一练
19.1 勾股定理
——————————————
1.判断正误： 在△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）若a=3, b=4, 则c=5
（ ）×
（2）若∠B=900，a=3, b=4, 则c=5 （ ）
×
练一练
19.1 勾股定理
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
学以致用
19.1 勾股定理
——————————————
1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求：
⑴已知： a＝3， b＝4，求c
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab
——————————————
谢谢
F
A
D
C
B
E
例题分析
19.1 勾股定理
——————————————
已知:△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16.
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
A
17 ?
B8 D C
拓展延伸
19.1 勾股定理
A ——————————————
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17，
BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝
赵爽证法
19.1 勾股定理
——————————————
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 整体角度
也可以表示为 4• ab +(b- a)2 局部角度