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人教A版高中数学必修四全册学案汇编目录第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角1.1.2蝗制1.2任意的三角函数1.2.1第1课时任意角的三角函数的定义1.2.1第2课时三角函数线及其应用1.2.2同角三角函数的基本关系1.3三角函数的诱导公式第1课时公式二公式三和公式四第2课时公式五和公式六1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性1.4.2第2课时正弦余弦函数的单调性与最值1.4.3正切函数的性质与图象1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象1.6三角函数模型的简单应用阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式阶段复习课第2课三角函数的图象与性质及其应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角 2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例阶段复习课第3课平面向量第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式3.1.2第1课时两角和与差的正弦余弦公式 3.1.2第2课时两角和与差的正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式3.2简单的三角恒等变换阶段复习课第4课三角恒等变换1.1.1 任意角学习目标：1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易错点)[自主预习·探新知]1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示：如图111，图111(1)始边：射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合②分类：[基础自测]1．思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角．( )(2)第二象限角是钝角．( )(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( )(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( )[解析](1)错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.(2)错误．如第二象限角－181°不是钝角．(3)(4)都正确．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．－670°[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．240°三[因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．][合作探究·攻重难](1)①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°. 【导学号：84352000】(1)①[(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．](2)作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．[规律方法] 1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2．象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．[跟踪训练]1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A ．A ＝B ＝CB ．A ⊆C C ．A ∩C ＝BD ．B ∪C ⊆CD [由已知得B C ，所以B ∪C ＝C ，故D 正确．]2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )【导学号：84352001】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．](1)．(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．[思路探究] (1)根据－885°与k ·360°，k ∈Z 的关系确定k .(2)先写出与α终边相同的角k ·360°＋α，k ∈Z ，再由已知不等式确定k 的可能取值．(1)(－3)×360°＋195° [(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.](2)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.[规律方法] 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．[跟踪训练]3．下面与－850°12′终边相同的角是( )A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′B[与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.]4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°. 【导学号：84352002】[解]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．②∵－20°＝－360°＋340°，∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角．[探究问题1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k ∈Z}．2．若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？[提示] (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .(1)若α是第一象限角，则－α2是( ) A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图112所示．图112①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合．②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.[思路探究] (1)由α的范围写出α2的范围→确定α2是第几象限角→ 根据角终边的对称性确定－α2是第几象限角 (2)①观察图形→确定终边落在OA ，OB 位置上的角②由小到大分别标出起始和终止边界对应的角→加上360°的整数倍，得所求集合(1)D [(1)因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ， 所以α2是第一、三象限角，又因为－α2与α2的终边关于x 轴对称， 所以－α2是第二、四象限角．] (2)①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }．母题探究：1.若将本例(2)改为如图113所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？图113[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k ·360°＋60°≤β＜k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ·360°＋240°≤β＜k ·360°＋285°，k ∈Z }＝{β|2k ·180°＋60°≤β＜2k ·180°＋105°，k ∈Z }∪{β|(2k ＋1)·180°＋60°≤β＜(2k ＋1)·180°＋105°，k ∈Z }＝{β|n ·180°＋60°≤β＜n ·180°＋105°，n ∈Z }．故角β的取值集合为{β|n ·180°＋60°≤β＜n ·180°＋105°，n ∈Z }．2．若将本例(2)改为如图114所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？图114[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k ·360°＋150°≤β≤k ·360°＋225°，k ∈Z }．[规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．2．n α或αn 所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角n α或αn 的范围；(2)用旋转的观点确定角n α或αn 所在象限．例如：k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°，k ∈Z .由0°＜α3＜30°，每次逆时针旋转120°可得α3终边的位置．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第四象限的角一定是负角C ．60°角与600°角是终边相同的角D ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°D [A 错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；B 错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；C 错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；D 正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×16＝60°.]2．下列各个角中与2 017°终边相同的是( )A ．－147°B ．677°C ．317°D ．217°D [因为2 017°＝360°×5＋217°，所以与2 017°终边相同的角是217°.]3．已知角α的终边在如图115阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________. 【导学图115{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}[观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．]4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.150°＋k·360°，k∈Z[∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.]5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【导学号：84352005】[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．1.1.2 弧度制学习目标：1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．度量角的两种单位制 (1)角度制：①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1360.(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算思考：比值l r与所取的圆的半径大小是否有关？[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.[基础自测]1．思考辨析(1)1弧度的角是周角的1360.( )(2)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．( ) (3)1弧度的角大于1度的角．( )[解析] (1)错误，1弧度的角是周角的12π.(2)(3)都正确．[答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．(1)7π5化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252° (2)7π12 [(1)7π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180 rad ＝7π12rad.]3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．π3 [由已知得S 扇＝12×π6×22＝π3.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)②将－5π12rad 化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.【导学号：84352012】(1)①5π8rad ②－75° [(1)①因为1°＝π180rad ，所以112°30′＝π180×112.5 rad＝5π8rad.②因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，所以－5π12rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.] (2)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝π10＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故α＜β＜γ＜θ＝φ.[规律方法] 角度制与弧度制互化的关键与方法关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数； 角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. [跟踪训练]1．(1)将－157°30′化成弧度为________． (2)将－11π5化为度是________．(1)－78π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－78π rad.(2)－11π5＝－11π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示) 25π，125π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.](1)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z (2)用弧度表示终边落在如图117所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图117[思路探究] (1)判断角α的终边位置→用弧度制表示角α的集合(2)在[0，2π内找角表示终边落在第一象限阴影内的角→加k πk ∈Z 表示角θ的集合(1)D [(1)因为角α的终边经过点(a ，a )(a ≠0)， 所以角α的终边落在直线y ＝x 上，所以角α的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .] (2)因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z. [规律方法] 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. [跟踪训练]3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C [A ，B 中弧度与角度混用，不正确．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图118阴影部分(不包括边界)内的角的集合．图118[解] 30°＝π6，150°＝5π6.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪π6＋k π＜β＜5π6＋k π，k ∈Z .[1．用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．(1)如图119，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．图119(2)已知扇形OAB 的周长是60 cm ，面积是20 cm 2，求扇形OAB 的圆心角的弧度数． [思路探究] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD 的弧度数．(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．(1)2－π2 [(1)设AB ＝1，∠EAD ＝α，∵S 扇形ADE ＝S 阴影BCD ，由题意可得12×12×α＝12－π×124，∴解得α＝2－π2.](2)设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝60，12lr ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15＋205，l ＝4015＋205或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15－205，l ＝4015－205，∴扇形的圆心角的弧度数为lr＝43－3205或43＋3205. 母题探究：1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4.②由①得l ＝10－2r ，代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm 2”删掉，求扇形OAB 的最大面积及此时弧长AB . [解] 设弧长为l ，半径为r ，由已知l ＋2r ＝60， 所以l ＝60－2r ，|α|＝l r ＝60－2rr，从而S ＝12|α|r 2＝12·60－2r r ·r 2＝－r 2＋30r ＝－(r －15)2＋225，当r ＝15时，S 取最大值为225，这时圆心角α＝l r ＝60－2rr＝2，可得弧长AB ＝αr ＝2×15＝30.[规律方法] 弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° C [对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故选C.]2．29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.23π D.32π B [由弧度数公式α＝l r ，得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.]4．若把－570°写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________. 5π6 [－570°＝－19π6＝－4π＋5π6.] 5．求半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长及面积． [解] 因为r ＝π，α＝120×π180＝2π3，所以l ＝αr ＝2π23 cm ，S ＝12lr ＝π33cm 2.第1课时任意角的三角函数的定义学习目标：1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用．[自主预习·探新知]1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图121(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域4(1)图示：图122(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．诱导公式一[基础自测]1．思考辨析(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝y r，且y 越大，sin α的值越大．( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( )[解析] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝y r.但y 变化时，sin α是定值． (3)正确．(4)错误．终边落在y 轴上的角的正切函数值不存在． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________．3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.] [合 作 探 究·攻 重 难][探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．(1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路探究] (1)依据余弦函数定义列方程求x →依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α (1)310＋3010或310－3010 [(1)因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10. 又y ＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010.](2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝－2＋32＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)， 则r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. 母题探究：1.将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？ [解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－2＋－2＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.2．将本例(2)的条件“落在直线3x ＋y ＝0上”改为“过点P (－3a,4a ) (a ≠0)”，求2sin α＋cos α.[解] 因为r ＝－3a2＋a2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.[规律方法] 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.(1)【导学号：84352022】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.[思路探究] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [(1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.[规律方法] 判断三角函数值在各象限符号的攻略：基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. [跟踪训练]1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． －2＜a ≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．]求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.[规律方法] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． [跟踪训练] 3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. 【导学号：84352023】[解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°) ＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 25π·ta n 0＝sin π6＋0＝12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C ．22D ．12C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22.] 2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限B [因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0所以θ在第三象限或第一象限．]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________. －15 [设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )， 则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]5．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4. 【导学号：84352024】[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.第2课时 三角函数线及其应用学习目标：1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM ，MP . 2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M . ②过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T . (2)图示：图123(3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[基础自测]1．思考辨析(1)角α的正弦线的长度等于sin α.( )(2)当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．( ) (3)余弦线和正切线的始点都是原点．( )[解析] (1)错误．角α的正弦线的长度等于|sin α|. (2)正确．(3)错误．正切线的始点是(1,0)． [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．角π7和角8π7有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定C [角π7和角8π7的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]3．如图124，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图124A ．正弦线MP ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线MP ，正切线ATC [α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确．][合 作 探 究·攻 重 难](1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[解] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线． [规律方法] 三角函数线的画法作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.作正切线时，应从A，点引x 轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T ，即可得到正切线AT .[跟踪训练]1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．[解] 如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .[1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1) 的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．图①2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．图②利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围． (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.。
§1.2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一1．sin α，cos α，tan α的大小与点P (x ，y )在角α的终边上的位置有关．( × )提示 三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P (x ，y )在终边上的位置无关． 2．终边相同的角的同名三角函数值相等．( √ )提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a－5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2，tan α＝ba.跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值解 当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)，所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5， 所以sin α＝y r ＝－35＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4,3)，所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5， 所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，tan α＝y x ＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94. 综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角．类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”． 跟踪训练4 求下列各式的值： (1)cos25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1．(2018·牌头中学月考)已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为( ) A.55 B.255 C ．－55 D ．－255考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 D 2．sin13π6的值是( ) A ．－12 B ．12 C ．－32 D ．32考点 诱导公式一 题点 诱导公式一 答案 B解析 sin 13π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝sin π6＝12.3．(2017·宁波期末)若角α的终边经过点P (－1，－1)，则( ) A ．tan α＝1 B ．sin α＝－1 C ．cos α＝22D ．sin α＝22考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 A解析 由点P 的坐标计算得：r ＝(－1)2＋(－1)2＝2，则sin α＝－12＝－22，cos α＝－12＝－22，tan α＝sin αcos α＝1.4．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.5．已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 ①当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.②当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ， ∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.一、选择题1．(2017·长沙检测)sin(－315°)的值是( ) A ．－22 B ．－12 C.22 D.12考点 诱导公式一 题点 诱导公式一 答案 C解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22. 2．(2017·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 C解析 由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3B ．±3C ．－ 2D ．－ 3考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 D解析 ∵cos α＝xr＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 5．(2017·嘉兴模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 A解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.6．(2017·湖州期末)点P 从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动5π6弧长到达Q 点，则Q 点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，－32C.⎝⎛⎭⎫－32，－12 D.⎝⎛⎭⎫－32，12 考点 任意角的三角函数 题点 任意角三角函数的定义 答案 C解析 根据题意可得：x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32， y Q ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－12. 则Q 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－12. 7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 C 解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角． 二、填空题8．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 32 解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 9．(2017·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x 轴上，终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫－32，12，则cos α＝________. 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 －3210．(2017·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值范围是________．考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 (－2,3]解析 ∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上，sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3.11．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝________. 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.12．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________． 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值答案 32，12，3或－32，－12， 3 解析 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3a a＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3a a＝ 3. 13．sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4＝________. 考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 －1解析 原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.14．函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是________________． 考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 {－4,0,2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上， 当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4,0,2}． 三、解答题15．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.②由①②得角α的终边在第四象限．(2)∵点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。
精心整理第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广23角之分重点:难点:行了推广.思考小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒”（即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，“角α”或“3.意: 4.[(1)((2)(天后的5. 4.(2)[OB ,而328︒=-设S ,所有与32︒-.{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.6.[展示投影]例题讲评 例1.例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤<的元素β写出来.720︒7.[展示投影]练习P第3、4、5题.教材6∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终注意:（1）k Z边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.8.学习小结(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)=线y x121（1.23关系.:数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点:理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何). B .显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法. 7.填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l其中例4.注意:9.教材9.(1)(2)121（12）理2初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加数,),它与么它的则线段OMsinα=cossinMPbOPα==;cosOMaOPα==;tanMP bOM aα==.思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin yα=；（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos xα=；（3）yx叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离7．例题讲评例3．求证：当且仅当不等式组sin0{tan0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然:终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:cos(2)cos k απα+=(其中k Z ∈)9.例题讲评例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒;(2)sin()4π-;(3)tan(672)︒-;(4)tan3π例5.求下列三角函数值: (1)'sin148010︒;(2)9cos4π;(3)11tan(6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值.另外可以直接利用10.11.(1)(2)(3)(4)121、 2、 3、 4、 5、 1．，2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（directlinesegment）.4.像MP OM5.角函数线6.（27.例1处理8.9(1)(2)(3)1．(1)21.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1)使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点:1. 从圆的如图:,而且1OP =.2sin α+2. 例sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3.巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评 例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-.通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题6.学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论． 五、评价设计(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.第二章平面向量.1. 2. 3. 能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.1234567、 12.②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.ABCDA(起点)3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②5①.记作ａ6相等；．有向线段的起点无关．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有．．向线段的起点无关）．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4（5（6（7例下列命题正确的是（）共线，则也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量ａ与有相同起点的两个非零向量不平行不正确；由于数学中研究的向量是自由不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE,）DOCB,课堂练习：1①四点必在一直线上；②③任一向量与它的相反向量不相等；④是平行四边形当且仅当AB⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两③零相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题第2课时§2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；. 学法：教具1、 2、 则两次的位移和：=+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：AC =+二、探索研究： ABCC１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即a ＋ｂ=+=，规定：a+0-=0+a探究：（1（2向，（3当与|+|=||a +b|=|b （4 ５．向量加法的结合律：(a +b )+c =a +(b +c ) 证：如图：使a AB =，b BC =，c CD =则(a +b )+c =AD CD AC =+，a +(b +c )==+∴(+)+=+(+) a从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|+|≤||+||，当且仅当方向相同时取等号.h/，求8km，为4，最.第3课时§2.2.2向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：二、123作=a则=a?b即a?b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1?表示a?b.强调：差向量“箭头”指向被减数2?用“相反向量”定义法作差向量，a?b=a+(?b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4．探究：B’ABDC１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b ?a.２）若a ∥b ，如何作出a ?b ？ 三、 例题：例一、（P ９７例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a ?b 、c ?d .在平面上取一点O ，作=a ，解：OB =b ，OC =c ，OD =d ，A.a +bB.-a +(-b )C.a -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，则 A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a ?bAABBB’Oa ?ba abbO AOBa ?ba ?b BA O?ba +b =，b +c =，c -d =，a +b +c -d =.４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1平面向量基本定理（1（2） （3教具教学过程一、 复1（1）|λa 23.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：第３题(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1例2MB例3OA 例4（2)(OP OA tOB t +例51212样的实数d a b λμ=+使与c 共线：1.A.e 1、2一定平行B .e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线B .共线C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于()A.3B .-3 C.0D.24.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1=.5.已知a 与e 2五、小结（1（2（3教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =我们把,(x a 其中x 示.与．a 特别地，i 如图，一确定. 设=A 的坐标),(y x 也就是向量OA .因2（1）若a 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =?=(x 2，y 2)?(x 1，y 1)=(x 2?x 1，y 2?y 1)（3）若),(y x a=和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3D 的坐例4即：⎩⎨⎧-+431．若M(32．若A(03五、小结六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第6课时§2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1把),(y x 其中x )0,1(=i 2若a =则a +若,(1y x A a ∥设a=(x 1由a=λb 得，(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)⎩⎨=⇒2121y y λ消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1，y 2有可能为0，∵b?0∴x 2，y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1，x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b?)01221=-=⇔y x y x λ三、讲解范例：例1已知a =(4，2)，b =(6，y)，且a ∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a=(-1，x)与b =(-x ，2)共线且方向相同，求x例5∴A 1.2.A.-3B .-1 C.1D.33.若AB =i +2j ，DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量).AB 与DC 共线，则x 、y 的值可能分别为（） A.1，2B .2，2 C.3，2D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y =.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）1.2.3.4.内容分析：??本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 4若(1x a =). 若,(1y x A 5．a ∥b 6P 1，P 2使P 1况：λ7.（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8.点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.。
章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．(2017·杭州期末)角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则sin α的值是( ) A.22B ．－22C ．1D.22或－22答案 D 解析 r ＝a 2＋a 2＝2|a |，所以sin α＝ar ＝⎩⎨⎧22，a >0，－22，a <0，所以sin α的值是22或－22. 2．计算cos(－780°)的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 cos(－780°)＝cos780°＝cos(360°×2＋60°)＝cos60°＝12，故选C.3．在直径为20cm 的圆中，165°圆心角所对应的弧长为( ) A.25π3cmB.55π6cmC.40π3cmD.55π3cm 答案 B解析 ∵165°＝π180×165rad ＝11π12rad ，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm)．4．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2cos (α－2π)的值为( )A ．1B ．－45C ．－1D ．－4答案 A解析 根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，所以sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2cos (α－2π)＝sin α－cos α2cos α＝12tan α－12＝32－12＝1.故选A. 5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)与直线y ＝12的交点中，距离最近的两点间距离为π3，那么此函数的周期是( ) A.π3B ．πC ．2πD ．4π 答案 B解析 ωx ＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或ωx ＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，||(ωx 2＋φ)－(ωx 1＋φ)≥2π3，||x 2－x 1≥2π3ω， 令2π3ω＝π3，得ω＝2，T ＝2πω＝π. 6．(2017·金华十校期末)要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π6个单位长度．7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤9π6，－π3≤π6x －π3≤9π6－π3， 即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以当π6x －π3＝－π3时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)有最小值2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3，当π6x －π3＝π2时， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)有最大值2sin π2＝2， 所以最大值与最小值之和为2－ 3.8．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误． 故选D.9．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 A解析 由已知可得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－π12，2和点⎝⎛⎭⎫5π12，－2，则A ＝2，T ＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y ＝2sin(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫－π12，2代入得－π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝2π3，此时y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选A. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT (k ∈N )，即π2＝4k ＋14·T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．(2018·牌头中学月考)一个半径大于2的扇形，其周长C ＝10，面积S ＝6，则这个扇形的半径r ＝________，圆心角α＝________. 答案 3 43解析 由2r ＋rα＝10得：α＝10－2rr ，将上式代入S ＝12αr 2＝6，得r 2－5r ＋6＝0，∴r ＝3(r ＝2舍去)，∴α＝10－2r r ＝43.12．(2018·牌头中学月考)函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，1 解析 令u ＝cos x ，则函数为y ＝f (u )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴u ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴函数y ＝f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 13．(2018·牌头中学月考)已知角α为第三象限角，若tan α＝25，则sin α＝________，sin α－cos α＝________. 答案 －235－2314．函数y ＝tan(sin x )的定义域为______________，值域为______________． 答案 R [tan(－1)，tan 1] 解析 因为－1≤sin x ≤1， 所以tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1， 所以y ＝tan(sin x )的定义域为R ， 值域为[tan(－1)，tan 1]．15．(2018·牌头中学月考)A 为锐角三角形一内角，则y ＝74＋sin A －sin 2A 的最大值为________，此时A 的值为________． 答案 2 π616．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________．答案 32解析 向右平移4π3个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. ∵与原函数图象相同， 故－4π3ω＝2n π(n ∈Z )，∴ω＝－32n (n ∈Z )，∵ω>0，∴ωmin ＝32.17．在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号) ①f (cos A )>f (cos B )； ②f (sin A )>f (sin B )； ③f (sin A )>f (cos B )； ④f (sin A )<f (cos B )． 答案 ③解析 根据0<A ＋B <π2，得0<A <π2－B <π2，所以sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B .又y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数， 所以f (sin A )>f (cos B )．三、解答题(本大题共5小题，共74分)18．(14分)求值sin 2120°＋cos180°＋tan45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)． 解 原式＝⎝⎛⎭⎫322－1＋1－cos 230°＋sin30°＝⎝⎛⎭⎫322－1＋1－⎝⎛⎭⎫322＋12＝12. 19．(15分)已知f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1，3]． ∴当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－(1＋tan 2θ)图象的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2. 20．(15分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，f (x )的值域为[－1,2]． 21．(15分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到； (3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )min ＝－2，此时2x －π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ，即此时自变量x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π12，k ∈Z . (2)把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，最后再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． (3)如图，因为当x ∈[0，m ]时，y ＝f (x )取到最大值2，所以m ≥5π12.又函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，11π12上是减函数，故m 的最大值为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12内使函数值为－3的值， 令2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－3，得x ＝5π6， 所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤5π12，5π6.22．(15分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R .(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．解 (1)f (x )＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x ) ＝2cos 2x －2a cos x －1－2a ＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a22－2a －1. 若a 2<－1，即a <－2，则当cos x ＝－1时，f (x )有最小值g (a )＝2⎝⎛⎭⎫－1－a 22－a 22－2a －1＝1； 若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，f (x )有最小值g (a )＝－a 22－2a －1；若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，f (x )有最小值g (a )＝2⎝⎛⎭⎫1－a 22－a 22－2a －1＝1－4a . ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a >2.(2)若g (a )＝12，由所求g (a )的解析式知只能是－a 22－2a －1＝12或1－4a ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，－a 22－2a －1＝12，解得a ＝－1或a ＝－3(舍)． 由⎩⎪⎨⎪⎧a >2，1－4a ＝12，解得a ＝18(舍)． 此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12，得f (x )max ＝5. ∴若g (a )＝12，应有a ＝－1，此时f (x )的最大值是5.。
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒”（即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
习题课集合学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆B x∈A⇒x∈B真子集A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B{x|x∈A或x∈B}交集A∩B{x|x∈A且x∈B}补集∁U A(A⊆U){x|x∈U且x∉A}5.常用结论(1)∅⊆A；(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A. 1．若A＝{}x，|x|，则x<0.(√)2．任何集合至少有两个子集．(×)3．若{}x |ax 2＋x ＋1＝0有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a ＝0.(×)4．设A ，B 为全集的子集，则A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(√)类型一 集合的概念及表示法例1 下列表示同一集合的是( )A ．M ＝{(2,1)，(3,2)}，N ＝{(1,2)}B ．M ＝{2,1}，N ＝{1,2}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈N }D ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 B解析 A 中M ，N 两集合的元素个数不同，故不可能相同；B 中M ，N 均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M ＝N ；C 中M ，N 均为数集，显然有M N ；D 中M 为点集，即抛物线y ＝x 2－1上所有点的集合，而N 为数集，即抛物线y ＝x 2－1的y 的取值，故选B.反思与感悟 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1 设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝0}，B ＝{(x ，y )|2x －3y ＋4＝0}，则A ∩B ＝________. 考点 交集的概念及运算题点 无限集合的交集运算答案 {(4,4)}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x －3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.∴A ∩B ＝{(4,4)}． 类型二 集合间的基本关系例2 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．考点 子集及其运算。
§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)内容要求 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(重点).2.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω，φ，A 对其图象的影响(重点).3.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(重点、易错点)．知识点1 φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把函数y ＝sin x 的图象向右平移2个单位得到函数y ＝sin(x ＋2)的图象．( ) (2)函数y ＝cos(x －π3)的图象是由函数y ＝cos x 的图象向右平移π3个单位得到的．( )(3)把函数y ＝sin x 的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合．( ) 提示 (1)×，应得到y ＝sin(x －2)的图象． (2)√，由平移的规律可知其正确．(3)√，因为y ＝sin(x ＋2π)＝sin x ，故两图象重合． 知识点2 ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的影响【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象．( )(2)要得到函数y ＝sin(－x ＋π3)的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向左平移π3个单位得到．( )(3)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝sin 2x 的图象．( )提示 (1)×，得到y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象．(2)×，y ＝sin[－(x －π3)]，故要得到y ＝sin(－x ＋π3)的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向右平移π3个单位．(3)×，应得到y ＝sin 12x 的图象．知识点3 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响【预习评价】把函数y ＝2sin 3x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象．答案 y ＝6sin 32x题型一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象【例1】 (1)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)说明该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的． 解 (1)先列表，后描点并画图.(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(12x ＋π6)的图象．或把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin [12(x ＋π3)]，即y ＝sin(12x ＋π6)的图象． 规律方法 1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表.第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．【训练1】 请用“五点法”画出函数y ＝12sin(2x －π6)的图象．解 令X ＝2x －π6，则x 变化时，y 的值如下表：描点画图：将函数在⎣⎡⎤π12，13π12上的图象向左、向右平移即得y ＝12sin(2x －π6)的图象． 题型二 三角函数的图象的平移变换【例2】 (1)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 (2)要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位解析 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D ． (2)y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x －π8－π4． 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位． 答案 (1)D (2)A规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A ，ω及名称相同的结构． (2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω． (3)明确平移的方向．【训练2】 将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．解析 将函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2cos[2(x ＋π3)＋π3]＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ，再向下平移3个单位，所得图象对应的函数为y ＝－2cos 2x －3．答案 y ＝－2cos 2x －3题型三 三角函数图象的伸缩变换【例3】 (1)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，首先曲线C 1，C 2统一三角函数名，可将C 1：y ＝cos x 用诱导公式处理．y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π12＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3答案 D(2)将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π6个。
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性． 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数． 答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数． 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ， 都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)也是周期函数．梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？ 答案 奇偶性．梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称．(2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．1．函数f (x )＝x 2满足f (－3＋6)＝f (－3)，所以f (x )＝x 2是以6为周期的周期函数．( × ) 提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，对于f (x )＝x 2，f (0)＝0，f (0＋6)＝f (6)＝36，f (0)≠f (0＋6)，∴f (x )＝x 2不是以6为周期的周期函数． 2．周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R )．( × ) 提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界． 3．任何周期函数都有最小正周期．( × )提示 常函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.类型一 三角函数的周期性 例1 求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π， 即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π， 函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π.方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，－sin x ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π(k ∈Z )．其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 跟踪训练1 (2017·大同检测)下列函数是以π为周期的函数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝sin x ＋2 C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －1考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 C解析 y ＝sin x 及y ＝sin x ＋2的周期为2π，y ＝cos2x ＋2的周期为π，y ＝cos3x －1的周期为2π3.类型二 三角函数的奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 解 (1)f (x )＝sin2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 跟踪训练2 若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( ) A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 答案 D解析 由函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，可知y ＝cos(ωx ＋φ)＝sin ωx 或y ＝cos(ωx ＋φ)＝－sin ωx ， 由诱导公式，得φ＝k π＋π2(k ∈Z )．类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用 解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. 又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 余弦函数性质的综合应用解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cosπ＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020) ＝f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＋f (2020) ＝cos 2017π3＋cos 2018π3＋cos 2019π3＋cos 2020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cosπ＋cos 4π3＝12＋⎝⎛⎭⎫－12＋(－1)＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．跟踪训练3 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数性质的综合应用 答案3解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016)＋f (2017)＋f (2018) ＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2017)＋f (2018) ＝336⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sinπ＋sin 43π＋sin 53π＋sin2π ＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2) ＝336×0＋f (1)＋f (2) ＝sin π3＋sin 23π＝ 3.1．(2017·金华十校期末)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关D ．与ω无关，但与φ有关考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解析 因为当φ＝k π，k ∈Z 时，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝±cos ωx ，为偶函数； 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝±sin ωx ，为奇函数．所以f (x )的奇偶性与ω无关，但与φ有关． 2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ， ∴f (x )＝－cos2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 ±π解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.4．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案2解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝ 2.5．(2017·广州六中期末)已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解析 由f (2018)＝2018a ＋b sin2018＋1＝7， 得2018a ＋b sin2018＝6，∴f (－2018)＝－2018a －b sin2018＋1 ＝－(2018a ＋b sin2018)＋1＝－6＋1＝－5.1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.一、选择题1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 D解析 对于D ，x ∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．2．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 D ．y ＝|sin2x |考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin2π的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪sin x2的周期为T ＝2π； y ＝|sin2x |的周期为T ＝π2.故选C.3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5B ．10C ．15D ．20考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 B4．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为3π的奇函数 D ．周期为4π3的偶函数考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 A5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 D解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 6．函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性 答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0， 即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z ， 由于定义域不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数．7．(2017·广州检测)如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A ．3B ．6C ．12D ．24考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 B解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，所以T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，解得ω＝6.二、填空题8．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－πx 3的周期是________． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 6 解析 T ＝2π⎪⎪⎪⎪－π3＝2ππ3＝6. 9．(2017·海南国兴中学期末)函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期是________． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 π2解析 ∵函数y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，∴函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2的最小正周期是π2. 10．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案22解析 f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 11．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案132解析 因为f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x ＋2)＝13f (x )，f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数．所以f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f (1)＝132. 三、解答题12．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性题点 正弦函数、余弦函数的奇偶性解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．13．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π. 四、探究与拓展14．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，ω>0，则π2＜ω＜2π. ∴正整数ω的最大值为6.15．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值． 考点 正弦函数、余弦函数的周期性题点 正弦函数、余弦函数的周期性解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0,1]内至少含4934个周期， 即⎩⎨⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2， 所以ω的最小值为199π2.。
