系统可靠性理论与威布尔分布

可靠性理论基础知识可靠性理论基础知识1.可靠性定义我国军用标准GIB 451A-2005《可靠性维修性保障性术语》中，可靠性定义为：产品在规定的条件下，规定的时间内，完成规定功能的能力。

“规定条件”包括使用时的环境条件和工作条件。

“规定时间”是指产品规定了的任务时间。

“规定功能”是指产品规定了的必须具备的功能及其技术指标。

可靠性的评价可以使用概率指标或时间指标，这些指标有：可靠度、失效率、平均无故障工作时间、平均失效前时间、有效度等。

典型的失效率曲线是浴盆曲线，其分为三个阶段：早期失效期、偶然失效期、耗损失效期。

早期失效期的失效率为递减形式，即新产品失效率很高，但经过磨合期，失效率会迅速下降。

偶然失效期的失效率为一个平稳值，意味着产品进入了一个稳定的使用期。

耗损失效期的失效率为递增形式，即产品进入老年期，失效率呈递增状态，产品需要更新。

1.1可靠性参数1、失效概率密度和失效分布函数失效分布函数就是寿命的分布函数，也称为不可靠度，记为)(t F 。

它是产品或系统在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为)()(t T P t F ≤=失效概率密度是累积失效概率对时间t 的倒数，记为f(t)。

它是产品在包含t 的单位时间内发生失效的概率，可表示为)()()('t F dtt dF t f ==。

2、可靠度可靠度是指产品或系统在规定的条件下，规定的时间内，完成规定功能的概率。

可靠度是时间的函数，可靠度是可靠性的定量指标。

可靠度是时间的函数，记为)(t R 。

通常表示为?∞=-=>=t dt t f t F t T P t R )()(1)()(式中t 为规定的时间，T 表示产品寿命。

3、失效率已工作到时刻t 的产品，在时刻t 后单位时间内发生失效的概率成为该产品时刻t 的失效率函数，简称失效率，记为)(t λ。

)(1)()()()()()(''t F t F t R t F t R t f t -===λ。

威布尔分布的可靠性应用我们谈可靠性，往往离不开开篇大幅统计学介绍。

很多可靠性参考书，第一章也都是失效模型、可靠度函数、失效率函数、MTBF等。

不吹不尬，可靠性确实离不开概率统计。

比如我们了解到很多实验设计中的数量选择都不是凭空虚设，也并非经验论的拍脑袋，大多都是依据失效函数、置信度等进行计算；再如我们预设的产品寿命是通过加速实验推算的数值，如果某家公司真的执行了诚意满满的寿命估算，估计做一批数量的样品，保证十年的使用寿命，客户和市场也该等的花都谢了；又如我们建立的很多数学模型都不可能完全印证实际情况，当丰满理想遭遇骨感现实，概率就可以跳出来为你不敢做保票的那一步找个台阶下。

图中是常用的可靠性分布及其对应的应用场景，主要分为离散和连续分布。

可靠性常用概率分布今天我们主要聊聊Weibull分布，也就是图中故意卖关子的这一项。

威布尔分布表达式异常复杂，在可靠性中使用范围却很广。

其中失效密度函数表示如下：m: 形状参数，表示函数的走势，m>1,表示失效率随时间增加，m<1, 表示失效率随时间减小。

t0: 参数或特征寿命，表示函数的缩放。

γ :位置参数，且γ >0; 表示设备在[0, γ ]之间不会发生故障。

威布尔分布之所以好用，是因为通过调整不同参数，可以表征整个产品生命周期，即可靠性常提到的浴盆曲线，分为早期失效、随机失效和老化失效三个阶段。

早期失效，产品在开始使用时,失效率很高,但随着产品工作时间的增加,失效率迅速降低。

这一阶段失效的原因大多是由于设计、原材料和制造过程中的缺陷造成的。

随机失效期，是失效率较低，且较稳定，往往可近似看作常数，可以用指数分布表示。

这一时期是产品的良好使用阶段, 偶然失效主要原因是质量缺陷、材料弱点、环境和使用不当。

老化阶段，失效率随时间的延长而急速增加, 主要由磨损、疲劳、老化和耗损等原因造成。

这个阶段也可以用正态分布来做模拟。

Weibull分布参数与失效模型之间的关系:假设给我们一组数据，是实验中给定时间段内的失效样品数量统计，将这组数据在minitab中做直方图，我们可以大概感觉这组数据是处于产品的早期失效阶段，用分布进行拟合，如下分别用威布尔三参分布、双参指数分布、三参数对数正态分布、三参数伽玛分布都可以来表示这组数据的分布。

名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形二项分布np npq二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。

在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。

返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形泊松分布P（λ）λλ泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。

特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。

例如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从泊松分布。

名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形超几何分布H(n,M,N)返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形指数分布e(λ)指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。

它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。

指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形威布尔分布(Ⅲ型极值分布)W(k,a,b)威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。

由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。

可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形正态分布(高斯分布)N(μ,σ)μσ2正态分布：是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。

威布尔概率分布及应用威布尔概率分布是一种常用的统计分布模型，适用于描述正向偏斜的连续随机变量的概率分布。

在工程学中，威布尔分布经常用来模拟和分析可靠性和寿命数据。

下面将详细介绍威布尔概率分布及其应用。

1. 威布尔概率分布的定义与特性：威布尔概率密度函数的表达式为：f(x) = (a/b)((x/b)^(a-1)) * exp(-(x/b)^a)其中，a和b均为正实数，是概率分布的参数。

该概率密度函数主要用来描述随机变量X的寿命分布。

威布尔分布的累积分布函数为：F(x) = 1 - exp(-(x/b)^a)威布尔分布具有如下特性：(1) 当a=1时，威布尔分布退化为指数分布。

(2) 当a>1时，威布尔分布具有右偏斜的特性。

(3) 威布尔分布的均值为b * Γ(1 + 1/a)，其中Γ表示伽玛函数。

(4) 威布尔分布的方差为b^2 * （Γ(1 + 2/a) - (Γ(1 + 1/a))^2）。

2. 威布尔概率分布的应用：(1) 可靠性分析：威布尔分布常用于可靠性分析中，可以通过威布尔分布来描述产品的寿命分布。

通过分析得到的威布尔分布，可以计算产品在某个时间点的可靠性，确定其在给定时间段内的失效概率，并进一步寻找改进措施，提高产品的可靠性。

(2) 寿命数据分析：威布尔分布也广泛应用于对某些机械设备、材料或系统的寿命数据进行建模与分析。

通过对实际寿命数据进行威布尔分布拟合，可以更准确地预测设备或系统在未来某个时间段内的失效概率，帮助制定相应的维修和更换计划。

(3) 临床试验：在医学和生物学中，临床试验数据经常具有右偏性，且描述的是某种事件或现象的寿命。

因此，威布尔分布在临床试验数据分析中的应用十分常见。

通过拟合试验数据得到的威布尔分布可以为研究人员提供反映疾病发展或治疗效果的信息，从而指导临床实践和决策。

(4) 金融风险管理：在金融领域，威布尔分布可以用来对风险事件的发生概率进行建模，如市场波动、信用违约等。

可靠性可靠性函数函数函数与与Weibull 分布Xie Meng-xian. (电子科大，成都市)半导体器件和集成电路的可靠性评估（即失效率预测，failure rate prediction ）是一个重要的问题。

可靠性评估实际上也就是采用通过寿命试验而得到的失效的数据、来估算出器件和集成电路的有效使用寿命。

有效使用寿命即为器件和集成电路能够正常工作的平均平均平均使用使用使用时间时间（MTTF ，mean time to failure ）；与此密切相关的概念是失效率失效率失效率（或故障率，failure rate ），即单位时间内所失效的器件和电路的数目，常用的单位是FIT （10−9/小时）或者%/1000小时。

因为通过寿命试验而获得的失效数据，往往遵从某种规律的分布函数——可靠性函数，所以根据这些试验数据，由可靠性函数规律出发，即可估算出器件和集成电路的MTTF 和失效率。

（1）可靠性函数：半导体器件和集成电路会由于各种原因而失效，但是失效率往往与使用时间有关。

若在经过时间t 之后未失效器件的数目为R(t)，则通过寿命试验可以获得大致如图1所示的三种模式的函数关系：①早期失效模式；②偶发失效模式；③磨损失效模式。

在数学上可用来描述这些失效模式的函数即称为可靠性函数。

对于偶发失效的模式，比较符合实际的可靠性函数是指数函数；由此可知偶发失效的失效率是一个常数，即不管经过多长时间，器件失效的几率都是一样的；根据这种可靠性函数，可较容易地进行分析。

比偶发失效更早发生的失效称为早期失效。

大多数半导体器件和集成电路所出现的失效都属于早期失效模式。

对于这种很快就会发生失效的器件和电路，一般都可以在使用之前、通过例行试验（即采用一定条件的筛选工艺）来去除掉，以免带来后患。

磨损失效也称为疲劳失效，其特点是开始阶段的故障少，然后故障不断增加。

（2）Weibull 分布：从统计角度来看，统计数据的分布函数有许多种，常用的有如指数分布、Gauss 分布、Γ分布、对数正态分布和Weibull 分布，它们的功能各有千秋。

威布尔分布下复杂系统可靠性与全寿命周期费用综合建模一、开篇随着社会的发展，人们对产品和服务的质量和可靠性的要求越来越高。

而在现代经济中，复杂系统可靠性和全寿命周期成本是一项重要的经济指标。

在对于复杂系统的可靠性建模方面，威布尔分布是一种被广泛应用的概率分布，能够很好地描述产品或系统的寿命分布特性。

本文将围绕威布尔分布下的复杂系统可靠性与全寿命周期费用综合建模进行探讨，提出五个主题，包括：威布尔分布概述、威布尔分布建模、复杂系统可靠性建模、全寿命周期费用建模以及综合建模分析。

二、威布尔分布概述威布尔分布是一种常见的概率分布，被广泛应用于描述复杂系统的寿命分布特征。

其密度函数为：$$f(t) = \frac{\gamma}{\beta}(\frac{t-\mu}{\beta})^{\gamma-1}e^{-(\frac{t-\mu}{\beta})^\gamma}$$其中，$\mu$ 是位置参数，$\beta$ 是尺度参数， $\gamma$ 是形状参数。

在描述复杂系统的可靠性时，通常使用的是威布尔分布的累积分布函数：$$F(t) = 1 - e^{-(\frac{t-\mu}{\beta})^\gamma}$$这个函数能够描述系统在经过 $t$ 时间后仍然正常运行的概率。

三、威布尔分布建模在实际应用中，可以通过对系统的寿命数据进行威布尔分布拟合，来推断出系统的寿命特征。

比如，对于某一型号的产品，可以通过测量若干台设备的使用寿命，然后进行威布尔分布拟合，得到该型号设备的寿命分布特性。

从而可以预测出未来产品或系统的使用寿命，为制定产品或系统的维修计划和调整资产管理策略提供依据。

四、复杂系统可靠性建模复杂系统可靠性建模是指根据系统的失效信息，利用可靠性理论、统计学和计算机技术等技术手段，对系统的失效概率、失效时间、失效原因等进行分析和预测，以提高系统的运行可靠性。

威布尔分布可以用于对复杂系统的失效时间进行建模。