2020年6月江苏省兴化中学2020届高三高考考前冲刺卷数学试题(含附加题)及答案

2020年江苏省高考数学压轴试卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．2.已知复数，则______．3.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______．5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是______．6.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．7.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值是______．8.已知，都是锐角，，，则的值等于______．9.在体积为9的斜三棱柱中，S是上的一点，的体积为2，则三棱锥的体积为______10.在等差数列中，，则数列的前11项和等于______ ．11.如图，三棱锥中，已知平面ABC，是边长为2的正三角形，E为PC的中点．若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，则PA的长为______．12.如图，在四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交MN的延长线于不同的两点P，Q，则的值为______．13.已知函数，若有两个零点，，则的取值范围______．14.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求a的值；若，求周长的取值范围．16.如图，在直三棱柱中，，D，E分别是AB，AC的中点．求证：平面；求证：平面平面．17.如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处靠近B点，百米，，，百米，．求区域的面积；为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长．18.己知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．求椭圆C的方程；设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率．19.数列的前n项和记为，且，数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若，且存在不小于3的正整数k，m，使若，，求，证明：数列为等差数列；若，是否存在整数m，k，使，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．20.已知函数．当时，求函数的图象在处的切线方程；若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．21.求椭圆C：在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；在平面直角坐标系xOy中，，，M是曲线C上任意一点，求面积的最小值．23.已知x，y，z均为正数，且，求证：．24.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家库房中视为数量足够多的每件产品合格的概率为，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．25.已知数列满足，，其中m为常数，．求m，的值；猜想数列的通项公式，并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：【分析】利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解答】解：集合，，．故答案为：．2.答案：解析：解：复数，则，故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：8解析：解：高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，每个个体被抽到的概率是高二年级有40名学生，要抽取人，故答案为：8首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，求出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，是基础题．4.答案：205解析：解：模拟程序语言的运行过程，得：，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案．本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的结果，是基础题目．5.答案：解析：解：由已知可知离心率，，即，双曲线焦点在y轴，渐近线方程为，即．故答案为：．利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：解析：【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的分几类还是分步的分几步，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：；他们同时选中B食堂的概率也为：；故们在同一个食堂用餐的概率故答案为：7.答案：7解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，属于基础题．过P作准线l，交l于D，求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的定义，可得：当A，P，D三点共线时，取最小值．【解答】解：抛物线的焦点，准线l：，过P作准线l，交l于D，由抛物线的定义：，当且仅当A，P，D三点共线时，取最小值，最小值为，故答案为7．8.答案：解析：【分析】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：，都是锐角，，又，，，，则．故答案为：9.答案：1解析：解：如图，设三棱柱的底面积为，高为h，则，，再设S到底面ABC的距离为，则，得，，则S到上底面的距离为．三棱锥的体积为．故答案为：1．由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：132解析：解：等差数列中，，即，，，．故答案为：132．由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出，由此利用等差数列的前n项和公式能求出．本题考查数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．11.答案：2或解析：解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，0，，1，，1，，1，，，2，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得a，，直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，，解得或．的长为2或．故答案为：2或．以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA的长．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.答案：0解析：解：设，，，则，，，，，，，，，，，又，，故答案为：0．建立坐标系，设，，，求出和的坐标，即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使运算较简单．13.答案：解析：解：当时，，则，，当时，，则，，综上可知，，令，得，依题意，有两个根，，不妨设，当时，，当时，，令，则，，设，则，在上单调递减，，的取值范围为．故答案为：．分析可知，，则有两个根，，令，则，故，再构造函数，利用导数求其取值范围即可．本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于较难题目．14.答案：解析：解：因为，当且仅当时取得等号，令，，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值；故可得又，故可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．故答案为：．由已知可得，令，，可得，数形结合可知，又，可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．本题考查三角形中边角互化、面积以及利用基本不等式求最值时，代数式的变形技巧，本题的难点一是不会建立已知条件与目标式之间的关系；二是式子结构较复杂不会变形，三角函数与基本不等式交汇一直是高考考查的热点，也是难点，属于难题．15.答案：解：中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，利用三角函数关系式的展开式整理得，，，利用正弦定理得，解得．由得，，所以，整理得．所以三角形的周长为，，由于，故，所以所以三角形的周长的范围为．解析：直接利用三家函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和正弦定理及正弦型函数的性质的应用求出三角形的周长的范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力16.答案：证明：因为D，E分别是AB，AC的中点，所以，分又因为在三棱柱中，，所以分又平面，平面，所以平面分在直三棱柱中，底面ABC，又底面ABC，所以分又，，所以，分又，平面，且，所以平面分又平面，所以平面平面分解析：证明，即可证明平面；证明平面，即可证明平面平面．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：由题意得：，，，在中，，，解得百米分平方百米．分记，在中，，即，，，分当时，水管长最短，在中，百米分解析：由余弦定理求出百米，由此能求出区域的面积．记，在中，，求出，，当时，水管长最短，由此能求出当水管CH最短时的长．本题考查三角形面积的求法，考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，所以，所以，故椭圆C的方程为：设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，设，，线段PQ的中点为，，，即因为，则，所以，化简得，解得或．解析：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，由此列方程组可解得a，b，c．设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，得到PQ的中点N的坐标后利用，则，所以，可解得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．19.答案：解：由，得，，，；由，得，两式相减，得，，，两式相减，得，数列为等差数列；由题意，得，，，，，，且，，又，且为奇数，时，是整数，此时，，．解析：本题考查了等差中项和等差数学的证明，考查了方程思想和运算能力，属难题．根据，和，取，可直接求出；由，得，利用作差法可得，从而证明数列为等差数列；根据，可得关于m，k的方程，再由m，k为整数，可最终得到m，k的值．20.答案：解：时，，，则，又，故函数在处的切线方程为，即；，故，且，，，当即时，在恒成立，故在递增，故时，，故满足条件；当时，即时，由，得，，当时，，则在递减，故当时，，这与时，恒成立矛盾，故不满足条件，综上，a的范围是；当时，区间恒成立，故在递增，故不存在极值，故不满足条件，当时，，故函数的定义域是，由，得，，列表如下：x00递增极大值递减极小值递增由于在递减，此时极大值大于极小值，不合题意，故不满足条件；当时，由，解得：，列表如下：x2递减极小值递增此时仅存在极小值，不合题意，故时满足题意，当时，函数的定义域是，且，，列表如下：x00递增极大值递减递减极小值递增故存在极大值和极小值，此时，，故，，，，故，即，故满足题意，综上，a的范围是解析：代入a的值，根据以及，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数恒成立确定a的范围即可；通过讨论a的范围，结合函数的单调性结合函数的极值确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.答案：解：设是曲线上的任意一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则：即：，所以代入椭圆，得到．解析：直接利用矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为，将，代入得曲线C的极坐标方程为：．设点到直线AB：的距离为d，则，当时，d有最小值，．所以面积的最小值．解析：本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．曲线C的参数方程消去参数得到曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．设点到直线AB：的距离，求出d有最小值，由此能滶出面积的最小值．23.答案：证明：因为x，y，z均为正数，所以，，均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立．因为，所以，所以．解析：由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．24.答案：解：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，，，，的分布列为：012P因为只有件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则，商家拒收这批产品的概率为．解析：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，由此能求出商家拒收这批产品的概率．本题考查概率、离散型别随机变量的分布列的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：因为，所以，所以，此时；猜想：，用数学归纳法证明如下：当时，由可知结论成立，假设时结论成立，则有，则时，，由得：，又，于是，所以，故时结论也成立，由得，，解析：由，可求出，此时；猜想：，用数学归纳法证明即可．本题主要考查数列的递推式，以及数学归纳法，是中档题．。

高三考前冲刺练习数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球的体积343V r π=，其中r 表示球的半径．样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题．1．已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =，若{4}A B =，则实数a 的值为________． 2．设复数z 满足(2)1i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z=________．3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图，则这五位同学数学成绩的方差为________．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的S 的值是________．5．一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B ，C ，D 三人随机坐到其他三个位置上，则A 与B 相对而坐的概率为________．6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221169x y -=的顶点到其渐近线的距离为________． 7．若函数()sin (06)3f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为________．8．某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为65π，弧长为6cm π的扇形，则该冰淇淋的体积是________cm 3．9．已知函数212()12x x f x kx x x -+≤⎧=⎨+->⎩，对任意的12,x x R ∈，12x x ≠，有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数k 的取值范围是________．10．已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，若直线:(2 -1) (2 2) -4 -10l m x m y m ++=与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 的长度最小时，则正实数m =________．11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,234n ⋅⋅⋅．①；第二步：将数列①的各项乘以2n，得到一个新数列123,,,,a a a a ．则根据以上两步可得1223341n n a a a a a a a a -+++⋅⋅⋅+=________．()2,n n N *≥∈12．如图，在△ABC 中，23A π=，过点A 作AC 的垂线交BC 于点D ．若△ABC 的面积为，则AD 的最大值是________．13．已知C 是以AB 为直径的半圆上一点，且C 是线段PQ 的中点，若AB=5，PQ=1，PQ 与AB 的夹角为120︒，则AP BQ ⋅=________．14．已知函数()ln(3)2f x x x =+-，若不等式()20f x a -≤有解，则整数a 的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与PB ，PC 交于点E ，F ．（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．16．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sin sin)(sin sin)sin(sin sin)B C B C A B A+-=-．（1）若ABCab的值；（2）若223c b a+=，求cos A．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．18．如图所示，某地区打算在一块矩形地块上修建一个牧场（ABCDEF围成的封闭区域）用来养殖牛和羊，其中AF=1，AB=10，BC=4，CD=7（单位：百米），DEF是一段曲线形马路．该牧场的核心区为等腰直角三角形MPQ所示区域，该区域用来养殖羊，其余区域养殖牛，且MP=PQ，牧场大门位于马路DEF上的M处，一个观察点P位于AB的中点处，为了能够更好观察动物的生活情况，现决定修建一条观察通道，起点位于距离观察点P处1百米的O点所示位置，终点位于Q处．如图2所示，建立平面直角坐标系，若(, ())M x f x满足,21 (),42kxf x xax b x⎧-<≤-⎪=⎨⎪+-≤≤-⎩．（1）求()f x 的解析式；（2）求观察通道OQ 长度的最小值．19．数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足1(2)0n n n S nS n ---+=，*N n ∈，2n ≥，22a =． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记i b ，()11nn i i T b ==-∑． ①求T n ；②求证：11ln ln n n n T T T ++<．20．已知()x f x xe =，()(ln )()g x a x x a R =+∈ （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x ，()g x 在其公共点()00,P x y 处切线相同，求实数a 的值； （3）记()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在两个零点，求实数a 的取值范围．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换]已知可逆矩阵43a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为131222A b -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，矩阵12B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求a ，b 的值；（2）若矩阵X 满足1A X B -=，求矩阵X ．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知以极点O 为圆心，2为半径的圆O 与以2,2C π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过极点的圆C 相交于A 、B 两点．（1）分别求圆O ，圆C 的极坐标方程； （2）求弦AB 所在直线的极坐标方程． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知x ，y ，z 是正实数，且5x y z ++=，求证：222210x y z ++≥．【必做题】第22、23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在三棱锥A-BCD 中，已知,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BFBAλ=．（1）当23λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当二面角A-CD-F 时，求λ的值． 23．已知集合的“集合价”定义：含有()k k N ∈个元素的集合其“集合价”为12k +，例如含有一个元素的集合其“集合价”为13．已知一个数集*{1,2,3,,},M n n N =∈，我们从集合M 的所有子集中，任意取出一个M 的子集N ．（1）求当n=4时，取出的集合N 的“集合价”为14的概率； （2）设随机变量X 为取出的集合N 的“集合价”，求X 的分布列及数学期望E (X )．高三考前适应性练习 参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题．1．4； 2．1355i + 3．10； 4．17； 5．13； 6．125； 7．2π； 8．30π；9．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦； 10．12； 11．(1)4n n -； 12； 13．32-； 14．-1二、解答题：本大题共6小题．15．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 因为底面ABCD 是矩形，所以CD ⊥BC ．因为CD∩PD=D ， CD ，PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD ． （2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE∩平面PBC=EF ，所以AD ∥EF ． 16．【解】（1）因为(sin sin )(sin sin )sin (sin sin )B C B C A B A +-=-， 在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()()()b c b c a b a +-=-， 化简得222a b c ab +-=，在ABC 中，由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==， 因为(0,)C π∈，所以3C π=，又ABC 1sin 2ab C =ab=4．（2）因为223c b a +=，在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 所以2sinC sin 2sin 3B A +=因为A B C π++=，所以2sinC sin()2sin 3A C A ++=由（1）得3C π=，所以2sin sin 2sin 333A A ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，化简得3sin 2A A =1sin 63A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为203A π<<，所以662A πππ-<-<，所以cos 6A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 666666A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=-⋅=17．【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，得22222b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）结论：存在符合条件的圆，此圆的方程为225x y +=， 直线OP ，OQ 的斜率之积为定值14-．证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>． 当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx m =+，设()()1122,,,P x y Q x y ， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点， 所以()()222264414440k m k m ∆=-⨯+⨯-=， 所以2214m k =+由222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得()2222120k x kmx m r +++-=， 所以()222211222212240211r r k m km x x k m r x x k ⎧∆=+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩所以()()()2212121212121212OP OQkx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++⋅=⋅==2222222222111m r km k km mk k m r k --⋅+⋅+++=-+()()2222222224141r k m r k m r k r -+-==-+- 要使OP OQ k k ⋅为定值（与k 无关），则224141r r-=-，即25r =． 所以当圆的方程为225x y +=，圆与直线l 相交于P ，Q 两点， 直线OP ，OQ 的斜率之积为定值14-．当直线l 的斜率不存在时，直线l 为2x =±，此圆与直线l 相交于P ，Q 此时，(2,1)P ±，(2,1)Q ±-满足14OP OQ k k =⋅-，综上所述，存在满足条件的圆225x y +=，此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上）， 且OP ，OQ 的斜率之积为定值14-18．【解】（1）因为AB=10，P 是AB 的中点，所以AP=5， 又OP=1，所以AO=4，所以(4,0)A -，(1,0)P ， 因为CD=7，BC=4，AF=1所以(1,4)D -，(4,1)F - 由(1)4f k -=-=得，k=-4，所以(2,2)E -．故(2)2f -=，又(4)1f -=，所以22,41,a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得123a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以4,21()13,422x xf x x x ⎧--<≤-⎪⎪=⎨⎪+-≤≤-⎪⎩（2）过点M ，Q 分别作x 轴的垂线，垂足为'M ，'Q ，则''2PQQ QPQ π∠+∠=，又因为PM ⊥PQ ，所以''2MPM QPQ π∠+∠=所以''MPM PQQ ∠=∠，又因为PM=PQ ，所以''MPM PQQ ≅， 所以，由(1,0)P ，可得(1(),1)Q f x x +-，①若21x -<≤-，设4,M x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则41,1Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，OQ ===令4t x x=+，则OQ 22244'1x t x x -=-=，因为21x -<≤-，所以'0t <所以4t x x=+在(2,] 1--上单调减，所以[5,4)t ∈--设2()(1)7g t t =--，则()g t 在[5,4)--上单调减所以()(4)18g t g >-=，所以OQ >②若42x -≤≤-，设1,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则14,12Q x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，OQ =，252174y x x =++在[4,2]--上单调递减，所以2x =-时，min OQ =所以OQ 的长度的最小值为答：观察通道OQ 的长度的最小值为 注：理科同学用矩阵旋转做同样给分19．【解】（1）因为1(2)0n n n S nS n ---+=， 所以n=2时，S 1=1，即a 1=1．因为n≥2时，1(2)0n n n S nS n ---+=， 即2n n S na n =+． 1n =时也适合该式．所以n≥2时，2n n S na n =+， 112(1)1n n S n a n --=-+-，两式相减得1(2)(1)10n n n a n a ----+=， 则1(1)10n n n a na +--+=，两式相减得112(1)(1)(1)0n n n n a n a n a -+-----=，n≥2． 所以1120n n n a a a -+--=，n≥2， 所以11n n n n a a a a +--=-． 所以数列{a n }为等差数列．因为a 1=1，a 2=2，所以公差d=1， 所以1(1)1n a n n =+-⨯=． （2）①因为a n =n ，所以i b ==所以ib==(1)111111(1)(1)1i ii i i i i i++==+=+-+++，所以111111111223341nTn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n=-=++②要证11ln lnn n nT T T++<，只要证11ln ln212n n nn n n++<+++，只要证12(1)ln(2)ln1n nn nn n+++>++，即证1122ln ln1112111n n n nn n n nn nn n++++++>++--+．设1nxn+=，x>1，令ln()1x xf xx=-，x>1，则21ln()(1)x xf xx'--=-，易证x>1时，1ln0x x-->，故()0f x'>在(1,)+∞恒成立．所以()f x在(1,)+∞上单调递增，因为1211n nn n++>>+，所以121n nf fn n++⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.所以所证不等式成立．20．【解】（1）'()(1)0xf x x e=+=，得x=-1，当x<-1时，'()0f x<；当x>-1时，'()0f x>．所以函数的单调减区间为：(,1)-∞-；增区间为：(1,)-+∞．（2）由()(ln)g x a x x=+，1'()1g x ax⎛⎫=+⎪⎝⎭．因为点()00,P x y为函数(),()f xg x的公共点，且函数(),()f xg x在点P处的切线相同，所以()()000ln,(1)111,(2)xxx e a x xx e ax⎧=+⎪⎛⎫⎨+=+⎪⎪⎝⎭⎩，且x>．由（2）得，0xx e a=，代入（1）得，()00ln10a x x+-=，显然a≠0，所以00ln10x x+-=．设()ln1x x xϕ=+-，由1'()10xxϕ=+>得，()xϕ在(0,)+∞上是单调增函数，又(1)0ϕ=，所以1,x a e==．（3）由()()()F x f x g x=-得，()(ln)xF x xe a x x=-+，x>0.则()(1)1'()(1)1xxx xe a F x x e a x x +-⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭，令'()0F x =得，0x xe a -=．设()x s x xe a =-，由（1）知，()s x 在(0,)+∞上是单调增函数．1° 当a≤0时，由x>0得，()(0)0s x s a >=-≥，所以'()0F x ≥，所以()F x 在(0,)+∞上是单调增函数，至多1个零点，不符，舍去． 2° 当a>0时，因为(0)0s a =-<，()()10a s a a e =->，由零点存在性定理，(0)()s s a <，()s x 在(0,)+∞上是单调增函数且连续， 所以存在唯一1(0,)x a ∈，使得()0s x =，即110x x e a -=．当()10,x x ∈时，'()0F x <，()F x 单调递减；当()1,x x ∈+∞时，'()0F x >，()F x 单调递增． 因为()F x 存在两个零点，所以()min 1()0F x F x =<，即()1111ln 0x x e a x x -+<，从而()11ln 0a a x x -+<． 所以11ln 10x x +->．因为()ln 1x x x ϕ=+-在(0,)+∞上是单调增函数， 且(1)0ϕ=，所以11x >，由（1）可知，()x f x xe =在(1,)+∞是单调递增，所以11x a x e e =>．又11x e <，11111111ln 10e e F e a e a e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而12a x >，易证得ln x x <，x e x >，所以()222(2)2(2ln2)2(22)220a a a F a ae a a a ae a a a a e a =-+>-+=->，由零点存在性定理知，函数()F x 在11,x e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点，在()1,2x a 上存在唯一一个零点，此时函数()()()F x f x g x =-存在两个零点．所以a>e ． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【解】（1）因为21313122222432023a b a b a b AA b b -⎡⎤⎡⎤---+⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--+⎣⎦⎣⎦，所以23212102231a b a b b ⎧-=⎪⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩；（2）法一：因为1A X B -=，所以1AA X AB -=， 所以21104322X AB -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 法二：设x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则3131122222212x x y y x y ⎡⎤⎡⎤---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎣⎦⎣⎦，所以3112222x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩所以02X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解】（1）圆O 的极坐标方程为2ρ=，圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=； （2）由24sin ρρθ=⎧⎨=⎩得1sin 2θ=，02θπ<6πθ∴=或56π2,6A π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭、52,6B π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以弦AB 所在直线的极坐标方程为sin 1ρθ=． 所以222210x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时取等号．【必做题】第22、23题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．【解】连接CE ，以EB ，EC ，EA 分别为x ，y ，z 轴， 建立如图空间直角坐标系，则A ，(1,0,0)B，C ，(1,0,0)D -， 因为F 为线段AB 上一动点，且BFBAλ=，则(()BF BA λλλ==-=-，所以(1)F λ-．（1）当23λ=时，13F ⎛ ⎝⎭，43DF ⎛= ⎝⎭，(1,CB =，4cos,DF CB<>==．所以异面直线DF与BC.（2）设平面ACD的一个法向量为(,,)n x y z=由,n DA n DC⊥⊥得(,,)0(,,)0x y zx y z⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩化简得xx⎧=⎪⎨=⎪⎩，取(3,1,1)n=--设平面CDF的一个法向量为(,,)m a b c=由,m DF m DC⊥⊥得(,,)(2)0(,,)0a b ca b cλ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，化简得(2)0a caλ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取(3,,2)mλλλ=--设二面角A-CD-F的平面角为β，|cos||cos,m|(nβ=〈〉==，化简得：282290λλ-+=，解得12λ=或94λ=（舍去），所以12λ=．23．【解】（1）记“取出的集合N的“集合价”为14”为事件A．则当n=4时，{1,2,3,4}M=，集合M的所有子集个数为24，其中“集合价”14的子集（即二元集）的个数为24C个，所以24463()2168CP A===．答：取出的集合N的“集合价”为14的概率为38．说明：若不记事件或者不答各扣1分．（2）随机变量X的所有可能取值为1111,,,,2342n+则()*10,22kn n C P X k n k N k ⎛⎫==≤≤∈ ⎪+⎝⎭，随机变量X 的概率分布为因此随机变量X 的数学期望为00111()2222knnkn n nn k k C E X C k k ====++∑∑ 其中00001111121(1)(2)1(1)(2)nn n nk k k kn n n n k k k k C C C C k k k k k k k ====⎡⎤=-=-⎢⎥+++++++⎣⎦∑∑∑∑ 12121212001211111(1)(2)1(1)(2)n n n n k k k kn n n n k k k k C C C C n n n n n n ++++++++=====-=-++++++∑∑∑∑1212123211(1)(2)(1)(2)n n n n n n n n n n +++---⋅+=-=+++++ 所以121()2(1)(2)n n n E X n n +⋅+=⋅++答：随机变量X 的数学期望为1212(1)(2)n n n n n +⋅+⋅++．。

绝密★启用前江苏省苏州大学2020届高三高考考前指导卷(二)数学试题2020年6月数学Ⅰ试题一、填空题：不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1A x x =>，{}1,2,3B =，则A B =________．2．已知复数2i z =+（其中i 为虚数单位）,若()i ,iza b a b =+∈R ,则ab 的值为________． 3．已知一组数据4,a ,7,5,8的平均数为6,则该组数据的标准差是________．4．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线1C ：()2210x y m m-=>的一条准线与抛物线2C ：22x y=的准线重合,则正数的值是________．5．运行如图的程序框图,则输出的结果是________．6．《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示,一与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五与十相守居中,其中白圈为阳数,黑点为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为________．7．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若2552a a +=,则15S 的值是________．8．圆柱形容器的内壁底面半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了5cm 3,则这个铁球的表面积为________2cm ．9．若直线1y kx =+与曲线y x =相切,则实数k 的值为________． 10()tan1234cos 122sin12︒-=︒-︒________． 11．已知向量a ,b ,满足3b =,a b a ⋅=,则a b -的最小值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C ：()()2224x m y -+-=上两个动点,且23AB =若直线l ：2y x =-上存在点P ,使得OC PA PB =+,则实数m 的取值范围为________． 13．已知函数()31111,1,3442111,0,362x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤()()e 2x g x ax a =+-∈R ,若存在1x ,[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,则实数a 的取值范围是________．14．已知在锐角三角形ABC 中,AH BC ⊥于点H ,且()229449BA CA AH CA BA -=⋅-,若2BC =,则sin sin sin B CA的取值范围是________．二、解答题：请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3B π=． （1）若23b =2a =,求c 的值； （2）若13cos A =,求cos C 的值． 16．已知直三棱柱111ABC A B C -,E ,F 分别是BC ,1AA 的中点,1CB CC =,AC BC ⊥．。

2020届江苏省兴化中学2017级高三高考考前冲刺模拟考试数学试卷★祝考试顺利★数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高． 球的体积343V r π=,其中r 表示球的半径． 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题．1．已知集合{1,3,}A a =,{4,5}B =,若{4}A B =,则实数a 的值为________． 2．设复数z 满足(2)1i z i -=+（i 为虚数单位）,则复数z=________．3．某次数学测验五位同学的成绩分布茎叶图如图,则这五位同学数学成绩的方差为________．4．一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,则最后输出的S 的值是________．5．一张方桌有四个座位,A 先坐在如图所示的座位上,B ,C ,D 三人随机坐到其他三个位置上,则A 与B 相对而坐的概率为________．6．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线221169x y -=的顶点到其渐近线的距离为________．7．若函数()sin (06)3f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭,则函数()f x 的最小正周期为________．8．某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成,其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同．已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为65π,弧长为6cm π的扇形,则该冰淇淋的体积是________cm 3．9．已知函数212()12x x f x kx x x -+≤⎧=⎨+->⎩,对任意的12,x x R ∈,12x x ≠,有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦,则实数k 的取值范围是________．10．已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=,若直线:(2 -1) (2 2) -4 -10l m x m y m ++=与圆C 交于A ,B 两点,当弦AB 的长度最小时,则正实数m =________．11．我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,234n ⋅⋅⋅．①；第二步：将数列①的各项乘以2n ,得到一个新数列123,,,,a a a a ．则根据以上两步可得1223341n n a a a a a a a a -+++⋅⋅⋅+=________．()2,n n N *≥∈12．如图,在△ABC 中,23A π=,过点A 作AC 的垂线交BC 于点D ．若△ABC 的面积为,则AD 的最大值是________．13．已知C 是以AB 为直径的半圆上一点,且C 是线段PQ 的中点,若AB=5,PQ=1,PQ 与AB 的夹角为120︒,则AP BQ ⋅=________．。

绝密★启封前2020江苏省高考压轴卷数 学一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =______2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．7．已知点P 在抛物线28y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则PA PF +的最小值是______．8．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．10．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC所成角的正弦值为7，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．13．已知函数()ln ,11,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.14．在ABC 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22Sa bc+的最大值为______.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A π≠，sin 26cos sin b A A B =.（1）求a 的值；（2）若3A π=，求ABC ∆周长的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=，EA =60AED ∠=.（1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）若2q，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20．已知()22ln 12x f x x x a-=--+，0a >.（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)求椭圆22:1164x yC+=在矩阵1412A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所得曲线C'的方程.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3242x cosy sinθθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．C. (选修45：不等式选讲)已知x，y，z均为正数，且1113112x y y z++≤+++，求证：4910x y z++≥.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．23．已知数列{}n a 满足123*12323,N 2222n n n n n nn n C C C C a m n ++++=++++⋯+∈，其中m 为常数，24a =. （1）求1, m a 的值（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明.参考答案及解析1.【答案】{|12}x x << 【解析】因为集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， 所以{|12}AB x x =<<.故答案为：{|12}x x <<2．【解析】12z i i =+-==3．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则306,14,70N N ⨯== 高二所抽人数为4014870⨯=. 故答案为：8 4．【答案】205【解析】模拟程序语言，运行过程，可得1I =, 满足条件100I <，执行循环体3,9I S ==； 满足条件100I <，执行循环体5,13I S ==；满足条件100I <，执行循环体99,201I S ==；满足条件100I <，执行循环体101,21013205I S ==⨯+=， 此时，不满足条件100I <，退出循环，输出S 的值为205， 故答案为205.5．【答案】y x = 【解析】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =.∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：y =. 6．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=. 7．【答案】7【解析】PA PF +55272A L Pd -≥=+=+= 8．【答案】1665【解析】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 9．【答案】1【解析】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 10．【答案】132【解析】 由a 912=a 12+6，得2a 9﹣a 12＝12， 即2a 1+16d ﹣a 1﹣11d ＝12，∴a 1+5d ＝12，a 6＝12． 则S 11＝11a 6＝11×12＝132． 故答案为：13211．【答案】2【解析】设F 是BC 的中点，连接sin cos 210k k ρθρθ-+-=，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥， ABC ∆为正三角形，BC AF ∴⊥，BC ∴⊥平面PAF ，在平面PAF 内作AH PF ⊥，则BC AH ⊥，AH ∴⊥平面PBC ，连接EH ，则AEH ∠是AE 与平面PBC 所成的角， 设PA m =，在直角三角形PAF 中，AH PF PA AF ⋅=⋅，求得PA AF AH PF ⋅==，12AE PC == AE ∵平面PBC所成的角的正弦值为7，sin 7AH AEH AE ∴∠===,解得2m =或m =，即PA 的长为2212．【答案】0【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC ABDC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：013．【答案】(),e -∞【解析】当1x ≥时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+,当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1mf x e-+=，()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1x ≥时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112mt e-=->,则2ln x t =，2t x e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >, 设()(22)tg t e t =-，12t >, 所以()2tg t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<=⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.14．【解析】因为22S a bc +2211222222bcsinAsinA b c b c bccosA bc cosA c b==⨯+-+++- 142sinA cosA ≤-⨯-(当且仅当b c =时取得等号)令,sinA y cosA x ==， 故22S a bc +142y x ≤-⨯-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =︒时，取得最小值故可得[2y z x =∈-，又22S a bc +142y x ≤-⨯-，故可得22S a bc +14≤-⨯=. 当且仅当60,A b c =︒=，也即三角形为等边三角形时，取得最大值.. 15．【答案】（1）3；（2）(]6,9.【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =， 又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =；（2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==ABC ∆周长：233sin()3a b c B C B B π++=++=++-33sin 36sin 226B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2(0,)3B π∈，所以1sin (,1]2B ∈.因此ABC ∆周长的取值范围是(]6,9. 16．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...........2分 又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC，所以11//B C DE. ...............4分 又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE. ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE⊥. .............8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ..........10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C=，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ............14分17．【答案】（1（2）7百米. 【解析】（1）由题知1,120,BE ABC EA =∠==在ABE 中，由余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即2211AB AB =++，所以4AB =百米所以11sin 4122ABESAB BE ABE =⋅⋅∠=⨯⨯=.（2）记AEB α∠=，在ABE 中，sin sin AB AE ABEα=∠，即4sin α=，所以sin 7αα===， 当CH DE ⊥时，水管CH 最短，在Rt ECH 中，2π2π2πsin 2sin 2sin cos 2cos sin 333CH CE HEC ααα⎛⎫=∠=-=-⎪⎝⎭=7百米. 18．【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】 (1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k +==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k ，即直线PQ 的斜率为12或32.19．【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满足题意。

高三年级理科数学附加卷（5）2020年2月4日—2020年2月5日完成（作业用时30分钟 ） 班级 姓名 家长签字 成绩一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．A ．（选修4—1：几何证明选讲）自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B ,C 两点．求证:MCP MPB ∠=∠．B ．（选修4—2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 的四个顶点A （0，1），B （2，1），C（2，3），D （0，2），经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101k M 表示的变换作用后，四边形ABCD 变为四边形A 1B 1C 1D 1，问：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的面积是否相等？试证明你的结论。

C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知A 是曲线12sin ρθ=上的动点，B 是曲线12cos()6πρθ=-上的动点，试求AB 的最大值 D ．（选修4—5：不等式选讲）设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++．二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．22．质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别该着数字1，2，3，4．将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；（2）设X 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求X 的分布列及期望E （X ）23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P M T F 、、、满足()01，=，()t ，1-=，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 高．考．资．源．网（1）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；高．考．资．源．网（2）若过点F 的直线交曲线C 于B A ，两点,求证：直线TB TF TA 、、的斜率依次成等差数列.。

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。

2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。

13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。

1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。

16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。

证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。

17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。

1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。

若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。

现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。

数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{1,2,3}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =I __________.【答案】{}12-，【解析】因为集合{}1,2,3A =-，{}23B x x =-<<，所以由交集的定义可得{}12A B ⋂=-，， 故答案为{}12-，2．已知复数z 满足13iz i =+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】22133331i i i i z i i i ++-+====--3z i ∴=+.故答案为：3i +3．下图是一个算法流程图，则输出S 的值是_______．【答案】25 【解析】S 的初值为0，n 的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S ＝1，n ＝3，满足进行循环的条件， 经过第二次循环得到的结果为S ＝4，n ＝5，满足进行循环的条件， 经过第三次循环得到的结果为S ＝9，n ＝7，满足进行循环的条件， 经过第四次循环得到的结果为S ＝16，n ＝9，满足进行循环的条件， 经过第五次循环得到的结果为S ＝25，n ＝11，不满足进行循环的条件， 退出循环，故输出的S 值为25 故答案为：25 4．函数()()ln 12f x x x=+-的定义域为_________________________ 【答案】(-1,2) . 【解析】由1020x x +⎧⎨-⎩＞＞，解得﹣1＜x ＜2．∴函数f （x ）2x-+ln （x+1）的定义域为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．5．已知一组数据7、9、8、11、10、9，那么这组数据的平均数为__________. 【答案】9 【解析】由题意可知，数据7、9、8、11、10、9的平均数为7981110996+++++=.故答案为：9.6．从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务，则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________． 【答案】23【解析】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a .所有可能情况有：{},x y ，{},x a ，{},y a ，共3种.合题意的有{},x a ，{},y a ，2种.所以23p =. 故答案为：237．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．【答案】223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，73673S S -=，则5a =__________． 【答案】13 【解析】设2n S an bn =+，则nS an b n=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差是d ，其中111,1a S == 由73673S S -=知，346,2d d == 所以()33111222n n n n S =+-⨯=-553157,35522S S =⨯-==，4431114,224222S S =⨯-== 554352213a S S =-=-= 故答案为：139．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==，2AC =，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为__________. 【答案】28916π【解析】设ABC V 的外接圆的半径为r ， 因为2AB BC ==，2AC =，所以222AB BC AC +=，AB BC ⊥.112ABC S AB BC =⨯⨯=V .设D 到平面ABC 的距离为h ， 因为三棱锥体积的最大值为43，即max max 14133V h =⨯⨯= 所以max 4h =.设球体的半径为R ，则222(4)1R R -+=，解得178R =. 221728944()816S R πππ==⨯=.故答案为：28916π10．若函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[，]【解析】函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h （t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．11．若函数()21x f x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线1ey x =平行的切线，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】1,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭【解析】()2x f x e m '=-，若曲线C 存在与直线1y x e=平行的切线， 即12xe m e -=有解，所以12xm e e =-，因为0x e >，所以1,m e ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.12．已知1AB AC ==u u u r u u u r ，AB u u u r 与AC u u u r 所成角为60︒，点P 满足1AP AC -≤u u u r u u u r ，若AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y+的最大值为______. 【答案】231+ 【解析】由题,如图建系,()0,0A ,()10B ,,13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则()1,0AB =u u ur ,13,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,因为1AP AC CP -=≤u u u r u u u r u u u r,则点P 在以点C 为圆心,半径为1的圆内（包括边界）,则设1cos sin 2P θθ⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭, 因为AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以11cos 22sin x y y θθ⎧+=+⎪⎪=,所以()cos 1133x y θθθϕ+=++=++, 因为R θ∈,所以()max sin 1θϕ+=, 所以x y +的最大值为1+, 故答案为:1+13．若(,)612ππθ∈-，且212sin 25θθ+=-，则tan(2)12πθ+=__________．【答案】17【解析】212sin 1cos212sin 2?65πθθθθθ⎛⎫+=-=+-=- ⎪⎝⎭，3sin 2?65πθ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭.又θ2θ061262ππππ-∴--，，，，òò4cos 2θ65π∴-=，3tan 2θ64π-=-， tan 2tan 2θ1264πππθ⎛⎫⎡⎤∴+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=314314+---（）（）=17，故答案为17.14．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-+.当01x <≤时，2020()log f x x =-，则1()(2019)(2020)2020f f f ++=__________. 【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，且(0)0f =.又因为(1)(1)f x f x +=-+，所以(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-， 可得(4)()f x f x +=，所以奇函数()f x 的周期为4， 所以202011()(2019)(2020)log (1)(0)20202020f f f f f ++=-+-+ 20201(1)(0)1log 101f f =-+=++=.故答案为：1.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值. 【答案】（1）3π （2）53【解析】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q ，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()0,A π∈Q ，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 31sin sin 2B B B ∴=+，即31cos sin 22B B =，tan 3B ∴=， ()0,B π∈Q ，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，7b ∴=，由正弦定理得：sin 21sin a B A b ==a c<Q ，A ∴为锐角，7cos 7A ∴=，43sin 22sin cos 7A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=Q ，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭431135327⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 16．在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB BB =，且160ABB ∠=︒，D 为AC 的中点.（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求证：1AB B C ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）连接1AB ，交1AB 于点E ，连接DE ．在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是平行四边形， 因为11AB A B E =I ，所以E 是1AB 的中点，所以1//DE B C ． 又DE ⊂面1A BD ，面1B C ⊄面1A BD ． 所以1//B C 平面1A BD ．（2）取AB 的中点Q ，连接QC 、1QB ．囚为1AB BB =，160ABB ∠=︒．所以1ABB △是正三角形，11BB B A =． 因为Q 是AB 的中点，所以1AB B Q ⊥．因为CA CB =，Q 是AB 的中点，所以AB CQ ⊥． 又1B Q CQ Q =I ，1B Q ，CQ ⊂面1CQB ， 所以AB ⊥面1CQB ． 因为1B C ⊂面1CQB ， 所以1AB B C ⊥．17．如图，曲线C 由左半椭圆()2222:10,0,0x y M a b x a b+=>>≤和圆()22:25N x y -+=在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q （均异于点A ，B ）分别是M ，N 上的动点． （Ⅰ）若PQ 的最大值为45+，求半椭圆M 的方程；（Ⅱ）若直线PQ 过点A ，且0AQ AP +=u u u v u u u v v ，BP BQ ⊥u u u v u u u v，求半椭圆M 的离心率．【答案】(Ⅰ)()22104x y x +=≤；(Ⅱ)104. 【解析】（Ⅰ）由已知得：当P 为半椭圆与x 轴的左交点，Q 为圆与x 轴的右交点时，PQ 会取得最大值，即5245a +=+解得2a =，由图像可得()0,1A ，即1b =，故半椭圆M 的方程为()22104x y x +=≤． （Ⅱ）设直线PQ 方程为1y kx =+，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，联立()22125y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()()221240k x k x ++-=，故2421A Q k x x k -+=+，2421Q k x k -∴=+，22411Q k k y k -++=+，又0AQ AP u u u v u u u v v +=， 且(),1Q Q AQ x y =-u u u v ，(),1P P AP x y =-u u u v ，故02Q P QP x x y y +=⎧⎨+=⎩，2241P k x k -∴=+，223411P k k y k -+=+， 又BP BQ ⊥u u u v u u u v，且(),1Q Q BQ x y =+u u u v ，(),1P P BP x y u u u v =+，()()()()()()()()()222222224134124112111612011P Q P Q k k k k k x x y y kk kk-++-+--+++=+++=+-=++，解得34k =，故81,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=解得283a =，故22101b e a =-=． 18．为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE V 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC V 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即20057sin 60100193m AB ⨯︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED V 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '， 则20040032sin sin 60AD R E '===︒，则40032sin ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++()()sin sin 200sin sin 12020033EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎡⎤⎣⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭， 则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m . 19．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】（1）由题意，得()'ln 1f x x =+， 故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a == ①当02a <<时，112a >，()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<,所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； ③当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<,所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a --，在1x a =处取极小值1ln a a --；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a =处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--.（2）()ln x xF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞，()1'1ln x x F x x e-=++，而()1,2x ∈，故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->， 且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e=-=， 且当01x x <<时，()x x f x e<； 当0x x >时，()x x f x e>， 所以()00,1,xxlnx x x m x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 当01x x <<时，()ln m x x x =，由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当当0x x >时，()x x m x e=， 由()1'0x xm x e-=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <） 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞.要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=，当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<， 而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<， 因此()00022211'1ln 10x x x x x x h x x e e e---=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证.20．已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”；（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值.【答案】（1）a 1＝1，a 2＝2；（2）证明见解析；（3）n 最小值为11，a n 的最大值1010 【解析】（1）由条件知1≤S A ，必有1∈A ，又a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，a 1＝1， 2≤S A ，由S A 的定义及a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，必有2∈A ，a 2＝2； （2）证明：必要性：由“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”及a 1＝1，a 2＝2， 得a i ＝i （i ＝1，2，…，n ）此时A ＝{1，2，3，…，n }满足题目要求， 从而()112312A S n n n =++++=+L ； 充分性：由条件知a 1＜a 2＜…＜a n ，且均为正整数，可得a i ≥i （i ＝1，2，3，…，n ）， 故()112312A S n n n ≥++++=+L ，当且仅当a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ）时，上式等号成立. 于是当()112A S n n =+时，a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ），从而a 1，a 2，…，a n 成等差数列. 所以“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”；（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1，故当n ＝10时，210﹣1＝1023， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求.而用11个元素的集合A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和 可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数. 因此当S A ＝2020时，n 的最小值为11.记S 10＝a 1+a 2+…+a 10，则S 10+a 11＝2020并且S 10+1≥a 11.事实上若S 10+1＜a 11，2020＝S 10+a 11＜2a 11，则a 11＞1010，S 10＜a 11＜1010， 所以m ＝1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是2020＝S 10+a 11≥2a 11﹣1，得1120212a ≤，*11a N ∈，所以a 11≤1010. 当a 11＝1010时，A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，所以当S A ＝2020时，n 的最小值为11，此时a n 的最大值1010.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 【答案】12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意：11Ae e λ=u v u v ，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦， ∴30A =-≠，∴11212333321213333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程.【答案】4cos()4πρθ=- 【解析】因为2,4C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y -+=，即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． C. [选修4-5：不等式选讲]解关于x 的不等式：（1）2123x x -+-≤.（2）242x k <+. 【答案】（1）{}02x x ≤≤.（2）答案见解析 【解析】（1）解：由2123x x -+-≤，可得12333x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，或12213x x ⎧≤<⎪⎨⎪+≤⎩，或2333x x ≥⎧⎨-≤⎩， 解求得102x ≤<，解求得122x ≤<，解求得2x =，综上可得，不等式的解集为{}02x x ≤≤.（2）当420k +>，即12k >-时，原不等式化为：()42242k x k -+<<+， 解得：2121k x k --<<+， 当420k +≤，即12k ≤-时，原不等式无解， 综上所述，当12k >-当时，原不等式的解集为{}2121x k x k --<<+，当12k ≤-时，原不等式的解集为∅. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++L（1）求122018a a a +++L 的值；（2）求20181k ka =∑的值． 【答案】（1）1-；（2）20191010【解析】 （1）由2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++L令0x =，得01a =，令1x =，得01220180a a a a ++++=L ， 所以1220181a a a +++=-L .（2）由二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kkk a C k =-=L所以()()201820182018020120080181111k k k k k k kk C C a ===--==∑∑∑ ()2018123201820182018201820182018111111C C C C C =-+-++-L ，因为()()()2018!2018!!2018!20182120192018!20202019!k k k k k C --⨯+==⨯()()()120192019!2019!1!2018!201911120202019!2019!2k k k k k k n n C C +-+-⎡⎤⎛⎫+=⨯+=⨯+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 所以20181k k a =∑()2018011220182019201920192019201920192019111201920201111C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦L 0201920192019210191201910102020C C ⎛⎫+= ⎝⎭=⨯⎪ 23．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为12，市民之间选择意愿相互独立.（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）（i ）若从问卷市民中随机抽取(N )m m +∈人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B （比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，N n +∈），试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析，6；（2）（i ）10231024；（ⅱ）1112n n B B -=-+，211()332n n B =+-. 【解析】（1）ξ的可能取值为4，5，6，7，8，04411(4)C (),216P ξ=== 1134111(5)C (),24(2)P ξ=== 2224113(6)C ,2()()28P ξ===，3314111(7)C ,2()()24P ξ===4404111(8)C 2()()216P ξ=== 所有ξ的分布列为所以数学期望1()4567861648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）（i ）总分恰为m 分的概率为1()2mm A =，所以数列{}m A 是首项为12，公比为12的等比数列，前10项和101011(1)1023221102412S -==-. （ii ）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为1111,22n B B -=. 因为1112n n B B -+=，即1112n n B B -=-+，所以1212()323n n B B --=--，则{23}n B -是首项为12136B -=-，公比为12-的等比数列，所以1211()362n n B --=--， 所以211()332nn B =+-.。

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（八）数学（文）（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |(x －2)(x ＋2)≤0}，B ＝{y |x 2＋y 2＝16}，则A ∩B ＝( ) A ．[－3,3] B ．[－2,2] C ．[－4,4] D ．∅ 答案 B解析 由题意，得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |－4≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}． 2．已知复数z ＝2＋b i(b ∈R )(i 为虚数单位)的共轭复数为z －，且满足z 2为纯虚数，则z z －＝( )A ．2 2B ．2 3C ．8D ．12 答案 C解析 ∵z 2＝4－b 2＋4b i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－b 2＝0，4b ≠0，解得b ＝±2，∴z z －＝|z |2＝22＋b 2＝8.3．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为( )A ．k ≥16?B ．k <8?C ．k <16?D ．k ≥8? 答案 A解析 程序运行过程中，各变量的值如下表所示：S k 是否继续循环循环前 0 1 — 第一圈12是第二圈3 4 是 第三圈 7 8 是 第四圈1516否4．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn ＝( )A.13B.12 C ．2 D ．3 答案 A解析 由题意得，甲组数据为：24,29,30＋m,42； 乙组数据为：25,20＋n,31,33,42.∴甲、乙两组数据的中位数分别为59＋m2，31， 且甲、乙两组数的平均数分别为 x －甲＝24＋29＋(30＋m )＋424＝125＋m 4，x －乙＝25＋(20＋n )＋31＋33＋425＝151＋n 5，由题意得⎩⎨⎧59＋m 2＝31，125＋m 4＝151＋n5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝9.∴m n ＝39＝13.5．(2019·南昌调研)给出下列四个函数：①f (x )＝2x －2－x ；②f (x )＝x sin x ；③f (x )＝log 33－x3＋x；④f (x )＝|x ＋3|－|x －3|.其中是奇函数的编号为( )A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④ 答案 B解析 对于①，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以是奇函数；对于②，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以是偶函数；对于③，f (－x )＝log 33＋x 3－x ＝－log 33－x3＋x ＝－f (x )，所以是奇函数；对于④，f (－x )＝|－x ＋3|－|－x －3|＝|x －3|－|x ＋3|＝－(|x ＋3|－|x －3|)＝－f (x )，所以是奇函数．故选B.6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，0≤x ≤1，x ＋y －1≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最小值为( )A.92 B ．5 C.322 D.5 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)：其中A (1,2)，B (0,1)，C (1,0)，z ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示可行域内的点与P (－1，－1)距离的平方，过点P 作直线x ＋y －1＝0的垂线，设垂足为Q ，|PQ |＝|－1－1－1|12＋12＝32， z min ＝|PQ |2＝92.7. 如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD→＝( )A．10 B．11 C．12 D．13答案B解析以A点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，据此可得AB→＝(4,1)，AC→＝(6,4)，结合平面向量的平行四边形法则有AD→＝AC→－AB→＝(2,3)，则AB→·AD→＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.8．(2019·辽宁葫芦岛二模)近年来随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了“抢人大战”，自2018年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个．某二线城市2018年初制定人才引进与落户新政(即放宽政策，以下简称新政)：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户．新政执行一年，2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年(即2017年)与新政执行一年(即2018年)新增落户人口学历构成比例，得到如下饼状图：则下面结论中错误的是()A．新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少C ．新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D ．新政对专科生在该市落实起到了积极的影响 答案 B解析 设2017年全年新增落户人数为x ，则2018年全年新增落户人数为2x ，根据两个饼状图可知：年份高中及以下全年新增 落户人数专科全年 新增落户 人数 本科全年 新增落户 人数 硕士及以上 全年新增 落户人数 2017 0.09x 0.26x 0.49x 0.16x 20180.1x0.58x1.16x0.16x9．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是( )A ．4 B.83 C.163 D.423 答案 A解析 由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为a ，高为x ，则直观图中等腰梯形的腰为2x ，面积S ′＝12(a ＋a ＋2x )x ＝(a ＋x )x ，由斜二测画法的特点知原底面梯形的高为22x ，面积S ＝12(a ＋a ＋2x )·22x ＝22(a ＋x )x ，∴S ＝22S ′＝22×2＝4，故四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4×3＝4，故选A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫也可用结论直接得出S 原S 直＝22，S 底＝22S ′＝4，V ＝13S 底×h ＝13×4×3＝4.10．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin40°B ．2cos40° C.1sin50° D.1cos50° 答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan130°，所以e ＝ 1＋b 2a 2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°.故选D.11．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋(1－x )2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．函数g (x )＝3f (x )－8的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 由题意可得函数f (x )＝1＋x 2＋1＋(1－x )2＝AP ＋PF ，当A ，P ，F 三点共线时，f (x )取得最小值5；当P 与B 或C 重合时，f (x )取得最大值2＋1.求函数g (x )＝3f (x )－8的零点的个数，即为求f (x )＝83的解的个数，由f (x )的最大值2＋1<83，可知函数f (x )＝83无解．12．已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AF →＝2FB →，S△OAB ＝23|AB |，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝14xC ．y 2＝8xD ．y 2＝18x 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AF→＝2FB →，则y 1＝－2y 2，又由抛物线焦点弦性质，y 1y 2＝－p 2， 所以－2y 22＝－p 2，得|y 2|＝22p ，|y 1|＝2p ， 1|AF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ，得|BF |＝34p ，|AF |＝32p ，|AB |＝94p .S △OAB ＝12·p 2·(|y 1|＋|y 2|)＝328p 2＝23·94p ，得p ＝2，抛物线的标准方程为y 2＝4x . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量a ＝(1，－2)，a ＋b ＝(x,8)，c ＝(－2,1)，若b ∥c ，则实数x 的值为________． 答案 －19解析 由已知可得b ＝(x －1,10)，由b ∥c 得x －1＝－20，则x ＝－19.14．如图，在体积为V 1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面，共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V 2，则V 2V 1＝________.答案 23解析 设上下圆锥的高分别为h 1，h 2，圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h ，则V 2V 1＝πr 2h －13πr 2(h 1＋h 2)πr 2h ＝πr 2h －13πr 2hπr 2h ＝23.15．(2019·太原模拟)已知θ为锐角，且2sin θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝5cos2θ，则tan θ＝________.答案 56解析 由已知得2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝5(cos 2θ－sin 2θ)，即sin θ(sin θ＋cos θ)＝5(sin θ＋cos θ)(cos θ－sin θ)．因为θ为锐角，所以sin θcos θ－sin θ＝5，所以tan θ1－tan θ＝5，得tan θ＝56.16．已知数列{a n }，令P n ＝1n (a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n )(n ∈N ＋)，则称{P n }为{a n }的“伴随数列”，若数列{a n }的“伴随数列”{P n }的通项公式为P n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，52解析 由题意，P n ＝1n (a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n )(n ∈N ＋)， 则a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1， a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)2n ， 则2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)2n ＝(n ＋1)2n ， 则a n ＝2(n ＋1)，对a 1也成立，故a n ＝2(n ＋1)， 则a n －kn ＝(2－k )n ＋2，则数列{a n －kn }为等差数列，故S n ≤S 4对任意的n (n ∈N ＋)恒成立可化为a 4－4k ≥0，a 5－5k ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4(2－k )＋2≥0，5(2－k )＋2≤0，解得125≤k ≤52.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·河南八市重点高中联盟第五次测评)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，∠ACB ＝90°.(1)求证：平面AB 1C 1⊥平面A 1B 1C ；(2)若∠A 1AC ＝60°，AC ＝2CB ＝2，求四棱锥A －BCC 1B 1的体积． 解 (1)证明：∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ， 平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∠ACB ＝90°，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， ∵A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥A 1C ，∵B1C1∥BC，∴A1C⊥B1C1，2分∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，∴四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，又A1C⊂平面A1B1C，∴平面AB1C1⊥平面A1B1C.5分(2)∵四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AC＝2，∴S△ACC1＝12×2×2×sin60°＝3，7分∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，BC⊥平面ACC1A1，BC＝1，∴V B1－ACC1＝13S△ACC1·B1C1＝13×3×1＝33，10分∴V A－BCC1B1＝2V A－CC1B1＝2V B1－ACC1＝233，即四棱锥A－BCC1B1的体积为233. 12分18．(本小题满分12分)如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)因为在△ABC中，cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45，2分所以sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝6365，4分由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ， 所以AB ＝AC sin Csin B ＝1040米， 所以索道AB 的长为1040米.6分(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )米，乙距离A 处130t 米，所以由余弦定理，得7分 d 2＝(130t )2＋2500(t ＋2)2－2·130t ·50(t ＋2)·1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤37⎝ ⎛⎭⎪⎫t －35372＋62537，t ∈[0,8]，11分 故当t ＝3537时，甲、乙的距离最短．所以乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.12分19．(2019·山东济南3月模拟)(本小题满分12分)某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．(1)结合图形，写出集合M ；(2)根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯(其中b ∈M ，a ＋b ＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？解 (1)由题意可知当一级滤芯更换9,10,11个时，二级滤芯需要更换3个，2分当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，所以M ＝{3,4}. 4分(2)由题意可知二级滤芯更换3个，需1200元，二级滤芯更换4个，需1600元，5分 在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，6分设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件A ，所以P (A )＝30100＝0.3.7分(3)因为a ＋b ＝14，b ∈M ，①若a ＝10，b ＝4，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为100×10×30＋(100×10＋200)×40＋(100×10＋400)×30＋200×4×100100＝2000.9分②若a ＝11，b ＝3，则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为100×11×70＋(100×11＋200)×30＋200×3×70＋(200×3＋400)×30100＝1880，11分所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14个，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个.12分20．(2019·湖北宜昌元月调考)(本小题满分12分)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (0,4)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点．问：是否存在直线l ，使得S △MAF ＝S △MNF .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)∵c a ＝12，b ＝3，且有a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.4分(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋4，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ y ＝kx ＋4，y 24＋x 23＝1⇒(3k 2＋4)x 2＋24kx ＋36＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(24k )2－144(3k 2＋4)＞0， ①x 1＋x 2＝－24k 3k 2＋4， ②x 1x 2＝363k 2＋4， ③ 6分∵S △MAF ＝S MNF ，∴M 为线段AN 的中点，∴x 2＝2x 1， ④将④代入②，解得x 1＝－8k 3k 2＋4， ⑤8分 将④代入③，得x 21＝183k 2＋4， ⑥ 将⑤代入⑥，解得k 2＝365， ⑦10分将⑦代入①检验成立，∴k ＝±65，即存在直线l ：6x －5y ＋45＝0或6x ＋5y －45＝0符合题意.12分21．(2019·山西吕梁一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ln x ＋1.(1)求函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：f (x )＞3.解 (1)因为f ′(x )＝e x －1x ，又f (1)＝e ＋1，f ′(1)＝e －1，所以y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即所求切线方程为y ＝(e －1)x ＋2.4分(2)证明：由(1)，知f ′(x )＝e x －1x ，易知f ′(x )在区间(0，＋∞)上单调递增，因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，且f ′(1)＞0，所以∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f ′(x 0)＝0，即f ′(x )＝0有唯一的根，记为x 0，则f ′(x 0)＝e x 0－1x 0＝0，对e x 0＝1x 0两边取对数， 得ln e x 0＝ln 1x 0，整理，得x 0＝－ln x 0，8分 因为x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0－ln x 0＋1＝1x 0＋x 0＋1≥3，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立，因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以f (x )min ＞3，即f (x )＞3.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝λ(λ>0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若OA ⊥OB ，求直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与x 轴交于P 点，△OAP 的面积是△OBP 面积的3倍，求λ的值．解 (1)消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 22＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(cos θ＋sin θ)＝λ，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝λ(λ>0)，2分联立，得⎩⎨⎧ x ＝－y ＋λ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得3y 2－2λy ＋λ2－2＝0， Δ＝4λ2－12(λ2－2)>0，即λ2<3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2λ3，y 1y 2＝λ2－23，因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(λ－y 1)(λ－y 2)＋y 1y 2＝2y 1y 2－λ(y 1＋y 2)＋λ2＝0，4分即2×λ2－23－λ×2λ3＋λ2＝0，则λ2＝43，由于λ>0，因而λ＝233，故直线l 的直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.5分(2)易知S △OAP ＝12|OP |·|y 1|＝3S △OBP ＝32|OP |·|y 2|，因而|y 1|＝3|y 2|，6分由(1)知y 1＋y 2＝2λ3，y 1y 2＝λ2－23，①若y 1，y 2均为正，则y 1＝3y 2，则4y 2＝2λ3，3y 22＝λ2－23，得λ＝263；8分②若y 1，y 2一正一负，则y 1＝－3y 2，则－2y 2＝2λ3，－3y 22＝λ2－23，得λ＝1.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x )＋2|x |≤4的解集为A .(1)求集合A ；(2)证明：对于任意的x ，y ∈∁R A ，|xy ＋1|>|x ＋y |恒成立． 解 (1)不等式f (x )＋2|x |≤4，即|x －1|＋2|x |≤4，当x ≥1时，得x －1＋2x ≤4⇒x ≤53，所以1≤x ≤53；2分当0<x <1时，得1－x ＋2x ≤4⇒x ≤3，所以0<x <1；3分 当x ≤0时，得1－x －2x ≤4⇒x ≥－1，所以－1≤x ≤0.4分综上，不等式的解集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤53.5分(2)证明：若证|xy ＋1|>|x ＋y |，即证|xy ＋1|2>|x ＋y |2，即证x 2y 2＋2xy ＋1>x 2＋2xy ＋y 2成立，即证x 2y 2－x 2－y 2＋1>0，即证(x 2－1)(y 2－1)>0.7分∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤53， ∴∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >53.8分∵x ，y ∈∁R A ，∴|x |>1，|y |>1，∴x 2>1，y 2>1，∴(x 2－1)(y 2－1)>0成立，即原命题得证.10分。