2021年新高考数学总复习讲义：函数零点

考向13 函数的零点及函数的应用【2022·北京·高考真题】若函数()sin 3f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 【答案】 1 2-【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可．【详解】∵π33()03f A ==，∴1A =∴π()sin 32sin()3f x x x x ==-ππππ()2sin()2sin 2121234f =-=-=故答案为：1，2-【2021·北京·高考真题】已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰 有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误． 【详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确； 对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-， 所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点， 若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k e k ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt tk t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t e e k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确．故答案为：①②④． 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有()()=在区间(),a b·0y f xf a f b<．若有，则函数()内必有零点．2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法：（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与x轴交点的个数来判断．3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．4．解决函数应用问题的步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义．判断函数零点个数的方法： （1）利用零点存在性定理判断法； （2）代数法：求方程()0f x =的实数根；（3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数()y f x =的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．一、函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 二、方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点． 三、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0,f c c =也就是方程()0f x =的根．1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数()2cos()1(0,0π)f x x ωϕωϕ=+-><<经过(0,0)点，且()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【解析】因为()2cos()1f x x ωϕ=+-经过(0,0)点，所以12cos 10cos 2ϕϕ-=⇒=，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，即π()2cos()13f x x ω=+-，令ππ1()2cos()10cos()332f x x x ωω=+-=⇒+=，因为π()0,x ∈，所以πππ(,π)333x ωω+∈+，因为()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，所以有5πππ43327ππ3π33ωωω⎧<+⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤+⎪⎩，所以ω的最大值为2， 故选：C2．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知实数a 是方程3e sin 0x x x -+=的一个解，a -是方程()3sin 0f x x x -+=的一个解，则()f x 可以是（ ）A ．()e xf x =-B ．()e xf x -=-C ．()3sin f x x x =+D ．()3sin f x x x =-+【答案】B【解析】解：依题意3e sin 0a a a -+=，()()()3sin 0f a a a ---+-=，即3e sin a a a =-，()3sin 0f a a a -+-=，所以()3sin e af a a a -=-+=-，即()()()3sin f a a a -=---或()()ea f a ---=-，所以()e x f x -=-或()3sin f x x x =-；故选：B3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的所有零点之和为（ ）A ．0B ．2πC ．4πD ．6π【答案】C【解析】解：因为()()1sin f x x x π=--，令()0f x =，即()1sin x x π=-，当x π=时显然不成立， 当x π≠时1sin x x π=-，作出sin y x =和1y x π=-的图象，如图，它们关于点(,0)π对称，由图象可知它们在3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上有4个交点，且关于点(,0)π对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以4个点的横坐标之和为4π． 故选：C ．4．（2022·广东惠州·二模）函数()()ln 3f x x =+的图像与函数()22g x x =-的图像的交点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．0【答案】C【解析】()f x 在(3,)-+∞上是增函数，()g x 在(,2)∞--和(0,2)上是减函数，在(2,0)-和(2,)+∞上是增函数，(2)0f -=，(2)(2)0g g -==，(0)2(0)ln 3g f =>=， 作出函数()f x ()g x 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点． 故选：C ．1．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理）232cos 1(0)x x ωωω+=>在(0,2)x π∈有且仅有6个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D ()232cos 10x x ωωω+=>， ()3112cos 2022x x ωωω+=>，即1sin(2)62x πω+=.设()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()12f x =在()0,2x π∈有且仅有6个实数根，因为24666x πππωωπ<+<+，故只需5646666ππππωππ+<+≤+， 解得3523ω<≤， 故选：D ．2．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()222e e x xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】设()(2)e e x xg x f x x a -=-=+++，定义域为R,∴()e e e e ()x x x xg x x a x a g x ---=-+++=+++=，故函数()g x 为偶函数，则函数(2)f x -的图象关于y 轴对称， 故函数()f x 的图象关于直线2x =-对称， ∵()f x 有唯一零点， ∴(2)0f -=，即2a =-． 故选：D ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D【解析】由22e e 0xxx ax a +-=得20e e x x x x a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()e x x g x =，由()10e xxg x -'==，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =>，则()e xx g x =的图像如图所示：即函数()g x 的最大值为()11eg =，令1e e x x t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()20h t t at a =+-=， 由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，当21e t =时，21e ea =-，则另一根111e t =-，不满足题意，当20t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得210e ea <<-， 则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故选：D.4．（2022·上海浦东新·二模）已知()f x x =，()2g x x ax =-，()a R ∈，实数12x x 、满足12x x <，设()()1212f x f x p x x -=-，()()1212g x g x q x x -=-，现有如下两个结论：①对于任意的实数a ，存在实数12x x 、，使得p q =；②存在实数0a >，对于任意的(]121x x a ∞∈-+、，，都有p q >； 则（ ） A ．①②均正确 B ．①②均不正确 C ．①正确，②不正确 D ．①不正确，②正确【答案】C【解析】对①，()()1212f x f x p x x -=-的几何意义为()()11,x f x 与()()22,x f x 两点间的斜率，同理()()1212g x g x q x x -=-的几何意义为()()11,x g x 与()()22,x g x 两点间的斜率.数形结合可得，当0a <时，存在120x x <=；当0a ≥时，存在120x x =<，使得()()()()1122,f x g x f x g x ==，即p q =成立.即对于任意的实数a ，存在实数12x x 、，使得p q =，故①正确；对②，若存在实数0a >，对于任意的(]121x x a ∞∈-+、，，都有p q >，即()()()()12121212f x f xg x g x x x x x -->--，即()()()()1212f x f x g x g x -<-，即()()()()2211g x f x g x f x -<-.即存在实数0a >，对于任意的(]121x x a ∞∈-+、，，()()()()2211g x f x g x f x -<-恒成立.设()()()h x g x f x =-，则()()21h x h x <，即()()()2h x g x f x x ax x =-=--为减函数.故原题意可转化为：存在实数0a >，使得()2h x x ax x =--在(]1a ∞-+，上为减函数.因为当0x ≥时，()()21h x x a x =-+，因为()h x 对称轴为12a x +=，故当1,12a x a +⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()h x 一定为增函数，故不存在实数0a >，使得()2h x x ax x =--在(]1a ∞-+，上为减函数.故②错误 故选：C5．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，对x ∀∈R ，都有(3)(1)f x f x -=+恒成立，当(0,2)x ∈时21()2f x x =，若函数()f x 的图象和直线(4),0y k x k =+>，有5个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题设()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又(3)(1)f x f x -=+，则()(4)f x f x =+，即()f x 是周期为4的函数， 若(2,0)x ∈-，则(0,2)x -∈，故221()()22x f x x ==⨯-，所以2()2x f x =且(2,2)x ∈-，又(4),0y k x k =+>过定点(4,0)-，所以()f x 与(4),0y k x k =+>的部分图象如下图示：当(4),0y k x k =+>过(2,2)A 时，13k =；当(4),0y k x k =+>过(6,2)B 时，15k =；由图知：1153k <<时，()f x 和直线(4),0y k x k =+>有5个交点.故选：C6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时()exf x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数()()(1)m g x f x x =-+有个5零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()110,log eB ．()11710,log e ,log e 2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭C ．111log e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11711log e,,log e 22⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题意知，函数()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x -=+，令2x x =+，则(22)()(4)()f x f x f x f x --=-=+=， 所以函数()f x 是以4为周期的函数. 当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，所以()(e)x f x --=，即当[2,0]x ∈-时()(e)x f x -=， 因为函数()()(1)m g x f x x =-+在[0,10]上有5个零点， 所以方程()(1)0m f x x -+=在[0,10]上有5个根，即函数图像()y f x =与(1)m y x =+在[0,10]上有5个不同的交点，如图，由图可知，()()166m f +<且()()11010mf +>，即7e11e m m ⎧<⎨>⎩，解得117log e log e m <<， 又当12m =时，函数图像()y f x =与12(1)y x =+在[0,10]上有4个不同的交点， 不符合题意，故m 的取值范围为11711(log e,)(,log e)22.故选：D.7．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数()2,9,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()2g x f x x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,∞+ B ．[)0,3 C ．[)1,-+∞ D ．[)1,3-【答案】A【解析】（1）当a<0时，()()2,29,093,0x x x a g x f x x x a x x x ⎧+≤⎪=-=+<<⎨⎪-≥⎩，令20x x +=，得1x =-，或0x =（舍去）， 令90x +=，得9x =-，令930x -=，得3x =，若函数()()2g x f x x =-有三个零点，则19aa -≤⎧⎨<-⎩，无解，即不可能有三个零点；（2）当a =0时，()()2,020,093,0x x x g x f x x x x x ⎧+<⎪=-==⎨⎪->⎩，由（1）知有1x =-，或0x =，3x =三个零点，满足题意；（3）当a >0时，()()22,023,093,x x x g x f x x x x x a x x a ⎧+<⎪=-=-≤≤⎨⎪->⎩，当0x <时有一个零点1-，0x =是函数的一个零点，所以当0x >时函数只有一个零点， 令230x x -=，得3x =，或0x =（舍去），令930x -=，得3x =，即不论a 取大于0的何值，3x =是函数的一个零点， 故有三个零点，综上，实数a 的取值范围是[)0,∞+ 故选: A8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈ B ．(1.5,2)a ∈ C ．(2,2.5)a ∈ D ．(2.5,3)a ∈【答案】D【解析】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=， 因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ．9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数π()2cos()1(0,0)2f x x ωϕωϕ=+-><<，在0x =处的切线斜率为3ω，若()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．12C ．2D ．136【答案】C【解析】依题意，()2sin()f x x ωωϕ'=-+，则(0)2sin 3f ωϕω'=-=-，即3sin ϕ而π02ϕ<<，解得π3ϕ=，因此，π()2cos()13f x x ω=+-，由()0f x =得：π1cos()32x ω+=，又π()0,x ∈，有πππ(,π)333x ωω+∈+，因()f x 在(0,π)上只有一个零点0x ，于是得5ππ7ππ333ω<+≤，解得423ω<≤， 所以ω的最大值为2. 故选：C10．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知函数()()sin cos 0f x x a x a =+>的最大值为2，若方程()f x b =在区间13π0,6⎛⎫⎪⎝⎭内有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++等于（ ）A ．8π3B ．10π3C ．4πD ．25π6【答案】A【解析】2()sin cos 1)f x x a x a x ϕ=+++212a +=，且0a >，解得3a =π()2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．方程()f x b =在区间13π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，内的实数根，即为在区间13π06⎛⎫⎪⎝⎭，内()y f x =的图象与直线y b =的交点的横坐标，如图所示，由()f x 图象的对称性可知，2312π7π2626x x x x ++==，，即12π3x x +=，237π3x x +=，所以123122()x x x x x ++=+238π()3x x ++=， 故选：A ．11．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知0a >，若函数(),ln 2,x a x af x x x a +≤⎧=⎨+>⎩有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】A【解析】0,x a x a a +==-<，则x a =-是函数()f x 的一个零点 由ln 20x +=，解得21e x =要使得()f x 有两个不同的零点，则210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A12．（2022·山东烟台·三模）已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a << B ．02a <<C ．1a >D ．2a >【答案】B【解析】解：作出函数()f x 的图象如图：依题意方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，即()y f x =与1y ax =-有且仅有三个交点， 因为1y ax =-必过()0,1-，且()01f =-，若0a ≤时，方程()1f x ax =-不可能有三个实数解，则必有0a >， 当直线1y ax =-与ln y x =在1x >时相切时，设切点坐标为()00,x y ，则1()f x x '=，即001()f x x '=，则切线方程为0001()y y x x x -=-， 即0000111ln 1y x y x x x x =⋅+-=⋅+-， 切线方程为1y ax =-，1a x ∴=且0ln 11x -=-，则01x =，所以1a =， 即当0a >时1y ax =-与()y f x =在()0,∞+上有且仅有一个交点， 要使方程()1f x ax =-有且仅有三个的实数解，则当0x ≤时()221f x x x =+-与1y ax =-有两个交点，设直线1y ax =-与()221f x x x =+-切于点()0,1-，此时()22f x x '=+，则()02f '=，即2a =， 所以02a <<， 故选：B13．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=， 由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x =-.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =-的图象， 由图象知0a <，0b >，a c b ∴<<.故选：D14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()23,0,3,0,x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[7,9]上是增函数B ．()()220222f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619i i x ==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则11,3k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】A ：由题意,当3x ≥-时()f x 以3为周期的函数，故()f x 在[7,9]上的单调性与()f x 在[-2,0]上的单调性相同，而当0x <时()23924x x f ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴()f x 在[-2,0]上不单调，错误；B ：()22f -=，()() 202230f f =-=，故()()2 20222f f -+=，正确；C ：作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(),6-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，i ＝1，2，3，4，5，由图象知:1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称，∴513392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，正确；D ：若直线1y kx =+经过(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与()230y x x x =--<相切，则消元可得：()2103x k x ++=+，令0∆=可得()2340k +-=，解得k ＝-1或k ＝-5（舍），若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性得:k ＝1． 因为()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =有3个交点， ∴113k -<<-或k ＝1，错误，故选：BC ．15．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()2f x x =-，设函数()()226x g x e x --=-<<，则正确的是（ ）A ．函数()f x 图像关于直线2x =对称B ．函数()f x 的周期为6C ．()71f =-D ．()f x 和()g x 的图像所有交点横坐标之和等于8【答案】AD 【解析】()()22f x f x +=-，∴函数()f x 图像关于直线2x =对称，故A 正确；又()f x 为偶函数，()()22(2)f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 的周期为4，故B 错误；由周期性和对称性可知，()7(3)(1)1f f f ===，故C 错误； 做出()f x 与()g x 的图像，如下：由图可知，当26x -<<时，()f x 与()g x 共有4个交点，()f x 与()g x 均关于直线2x =对称，所以交点也关于直线2x =对称，则有1234+248x x x x ++=⨯=，故D 正确. 故选：AD.16．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知函数2,,()e 4,,x xx a f x x x x a ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩当3a =时，函数()f x 有_________个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为_________． 【答案】 2 1,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：当3a =时，2,3()e 4,3x xx f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-+≥⎩，当3x <时，()0ex xf x ==，则0x =，当3x ≥时，()240f x x x =-+=，则4x =，所以当3a =时，函数()f x 有2个零点； 令()e xx h x =，则()1e x xh x -'=，当1x <时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，所以()()max 11eh x h ==，当x →-∞时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x +→，令()24m x x x =-+，则()()max 24m x m ==，如图，分别作出函数()y h x =和()y m x =的图象， 由图可知，函数()f x 的最大值为,(4)1e g a ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即()g a 的值域为1,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：2；1,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：ln ,01()2(1),1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在（0，2]上恰有三个根，则实数k 的取值范围是___________.【答案】11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】方程()12f x kx =-在（0，2]上恰有三个根，即直线12y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，当01x <≤时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+， 当10e x <<时，()0f x '<；当11ex <≤时，()0f x '>，所以f （x ）在（0，1e ）上单调递减，f （x ）在（1e，1]上单调递增.结合函数的“周期现象”得f （x ）在（0，2]上的图像如下：由于直线l ；12y kx =-过定点A （0，12-）.如图连接A ，B （1，0）两点作直线11122l y x =-：，过点A 作()()ln 01f x x x x =<≤的切线l 2，设切点P （0x ，0y ），其中000ln l 1()n y x x x f x '==+，，则斜率20ln 1l k x =+ 切线20000:ln (ln 1)()l y x x x x x -=+-过点A （0，12-）.则00001ln (ln 1)(0)2x x x x --=+-，即012x =，则21ln 11ln 22l k =+=-，当直线1:2l y kx =-绕点A （0，12-）在1l 与2l 之间旋转时.直线1:2l y kx =-与函数()y f x =在[-1，2]上的图像有三个交点，故1(1ln 2,)2k ∈- 故答案为：1(1ln 2,)2-18．（2022·上海黄浦·二模）对于给定的正整数n (2n ≥)，定义在区间[0,]n 上的函数()y f x =满足：当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，且对任意的[1,]x n ∈，都成立()(1)1f x f x =-+．若与n 有关的实数n k 使得方程()n f x k x =在区间[1,]n n -上有且仅有一个实数解，则关于x 的方程()n f x k x =的实数解的个数为____________． 【答案】21n -【解析】由题意，画出()y f x =在[]0,1之间的图象，又对任意的[1,]x n ∈，都成立()(1)1f x f x =-+，可理解为区间[1,]n n -的图象由区间[2,1]n n --的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出()y f x =在[0,]n 上的图象.故若与n 有关的实数n k 使得方程()n f x k x =在区间[1,]n n -上有且仅有一个实数解，则n y k x =与()y f x =在区间[1,]n n -上的图象相切，且易得()y f x =的图象在y x =与区间区间[]0,1，[]1,2…[]2,1n n --，[]1,n n -上的公切线之间.故n y k x =与()y f x =在区间[]0,1，[]1,2…[]2,1n n --上均有2个交点，故关于x 的方程()n f x k x=的实数解的个数为()21121n n -+=-个故答案为：21n -19．（2022·上海松江·二模）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【答案】506【解析】因为(2)(2)g x g x +=-，所以()g x 的图像关于2x =对称又()g x 是定义在R 上的奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 是周期为8的周期函数分别作出(),()f x g x 在[0,6]上的图像，共2个交点；又[6,2022]刚好为()g x 的252个周期，易知在每个周期内(),()f x g x 有两个交点，在[6,2022]上共有504个交点，综上，(),()f x g x 共有506个交点，即方程()()f x g x =实根的个数为506.故答案为：50620．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数()ln f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是______．【答案】()3,+∞【解析】()ln f x x =的图象如图，因为()()f a f b =，所以ln ln a b =，因为0a b <<，所以ln 0a <，ln 0b >，所以01,1a b <<>， 所以ln ln ,ln ln a a b b =-=，所以ln ln a b -=，所以ln ln ln()0a b ab +==，所以1ab =，则1b a =， 所以22a b a a+=+， 令2()(01)g x x x x =+<<，则22()1x g x x x'-=-=，当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在(0,1)上递减，所以()(1)123g x g >=+=，所以23+>a b ，所以2+a b 的取值范围为()3,+∞，故答案为：()3,+∞21．（2022·广东·模拟预测）已知函数()f x 满足(2)(2),04f x f x x -=+≤<时，2()4(2)f x x =--，()()(),0n n g x f x k x n k *=-∈>N ．若函数()g x 的图像与x 轴恰好有21n 个不同的交点，则22212n k k k ++⋅⋅⋅+=_________．【答案】4(1)n n + 【解析】∵(2)(2)f x f x -=+，∴()(4)f x f x =+，所以函数()f x 周期为4，当04x ≤<时，2()4(2)y f x x ==--，即22(2)4,0x y y -+=≥；当4x ≥时，()(4)f x f x =-，函数周期为4，令()()0()n n g x f x k x f x k x =-=⇒=，即n y k x =与函数()f x 恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故222(42)4161644n k n n n n n ==+-++ 故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以222121111111422314(1)n n k k k n n n ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪++⎝⎭．故答案为：4(1)n n +.1．（2021·天津·高考真题）设a ∈R ，函数22cos(22). ()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【答案】A【解析】【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ-=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】()222150x a x a -+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ-=至少有4个根，由22,2x a k k Z ππππ-=+∈可得1,24k x a k Z =++∈， 由1024k a a <++<可得11222a k --<<-， （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤； 当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤； 当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤； （2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩， 则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 2．（2020·天津·高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】【分析】 由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】 注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >.综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.3．（2020·海南·高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】【分析】 根据题意可得()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果.【详解】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =， 所以1ln 20.69 1.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.4．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5．（2020·全国·高考真题（理））若242log 42log a b a b +=+，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【解析】【分析】 设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --， 当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 6．（2019·全国·高考真题（文））函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈， 02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．7．（2019·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->【答案】C【解析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a=-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图： ∴01b a <-且32011(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.8．（2019·全国·高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121223()()M M M R r R r r R+=++. 设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A 21M R M B 212M R M C 2313M R M D 2313M R M 【答案】D【解析】【分析】【详解】由r Rα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++， 所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++， 即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++， 解得3213M M α= 所以321.3M r R R M α==【点睛】 由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．9．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.10．（2022·北京·高考真题）若函数()sin 3f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 【答案】 1 2-【解析】【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可. 【详解】 ∵π33()03f A ==，∴1A = ∴π()sin 32sin()3f x x x x ==- ππππ()2sin()2sin 2121234f =-=-=故答案为：1，2-11．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论：①若0k =，()f x 恰 有2个零点；②存在负数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有3个零点；④存在正数k ，使得()f x 恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确；对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点， 若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k e k ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解，因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t e e k e =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以，当lg 0100e k e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．12．（2019·江苏·高考真题）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥ 又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k k k+=+，得2k =函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】。

考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.3．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,73．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 .4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________.6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.8．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 .9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 .12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 .2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 .3．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为 .4．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k = ．5．函数1()lg 1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.6．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________.7．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．8．若函数()()21xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 .9．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.10．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.11．函数f (x)＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ．12．设(0,1)m ∈，若函数2log ,02()(4),24x m x f x f x x ⎧-<≤=⎨-<<⎩有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则22341225x x x x +-+的取值范围是 .13．已知直线y mx =与函数()211,0212,03xx x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 .14．已知m R ∈，函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知定义在R 上的偶函数()f x ，且0x ≥时，()31,0153,13x x x f x x -⎧+≤≤⎪=⎨+>⎪⎩，方程()f x m =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是 .【题组四 二分法】1．已知函数f(x)=x 3+2x −8的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程x 3+2x −8=0的近似解可取为（精确度0.1） .2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( ) A ．()21f x x =- B ．()221f x x x =-+C ．()2log f x x =D ．()2xf x e =-3．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为4．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（ ） A ．()12， B ．()1.752， C ．()1.52， D ．()1 1.5，5．若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:2)1.250.984=-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为 .6．已知函数f （x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 .A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，37．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为（ ） A ．2.52 B ．2.625C ．2.47D ．2.758．用“二分法”求26y x =-的零点时，初始区间可取 （ ） A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。

2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x -2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。

2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。

3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。

4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =， 因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（ ）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ． 考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点 【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项， 又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图， 显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0， 则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ， 由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数， 当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=， 分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点， 即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用 考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元 【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确； 综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆 当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆 故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确 综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题 考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩， 所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->， 解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.5517.52101010I I --==， 则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =， 两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ． 考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =， 所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭， 综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元 故答案为：200, 10000元。

考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.3．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,73．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 .4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________.6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.8．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 .9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 .12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 .2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 .3．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为 .4．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k = ．5．函数1()lg 1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.6．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________.7．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．8．若函数()()21xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 .9．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.10．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.11．函数f (x)＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝ ．12．设(0,1)m ∈，若函数2log ,02()(4),24x m x f x f x x ⎧-<≤=⎨-<<⎩有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则22341225x x x x +-+的取值范围是 .13．已知直线y mx =与函数()211,0212,03xx x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是 .14．已知m R ∈，函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 .15．已知定义在R 上的偶函数()f x ，且0x ≥时，()31,0153,13x x x f x x -⎧+≤≤⎪=⎨+>⎪⎩，方程()f x m =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是 .【题组四 二分法】 1．已知函数的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程的近似解可取为（精确度） .2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是( ) A ．()21f x x =- B ．()221f x x x =-+C ．()2log f x x =D ．()2xf x e =-3．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为4．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（ ） A ．()12， B ．()1.752， C ．()1.52， D ．()1 1.5，5．若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:2)1.250.984=-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为 .6．已知函数f （x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 .。

3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念a b2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系b c3.函数零点的判定b c知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，．(3,4)(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．＝f(x)的图象，图见解析方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数思路二：画出函数图象，依据图象与x上是一条连续不断的)内至少有一个零解析：方法一 方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点－2与1.方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)<0求零点区间.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．解析：方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．方法二因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．答案：113．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第10讲函数零点专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C利用函数零点的意义结合函数f (x )的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )的零点，即方程f (2x 2+1)+f (λ-x )=0的根， 由f (2x 2+1)+f (λ-x )=0得f (2x 2+1)=-f (λ-x )，因f (x )是R 上奇函数， 从而有f (2x 2+1)=f (x -λ)，又f (x )是R 上的单调函数，则有2x 2+1=x -λ，而函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，于是得2x 2-x +1+λ=0有两个相等实数解， 因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2a x =-，在区间（－1，1）上有两个不同的所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<， 所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2021·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定 【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x <当x →-∞时，所以若有最小值，只需要2∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2021·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1ex =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>，故()f x 的零点所在的区间是()1,2.练．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点，故选：B.类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 20,4e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln2ln2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.【答案】7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩… ，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解， 即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩剟 ， 作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，74<b <2， 故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭. 例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2021福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（） 存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，）， 过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝； 设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x x x x e e x x e e --∴＝，＝， 得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（） 存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．例3-4（两个曲线）49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点， 即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==． 又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72．故选：B．f x满足（两个曲线）【2021河北省武邑中学高三】若定义在R上的偶函数() ()()=，则函数()3logf x xy f x x=-的零点个数是+=，且当[]2x∈时，()f x f x0,1（）A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个【答案】B|x|的图象，【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x）=x，|x|的零点的个数等于函数故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．因为函数y=f（x）﹣log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：（x）的图象与函数y=log3显然函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（直接解出零点）（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，根据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=，设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=，所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只需要讨论21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数， 当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x =sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x =或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =有三解，sin x =有三解， 所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解， 根据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解，所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16， 故选：C.类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402 【答案】A 【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数． 【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-， 所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称，又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=， 则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>， 令()0f x '=，解得e2x =，所以当e0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期， 所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意； （2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满足题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意， 所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解，因为()f x 在()0,8内关于4x =对称， 所以()f x 在()0,4内有2个整数解，因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =， 所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24 【答案】A 【分析】首先判断()f x 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称，因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称， 则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称，则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61i i i x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36 【答案】C 【分析】根据题意可得函数()f x是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4y k x=与()4=-的交点的横坐标，又函数=--的所有零点转化为()y f xg x f x k x()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合y k x即可求出结果.【详解】∵定义在R上的奇函数()=-，故图象关于1f x f x2f x满足()()x=对称，∴()()2+=-，f x f x--=-，故()()2f x f x∴()()()f x f x f x+=-+=，即周期为4，42又()f x一个对称中心，f x定义在R上的奇函数，所以(4,0)是函数()又因为当[]=，作出函数()f x的草图，如下：f x xx∈-时，()31,1函数()()()4=与()4y k x=-的交点的横坐标，y f xg x f x k x=--的所有零点即为()易知函数()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，y k x又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428ni i x ==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的使用例5-1．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++<【分析】根据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解.根据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=.当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<； 当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A根据分段函数解析式研究()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需研究()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增；34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=， 由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<， 由1()21g x x x=-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x<-+<，所以10932t <<故选：A.例5-3（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点.A ．①②B．①③C．②③D．①②③ 【答案】D 【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，观察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，根据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案根据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====，不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d d d-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 当0m =时，研究y x =与1ln y x =+是否相切即可，1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =， 所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点， 即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并方便解答.例5-4．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，根据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-， 又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ， 设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，显然()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e 4g x ∈-， 所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则t所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 =t ()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________. 【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则根据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<， 作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<， 所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()t h t t-'=，所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________． 【答案】(]01，．【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求． 【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满足一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得： .即 的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x xax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >， 因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根，即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->， 因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a '==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根，则122x x a +=-，2122133a x x a=+， 因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-， 令()()211g a a a a =-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ． 故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>. （1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x e x a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=， 把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题 类型二：复杂函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合使用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围． 【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=， 令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有x y xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析.（1）求出导数()'f x ，按a 分类讨论确定()'f x 的正负，得函数的单调性；（2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论． 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e x x xx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2xg x x x x =--+，其定义域为()0,∞+，则()()()1e 11x g x x x x '=+--⎛⎫⎪⎝⎭.设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-. 列表如下：由表格，可得()g x 的极小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>，所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关 思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数 类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2021·江苏高三开学考试）已知函数()ln a f x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<.（2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时显然不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证； 【详解】（1）证明：由()ln af x x x=+，0x >，可得()21af x x x '=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符.当0a >时，令()210af x xx '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.可得当x a =时，()f x 取得极小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln a f x x x=+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的极小值点为x a =，则120x a x <<<.设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈， 可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t tx t =--， 所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭.又因为()ln 1th t t =-，则()()211l n 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t t t +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x ，h′(x)＝2－πcos x ，显然h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x ＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞. 由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

考点12：零点定理【思维导图】【常见考法】考点一：求零点1．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则函数()()3g x f x =-的零点是 。

2．函数()234f x x x =+-的零点是____________.3．若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.4．函数y ＝11x-的图象与函数y ＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .考点二：零点区间1．函数()42xxf x -=-的零点所在区间是( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(,1)22．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x ex e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,e考点三：零点个数1．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为 。

2．方程20181log 2019xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数是 。

3．方程2sin(2)103x π+-=在区间[0,4)π上的解的个数为 。

4．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________.5．已知函数()()()ln 000x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等的实根个数为______.6．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为 。