解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等强化训练专题练习(四)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．3． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________ 评卷人得分三、解答题4．已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F ．M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==． （Ⅰ）求M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（Ⅲ）过l 上的动点Q 向M 作切线,切点为,S T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，O lxyA B F · M第17题2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.(1)当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围；(3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且212ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的短轴长的取值范围．4．7． 已知椭圆x 2+22b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．B第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 3．;2评卷人得分三、解答题4．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x =……… 2分设M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=,所以M 的方程为22(2)4x y -+=……………… 5分（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++……8分所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2 …………………………………10分（Ⅲ）以点Q 这圆心,QS 为半径作Q ,则线段ST 即为Q 与M 的公共弦………… 11分设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+…13分从而直线QS 的方程为320x ty --=（*）………………………………………………………………14分因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程（*）的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)3……………16分5．由相似三角形知，121OF OH PF PF =，222b ab a aλ=+，∴()222222,21a b b a b λλλλ+==- ，2221b a λλ=-．(1）当13λ=时，221b a =，∴,a b y x ==±.(2）()22222211211111c b e a a λλλλ--⎡⎤⎣⎦==+=+=+--=221111λλ-=----，在11,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增函数. ∴12λ=时，2e 最大3，19λ=时，2e 最小54， ∴2534e ≤≤，∴532e ≤≤. (3）当3e =时，3ca=，∴3c =，∴222b a =. ∵212PF F F ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点， ∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF =8.又2212224b a PF a a a a a=+=+=，∴48,2,23,22a a c b ====.∴2224b PF a a===，圆心()0,2C ，半径为4，()22216x y +-=. 6．（1）由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ab c P 2,，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b c Q 2, 因为23=PQ k ，所以得：=e 12(2）由（1）可知，c b c a 3,2==，所以，()()()0,3,0,,3,01c B c F c A -，从而()0,c M 半径为a ，因为212ME MF a ⋅=-，所以︒=∠120EMF ，可得：M 到直线距离为2a从而，求出2=c ，所以椭圆方程为：2211612x y +=． (3）因为点N 在椭圆内部，所以b>3 设椭圆上任意一点为()y x K ,，则()()2222263≤-+=y x KN由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y 对任意[]()3,>-∈b b b y 恒成立，所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+--≤-0189418922b b b b 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+-->-018949189922b b解之得： 2∈b (6,1226]-． 7．。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是▲ .3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲评卷人得分三、解答题4．如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠。

若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：2212t t +为定值。

【汇编高考真题辽宁理20】(本小题满分12分)5．已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． (Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； (Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ⋅的取值范围．QPOyxF 1A C F 26．如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =， (1）求椭圆的方程；(2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.7．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .(1）求证：221b a -=；(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除OyxCBA评卷人得分一、选择题1．B第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题2．21 2e≤<3．2评卷人得分三、解答题4．【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .3．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ． 评卷人得分 三、解答题4．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点.⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|]⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）5．已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m-+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．xN M O y AB l :x =t6．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；（3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．7． 已知椭圆x 2+22b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、选择题1．B第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2． 212e ≤< 3．63评卷人 得分三、解答题4．（1）由条件得()()1,0,0,3,F A - 3.AF k = 因为,AB AF ⊥所以3,3AB k =-3: 3.3AB y x =-+ 令0,y =得3,x =所以点C 的坐标为()3,0.由22333143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得213240,x x -=解得10x =（舍）224.13x = 所以点B 的坐标为2453,1313⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.因为AB BC λ=，所以0,λ>且24813.245313AB BC λ===- （2）因为ACF △是直角三角形，所以ACF △的外接圆的圆心为()1,0D ，半径为2.所以圆D 的方程为()2214x y -+=. 因为AB 为定值，所以当PAB △的面积最大时点P 到直线AC 的距离最大. 过D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点 .直线():31m y x =-与()2214x y -+=联立得2x =（舍）或0,x = 所以点P 的坐标为()0,3.5．6．解：（1）由题意：42,23==a a c 可得：1,3,2222=-===c a b c a ， 故所求椭圆方程为：=+224y x 1 ………………………3分 （2）易得A 的坐标(－2，0)，B 的坐标(2,0)，M 的坐标)24,(2t t -，N 的坐标)24,(2t t --， 线段AM 的中点P )44,22(2t t --， 直线AM 的斜率t t t t k +-=+-=222122421 ………………………………………5分 又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜率t tk -+-=2222∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=，∴1C 的坐标为)0,863(-t 同理2C 的坐标为)0,863(+t ………………………… 8分 ∴2321=C C ,即无论t 如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.…………… 11分（2）圆1C 的半径为1AC 8103+=t ，圆2C 的半径为83102t BC -=， 则)1009(3222221+=+=t BC AC S πππ （2-＜t ＜2）显然t 0=时，S 最小，825min π=S . …………… 15分7．。

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（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

(汇编年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。

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高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22x +y -2x=0(汇编福建理） 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ）（A ）12 （B ）1（C ）2（D ）4 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 的值为 .3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分 三、解答题4．已知,A B 分别是直线33y x =和33y x =-上的两个动点，线段AB 的长为23是AB 的中点，点P 的轨迹为.C（1）求轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。

若,,RM MQ RN NQ λμ==证明：λμ+为定值。

5．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为45，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。

（1）求椭圆的方程；（2）若2PA PF =，求PO 的最小值；（3）在（2）的条件下，若点P 在椭圆内，求12PF PF 的范围。

6．已知椭圆162422y x =1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （汇编全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组图8—25⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xyx y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x yx y x x x R R 由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即x y y P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程 （x －1）2+322y =1（x ＞0）. 所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点. 评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.7．已知O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）是△OBC 的三个顶点．如图8—3. (Ⅰ）写出△OBC 的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明G 、F 、H 三点共线；(Ⅱ）当直线FH 与OB 平行时，求顶点C 的轨迹．（汇编北京，21）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除① ③评卷人得分 一、选择题1．C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p 法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0）所以2,12=-=-p p 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．3．由消去，得．故当，即当时，两曲线有且只有两个不同的公共点．分析：当时，圆的方程为，它与抛物线的公共点的个数为三个（如图1），而不是两个．，仅是其横坐标有两个不同的解的充要条件，而不是有两个公共点的解析：由222212210y x x y ax a ⎧=⎪⎨⎪+-+-=⎩，消去y ，得2212102x a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭． 故当22124(1)02a a ⎛⎫∆=---> ⎪⎝⎭，即当178a <时，两曲线有且只有两个不同的公共点．分析：当1a =时，圆的方程为22(1)1x y -+=，它与抛物线的公共点的个数为三个（如图1），而不是两个．0∆>，仅是其横坐标有两个不同的解的充要条件，而不是有两个公共点的充要条件．正两曲线有且只有两个不同的公共点的充要条件是方程2212102x a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭有两个相等的正根或者有一个正根，一个负根，即22124(1)021202a a a ⎧⎛⎫∆=---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩，，或222124(1)0210a a a ⎧⎛⎫∆=--->⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-<⎩，， 解得178a =或11a -<<． 综上可知，当178a =或11a -<<时，抛物线与圆有且只有两个不同的公共点． 说明：“有且只有”、“当且仅当”等用语，都是指既有充分性，又有必要性． 评卷人得分 三、解答题4．5．6．7．（Ⅰ）解：由△OBC 三顶点坐标O （0，0），B （1，0），C （b ，c ）（c ≠0），可求得重心G （3,31c b +），外心F （c b c b 2,2122-+），垂心H （b ，cb b 2-）. 当b =21时，G 、F 、H 三点的横坐标均为21，故三点共线； 当b ≠21时，设G 、H 所在直线的斜率为k G H ，F 、G 所在直线的斜率为k F G .因为)21(33313222b c b b c b b c b b c k GH --+=-+--=， )21(332131232222b c b b c b c b c b c k FG --+=-+-+-=， 所以，k G H =k F G ，G 、F 、H 三点共线.综上可得，G 、F 、H 三点共线.(Ⅱ）解：若FH ∥OB ，由k F H =)21(3322b c b b c --+=0，得 3（b 2－b ）+c 2=0（c ≠0，b ≠21）， 配方得3（b －21）2+c 2=43，即 1)23()21()21(2222=+-c b . 即2222)23()21()21(y x +-=1（x ≠21，y ≠0）. 因此，顶点C 的轨迹是中心在（21，0），长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（21，23），（21，－23）四点. 评述：第（Ⅰ）问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题：三角形的重心、外心、垂心三心共线（欧拉线）且背景深刻，是有研究意义的题目.。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12（B ）1（C ）2（D ）4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．圆心在抛物线y x 42上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．3．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2－bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)________．①必在圆x2＋y2＝2上②必在圆x2＋y2＝2外③必在圆x2＋y2＝2内解析：由e＝12＝ca，得a＝2c，b＝3c.所以x1＋x2＝ba＝32，x1x2＝－ca＝－12.于是，点P(x1，x2)到圆心(0,0)的距离为x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝34＋1＝74<2，所以点P在圆x2＋y2＝2内．评卷人得分三、解答题4．设A为椭圆221259x y+=上任一点，B为圆22(1)1x y-+=上任一点，求AB的最大值及最小值．5．已知椭圆C：x24＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A、B两点．（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．O xy6．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 4)1()2(22=-+±y x3．③ 评卷人得分三、解答题4．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：设圆22(1)1x y -+=的圆心C(1,0),求AB 的最大值只需求AC 的最大值．A 在椭圆上，设A(5cos ,3sin )θθ，22225135(5cos 1)9sin 16(cos )1616AC θθθ=-+=-+， ∴当5cos 16θ=时，mi n 3154AC =，当cos 1θ=-时，mi n 6AC =， min 7AB ∴=，min 31514AB =-．………………………………………………………10分 5．解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆C 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.23==a c e （Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB 当m =－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得；设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k mk x x +-=+=+；又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切∴212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242km k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB 且当3±=m 时，|AB |=2，所以|AB |的最大值为2.6．（1）由条件得()()1,0,0,3,F A - 3.AF k =因为,AB AF ⊥所以3,3AB k =-3: 3.3AB y x =-+ 令0,y =得3,x =所以点C 的坐标为()3,0.由22333143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得213240,x x -=解得10x =（舍）224.13x =所以点B 的坐标为2453,1313⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 因为AB BC λ=，所以0,λ>且24813.245313AB BC λ===-（2）因为ACF △是直角三角形，所以ACF △的外接圆的圆心为()1,0D ，半径为2. 所以圆D 的方程为()2214x y -+=.因为AB 为定值，所以当PAB △的面积最大时点P 到直线AC 的距离最大. 过D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点 . 直线():31m y x =-与()2214x y -+=联立得2x =（舍）或0,x =所以点P 的坐标为()0,3. 7．（本小题共16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：2222a b ONOM+为定值．18．解：（Ⅰ）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=， ∴ b c =，∴ 2222b a c c =-=， ∴ 222a c =，∴22e =． ……… 5分 （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得2OP b =， ∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥，212e ≤<． ……… 10分 （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则 011011y y xx x y -=--整理得220011x x y y x y +=+22211x y b += ∴PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．∴11x x y y +=22x x y y +，∴021210x y y x x y -=--,直线AB 方程为 ()0110x y y x x y -=--，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM ++===，∴2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ……… 16分。