双参数威布尔分布函数的确定及曲线拟合(精)

最小二乘法实现威布尔分布拟合一、概述在统计学和概率论中，威布尔分布是一种连续概率分布，通常用于描述事件的持续时间或生存时间。

最小二乘法是一种常用的参数拟合方法，可以用于拟合威布尔分布的参数。

本文将介绍如何使用最小二乘法实现威布尔分布的拟合，从而更好地分析和解释实际数据。

二、威布尔分布的概述威布尔分布是描述正定随机变量的概率分布，其概率密度函数为：\[f(x;\lambda,k) = \frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\]其中，\(x \geq 0, \lambda > 0, k > 0\)，\(\lambda\)和k分别是威布尔分布的尺度参数和形状参数。

威布尔分布可以用于描述许多自然现象的持续时间或生存时间，例如产品的寿命、设备的故障时间等。

三、最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的参数拟合方法，其原理是通过最小化实际观测值与拟合值之间的误差平方和来确定模型的参数。

对于威布尔分布拟合来说，最小二乘法可以用于估计分布的尺度参数和形状参数。

四、最小二乘法实现威布尔分布拟合的步骤要实现威布尔分布的拟合，可以按照以下步骤进行：1. 收集实际数据。

首先需要收集与威布尔分布相关的实际数据，例如产品的寿命数据或设备的故障时间数据。

2. 确定拟合函数。

根据威布尔分布的概率密度函数，确定拟合函数的形式，并假设其为威布尔分布的概率密度函数。

3. 构建最小二乘法的优化目标函数。

将拟合函数的参数作为优化变量，构建目标函数为实际观测值与拟合值之间的误差平方和。

4. 求解最小二乘法的优化问题。

通过数值优化算法，求解目标函数的最小值，得到威布尔分布的尺度参数和形状参数的估计值。

5. 模型检验和结果分析。

对拟合的威布尔分布模型进行检验，判断拟合结果的合理性，并进行相应的结果分析和解释。

五、实例分析下面通过一个实际的例子，演示如何使用最小二乘法实现威布尔分布的拟合。

Python威布尔分布曲线拟合1. 介绍威布尔分布是一种描述时间或寿命数据的统计分布，广泛应用于可靠性工程、医学、环境科学等领域。

在实际应用中，我们经常需要对数据进行威布尔分布的拟合，以了解数据的分布特征并进行进一步的分析。

2. 什么是威布尔分布威布尔分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为：f(x;λ, k) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)，其中x≥0，λ>0，k>0。

λ和k 分别为威布尔分布的尺度参数和形状参数，决定了分布的特征。

3. Python中的威布尔分布拟合在Python中，我们可以使用SciPy库中的stats模块来进行威布尔分布的拟合。

我们需要导入相应的库：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy import stats```4. 生成数据为了进行威布尔分布的拟合，我们首先需要准备一组数据。

假设我们有一组寿命数据，我们可以使用NumPy库生成符合威布尔分布的随机数据：```pythondata = np.random.weibull(k, size=1000)```5. 进行拟合有了数据之后，我们就可以使用stats模块中的weibull_min类来进行拟合：```pythonparams = stats.weibull_min.fit(data, loc=0)```6. 绘制拟合曲线我们可以利用拟合得到的参数来绘制威布尔分布的概率密度函数曲线：```pythonx = np.linspace(0, 5, 100)y = stats.weibull_min.pdf(x, *params)plt.plot(x, y, 'r-', lw=2)plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6)plt.show()```7. 结论通过以上步骤，我们就可以在Python中实现对威布尔分布的数据拟合，并得到拟合曲线。

基于正态分布和两参数威布尔分布的风速曲线拟合方法研究张盼盼【摘要】以日常生活中常用到的正态分布和两参数威布尔分布拟合实际的风速数据,采用最大似然估计法得到两种分布的相关参数值,并在此基础上以这两种分布的概率密度函数和分布函数图与风速数据的频率直方图做对比,以此分析哪种分布函数模拟风速分布的效果比较理想,得到的结果是两参数威布尔分布可以认为是拟合风速较好的模型.【期刊名称】《电气开关》【年(卷),期】2015(053)004【总页数】3页(P47-49)【关键词】正态分布;两参数威布尔分布;概率密度函数【作者】张盼盼【作者单位】贵州大学,贵州贵阳550025【正文语种】中文【中图分类】TM61风能作为风力发电的基础，以其清洁性和可再生性受到越来越广泛的应用。

风速分布模型的确立，可以更好地进行配电网的可靠性评估和风电场的容量选址分析。

但风能本身存在着间歇性和不稳定性的缺点使得风速也存在着不稳定性。

因此有必要对风速的分布模型进行更进一步的研究。

通常情况下描述风速分布模型的有瑞利分布、正态分布和两参数威布尔分布。

瑞利分布因其应用于风速低于3.6m/s的范围内，且误差较大，所以瑞利分布不被认为是用来描述风速的理想分布模型。

相比之下，正态分布和两参数威布尔分布应用则较广泛。

国内对应用正态分布和两参数威布尔分布描述风速分布也做了一些研究。

文献[1]认为当形状参数k>3.5时，风速的分布可以用正态分布来描述，并以正态分布建立风速负荷二元正态联合分布函数，并进一步评估配电网的可靠性。

文献[2]比较了威布尔分布参数的三种算法，并以计算得到的三种参数值拟合风速曲线。

文献[3]采用四种不同方法求取威布尔分布参数。

文献[4]也采用三种算法求取威布尔分布参数，并应用威布尔拟合曲线分析希尼尔水库风能情况。

文献[5]采用最大似然估计了对数正态分布的参数。

上述文献只选择了一种分布模型去拟合风速曲线，但基于风速的时变性和各地情况的特殊性，本文以正态分布和威布尔分布这两种分布模型分别对风速进行拟合，对拟合的结果进行对比分析从而得到描述风速的理想分布模型。

正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用071330225 洋洋目录正态分布函数 (3)正态分布应用领域 (4)正态分布案例分析 (5)指数分布函数 (5)指数分布的应用领域 (6)指数分布案例分析 (7)对数正态分布函数 (7)对数正态分布的应用领域 (9)对数正态分布案例分析 (9)威布尔分布函数 (10)威布尔分布的应用领域 (16)威布尔分布案例分析 (16)附录 (18)参考文献 (21)正态分布函数【1】105正态分布概率密度函数f（t）蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 绿线：μ=1 σ=3均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。

σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。

105均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。

σ越小，图像越陡。

105正态分布可靠度函数R（t）蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。

σ越小，图像越陡。

105正态分布失效率函数λ（t）蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。

σ越小，图像越陡。

正态分布应用领域【1】正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用.数理统计中多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。

正态分布案例分析【1】例1.10 某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s围18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。

风力发电机组额定风速的选择研究潘慧慧;李永光【摘要】充分考虑了额定风速对额定功率、年发电量、风轮直径,以及机组成本的影响,建立了相应的数学模型,为风力发电机组额定风速的选择提供了理论依据,并通过某工程实例进行了计算分析.结果表明:按照本方法得出的最佳额定风速为11m/s,与传统的额定风速确定方法得出的12 m/s相比,尽管叶片成本提高了36.93万元,但是年发电量增加了707MW,大大增加了经济效益.【期刊名称】《上海电力学院学报》【年(卷),期】2013(029)002【总页数】4页(P107-110)【关键词】风力发电机;额定风速;威布尔分布【作者】潘慧慧;李永光【作者单位】上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090【正文语种】中文【中图分类】TM614近年来，风能作为一种清洁、无污染的可再生能源，其技术的研发和应用发展迅速.在风电场建设中，风机选型过程是关乎投资和效益的重要步骤，而选择风力发电机组的参数尤为关键.其中，额定风速的选取对于风力机组的设计和风力发电机组的成本有非常重要的作用.风力发电机组的额定风速是计算风力发电机组额定功率的依据，它决定了风轮直径等主要部件的几何结构尺寸，并将影响风机的制造成本和风力发电机组的整体性能.若该数值过大，机组将很少达到额定功率，降低了发电机的效率，提高了能量成本;若数值过小，将增大风轮直径，使得风轮及其辅助成本偏高.从额定功率来考虑，一般变桨距风力发电机组的额定风速与年平均风速之比约为1.7;而定桨距风力发电机组达到相同额定功率的风速要高一些，其额定风速与年平均风速之比为2.0 以上［1］.林俊烈［2］以风力发电机组获得的年总发电量的最大值为目标，得出了额定风速与年平均风速具有非线性关系的结论.张海平［3］根据风速的Weibull分布，推导出了额定风速与Weibull双参数c和K的关系式.以上研究仅是以风资源状况为基础，没有考虑到额定风速对风轮直径和风机成本的影响.本文以充分利用风资源为原则，研究了额定风速对额定功率、年发电量、叶片几何尺寸，以及机组成本的影响情况，为风力发电机组额定风速的选择提供了科学依据.1 风速的分布规律描述风速的数值分布模型主要有双参数威布尔分布、三参数威布尔分布、瑞利分布等.其中，双参数威布尔曲线最符合风速统计分布规律［4］.它属于单峰的正偏态分布函数，其概率密度函数为:式中:k——形状参数;c——尺度参数，m/s.在实际应用中，一般依据风速统计数据来确定威布尔参数值，进而求取平均值风速及其标准方差σ，表达式为:依据威布尔分布的均值和方差近似关系式，可以得出:式中:2 额定风速的相关因素目前，普遍采用的确定额定风速的方法可以表示为［3］:2.1 额定风速和额定功率的关系风力发电机组的额定功率为［5］:式中:ρ——空气密度;A——风轮横扫面积;Cp——风能利用系数.由式(7)可知，额定功率与额定风速的3次方成正比，另外还与当地的空气密度、扫风面积、风能利用系数有关.2.2 额定风速和风轮直径的关系若已知一台效率为η，风轮直径为d的风机，其额定功率为:风轮直径与额定风速的关系为:由式(9)可知，适当提高额定风速，可以减小风轮直径.但随着风轮直径的增大，轮毂重量也会增加，其安装难度和费用也会增加.2.3 额定风速和理论年发电量的关系若已知当地风速的威布尔分布函数，全年有效风速小时数为T，单台风力发电机组全年的理论发电量为:将式(1)代入式(10)，整理后得:式中:vi，vr，vf——切入风速，额定风速，切出风速.若某地区的风速分布已知，形状参数k和尺度参数c为常数，切入、切出风速一般情况下也为定值.当风轮直径一定的风力发电机组，其效率为η时，实际年发电量可以表示为:由式(12)可知，年发电量与风速特性和风机各参数有直接关系，而与额定功率没有必然联系.2.4 额定风速和机组成本的关系FINGERSH L等人［6］提出，风轮造价 y(元)与叶片半径r(m)成指数关系，可以表示为:由式(13)可知，适当提高额定风速，可以减小风轮直径，从而降低造价.3 确定额定风速的工程实例本文所研究的区域位于内蒙古自治区乌拉特后旗乌力吉苏木附近，风电场中心西距乌力吉苏木约19 km，东距旗府赛乌素镇约27 km，西南距海力素约28 km，海拔高度约为1 630 m.选用1#测风塔2006年9月1日至2007年8月31日完整性较好的连续一年的测风数据，对该地区的风况进行分析.风电场70m高度测风年测得的月平均风速、风功率密度分布状况如表1所示.表1 70m高度测风年测得的逐月平均风速及风功率密度月份风速/m·s-1风功率密度/W·m-2 月份风速/m·s-1风功率密度/W·m -2 1 7.9 457.8 7 6.5 241.4 2 8.8 729.8 8 6.6 298.2 3 7.7 492.5 9 7.5 373.3 4 7.5 352.9 10 8.2 475.5 5 10.6935.5 11 7.7 390.6 6 7.5 384.7 12 9.0 707.5风电场70m高度测风年测得的全年风向频率和风能频率如表2所示.由计算得到该风场各高度的风速频率分布Weibull模式拟合参数c和k，如表3所示.该地区风能资源丰富，对照风电场风能资源评估方法(GB/T 18710—2002)中风功率密度等级表，本风电场风功率密度等级属4级.70 m高度年平均风速为8.0 m/s，全年平均风功率密度为486.6 W/m2，有效风速小时数为7 898 h(3～25 m/s);10 m高度年平均风速为6.2 m/s，全年平均风功率密度为224.1 W/m2，有效风速小时数为7 786 h(3～25 m/s).表2 70m高度测风年测得的全年风向和风能频率风能频率风能频率/% 风向风向频率/%风向风向频率/%/%N 4 2 SSW 9 8 NNE 4 2 SW 24 29 NE 5 2 WSW 14 21 ENE 4 2 W 7 10 E 4 2 WNW 3 2 ESE 3 1 NW 2 1 SE 6 10 NNW 2 1 SSE 56 C 0 0 S 4 3表3 各高度Weibull分布曲线参数h/m c/m·s-1k 70 9.1 2.16 50 8.8 2.17 106.9 2.04所拟选用的风力发电机组轮毂高度集中在65～70 m，则额定风速按式(6)计算可得:不同额定风速与满负荷小时数的关系如图1所示.由图1可知，随着额定风速的增加，达到满负荷的小时数逐渐减少.假设风机的切入风速为3 m/s，切出风速为25 m/s，风能利用系数为0.4，风机的运行效率为0.6，当地空气密度为 1.04 kg/m3.将上述各参数代入式(9)、式(12)及式(13)，计算得到不同额定风速时的风轮直径、年平均上网电量，以及叶片的价格，如表4所示.由表4可以看出，降低额定风速，需要增加叶片半径.叶片越长，运输转弯半径要求越大，而对项目现场的道路宽度和周围障碍物的要求也越高.另外，起吊重量越大的吊车本身移动时对桥梁道路要求也越高，租金也较贵［7，8］.总之，生产成本和运输成本将显著增加，同时也提高了工艺难度.图1 额定风速和满负荷小时数的关系表4 不同额定风速下的各参数额定风速/m·s-1风轮直径估算值/m叶片半径/m年发电量/MWh叶片价格/万元8 133.92 66.96 7 747 466.16 9 112.23 56.12 6 957 280.29 10 95.82 47.91 6 196 177.81 11 83.06 41.53 5 450 117.83 12 72.89 36.45 4 743 80.90 13 64.65 32.33 4 109 57.28 14 57.85 28.93 3 526 41.59 15 52.16 26.08 3 000 30.87表4中的计算结果表明，相同的单机容量，随着额定风速的下降，年发电量呈增大的趋势，并且年发电量与额定风速成线性关系.单从这一角度来看，相同的单机容量，额定风速越小越好，而综合考虑叶片的价格时，结论并非如此.据资料显示，一般情况下叶片的成本占总成本的15% ～25%.假设1.5 MW风电机组的成本为600万元，则不同额定风速vr下叶片价格占总成本的比率如表5所示.表5 不同额定风速下叶片价格占总成本的比率额定风速/m·s-1叶片成本占总成本的比率/%额定风速/m·s-1叶片成本占总成本的比率/%8 78 12 13 9 47 13 10 10 30 14 7 11 20 15 5由表5可以看出，额定风速为8～10 m/s时，叶片的价格占总成本的百分比已经超过了30%，这表明叶片成本过高，因此该范围内的额定风速不宜采用.本文取11 m/s为额定风速较为合理，叶片价格所占的比率20%在15%～25%合理范围内，而传统的方法计算得到的额定风速为12 m/s.由表3可知，额定风速为11 m/s与12 m/s相比，虽然叶片成本提高了36.93万元，但是每年的年发电量增加了707MW，即提高了15%，大大增加了经济收益.无论低风速资源区还是高风速资源区，都应综合考虑成本和发电量，对相同的单机容量，应尽量选择额定风速低的风机.尽管增大了叶片的半径，增加了成本，但发电量大大增加，总体来说，效益较好.4 结论(1)在单机容量一定的情况下，额定风速与年发电量成线性关系;(2)工程实例中，按照本文的分析方法得出的最佳额定风速为11 m/s，与传统方法得出的最佳额定风速12 m/s相比，虽然增加了叶片的成本，但每年的发电量提高了15%，大大提高了风电场的经济性，表明本文的计算方法更加合理;(3)在选择最佳额定风速时，不仅要以风况为基础，还需要综合考虑发电量、成本等因素，这样才能充分利用当地的风资源，最大限度地发挥风力发电机组的效率，同时尽可能地降低成本，以获得最大的经济效益.参考文献:【相关文献】［1］贺德馨.风工程和工业空气动力学［M］.北京:国防工业出版社，2006:101-102.［2］林俊烈.风力发电机设计工况的重要参数——额定风速的确定［J］.太阳能学报，1987，8(1):82-89.［3］张海平.风力机特征风速的推导［J］.云南工业大学学报，1997，13(1):76-78.［4］龚伟俊，李为相，张广明.基于威布尔分布的风速概率分布参数估计方法［J］.可再生能源，2011，29(6):20-23.［5］胡燕平，甄海华，戴巨川.变桨距风力发电机额定风速的确定方法［J］.太阳能学报，2011，32(3):307-310.［6］ FINGERSH L，HAND M，LAXSON A.Wind turbine design cost and scaling model ［R］.Technical Report NREL/TP-500-40566，2006:12-13.［7］卢为平.风力发电基础［M］.北京:化学工业出版社，2011:59-60.［8］刘佳明，张小丽.风电经济性的简易评估［J］.技术经济与管理研究，2007(2):52-53.。

一种快速计算风机发电量方法的探讨与实践【摘要】探讨了一种快速计算风机发电量的方法。

首先介绍了常用的计算方法，通过对比，基于风频Weibull分布和风机功率曲线计算方法具备快速计算的条件，而且在辅助计算软件的协助下，该方法计算过程可以得到很大简化并满足工程应用。

该方法利用欲安装风机地区一年的风资源建立风速频率Weibull分布的数学概率模型来拟合实际的风频分布，然后根据风机自身的功率特性通过最小二乘法拟合输出功率特性曲线，最后采用一个实际的例子详细阐述了这种风机发电量的计算方法。

【关键词】风机发电量；Weibull分布；功率曲线；快速计算０引言风力发电机组发电量的计算是风电场进行风力发电机组选型非常重要的依据，也是风电场设计的一项重要工作。

由于风能具有能量密度低、稳定性差的缺点，因此很难精确的确定风机的发电量。

目前专业设计单位一般采用WASP软件进行发电量计算，其计算结果最准确，但需要大量的基础数据，不适于在风场工程人员中推广应用；概率论计算方法较复杂[1]，需要的数据较多，要求风场工程人员有一定的数学基础，完成相关计算比较困难；而基于风频Weibull分布和风机功率特性计算方法[2]，通过分析如何利用风机的输出功率曲线和风速频率曲线求算风机的平均功率，进而求算其发电量，计算方法较简单，适于在风场工程人员中推广应用。

而且在辅助计算软件的协助下，该方法的计算过程可以得到很大简化并满足工程的一定应用。

因此，本文主要针对基于风频Weibull分布和风机功率特性计算方法进行探讨和实践。

1常用计算方法1.1WASP软件计算方法风图谱分析及应用程序WASP是由丹麦国家实验室风能研究所开发的一种能独立对风资源进行三维分析的软件。

它的主要特点是：当对某地区风资源进行分析时，考虑该地区不同的地形表面粗糙度的影响以及由附近建筑物或其它障碍物所引起的屏蔽因素，同时还考虑了山丘和复杂场地所引起的风的变化情况，从而估算出该地区真实的风资源（发电量）情况。

智能电网下风力-火电联合发电在微电网系统中的扩展规划李存斌;常昊;冯霞;祁之强【摘要】对智能电网下微电网系统的可再生能源电源扩展规划进行研究.将微电网看作一个复杂系统,综合考虑微电网的可靠性、微电网运行耗损费用与维护费用和扩展方案总费用3个方面,建立了微电网系统中风力-火电联合发电的扩建模型,并采用和声搜索算法对其进行优化求解.利用所提方法对一个具有5节点微电网系统在10a内的电源规划扩展方案进行了模拟,并通过将所得结果与遗传算法结果进行对比,说明了该方法的可行性和有效性.【期刊名称】《电力自动化设备》【年(卷),期】2014(034)003【总页数】5页(P47-51)【关键词】微电网;风电;火电;发电;扩展规划;和声搜索算法【作者】李存斌;常昊;冯霞;祁之强【作者单位】华北电力大学经济与管理学院,北京102206;华北电力大学经济与管理学院,北京102206;华北电力大学经济与管理学院,北京102206;华北电力大学经济与管理学院,北京102206【正文语种】中文【中图分类】TM7150 引言随着常规能源供需缺口的扩大、能源利用效率较低等问题的日益突出，如何合理开发利用可再生能源和智能电网下微电网系统的合理布局与规划成为研究热点［1-2］。

微电网是采用现代电力技术，将微型电源和负荷并在一起直接接在用户侧，形成一个规模较小的独立系统。

该系统既能联网运行，又能独立运行。

因此，针对微电网规划与布局的研究具有较强的实际意义。

文献［3-4］在负荷保持不变的情况下，分析了分布式电源在配电网中的优化规划问题。

文献［5］假定分布式电源容量已知且负荷沿电路按一定规律分布，从而应用解析法从理论上给出了分布式电源的最优规划，但其忽略了负荷分布的随机性。

文献［6］建立了包含线路扩建费用在内的配电网经济指标函数，但该模型并未考虑电能的线损费用以及进行相应的优化计算。

文献［7］对微电网中分布式电源的规划问题利用改进蚁群算法进行优化，但未考虑分布式电源对微电网系统可靠性的影响；文献［8］从宏观角度，利用二进制粒子群算法对智能电网下微电网的整体优化布置与定容问题进行了探讨，但这缺少从复杂系统的角度对微电网进行研究；文献［9］在分析分布式发电配置对微电网影响的基础上，建立了考虑成本和网损的微电网优化配置模型，但该模型只限于小时级别的优化调度，在实际中难以满足微电网优化配置需求；文献［10］利用自适应遗传算法对微电网中光伏电源的选址与定容问题进行了深入研究，但忽略了微电网中电源结构的多样性以及光伏电源的不稳定性。